2023-2024學(xué)年福建省福州四中高二（上）月考數(shù)學(xué)試卷（10月份）（含解析）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學(xué)年福建省福州四中高二（上）月考數(shù)學(xué)試卷（10月份）一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.已知直線方程l：x+3yA.5π6 B.2π3 C.2.若直線l的方向向量為m，平面α的法向量為n，則可能使l/?/αA.m=(3,?1,0)，n=(?1,03.已知直線l1：ax+3y+1=0，l2A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4.已知三角形的三個頂點A(4,3)，B(?1,2A.5x+y?2=0 B.5.如圖，在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，底面是邊長為1的正方形，若∠A.5 B.22 C.6.直線l經(jīng)過點P(1,?1)和以M(?A.(?∞,32] B.[7.已知點A(1,?2)，B(m,2A.1 B.3 C.?2 D.8.已知直線kx?y+2k?1=0恒過定點A，點A也在直線mA.2 B.4 C.8 D.6二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求）9.下列說法正確的有(

)A.若直線y=kx+b經(jīng)過第一、二、四象限，則(k,b)在第二象限

B.直線kx?y?2k+3=010.下列說法正確的是(

)A.若空間中的O，A，B，C滿足OC=13OA+23OB，則A，B，C三點共線

B.空間中三個向量a，b，c，若a//b，則a，b，c共面

C.對空間任意一點O和不共線的三點A，B，C，若OP=2OA+11.在長方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=AD=2，AA.B1的坐標(biāo)為(2,2,3)

B.BC1=(?12.如圖，正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為2，點O為底面ABA.D1O⊥AC

B.存在一點P，使得D1O//B1P

C.三棱錐

三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13.過點P(2,?314.如圖，在二面角α?l?β中，A∈l，B∈l，AC?α，BD?β且AC⊥AB

15.已知平面α的一個法向量為n=(?1,?2,?2)，點A16.將一張坐標(biāo)紙折疊一次，使得點(?3,4)與點(?4,a)重合，點四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.(本小題10.0分)

已知△ABC的頂點坐標(biāo)為A(?5,?1)，B(?1,118.(本小題12.0分)

已知空間中的三點P(?2,0,2)，M(?1,1,2)，N(?3,0,419.(本小題12.0分)

過點P(2,1)作直線l分別交x軸、y軸的正半軸于A，B兩點．

(1)求|OA|?|20.(本小題12.0分)

如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1，E，F(xiàn)分別是A21.(本小題12.0分)

如圖，四棱錐P?ABCD的底面為菱形，∠ABC=π3,AB=AP=2，PA⊥底面ABCD，E，F(xiàn)分別是線段PB，PD的中點，G是線段PC上的一點．

(1)若G是線段PC的中點，試證明EG/22.(本小題12.0分)

如圖，MON是某景區(qū)的瀑布群，已知tan∠MON=?43，點Q到直線OM，ON的距離均為2，現(xiàn)新修一條自A經(jīng)過Q的有軌觀光直路并延伸交道路ON于點B．

答案和解析1.【答案】A

【解析】解：直線的斜率為?33，設(shè)直線的傾斜角為θ，則tanθ=?33，

因為θ∈[2.【答案】B

【解析】解：根據(jù)題意，直線l的方向向量為m，平面α的法向量為n，要使l/?/α，則m?n=0，

由此分析選項：

對于A，m?n=?3≠0，不符合題意；

對于B，m?n=?4+4=3.【答案】B

【解析】解：當(dāng)l1//l2時，a(a?2)=3，整理得a2?2a?3=0，解得a=?1或3，

當(dāng)a=?1時，直線l14.【答案】A

【解析】解：由斜率公式可得kAB=3?24+1=15，

∵CD⊥AB，∴kCD=?5，5.【答案】A

【解析】【分析】本題考查了空間向量的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．

用空間向量的基本知識，計算向量的模和數(shù)量積，即可解答．【解答】

解：∵A1C=AB+AD?AA1，

∴A16.【答案】D

【解析】解：∵P(1,?1)，M(?3,1)，N(3,2)，

∴kPM=?12，kPN=32，

圖象如圖所示：7.【答案】B

【解析】解：∵A(1,?2)和B(m,2)的中點C(1+m2,0)

在直線x8.【答案】B

【解析】【分析】本題考查的知識要點：定點直線系的應(yīng)用，基本不等式的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題．

先求出定點A的坐標(biāo)，進一步求出m+【解答】

解：直線kx?y+2k?1=0整理得：y+1=k(x+2)，直線恒過定點A，即A(?2,?1)．

因為點A也在直線9.【答案】AB【解析】解：因為直線y=kx+b經(jīng)過第一、二、四象限，所以k<0且b>0，

則(k,b)在第二象限，故選項A正確；

直線kx?y?2k+3=0可變形為y?3=k(x?2)，

所以直線必過定點(2,3)，故選項B正確；

過點10.【答案】AB【解析】解：對于A，根據(jù)向量的線性運算，若空間中的O，A，B，C滿足OC=13OA+23OB，則A，B，C三點共線，故A正確，

對于B，因為a//b，則a,b共線，則根據(jù)共面向量的定義可得，a，b，c共面，故B正確，

對于C，對空間任意一點O和不共線的三點A，B，C，若OP=2OA+2022OB?2023OC11.【答案】AB【解析】【分析】本題考查命題真假的判斷，考查空間向量的相關(guān)計算，考查空間想象能力，考查數(shù)形結(jié)合思想．屬于較難題．

