一種時空混沌的耦合反饋控制方法

一種時空混沌的耦合反饋控制方法

1.固定采樣控制方法時空噪聲和水流可以出現(xiàn)在各種非線性系統(tǒng)中，如心臟組織、水動態(tài)系統(tǒng)、離心分離系統(tǒng)、反應擴散系統(tǒng)、光學系統(tǒng)等。在很多情況下，操作都是有害的。例如，磁強橫截面的位移波時空混沌會異常地穿越磁強波的波，并導致不希望的能量損失。長期以來，人們一直在尋找各種方法來控制波動波的時空混淆。例如，通過調(diào)整和分析磁強寬度的電子電流，我們可以反饋和控制沖突波動的波，并用sda法、額外的小周延跟蹤法、延遲反饋法和模型選擇法來控制波動波的時空混淆。近年來，基于空間混音預測的偏移波時空混淆控制方法取得了良好的控制效果，如床位延遲法、空間位移法、常電態(tài)信號法等。為了具有潛在的應用，我們還開發(fā)了一種有效控制偏移波時空混淆的方法。本文在olfoti-saber的隨機控制算法理論上提出了一種復雜的反饋控制方法。在協(xié)調(diào)控制參數(shù)的作用下，可以有效控制偏移波的時空混淆并控制有序狀態(tài)。本文內(nèi)容安排如下:第二節(jié)介紹所要研究的動力學模型和數(shù)值方法;第三節(jié)介紹基于蜂擁控制算法思想的全局、局域耦合控制方法和控制結果;第四節(jié)利用電勢的空間關聯(lián)對控制機理進行了分析;第五節(jié)對所得結果作簡要討論.2.電勢x,t的時空混沌我們選擇一維驅動/阻尼非線性漂移波方程作為研究的動力學模型,該模型的動力學方程為???t+a?3??t?x2+c???x+f????x=-γ?-εsin(x-ωt),(1)???t+a?3??t?x2+c???x+f????x=?γ??εsin(x?ωt),(1)式中?是漲落電勢.在本文的所有數(shù)值模擬中始終采用2π周期邊界條件?(x+2π,t)=?(x,t),并且系統(tǒng)參數(shù)取a=-0.2871,γ=0.1,c=1.0,f=-6.0,ε=0.22和ω=0.65,這樣能使系統(tǒng)處于強湍流狀態(tài)(時空混沌態(tài)),即電勢?在空間和時間上作無規(guī)律地變化.數(shù)值方法我們采用付里葉偽譜方法和混淆誤差修正.空間離散成N=512個網(wǎng)格點,即空間步長始終取為Δx=2π/N=2π/512,時間步長取為Δt=5×10-4,總積分時間長度為2600.在等離子體物理學中,系統(tǒng)的能量定義為E(t)=12π∫2π012[?2(x,t)-a(??(x,t)?x)2]dx,(2)E(t)=12π∫2π012[?2(x,t)?a(??(x,t)?x)2]dx,(2)我們選取?(x,t)的初始分布如圖1(a)所示,該電勢分布滿足ˉ?=12π∫2π0?dx=0?ˉ=12π∫2π0?dx=0,并使系統(tǒng)具有初始能量E(0)=0.1.圖1(b)給出了方程(1)所描述系統(tǒng)的系統(tǒng)能量隨時間的變化,圖1(c)給出了方程(1)所描述系統(tǒng)的電勢?(x,t)的時空斑圖.從這幾個圖可以看出,t>400時系統(tǒng)已經(jīng)進入時空混沌態(tài),在下面我們將用一種反饋控制方法來抑制圖1(c)描繪的時空混沌.3.真實領導者的選取為了控制漂移波時空混沌,我們把一維漂移混沌控制問題轉化為復雜網(wǎng)絡的控制問題,其思想如下:把計算網(wǎng)格中單個格點的電勢形象比作一個智能體的運動速度,電勢的空間分布代表這個多智能體網(wǎng)絡的速度分布,在網(wǎng)絡中選擇一個智能體作為領導者,讓其他的智能體以它為首共同隨它一起運動,也就是說,每一個智能體通過將自己的速度與領導者的速度比較來自動調(diào)節(jié)自己的速度,顯然,這種行為可以導致網(wǎng)絡中的所有個體具有相同的運動速度,從而使智能體作有序運動.