2.5-單方程模型的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)

§2.4多元線性回歸模型的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)

StatisticalTestofMultipleLinearRegressionModel

說明計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型是應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法建立的一類經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型，所以在模型參數(shù)估計(jì)出來(lái)后，必須檢驗(yàn)其是否滿足數(shù)學(xué)理論與方法上的要求。

計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)主要包括:擬合優(yōu)度檢驗(yàn)方程的顯著性檢驗(yàn)變量的顯著性檢驗(yàn)

一、擬合優(yōu)度檢驗(yàn)

TestingtheSimulationLevel1、概念擬合優(yōu)度檢驗(yàn)：就是檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蛯?duì)樣本觀測(cè)值的擬合程度。

擬合優(yōu)度檢驗(yàn)的方法：通過構(gòu)造一個(gè)可以表征擬合程度的統(tǒng)計(jì)量來(lái)實(shí)現(xiàn)。2、總體平方和、殘差平方和和回歸平方和

定義TSS為總體平方和（TotalSumofSquares），反映樣本觀測(cè)值總體離差的大??；ESS為回歸平方和（ExplainedSumofSquares），反映由模型中解釋變量所解釋的那部分離差的大??；RSS為殘差平方和（ResidualSumofSquares），反映樣本觀測(cè)值與估計(jì)值偏離的大小，也是模型中解釋變量未解釋的那部分離差的大小。既然ESS反映由模型中解釋變量所解釋的那部分離差的大小，可否直接用它作為擬合優(yōu)度檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量？

不行。

因?yàn)樽鳛闄z驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，必須是相對(duì)量，而不能是絕對(duì)量。怎樣構(gòu)造相對(duì)數(shù)形式的擬合優(yōu)度檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量？依據(jù)TSS、ESS、RSS之間存在的如下關(guān)系：

TSS=ESS+RSS關(guān)于TSS=ESS+RSS的證明過程證明：將TSS，即總體平方和進(jìn)行分解：其中根據(jù)正規(guī)方程組，有：…所以TSS=RSS+ESS

注意：對(duì)于一個(gè)擬合得好的模型，回歸平方和與總體平方和應(yīng)該比較接近。所以，可以選擇回歸平方和與總體平方和的接近程度作為評(píng)判模型擬合優(yōu)度的標(biāo)準(zhǔn)。

于是可以用檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷臄M合優(yōu)度。在應(yīng)用過程中人們發(fā)現(xiàn)，如果在模型中增加一個(gè)解釋變量，那么模型的回歸平方和隨之增大，從而R2也隨之增大。

這就給人一個(gè)錯(cuò)覺：要使得模型擬合得好，就必須增加解釋變量。

所以，用以檢驗(yàn)擬合優(yōu)度的統(tǒng)計(jì)量必須能夠防止這種傾向。顯然，如果模型與樣本觀測(cè)值完全擬合，即0?=-iiYY（i=1,2,…,n），此時(shí)R2=1。當(dāng)然，模型與樣本觀測(cè)值完全擬合的情況是不可能發(fā)生的。但毫無(wú)疑問的是，該統(tǒng)計(jì)量越接近于1，模型的擬合優(yōu)度越高。。

式中，（n-k-1）為殘差平方和RSS的自由度，（n-1）為總體平方和TSS的自由度。由于在樣本容量一定的情況下，增加解釋變量必定使得殘差平方和RSS的自由度減少，于是，實(shí)際中應(yīng)用的統(tǒng)計(jì)量是對(duì)R2進(jìn)行調(diào)整后的可決系數(shù)2R：可決系數(shù)R2

的簡(jiǎn)捷計(jì)算公式：其中

對(duì)于一元線性回歸，對(duì)于二元線性回歸，在應(yīng)用軟件中，可決系數(shù)R2和調(diào)整后的可決系數(shù)2R的計(jì)算是自動(dòng)完成的。

二、方程顯著性檢驗(yàn)

TestingtheOverallSignificance方程的顯著性檢驗(yàn)：對(duì)模型中被解釋變量與解釋變量之間的線性關(guān)系在總體上是否顯著成立作出推斷。

