三角函數(shù)復習教案

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例1已知角的終邊上一點P（－3，m），且sinθ=

2m，求cosθ與tanθ的4

值．

分析已知角的終邊上點的坐標，求角的三角函數(shù)值，應聯(lián)想到運用三角函數(shù)的定義解題，由P的坐標可知，需求出m的值，從而應尋求m的方程．

mm

解由題意知r=3＋m2，則sinθ==2．r3＋m

又∵sinθ=

2

m，∴4

m2

=m．∴m=0，m=±5．243＋m

615，tanθ=－；43615

，tanθ=．43

當m=0時，cosθ=－1，tanθ=0；當m=5時，cosθ=－

當m=－5時，cosθ=－

點評已知一個角的終邊上一點的坐標，求其三角函數(shù)值，往往運用定義法(三角函數(shù)

的定義)解決．

例2已知集合E=｛θ｜cosθ＜sinθ，0≤θ≤2π}，F(xiàn)=｛θ｜tanθ＜sinθ}，求集合E∩F．

分析對于三角不等式，可運用三角函數(shù)線解之．

π5ππ3π

解E=｛θ｜＜θ＜}，F(xiàn)=｛θ｜＜θ＜π，或＜θ＜2π}，

4422

π

∴E∩F=｛θ｜＜θ＜π}．

2

θθθ

例3設(shè)θ是其次象限角，且滿足｜sin|=－sin，是哪個象限的角?

222解∵θ是其次象限角，∴2kπ+

∴kπ+

π3π

＜θ＜2kπ+，k∈Z．22

πθ3π

＜＜kπ+，k∈Z．424

θ

∴是第一象限或第三象限角．①2

θθθθ

又∵｜sin|=－sin，∴sin＜0.∴是第三、第四象限的角．②

2222由①、②知，

θ

是第三象限角．2

θ

或2θ等所在的象限，要運用終邊一致的角的表示法2

點評已知θ所在的象限，求來表示，否則易出錯．

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第2課同角三角函數(shù)的關(guān)系及誘導公式

把握同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：sin2α+cos2α=1，

sinα

=tanα，tanαcotα=1，cosα

把握正弦、余弦的誘導公式．能運用化歸思想（即將含有較多三角函數(shù)名稱問題化成含有較少三角函數(shù)名稱問題）解題．

sin(2π-α)tan(π+α)cot(-α-π)

例1化簡．

cos(π-α)tan(3π-α)

分析式中含有較多角和較多三角函數(shù)名稱，若能減少它們的個數(shù)，則式子可望簡化．

（-sinα）tanα［-cot(α+π)］(-sinα)tanα(-cotα)

解原式==

(-cosα)tan(π-α)(-cosα)(-tanα)

cosα

sinα2

sinα

==1．

cosα

點評將不同角化同角，不同名的三角函數(shù)化成同名的三角函數(shù)是三角變換中常用的方法．

ππ1

例2若sinθcosθ=，θ∈(，)，求cosθ－sinθ的值．

842分析已知式為sinθ、cosθ的二次式，欲求式為sinθ、cosθ的一次式，為了運用條

件，須將cosθ－sinθ進行平方．

13

解(cosθ－sinθ)2=cos2θ+sin2θ－2sinθcosθ=1－=．

44

ππ

∵θ∈(，)，∴cosθ＜sinθ．

42∴cosθ－sinθ=－

3

．2

3

，求sinθcosθ，sinθ+cosθ的值．2

變式1條件同例，求cosθ+sinθ的值．變式2已知cosθ－sinθ=－

點評sinθcosθ，cosθ+sinθ，cosθ－sinθ三者關(guān)系緊湊，由其中之一，可求其余之二．

例3已知tanθ=3．求cos2θ+sinθcosθ的值．

分析由于cos2θ+sinθcosθ是關(guān)于sinθ、cosθ的二次齊次式，所以可轉(zhuǎn)化成tanθ的式子．

cos2θ+sinθcosθ1+tanθ22

解原式=cosθ+sinθcosθ==222=．5cosθ+sinθ1+tanθ點評1．關(guān)于cosθ、sinθ的齊次式可轉(zhuǎn)化成tanθ的式子．

