一致性約束下末制導(dǎo)系統(tǒng)最大可容許模式?jīng)Q策延遲

時(shí)間：TIME\@"yyyy'年'M'月'd'日'"2022年3月29日學(xué)海無(wú)涯頁(yè)碼：第1-頁(yè)共1頁(yè)一致性約束下末制導(dǎo)系統(tǒng)最大可容許模式?jīng)Q策延遲在實(shí)際的末制導(dǎo)攔截場(chǎng)景中,目標(biāo)狀態(tài)不可避免地受噪聲污染并且不是所有的狀態(tài)量都能直接被量測(cè),因此估計(jì)器是制導(dǎo)系統(tǒng)中的一個(gè)關(guān)鍵組件.由于目標(biāo)機(jī)動(dòng)通常是未知且難以預(yù)測(cè)的,目標(biāo)狀態(tài)估計(jì)是一個(gè)典型的混合估計(jì)問題,即包含基礎(chǔ)狀態(tài)估計(jì)和模式?jīng)Q策兩個(gè)任務(wù).目前,常用的混合估計(jì)方法可以分為兩類:單模方法和多模方法.Li等[1-2]對(duì)這兩類方法進(jìn)行了全面的分析和總結(jié).值得注意的是,無(wú)論選用哪種方法,模式?jīng)Q策延遲都是影響系統(tǒng)估計(jì)精度的關(guān)鍵因素.具體而言,在單模方法中模式?jīng)Q策延遲表現(xiàn)為目標(biāo)機(jī)動(dòng)檢測(cè)延遲;而在多模方法中則表現(xiàn)為模型概率收斂的時(shí)間.Shinar等[3]指出對(duì)于大機(jī)動(dòng)目標(biāo)攔截(Highlymaneuveringtargetinterception,HMTI)問題,目標(biāo)狀態(tài)估計(jì)延遲特別是目標(biāo)橫向加速度的估計(jì)延遲,是引起系統(tǒng)非零脫靶量的主要因素.因此,為了盡可能地提高系統(tǒng)估計(jì)和制導(dǎo)的精度,模式?jīng)Q策延遲的取值越小越好.否則,由模式失配引起的不精確狀態(tài)估計(jì)會(huì)誤導(dǎo)攔截器生成錯(cuò)誤的控制指令,并最終導(dǎo)致系統(tǒng)攔截精度降低(模式延遲太大且沒有足夠長(zhǎng)的時(shí)間讓估計(jì)器收斂).

近年來(lái),研究者分別從不同的角度考慮如何降低模式延遲對(duì)制導(dǎo)性能的影響:一種是研究新型導(dǎo)引律以適應(yīng)模式?jīng)Q策延遲;另一種則聚焦于怎樣降低系統(tǒng)的模式?jīng)Q策延遲.在導(dǎo)引律設(shè)計(jì)方面,學(xué)者們提出了一系列延遲信息模式下的微分對(duì)策導(dǎo)引律.Shinar等[4]假定目標(biāo)橫向加速度分量存在一個(gè)固定的估計(jì)延遲,基于狀態(tài)可達(dá)集提出了一種新型導(dǎo)引律DGL/C(Differentialgameslaw,DGL).文獻(xiàn)[5]在同時(shí)考慮目標(biāo)橫向加速度和相對(duì)速度存在延遲的條件下提出了DGL/CC.對(duì)于隨機(jī)Bang-Bang機(jī)動(dòng)目標(biāo),DGL/CC與DGL/C相比可進(jìn)一步降低系統(tǒng)脫靶量.文獻(xiàn)[6]則考慮更一般情形,假定彈目相對(duì)距離、相對(duì)速度和目標(biāo)加速度均存在估計(jì)延遲,提出了一種多信息延遲模式下的微分對(duì)策導(dǎo)引律.然而,對(duì)于HMTI問題,單一的估計(jì)器和導(dǎo)引律的簡(jiǎn)單組合并不能適應(yīng)所有的目標(biāo)機(jī)動(dòng)情形[7].采用集成估計(jì)導(dǎo)引(Integratedestimationandguidance,IEG)的思路,組合使用一組不同精度和帶寬的估計(jì)器和一個(gè)獨(dú)立的模式?jīng)Q策器,可以顯著提高末制導(dǎo)精度并越來(lái)越受到研究領(lǐng)域的關(guān)注[8-11].其中,基于邏輯的IEG方法具有潛在的應(yīng)用前景[12-13],該方法也在多個(gè)攔截場(chǎng)景中得到了驗(yàn)證.另一方面,為了降低模式?jīng)Q策延遲,研究者們從目標(biāo)機(jī)動(dòng)特性出發(fā)進(jìn)行了不同的嘗試.事實(shí)上,雷達(dá)和光電導(dǎo)引頭可以觀測(cè)到與目標(biāo)機(jī)動(dòng)緊密相關(guān)的特征信息,這也為目標(biāo)機(jī)動(dòng)的快速辨識(shí)提供了可能.相關(guān)研究結(jié)果表明,集成雷達(dá)特征信息可以有效降低目標(biāo)機(jī)動(dòng)檢測(cè)的延遲并提高制導(dǎo)系統(tǒng)的精度[14-15].