直觀上看，擬合優(yōu)度高，則解釋變量對(duì)被解釋變量的解釋程度就高，可以推測(cè)模型總體線性關(guān)系成立；反之，就不成立。但這只是一個(gè)模糊的推測(cè)，不能給出一個(gè)在統(tǒng)計(jì)上嚴(yán)格的結(jié)論。這就要求進(jìn)行方程的顯著性檢驗(yàn)。方程的顯著性檢驗(yàn)所應(yīng)用的方法，是數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)中的假設(shè)檢驗(yàn)。1、關(guān)于假設(shè)檢驗(yàn)假設(shè)檢驗(yàn)是統(tǒng)計(jì)推斷的一個(gè)主要方面，它的基本任務(wù)是根據(jù)樣本所提供的信息，對(duì)未知總體分布的某些方面的假設(shè)作出合理的判斷。假設(shè)檢驗(yàn)的程序是，先根據(jù)實(shí)際問題的要求提出一個(gè)論斷，稱為統(tǒng)計(jì)假設(shè)，記為H0

；然后根據(jù)樣本的有關(guān)信息，對(duì)H0的真?zhèn)芜M(jìn)行判斷，作出拒絕H0或接受H0的決策。假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想是概率性質(zhì)的反證法。也就是說，為了檢驗(yàn)原假設(shè)H0是否正確，先假定這個(gè)假設(shè)是正確的，看由此能推出什么結(jié)果。如果導(dǎo)致一個(gè)不合理的結(jié)果，則表明“假設(shè)H0為正確”是錯(cuò)誤的，即原假設(shè)H0不正確，因此要拒絕原假設(shè)H0。如果沒有導(dǎo)致一個(gè)不合理現(xiàn)象的出現(xiàn)，則不能認(rèn)為原假設(shè)H0不正確，因此不能拒絕原假設(shè)H0

。

概率性質(zhì)的反證法的根據(jù)是小概率事件原理，該原理認(rèn)為“小概率事件在一次試驗(yàn)中幾乎是不可能發(fā)生的”。

具體思路是這樣：在原假設(shè)H0下構(gòu)造一個(gè)事件（該事件就是拒絕域），這個(gè)事件在“原假設(shè)H0正確”的條件下是一個(gè)小概率事件（其發(fā)生概率為a）。隨機(jī)抽取一組容量為n的樣本觀測(cè)值進(jìn)行該事件的試驗(yàn)，如果該事件發(fā)生了，說明“原假設(shè)H0正確”是錯(cuò)誤的，因?yàn)椴粦?yīng)該出現(xiàn)的小概率事件出現(xiàn)了，因而應(yīng)該拒絕原假設(shè)H0。反之，如果該小概率事件沒有出現(xiàn)，就沒有理由拒絕原假設(shè)H0，應(yīng)該接受原假設(shè)H0。

2、方程的顯著性檢驗(yàn)

方程的顯著性檢驗(yàn)：對(duì)模型中被解釋變量與解釋變量之間的線性關(guān)系在總體上是否顯著成立作出推斷。用以進(jìn)行方程的顯著性檢驗(yàn)的方法主要有三種：F檢驗(yàn)、t檢驗(yàn)、r檢驗(yàn)。它們的區(qū)別在于構(gòu)造的統(tǒng)計(jì)量不同，即設(shè)計(jì)的“事件”不同。其中，應(yīng)用最為普遍的是F檢驗(yàn)。

方程顯著性的F檢驗(yàn)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ椭斜唤忉屪兞颗c解釋變量之間的線性關(guān)系在總體上是否顯著成立，也就是要檢驗(yàn)?zāi)Ｐ?/p>

（i=1,2,…,n）中的參數(shù)是否顯著不為0。

（1）按照假設(shè)檢驗(yàn)的原理與程序，可以提出假設(shè)：

顯然，當(dāng)H0成立時(shí)，即表示模型的線性關(guān)系不成立；當(dāng)H1成立時(shí)，即表示模型的線性關(guān)系成立。（2）并且，RSS與ESS相互獨(dú)立。

所以，統(tǒng)計(jì)量

該統(tǒng)計(jì)量即為用于方程顯著性檢驗(yàn)的F統(tǒng)計(jì)量。

直觀上看，回歸平方和ESS是解釋變量整體對(duì)被解釋變量Y的線性作用的結(jié)果，如果ESS/RSS的比值較大，則解釋變量整體對(duì)Y的解釋程度高，可以認(rèn)為總體存在線性關(guān)系；反之，總體可能不存在線性關(guān)系。因此,可以通過該比值的大小對(duì)總體線性關(guān)系進(jìn)行推斷?？梢宰C明，當(dāng)H0成立時(shí)，有)1(~22-nTSScsm，)1(~22--knRSScsm，)(~22kESScsm-。