基于這種控制思想,我們提出以下耦合控制方法:在一維漂移波方程(1)中增加反饋控制項得到???t+a?3??t?x2+c???x+f????x=-γ?-εsin(x-ωt)-gΝ/Ι∑k=1δ(x-xΙk)(?-Φ),δ(x-xi)={1,x=xi,0,x≠xi,(3)???t+a?3??t?x2+c???x+f????x=?γ??εsin(x?ωt)?g∑k=1N/Iδ(x?xIk)(??Φ),δ(x?xi)={1,0,x=xi,x≠xi,(3)式中I是兩個相鄰控制點之間的距離,g是控制強度,xi是網(wǎng)格點中第i個格點的空間位置坐標,Φ是我們選取的領導者,它可以是真實領導者,也可是虛擬領導者.對于真實領導者,取Φ=?(j),即取第j格點上的電勢為控制的目標態(tài)(參考電勢),考慮到采用周期邊界條件,所以我們始終取Φ=?(1)作為參考電勢.對于虛擬領導者的選取我們隨后便會介紹.下面介紹以真實領導者Φ=?(1)為目標態(tài)的情況下,漂移波時空混沌控制的結果,控制信號在系統(tǒng)演化t≥500時加入.首先考慮全局控制,即兩個相鄰控制點之間的距離I=1,圖2(a)給出了最大李雅普諾夫指數(shù)隨控制強度g的變化,從圖2(a)可以看出:當控制強度g≥0.7時,時空混沌被完全抑制.為了對控制效果有一個直觀的印象,在取g=1.0的情況下,我們研究了系統(tǒng)的能量和電勢隨時間t的變化.圖2(b)給出了能量隨時間的變化,圖2(c)給出了電勢?(x,t)的時空斑圖.從圖中可以看出,當系統(tǒng)的時空混沌被抑制后,系統(tǒng)的能量E(t)嚴格地以頻率ω作周期性的振蕩,空間各點上的電勢以相同的頻率ω作振蕩,但是振幅不相同,離參考點(即領導者)位置越遠,該位置上的電勢振幅就越小,這些結果表明,這種全局耦合控制能有效抑制時空混沌,當時空混沌被抑制后,系統(tǒng)達到一個周期振蕩的有序態(tài).為了了解使用控制器的數(shù)量對控制效果的影響,我們?nèi)=2和I=4來研究局域耦合控制的可行性.在圖2(d)給出了最大李雅普諾夫指數(shù)隨控制強度的變化,結果表明:在局域耦合控制下,時空混沌同樣可以被抑制,只是所付出的代價有所增加,因為控制強度的臨界值gc有所增加,從全局(I=1)耦合反饋的gc=0.7增加到局域(I=4)耦合反饋的gc=1.55,這是因為控制器的數(shù)量減少到原來的四分之一的緣故.通過進一步計算模擬,我們發(fā)現(xiàn)隨著控制器數(shù)量的進一步減少,時空混沌的控制還是可以被控制,只是所需的代價將進一步增加.從圖2可以看出,不管是全局控制還是局域控制,最大李雅普諾夫指數(shù)λ隨控制強度g的變化相似,在g較小的情況下,λ變化是無規(guī)律的,當g接近臨界值gc時λ隨g增加線性減小,直到g達到臨界值λ達到零,這些結果表明,在g較小的情況下,g的增加不但不能使系統(tǒng)變得更有序,相反還可能使系統(tǒng)更無序.為了了解采用不同的目標態(tài)對控制結果有哪些影響,我們選取整個場的空間平均電勢ˉ??ˉ作為虛擬領導者,即方程(3)中取Φ=ˉ?Φ=?ˉ,下面研究在這樣的目標態(tài)下由方程(3)給出的控制方法的控制效果.我們先考慮在全局控制下研究控制強度對控制效果的影響.圖3(a)給出了最大李雅普諾夫指數(shù)λ隨控制強度g的變化曲線,從圖中可以看出:隨著控制強度g的逐漸增加,λ也同時增加,直到λ達到最大值,然后幾乎按線性方式減小到零.當控制強度g≥0.8時,λ=0,這表明時空混沌被完全抑制.圖3(b),(c)分別給出了全局控制下系統(tǒng)能量隨時間的變化和電勢?(x,t)的時空斑圖,這里的控制參數(shù)取g=1.0.從這兩個圖中我們看出,當施加控制后,系統(tǒng)的能量E(t)趨于一恒定值,當系統(tǒng)能量達到這個定值時,系統(tǒng)達到一個有序的波態(tài),波的頻率為ω.