為了定量評(píng)估模式?jīng)Q策延遲對(duì)制導(dǎo)性能的潛在影響,需進(jìn)一步回答該問題:給定系統(tǒng)誤差邊界后,模式?jīng)Q策器最大可容許的模式?jīng)Q策延遲(Maximaladmissiblemodedecisiondelay,MAMDD)是多少?對(duì)于該問題,文獻(xiàn)[16]分析了離散時(shí)間系統(tǒng)狀態(tài)估計(jì)誤差特性并推導(dǎo)了模式延遲的上邊界和模式逗留時(shí)間的下邊界[16].文獻(xiàn)[17]將該工作推廣至連續(xù)時(shí)間情形.考慮末制導(dǎo)的攔截特性,文獻(xiàn)[18]通過將零控脫靶量(Zero-effortmiss,ZEM)估計(jì)誤差的均值限定在捕獲區(qū)邊界內(nèi)提出了一種MAMDD的數(shù)值計(jì)算方法,然而該方法未考慮ZEM估計(jì)誤差的方差.文獻(xiàn)[19]同時(shí)考慮ZEM估計(jì)誤差的均值和方差,引入可靠性評(píng)價(jià)指標(biāo)得到了系統(tǒng)可接受模式?jīng)Q策延遲的范圍,但沒有給出MAMDD的具體數(shù)值.

本文針對(duì)HMTI問題,在IEG系統(tǒng)框架下,分析給定系統(tǒng)性能約束條件下模式?jīng)Q策器的性能指標(biāo),為模式?jīng)Q策器的設(shè)計(jì)提供指標(biāo)參考.主要?jiǎng)?chuàng)新點(diǎn)包括:1)給出了離散時(shí)間系統(tǒng)ZEM估計(jì)誤差模型;2)同時(shí)考慮ZEM估計(jì)誤差一階矩和二階矩,利用一致性約束條件提出了一種MAMDD的數(shù)值計(jì)算方法.研究結(jié)果表明在末制導(dǎo)前段采用一致性約束、后段采用捕獲區(qū)約束可保證更好的攔截性能.

1.問題描述

1.1系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)模型本文僅考慮圖1所示的一彈一目平面攔截場(chǎng)景,表1給出了全文的符號(hào)描述,下面對(duì)攔截問題做3個(gè)假設(shè)[3-6,11-12,15-19]:

圖1平面攔截幾何

Fig.1Planerinterceptiongeometry

表1符號(hào)說明

Table1Descriptionofsymbols

變量名稱變量描述P導(dǎo)彈E目標(biāo)τpτp,τeτe導(dǎo)彈和目標(biāo)控制系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù)amaxp,amaxeapmax,aemax導(dǎo)彈和目標(biāo)最大橫向加速度Vp,VeVp,Ve導(dǎo)彈和目標(biāo)的飛行速度up,ueup,ue導(dǎo)彈和目標(biāo)的橫向加速度指令rr彈目相對(duì)距離tswtsw目標(biāo)模式切換時(shí)刻tt仿真時(shí)間tftf終止時(shí)刻tgotgo剩余飛行時(shí)間g重力加速度,9.8m/s29.8m/s2mm目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)模式m1,m2m1,m2目標(biāo)在模式切換時(shí)刻前后的運(yùn)動(dòng)模式ΔmΔm目標(biāo)運(yùn)動(dòng)模式改變量,Δm=m2?m1Δm=m2?m1TT采樣時(shí)間間隔σθσθ測(cè)角精度σaσa導(dǎo)彈加速度測(cè)量精度swsw目標(biāo)指令加速度誤差的功率譜密度ΔtΔt目標(biāo)運(yùn)動(dòng)模式辨識(shí)延遲x~x~狀態(tài)估計(jì)誤差ξ,Σξ,Σ狀態(tài)估計(jì)誤差的均值和方差μ,σ2μ,σ2ZEM估計(jì)誤差的均值和方差χ2kχk2檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量

1)彈目的控制動(dòng)態(tài)可用一階轉(zhuǎn)移函數(shù)近似,對(duì)應(yīng)的時(shí)間常數(shù)分別記為τpτp和τeτe;

2)彈目飛行速度恒定,分別用VpVp和VeVe表示;

3)彈目的橫向加速度有界,最大橫向加速度分別用amaxpapmax和amaxeaemax表示.