（3）給定一個(gè)顯著性水平a，查F分布表，得到臨界值)1,(--knkFa。F＞)1,(--knkFa為原假設(shè)H0下的一個(gè)小概率事件。

（4）如果發(fā)生了F＞)1,(--knkFa，則在(1－a)水平下拒絕原假設(shè)H0，即模型的線性關(guān)系顯著成立，模型通過方程顯著性檢驗(yàn)。

如果未發(fā)生F＞)1,(--knkFa，則在(1－a)水平下不能拒絕原假設(shè)H0，即沒有顯著的證據(jù)表明模型的線性關(guān)系顯著成立，模型未通過方程顯著性檢驗(yàn)。

例在前述消費(fèi)模型中，k=2,n=16,給定α=0.01,查得Ｆ0.01（2,13)=6.70，而Ｆ=28682.51>6.70,所以該線性模型在0.99的置信水平下顯著成立。⒊關(guān)于擬合優(yōu)度檢驗(yàn)與方程顯著性檢驗(yàn)關(guān)系的討論

擬合優(yōu)度檢驗(yàn)和方程顯著性檢驗(yàn)是從不同原理出發(fā)的兩類檢驗(yàn)：前者是從已經(jīng)得到估計(jì)的模型出發(fā)，檢驗(yàn)它對(duì)樣本觀測(cè)值的擬合程度，后者是從樣本觀測(cè)值出發(fā)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ涂傮w線性關(guān)系的顯著性。但是二者又是關(guān)聯(lián)的：模型對(duì)樣本觀測(cè)值的擬合程度高，模型總體線性關(guān)系的顯著性就強(qiáng)。這兩個(gè)用作檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)的統(tǒng)計(jì)量之間存在如下的數(shù)量關(guān)系：多大才算通過擬合優(yōu)度檢驗(yàn)？

實(shí)際上，有許多著名的模型，R2小于0.5，支持了重要的結(jié)論。例如西蒙·庫(kù)茲涅茨關(guān)于收入差距的倒U型規(guī)律、H·錢納里的《發(fā)展的形式1950-1970》。重新回到前面的問題：這說明，在應(yīng)用中不必對(duì)2R過分苛求，重要的是考察模型的經(jīng)濟(jì)關(guān)系是否合理。方程顯著性檢驗(yàn)（F檢驗(yàn)）的步驟（1）對(duì)總體參數(shù)提出聯(lián)合假設(shè)：（2）在原假設(shè)H0的基礎(chǔ)上，根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算F統(tǒng)計(jì)量的經(jīng)驗(yàn)值：三、變量顯著性檢驗(yàn)

TestingtheIndividualSignificance1、什么是變量的顯著性檢驗(yàn)？

對(duì)于多元線性回歸模型，方程的總體線性關(guān)系是顯著的，并不能說明每個(gè)解釋變量對(duì)被解釋變量的影響都是顯著的。因此，必須對(duì)每個(gè)解釋變量進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)，以決定是否作為解釋變量被保留在模型中。如果某個(gè)變量對(duì)被解釋變量的影響并不顯著，應(yīng)該將它剔除，以建立更為簡(jiǎn)單的模型。這就是變量顯著性檢驗(yàn)的任務(wù)。變量顯著性檢驗(yàn)的數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)基礎(chǔ)相同于方程顯著性檢驗(yàn)，檢驗(yàn)的思路與程序也與方程顯著性檢驗(yàn)相似

用以進(jìn)行變量顯著性檢驗(yàn)的方法主要有三種：F檢驗(yàn)、t檢驗(yàn)、z檢驗(yàn)。它們的區(qū)別在于構(gòu)造的統(tǒng)計(jì)量不同。其中，應(yīng)用最為普遍的是t檢驗(yàn)。

注意，模型中包括幾個(gè)解釋變量，就要計(jì)算幾個(gè)t的數(shù)值。

2、變量顯著性的t檢驗(yàn)在前述消費(fèi)模型中：

變量GDP和CONS（-1）各自的t統(tǒng)計(jì)量樣本值分別為tgdp=22.00tcons(-1)=4.188

給定α=0.01,查得