2．注意1的作用:1=sin2θ+cos2θ等．

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第3課兩角和與兩角差的三角函數(shù)（一）

把握兩角和與兩角差的正弦、余弦、正切公式，把握二倍角的正弦、余弦、正切公式，能運用化歸思想（將不同角化成同角等）解題．

11

例1已知sinα－sinβ=－，cosα－cosβ=，求cos(α－β)的值．

32分析由于cos(α－β)=cosαcosβ+sinαsinβ的右邊是關(guān)于sinα、cosα、sinβ、cos

β的二次式，而已知條件是關(guān)于sinα、sinβ、cosα、cosβ的一次式，所以將已知式兩邊平方．

11

解∵sinα－sinβ=－，①cosα－cosβ=，②

32

①2＋②2，得2－2cos(α－β)=∴cos(α－β)=

72

．59

13

．36

點評審題中要擅長尋覓已知和欲求的差異，設(shè)法消除差異．

2cos10°-sin20°

例2求的值．

cos20°分析式中含有兩個角，故需先化簡．注意到10°=30°－20°，由于30°的三角函數(shù)值已知，則可將兩個角化成一個角．

解∵10°=30°－20°，

2cos(30°-20°)-sin20°

∴原式=

cos20°

=

2(cos30°cos20°+sin30°sin20°)-sin20°3cos30°

==3．

cos20°cos20°

點評化異角為同角，是三角變換中常用的方法．

例3已知：sin(α+β)=－2sinβ．求證：tanα=3tan(α+β)．

分析已知式中含有角2α+β和β，而欲求式中含有角α和α+β，所以要設(shè)法將已知式中的角轉(zhuǎn)化成欲求式中的角．

解∵2α+β=(α+β)+α，β=(α+β)－α，

∴sin［(α+β)+α］=－2sin［(α+β)－α］．

∴sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα=－2sin(α+β)cosα+2cos(α+β)sinα．若cos(α+β)≠0，cosα≠0，則3tan(α+β)=tanα．

點評審題中要細心分析角與角之間的關(guān)系，擅長運用整體思想解題，此題中將α+β看成一個整體

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第4課兩角和與兩角差的三角函數(shù)（二）

把握兩角和與兩角差的正弦、余弦、正切公式；把握二倍角的正弦、余弦、正切公式；能靈活運用和角、差角、倍角公式解題．

例1求以下各式的值

（1）tan10°＋tan50°+3tan10°tan50°；

（3tan12°-3）csc12°(2)．

4cos212°-2

(1)解原式=tan(10°+50°)（1－tan10°tan50°）+3tan10°tan50°=3．（2）分析式中含有多個函數(shù)名稱，故需減少函數(shù)名稱的個數(shù)，進行切割化弦．

sin12°331

（3·－3）?cos12°sin12°cos12?sin12?

解原式==

2cos24°2cos24?1323(sin12??cos12?)3sin12??3cos12?22=?12sin12?cos12?cos24?sin48?2=

43sin(12??60?)??43.

sin48?點評（1）要注意公式的變形運用和逆向運用，注意公式tanA+tanB=tan(A+B)（1－tanAtanB），asinx+bsinx=a2?b2sin(x+φ)的運用；（2）在三角變換中，切割化弦是常用的變換方法．

1+sin4θ-cos4θ1+sin4θ+cos4θ

例2求證=．

2tanθ1-tan2θ

分析三角恒等式的證明可從一邊開始，證得它等于另一邊；也可以分別從兩邊開始，

證得都等于同一個式子；還可以先證得另一等式，從而推出需要證明的等式．

1+sin4θ-cos4θ2tanθ

由欲證的等式可知，可先證等式=，此式的右邊等于tan2

1+sin4θ+cos4θ1-tan2θθ，而此式的左邊出現(xiàn)了“1－cos4θ〞和“1+cos4θ〞，分別運用升冪公式可出現(xiàn)角2θ，

sin4θ用倍角公式可出現(xiàn)角2θ，從而等式可望得證．

證略

點評注意倍角公式cos2α=2cos2α－1，cos2α=1－2sin2α的變形公式：①升冪公式

1-cos2α1＋cos2α

1+cos2α=2cos2α，1－cos2α=2sin2α，②降冪公式sin2α=，cos2α=

22的運用；三角恒等式證明的方法：從一邊推得另一邊；左右歸一，先證其等價等于等式；分

析法等．

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π7πsin2x＋sin2xtanx317π

例3已知cos(+x)=，＜x＜，求的值．

451241-tanx

π

tan＋tanx4sin2x（1＋tanx）π

解原式==sin2x3=sin2xtan（+x）

1-tanx4π

1-tantanx4

πππ

=－cos［2(x+)］tan(x+)=－［2cos2(x+)－1］tan（+x）

44417π7π5ππ

∵＜x＜，