在圖1中,P(Pursuer)和E(Evader)分別表示導(dǎo)彈和目標(biāo);XX軸沿彈目初始視線方向;YY垂直于XX軸;(xp,yp)(xp,yp)和(xe,ye)(xe,ye)分別為P、E的當(dāng)前位置;?p?p和?e?e分別為彈目的速度偏角,定義為速度矢量和XX軸正方向的夾角.對(duì)于高速大機(jī)動(dòng)目標(biāo)末制導(dǎo)攔截場(chǎng)景,速度偏角滿足小角度條件(sin?p≈?p,sin?e≈π??esin??p≈?p,sin?e≈π??e),彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡可沿初始視線方向進(jìn)行線性化[12].假定彈目接近速度恒定、起始時(shí)刻t0=0st0=0s,給定彈目起始距離r0r0后,攔截的終止時(shí)刻滿足

tf≈r0Vpcos?p(0)?Vecos?e(0)

(1)剩余飛行時(shí)間定義為tgo=tf?ttgo=tf?t,其中,t∈[0,tf]t∈[0,tf].

定義狀態(tài)矢量x=[x1(t),x2(t),x3(t),x4(t)]T=[y(t),y˙(t),aey(t),apy(t)]Tx=[x1(t),x2(t),x3(t),x4(t)]T=[y(t),y˙(t),aye(t),ayp(t)]T.基于上述三個(gè)假設(shè)條件,容易得到如下的線性動(dòng)態(tài)方程:

x˙1=x2,x1(0)=0x˙2=x3?x4,x2(0)=Ve?e(0)?Vp?p(0)x˙3=ue?x3τe,x3(0)=0x˙4=up?x4τp,x4(0)=0

(2)其中,x1=ye?ypx1=ye?yp為彈目沿Y軸的相對(duì)距離;x2x2為相對(duì)橫向速度;upup和ueue分別表示P和E的橫向加速度指令且滿足有界條件

|up(t)|≤|amaxP||ue(t)|≤|amaxe|

(3)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程可寫成如下的矢量形式

x˙(t)=Ax(t)+b1up(t)+b2ue(t)x(0)=(0,x2(0),0,0)T

(4)其中,

A=??????????0000100001?1τe00?10?1τp??????????,b1=????????0001τp????????,b2=????????001τe0????????

(5)通過終端投影變換

z(t)=dTΦ(tf,t)x(t)

(6)可將方程(4)轉(zhuǎn)換為一個(gè)標(biāo)量問題.此時(shí),系統(tǒng)新的狀態(tài)量為零控脫靶量z(t)z(t),系統(tǒng)的脫靶量則為tftf時(shí)刻的z(t)z(t),即z(tf)z(tf).在式(6)中,d=[1,0,0,0]Td=[1,0,0,0]T;Φ(tf,t)Φ(tf,t)為滿足齊次方程x˙(t)=Ax(t)x˙(t)=Ax(t)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣,求解可得到

Φ(tf,t)=eA(tf?t)

(7)由式(6)容易得到z(t)z(t)滿足

z(t)=gT(t)x(t)

(8)其中,gT(t)=[g1(t),g2(t),g3(t),g4(t)]gT(t)=[g1(t),g2(t),g3(t),g4(t)]且

g1(t)=1g2(t)=tf?tg3(t)=τ2e(exp(?tf?tτe)+tf?tτe?1)g4(t)=?τ2p(exp(?tf?tτp)+tf?tτp?1)

(9)將目標(biāo)的橫向加速度控制指令ue(t)ue(t)建模為一個(gè)跳變的馬爾科夫過程[16]

ue(t)=m(t)+w(t)

(10)其中,m(t)m(t)為目標(biāo)當(dāng)前時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)模式,它表示目標(biāo)橫向加速度指令的具體取值,且滿足{m(t)∈M=[m1,m2,?,m|M|]m(t)∈M=[m1,m2,?,m|M|]},其中MM為目標(biāo)運(yùn)動(dòng)模式集、|M||M|為模型集的勢(shì),w(t)w(t)為量化誤差,建模為零均值的高斯白噪聲,功率譜密度為swsw.