作出圖象，對于A，得出點B1的坐標(biāo)即可判斷；對于B，先求出B(2,2,0)，C1(0,2,3)，由此能求出BC【解答】解：在長方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=AD=2，AA1=3，

以D為原點，DA，DC，DD1的方向分別為x軸，y軸，z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，

對于A，點B1的坐標(biāo)為(2,2,3)，故A正確；

對于B，B(2,2,0)，C1(0,2,3)，∴BC1=(?2,0,3)，故B正確；

對于C，A112.【答案】AC【解析】解：對于A，連接AD1，CD1，由正方體的性質(zhì)得△ACD1是等邊三角形，

∵O為底面ABCD的中心，故為AC中點，故AC⊥D1O，故A正確；

對于B，將D1O進行平移到過B1點，使之與B1P具有公共頂點，

根據(jù)立體圖象判斷，無論如何也不可能滿足B1H平行或重合于B1P，

∴D1O不可能平行于B1H，故B錯誤；

對于C，由平面BB1C1C//平面ADD1A1，

得三棱錐A?D1DP的體積為：

VA?D1DP=VC?ADD1=13×S△ADD1×DC=13×12×2×2×2=43，故C正確；

如圖，當(dāng)點P在C處時，D1O⊥OC，當(dāng)點P在B1B的中點P1時，

13.【答案】3x+2【解析】解：直線經(jīng)過原點時滿足條件，此時直線方程為y=?32x，即3x+2y=0；

直線不經(jīng)過原點時滿足條件，設(shè)直線方程為x?y=a，

把點P(2,?3)代入方程，可得14.【答案】120°【解析】解：設(shè)二面角α?l?β的大小為θ，且AC⊥l，BD⊥l，

所以<AC，BD>=θ，

所以CD2=(?AC+AB+BD)2=A15.【答案】1

【解析】解：由題意知：AP=(1,?1,?1)，

所以點P到平面α的距離d16.【答案】?1【解析】解：點(?3,4)與點(?4,a)的中點坐標(biāo)為(?72,4+a2)，斜率k=a?4?4+3=4?a，

所以兩點的中垂線的方程為：y?4+a2=(4?a)(x+72)，即17.【答案】解：(1)∵直線AB的斜率為1+1?1+5=12，直線BC的斜率為3?1?2+1=?2，

∴直線AB和直線BC的斜率之積等于?1，故AB【解析】本題主要考查兩條直線垂直的條件，用點斜式求直線的方程，屬于基礎(chǔ)題．

(1)由題意利用兩條直線垂直的條件判斷AB⊥BC，可得結(jié)論．

18.【答案】解：由題意可求得a=PM=(1,1,0)，b=PN=(?1,0,2)，

(1)可得ka+b=(k?1,k,2)，ka?2b=(k+2,k,?【解析】本題考查空間點線間距離的求法，向量的數(shù)量積的應(yīng)用，是中檔題．

(1)利用空間向量的坐標(biāo)運算，表示兩個向量，利用向量的數(shù)量積為0，求解k即可．

(2)求出直線19.【答案】解：(1)根據(jù)題意可設(shè)直線l的方程為xa+yb=1(a>0,b>0)，則A(a,0)，B(0,b)，

因為直線l過點P(2,1)，所以2a+1b=1(a>0,b>0)，

又2a+1b≥22ab(當(dāng)且僅當(dāng)2a=1b，即a=4，b=2時取等號【解析】(1)根據(jù)題意可設(shè)直線l的方程為xa+yb=1(a>020.【答案】解：以點A為原點，分別以AB，AC，AA1所在直線為x軸，y軸，z軸建立坐標(biāo)系，不妨設(shè)AB=3，

則A(0,0,0)，B(3,0,0)，C(0,3,0)，A1(0,0,3)，B1(3,0,3)，C1(0,3,3)．

(Ⅰ)設(shè)AE=n，則E(0,n,0)，F(xiàn)(3?n,0,0)，∴B1E=【解析】以點A為原點，分別以AB，AC，AA1所在直線為x軸，y軸，z軸建立坐標(biāo)系，不妨設(shè)AB=3，求出相關(guān)點的坐標(biāo)，

(Ⅰ)設(shè)AE=n，通過證明B1E⊥C1F，推出21.【答案】解：(1)證明：因為E，G分別為線段PB，PC，

所以EG/?/BC，

又因為BC/?/AD，

所以EG/?/AD，EG?面PAD，AD?面PAD，

所以EG/?/面PAD．

(2)分別以AM，AD，AP所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)?xyz，如圖所示，

A(0,0,0)，B(3,?1,0)，C(3,1,0)【解析】(1)根據(jù)題意，由中位線定理可得EG/?/BC，又BC/?/AD，則EG/?/AD，由線面平行的判定定理，即可得出答案．

(2)分別以AM，AD，AP所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)?xyz，設(shè)平面AEF的法向量m22.【答案】解：(1)以點O為坐標(biāo)原點，直線OM為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，

∵tan∠MON=?43