為了了解局域控制的控制效果,我們?nèi)匀蓚€相鄰控制點之間的距離I為2和4進行研究,圖3(d)給出了最大李雅普諾夫指數(shù)λ隨控制強度g的變化,可見λ隨g的變化規(guī)律與全局控制相似,只要控制強度超過閾值時,局域控制也能夠很好抑制時空混沌.4.各點電勢或環(huán)節(jié)律控制時的相關分析從圖2和圖3可以看出,全局耦合控理與局域耦合控理的機制是相同的,選擇不同的目標態(tài),λ隨g的變化是不同的,控制的強度的臨界值也不相同.為了了解產(chǎn)生上述控制結果的原因,下面我們來研究空間相距最遠的兩個格點i=1和j=256的電勢?i(t),?j(t)之間的相關系數(shù)隨控制強度的變化,選擇這兩個點,是考慮了周期邊界條件,不失一般性,選其他對應點計算相關系數(shù)結果相同.考慮到通常的相關系數(shù)定義只適用線性情況,我們先將?i(t),?j(t)的值粗?；?具體做法是,先分別求控制后電勢的時間平均值〈?i(t)〉,〈?j(t)〉,然后根據(jù)?′k(t)={1,?k(t)≥??k(t)?,0,?k(t)<??k(t)?,(4)分別求時間序列?i(t),?j(t)對應的時間序列?′i(t),?′j(t),?′(t)是一個粗?；臅r間序列,最后利用?′i(t),?′j(t)來求相關系數(shù),方程(4)中k=i,j.相關系數(shù)定義為r(τ)=??′i(t)?′j(t+τ)?-??′i(t)???′j(t+τ)?δ[?′i(t)]δ[?′j(t+τ)],(5)δ(x)=[?x2?-?x?2]1/2,(6)?x?=1t2-t1∫t2t1x(t)dt,(7)式中τ為關聯(lián)時間,τ<2πω=9.666.顯然,如果適當選取τ,能夠得到相關系數(shù)為1,說明?i(t),?j(t)是完全相關的,系統(tǒng)處于有序的態(tài).如果系統(tǒng)處于強混沌態(tài)(大的λ態(tài)),則不存在這樣一個τ使r=1,這時r無規(guī)律變化.在接近臨界點附近,r將有規(guī)律變化,r大小反映了這兩個格點上電勢的相關程度.在實際計算相關系數(shù)中,首先記錄系統(tǒng)在控制作用下達到穩(wěn)定后(t>2300)的電勢值,利用這些時間序列求出?′i(t),?′j(t),當?′i(t0-Δt)=0,?′i(t0)=1時,就用t≥t0以后的?′i(t)值求相關系數(shù).同理,當?′j(t0+τ-Δt)=0,?′j(t0+τ)=1時,就用t≥t0+τ以后的?′j(t)值求相關系數(shù).這里Δt是時間步長.圖4給出了選擇Φ=?(1)為目標態(tài)和采用全局耦合控制時r和τ隨控制強度g的變化,其中圖4(b)是計算r時對應的τ.圖5與圖4類似,給出了選擇Φ=ˉ?為目標態(tài)和采用全局耦合控制時r和τ隨控制強度g的變化.從圖4可以看出:選擇Φ=ˉ?(1)為目標態(tài),當時空混沌被抑制后,存在相關時間τ使相關系數(shù)為1,而且隨著g的增大,τ趨于0,表明隨著g的增加,空間各點電勢趨向同步變化,這就解釋了我們觀察到的現(xiàn)象,系統(tǒng)被控制到一個周期振蕩的態(tài).當系統(tǒng)處于混沌下,r無規(guī)律變化.在接近臨界點,隨著控制強度的增大,r開始幾乎不變,最后r躍到1,這些變化與最大李雅普諾夫指數(shù)隨控制強度的變化對應.從圖5可以看出:選擇Φ=ˉ?為目標態(tài),r和τ隨g的變化與Φ=?(1)情況略有不同.這些差別在于,當時空混沌被抑制后,隨著g的增大,τ趨向4.833,這些表明格點1和格點256處的電勢的振蕩有接近π的相位差.數(shù)值模擬還觀察到,在固定控制強度下,與格點1距離越近的格點,電勢的相位差就越小,這些結果解釋了我們得到的目標態(tài)是一個周期波態(tài).比較圖4和5還可以看出,選擇真實和虛擬領導者為目標態(tài),得到不同結果的原因是格點間的相關行為不同.前者隨控制強度g趨于臨界值,r沿水平直線變化,表現(xiàn)為等相關變化,空間各點電勢振蕩更容易同步.后者隨控制強度g趨于臨界值,r線性