不失一般性,我們假定在[0,tf][0,tf]內(nèi)目標(biāo)僅發(fā)生一次模式切換.用tswtsw表示模式切換時(shí)刻,m1,m2m1,m2分別表示模式切換前后目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)模式量,則m(t)m(t)可表示為

m(t)=m1+(m2?m1)u(t?tsw)

(11)其中,u(t)u(t)為階躍函數(shù),定義為

u(t)={1,0,t≥0t0

(12)1.2狀態(tài)方程離散化將式(10)中的ueue代入式(4),可以得到

x˙=Ax+b1up+b2m+b2w

(13)假定系統(tǒng)的時(shí)間采樣間隔為TT且在每一個(gè)TT內(nèi)彈目的橫向加速度指令保持恒定,容易得到與式(13)等價(jià)的離散模型為

xk+1=Φxk+l1upk+l2mk+ωk

(14)其中,

Φ=eAT=???????1000T100τe(T?ζe)ζee?Tτe0?τp(T?ζp)?ζp0e?Tτp???????

(15)l1=∫T0eA(T?t)b1dt=??????????T22+τp(T?ζp)ζp?T01?e?Tτp?????????

(16)l2=∫T0eA(T?t)b2dt=????????T22+τe(ζe?T)T?ζe1?e?Tτe0????????

(17)ζp=τp(1?e?Tτp)ζe=τe(1?e?Tτe)

(18)其中,upkukp和mkmk分別為離散化后的彈目加速度控制指令;ωk=b2wkωk=b2wk為零均值的高斯白噪聲,協(xié)方差矩陣為

Q=sw×∫T0(eAtb2)(eAtb2)Tdt=sw?????q11q21q310q12q22q320q13q23q3300000?????

(19)其中,

q11=τ2e(T?2TeTτe)?T2τe+T33?τ3e(e?2Tτe2?12)q12=q21=e?2Tτe×(τe+TeTτe?τeeTτe)22q13=q31=τe2?Te?Tτe?τee?2Tτe2q22=T?τe(e?2Tτe2?2e?Tτe+32)q23=q32=e?2Tτe×(eTτe?1)22q33=1?2e?2Tτe2τe

(20)1.3系統(tǒng)觀測(cè)模型假定雷達(dá)導(dǎo)引頭測(cè)量每一時(shí)刻彈目的相對(duì)位置和導(dǎo)彈自身的加速度,則系統(tǒng)的觀測(cè)方程可以寫成[20]

yk=Hxk+vk

(21)其中,yk=[yk,apyk]Tyk=[yk,aykp]T為tktk時(shí)刻含噪的觀測(cè)向量;ykyk和apykaykp分別對(duì)應(yīng)該時(shí)刻彈目相對(duì)位置和導(dǎo)彈加速度的量測(cè)值;vkvk為離散化后的測(cè)量噪聲,其均值為零、協(xié)方差矩陣為RkRk[20].

2.ZEM估計(jì)誤差模型的推導(dǎo)

圖2給出了一種典型的基于邏輯的IEG系統(tǒng)架構(gòu)[8,17-19].在該制導(dǎo)系統(tǒng)中,通過引入一個(gè)獨(dú)立的模式?jīng)Q策器用于估計(jì)目標(biāo)當(dāng)前的運(yùn)動(dòng)模式(即目標(biāo)橫向加速度指令),并為估計(jì)器和導(dǎo)引律提供目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)模式信息.這種系統(tǒng)架構(gòu)的優(yōu)勢(shì)可從以下兩方面進(jìn)行理解.一方面,模式?jīng)Q策器的輸出可以輔助估計(jì)器選擇合適的的動(dòng)態(tài)模型;當(dāng)目標(biāo)發(fā)生機(jī)動(dòng)后,估計(jì)器能夠根據(jù)目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)模式信息快速切換至正確的模型.另一方面,模式?jīng)Q策器的輸出可以輔助制導(dǎo)律單元選擇合適的導(dǎo)引律.例如,當(dāng)目標(biāo)當(dāng)前的運(yùn)動(dòng)模式量取值很小時(shí)(即|v||v|很小),對(duì)應(yīng)的目標(biāo)橫向加速度很小,此時(shí)可選用DGL/0導(dǎo)引律,因?yàn)槠溆?jì)算效率更高;若目標(biāo)當(dāng)前的運(yùn)動(dòng)模式量取值較大(即|v||v|很大),此時(shí)目標(biāo)加速度不能直接忽略,可將導(dǎo)引律切換至DGL/1以保證更高的攔截精度;此外,如果模式?jīng)Q策器能夠提供目標(biāo)運(yùn)動(dòng)模式的符號(hào)或方向,可根據(jù)這一信息進(jìn)一步縮小目標(biāo)加速度的可達(dá)集[21].本節(jié)將基于該制導(dǎo)系統(tǒng)架構(gòu)推導(dǎo)目標(biāo)存在運(yùn)動(dòng)模式切換時(shí)ZEM估計(jì)誤差的分布,在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步分析模式?jīng)Q策延遲對(duì)系統(tǒng)制導(dǎo)精度的影響.

圖2一個(gè)典型的基于邏輯的IEG制導(dǎo)系統(tǒng)框架[18]

Fig.2Atypicallogic-basedIEGguidancesystemframe[18]

對(duì)式(11)進(jìn)行離散化處理后,目標(biāo)加速度指令滿足

mk=m1+(m2?m1)1k?ksw

(22)其中,kswksw表示模式切換離散時(shí)刻

1k?ksw={1,0,k≥kswkksw

(23)將式(22)代入式(14),可以得出離散系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程滿足

xk+1=Φxk+l1upk+l2m1+l2(m2?m1)1k?ksw+ωkx(0)=x0

(24)記模式?jīng)Q策器的時(shí)間延遲步長(zhǎng)為jj,則離散系統(tǒng)目標(biāo)模式切換以及對(duì)應(yīng)模式?jīng)Q策器的輸出可用圖3表示.從圖3容易得出估計(jì)器的動(dòng)態(tài)模型滿足

xk+1=Φxk+l1upk+l2m1+l2(m2?m1)1k?ksw?j+ωkx(0)=x0

(25)由式(24)和式(21)可以看出,系統(tǒng)的狀態(tài)方程和測(cè)量方程具有線性形式.因此,選用線性Kalman濾波器作為最優(yōu)估計(jì)器.下面根據(jù)目標(biāo)模式切換時(shí)間、模式?jīng)Q策器延遲和攔截終止時(shí)刻的關(guān)系分三種情形分別討論ZEM估計(jì)誤差的分布.

圖3目標(biāo)模式切換和模式?jīng)Q策器輸出示意圖

Fig.3Diagramoftarget＇smodeswitchandmodedecision-maker＇soutputs

情形1.ksw≥kfksw≥kf.在這種情形下,目標(biāo)的橫向加速度指令在整個(gè)末制導(dǎo)期間始終為m1,m1,估計(jì)器使用的模型不存在失配.此時(shí)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

xk+1=Φxk+l1upk+l2m1+ωkx(0)=x0

(26)從式(25)容易看出估計(jì)器的濾波方程為

x^k+1=(I?Kk+1H)(Φx^k+l1upk+l2m1)+Kk+1yk+1

(27)其中,Kk+1Kk+1表示tk+1tk+1時(shí)刻的離散Kalman增益矩陣,滿足

P^k+1=ΦPkΦT+Q

(28)Kk+1=P^k+1HT(HP^k+1HT+Rk+1)?1

(29)

Pk+1=P^k+1?Kk+1(HP^k+1HT+Rk+1)KTk+1

(30)定義狀態(tài)估計(jì)誤差x~k=x^k?xkx~k=x^k?xk,將式(27)和式(26)相減得到

x~k+1=(I?Kk+1H)Φx~k+(Kk+1H?I)ωk+Kk+1vk+1

(31)由于E{ωk}=0E{ωk}=0和E{vk}=0,E{vk}=0,則狀態(tài)估計(jì)誤差的均值(記作ξkξk)滿足

ξk+1=E{x~k+1}=(I?Kk+1H)Φξk

(32)且狀態(tài)估計(jì)誤差的協(xié)方差矩陣(記作ΣkΣk)具有如下的迭代形式

Σk+1=cov(x~k+1)=(I?Kk+1H)(ΦΣkΦT+Q)(I?Kk+1H)T+Kk+1Rk+1KTk+1

(33)情形2.kswkf≤ksw+jkswkf≤ksw+j.這里需要分兩種情況分別討論.

1)k∈[0,ksw)k∈[0,ksw).此時(shí)狀態(tài)估計(jì)誤差的均值和協(xié)方差分別同式(32)和式(33).

2)k∈[ksw,kf]k∈[ksw,kf].目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)模式發(fā)生了切換,此時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程滿足

xk+1=Φxk+l1upk+l2m2+ωk

(34)估計(jì)器的濾波方程為式(27),因?yàn)閷?dǎo)彈仍然認(rèn)為目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)模式為m1m1,即在此期間內(nèi)系統(tǒng)存在模式失配.根據(jù)狀態(tài)估計(jì)誤差的定義,x~kx~k滿足

x~k+1=(I?Kk+1H)Φx~k+(Kk+1H?I)l2(m2?m1)+(Kk+1H?I)ωk+Kk+1vk+1

(35)容易得出狀態(tài)估計(jì)誤差的均值為

ξk+1=(I?Kk+1H)Φξk+(Kk+1H?I)l2(m2?m1)

(36)協(xié)方差矩陣的遞歸形式與式(33)相同.式(36)中的前一項(xiàng)描述了起始狀態(tài)估計(jì)誤差的影響,而后一項(xiàng)則度量了模式失配的影響.

情形3.ksw+jkfksw+jkf.類似地,需要分三種情況分別討論.

1)k∈[0,ksw)k∈[0,ksw).在此區(qū)間內(nèi),目標(biāo)運(yùn)動(dòng)模式未發(fā)生改變,因此狀態(tài)估計(jì)誤差的均值由式(32)確定,協(xié)方差矩陣由式(33)確定.

2)k∈[ksw,ksw+j)k∈[ksw,ksw+j).在此區(qū)間內(nèi),目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)模式發(fā)生切換但模式?jīng)Q策器未檢測(cè)對(duì)應(yīng)的改變,系統(tǒng)存在模式失配.狀態(tài)估計(jì)誤差的均值和協(xié)方差分別滿足式(36)和式(33).

3)k∈[ksw+j,kf]k∈[ksw+j,kf].在此區(qū)間內(nèi),目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)模式由m1m1切換至m2m2,并且模式?jīng)Q策器已經(jīng)正確檢測(cè)出目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)模式.因此,系統(tǒng)的狀態(tài)方程滿足式(34),而濾波方程為

x^k+1=(I?Kk+1H)(Φx^k+l1upk+l2m2)+Kk+1yk+1

(37)由式(37)和式(34)容易得到狀態(tài)估計(jì)誤差均值將由式(32)確定,誤差協(xié)方差矩陣由式(33)確定.

定義ZEM的估計(jì)誤差為估計(jì)的ZEM值與系統(tǒng)真實(shí)的ZEM值之差,即

z~k=z^k?zk=gTk{x^k?xk}=gTkx~k

(38)其中,gTk=gT(tk)gkT=gT(tk).因此,ZEM估計(jì)誤差的均值(記作μkμk)具有如下的迭代形式

μk+1=E{z~k+1}=gTk+1×E{x~k+1}=gTk+1×ξk+1

(39)ZEM估計(jì)誤差的方差滿足

σ2k+1=var(z~k+1)=gTk+1Σk+1gk+1

(40)綜上所述,每一時(shí)刻的ZEM估計(jì)誤差均服從有偏的高斯分布,均值為μkμk,方差為σ2kσk2.當(dāng)目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)模式和估計(jì)器執(zhí)行的模式匹配時(shí)(即模式切換前和模式正確匹配后),ZEM估計(jì)誤差的均值滿足如下的迭代方程

μk+1=gTk+1(I?Kk+1H)Φξk

(41)而當(dāng)存在模式失配時(shí),μkμk滿足

μk+1=gTk+1(I?Kk+1H)(Φξk?l2(m2?m1))

(42)從式(39)和式(40)可以看出,導(dǎo)彈的控制指令upkukp未出現(xiàn)在式中,這說明ZEM估計(jì)誤差的方差不受導(dǎo)引律的影響.該誤差模型準(zhǔn)確性的證明可參見文獻(xiàn)[19],這里不再贅述.

3.一致性約束下MAMDD

由前文分析可知,每一時(shí)刻的ZEM估計(jì)誤差均服從均值為μkμk、方差為σ2kσk2的高斯分布,即z~k～N(μk,σ2k)z~k～N(μk,σk2).受基于跟蹤濾波器殘差進(jìn)行機(jī)動(dòng)檢測(cè)理論的啟發(fā),構(gòu)造如下的中心加權(quán)的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量

χ2k=(z^k?zk)(σ2k)?1(z^k?zk)T

(43)不考慮系統(tǒng)的起始狀態(tài)估計(jì)誤差,當(dāng)目標(biāo)運(yùn)動(dòng)模式不發(fā)生切換時(shí),z~k～N(0,σ2k)z~k～N(0,σk2).此時(shí),χ2kχk2服從自由度為1的χ2χ2分布,即χ2k～χ2(1)χk2～χ2(1).相反,當(dāng)目標(biāo)運(yùn)動(dòng)模式改變后,ZEM的誤差隨著模式?jīng)Q策延遲的增大逐漸增大,對(duì)應(yīng)χ2kχk2的取值增大;而當(dāng)誤差增大到一定程度后χ2k～χ2(1)χk2～χ2(1)的條件將不滿足,此時(shí)認(rèn)為系統(tǒng)的模式?jīng)Q策延遲不可接受.因此,在給定系統(tǒng)容許的虛警概率后,根據(jù)上述的一致性約束條件可計(jì)算得出MAMDD.

下面通過一個(gè)典型的TBM攔截場(chǎng)景介紹MAMDD的具體求解過程,仿真參數(shù)見表2[11,17-20].系統(tǒng)可容許的虛警率αα設(shè)定為0.05,查表可知χ21?α(1)=3.84χ1?α2(1)=3.84.評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)如下:當(dāng)χ2k≤3.84χk2≤3.84,ZEM估計(jì)誤差位于系統(tǒng)容許的誤差范圍內(nèi),對(duì)應(yīng)的模式?jīng)Q策延遲是制導(dǎo)系統(tǒng)可接受的;反之,則認(rèn)為該模式?jīng)Q策延遲超出了系統(tǒng)可容許的范圍之內(nèi).圖4給出了tsw=2.0stsw=2.0s、Δm=10gΔm=10g時(shí)χ2kχk2的變化.如圖所示,目標(biāo)模式切換前(tsw≤2.0stsw≤2.0s,即tgo≥1.03stgo≥1.03s),ZEM估計(jì)誤差的均值為零,對(duì)應(yīng)的χ2kχk2取值為零,因此χ2kχk2始終位于置信邊界χ2k=3.84χk2=3.84范圍內(nèi).目標(biāo)模式切換后(tsw2.0stsw2.0s,即tgo1.03stgo1.03s),由于系統(tǒng)模式?jīng)Q策延遲的存在,ZEM估計(jì)誤差增大,χ2kχk2也隨之增大.經(jīng)過一段時(shí)間后,χ2kχk2的取值超出系統(tǒng)給定的置信邊界χ20.95χ0.952.此時(shí),我們認(rèn)為ZEM的估計(jì)誤差過大,估計(jì)的ZEM將不可靠,它會(huì)誤導(dǎo)導(dǎo)彈生成錯(cuò)誤的制導(dǎo)指令從而導(dǎo)致系統(tǒng)的制導(dǎo)性能下降.在這種思路下,將系統(tǒng)的MAMDD定義為χ2kχk2與χ2k=3.84χk2=3.84交點(diǎn)對(duì)應(yīng)的時(shí)刻與目標(biāo)模式切換時(shí)刻之間的時(shí)間差值.由于系統(tǒng)的時(shí)變特性,這里很難得到MAMDD的解析表達(dá)式,因此需要通過數(shù)值計(jì)算方法進(jìn)行求解.綜上所述,MAMDD的計(jì)算過程可歸納如下.

表2仿真參數(shù)

Table2Simulationparameters

參數(shù)類型參數(shù)名稱單位值(范圍)彈目參數(shù)VpVpm/s2300VeVem/s2700amaxpapmaxg30amaxeaemaxg15τpτps0.2τeτes0.2觀測(cè)參數(shù)TTs0.01σθσθmrad5σaσam/s2m/s21場(chǎng)景參數(shù)r0r0m15000?p(0)?p(0)radπ/18π/18?e(0)?e(0)radπ/2π/2且滿足碰撞三角形目標(biāo)機(jī)動(dòng)方式—隨機(jī)乒乓估計(jì)器參數(shù)swswg2/Hzg2/Hz1初估計(jì)誤差—x~0=[0,0,0,0]Tx~0=[0,0,0,0]T初估協(xié)方差陣—P0=?????0000000000(amaxe)200000?????P0=[0000000000(aemax)200000]

圖4tsw=2.0stsw=2.0s和Δm=10gΔm=10g下的χ2kχk2

Fig.4χ2kχk2undertsw=2.0stsw=2.0sandΔm=10gΔm=10g

初始化.初始化攔截場(chǎng)景和估計(jì)器參數(shù),目標(biāo)模式切換時(shí)刻tswtsw,模式變化量,Δm=m2?m1Δm=m2?m1和系統(tǒng)可接受虛警率αα.

步驟1.根據(jù)式(42)計(jì)算tktk時(shí)刻ZEM估計(jì)誤差的均值.

步驟2.根據(jù)式(40)計(jì)算tktk時(shí)刻ZEM估計(jì)誤差的方差.

步驟3.根據(jù)式(43)計(jì)算tktk時(shí)刻檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量χ2kχk2.

步驟4.判斷tktk時(shí)刻χ2kχk2與χ21?α(1)χ1?α2(1)的大小,若當(dāng)前時(shí)刻滿足χ2k≥χ21?α(1)χk2≥χ1?α2(1),則MAMDD=tk?tswMAMDD=tk?tsw;否則,回到步驟1.

4.仿真實(shí)驗(yàn)

本節(jié)基于表2的攔截場(chǎng)景進(jìn)一步討論χ2kχk2和MAMDD的性質(zhì).

圖5給出了tsw=1.0stsw=1.0s(對(duì)應(yīng)tgo=2.03stgo=2.03s)、ΔmΔm分別取10g和20g兩種情形下χ2kχk2的取值.仿真過程中,我們將模式?jīng)Q策延遲設(shè)置為無(wú)窮大.如圖5所示,如果目標(biāo)在同一時(shí)刻進(jìn)行模式切換,機(jī)動(dòng)的強(qiáng)度越小,對(duì)應(yīng)χ2kχk2的取值越小.因?yàn)樵谠撉樾蜗?ΔmΔm取值越小,ZEM估計(jì)誤差的均值也越小,對(duì)應(yīng)的χ2kχk2值就越小.圖6給出了Δm=20gΔm=20g、tswtsw分別取1.0s和2.0s(對(duì)應(yīng)tgo=1.03stgo=1.03s)兩種情形下χ2kχk2的取值.可以看出,目標(biāo)機(jī)動(dòng)時(shí)刻越晚,對(duì)應(yīng)χ2kχk2的取值越小.由前面的分析可知,目標(biāo)模式切換不影響ZEM估計(jì)誤差的方差,因此在ΔmΔm相同情形下,σ2kσk2在每一時(shí)刻的取值相等.目標(biāo)機(jī)動(dòng)越早(紅色虛線),由于模式?jīng)Q策延遲無(wú)窮大,每一時(shí)刻ZEM估計(jì)誤差的取值越大,對(duì)應(yīng)χ2kχk2的值也就越大.

圖5tsw=1.0stsw=1.0s時(shí)不同機(jī)動(dòng)幅度下的χ2kχk2

Fig.5χ2kχk2underdifferentmaneuvermagnitudefortsw=1.0stsw=1.0s

圖6Δm=20gΔm=20g時(shí)不同機(jī)動(dòng)時(shí)刻下的χ2kχk2

Fig.6χ2kχk2underdifferentmaneuvertimeforΔm=20gΔm=20g

圖7給出了ΔmΔm分別取5g,10g,15g,20g,30g時(shí)系統(tǒng)MAMDD與目標(biāo)模式切換時(shí)刻的關(guān)系.在仿真實(shí)驗(yàn)中,我們假定攔截器的參數(shù)始終保持不變,僅改變目標(biāo)的機(jī)動(dòng)參數(shù).如圖7所示,MAMDD隨著模式切換時(shí)刻呈現(xiàn)先減小后增大并最終達(dá)到無(wú)窮大的變化趨勢(shì),這與文獻(xiàn)[18]給出的結(jié)果是一致的.可以看出,當(dāng)目標(biāo)機(jī)動(dòng)時(shí)刻較早時(shí)(即對(duì)應(yīng)tgotgo取值較大),ZEM估計(jì)誤差的方差取值較大,χ2kχk2的取值相對(duì)較小(見式(43)).此時(shí),χ2kχk2與置信邊界相交的時(shí)間較長(zhǎng),這意味著MAMDD的取值越大,即系統(tǒng)對(duì)模式?jīng)Q策器的要求相對(duì)寬松.當(dāng)目標(biāo)機(jī)動(dòng)時(shí)刻越來(lái)越接近攔截終止時(shí)刻(即tgotgo取值減小)時(shí),ZEM估計(jì)誤差的均值和方差均逐漸減小,對(duì)應(yīng)的χ2kχk2取值也隨著時(shí)間逐漸減小.當(dāng)滿足χ2k3.84χk23.84時(shí),ZEM估計(jì)誤差對(duì)攔截精度的影響可以忽略.如果目標(biāo)在此時(shí)機(jī)動(dòng)將無(wú)益于逃逸,MAMDD的取值趨向于無(wú)窮大,系統(tǒng)對(duì)模式辨識(shí)器的性能不作要求.此外,對(duì)比不