材料微積分2013學(xué)員不含練習(xí)題

58 1章函數(shù)極限連續(xù)算與復(fù)合函數(shù)的極限、兩個(gè)重要極限（limsinx1lim(11)xe、無(wú)窮小量的概念與性質(zhì)（與有x0 ．問題3：求函數(shù)值或求函數(shù)表達(dá)式的問題．問題3：利用重要極限求極限的問題；問題1（2007）limf(x4，則必定(C)C．x1某鄰域(x1)f(x

f(xx1D．x1某鄰域(x1)f(x2x2 2（2010．16） sin xx B． C． D．答

2x2

1sin2lim

1

sinx4xx xx2 xxa例3．設(shè)lim xxb

2，則a,b滿足 A.ab B.2a C.eaeb D.eaeb答

xa

abxbabaxbx x lim1

2xxb

即eaeb21 ,0x例4．已知函數(shù)f(x)1 x2

若極限limf(x)存在，則a等于 2答

2

lnxa,x1

x12

32，limf(x)lim1 lim1xlim1， 2 x11x x1 x1x1 x1 limf(x)limln[1(x1)]a1a， x1 x 所以11aa3 例5．當(dāng)x0時(shí)，(1cosx)ln(1x2)是比xsin(xn)高階的無(wú)窮小，而xsin(xn)是比exsinx1高階的無(wú)窮小，則正整數(shù)n為（ B． C． D．答x0(1cosxln(1x21x2x21x4xsin(xnxn1exsinx1 根據(jù)題意可知2n14，即1n3，故n2例1．x0是f(x)arctan1的 xA.連續(xù)點(diǎn) limf(xlimarctan1limarctantπ， limf(x)limarctan1limarctantπ x0f(xarctan1的跳躍型間斷點(diǎn)．故正確選項(xiàng)為x例2．已知函數(shù)f(x) a

在(

f(x)0，那么a,b滿足 A.a≥0,b B.a0,b C.a0,b D.a≤0,b答由于f(x) a

在(上連續(xù)，所以其分母aebx在(為0ebx，所以a0limf(x0limaebxlimbx，故b0 綜上可知正確選項(xiàng)為注：本題利用特殊值帶入法和排除法的思想處理會(huì)更簡(jiǎn)單．例如，取b1

f(x)lim

a

f(x)0矛盾，故排除了選項(xiàng)a1f(x

xebx

x0處沒(x)矛

2（1）f(xlimf(x0xf(x0) fx)fx)

fx0x)fx0 f(x0x)fx0) （2）yf(x)(x0f(x0))0yf(x)f(x)(xx)和yf(x) (xx)0

f(x0 微分概念：f(x0xf(x0a(x0xo(xdf(x0a(x0x可微與可導(dǎo)的關(guān)系：函數(shù)f(x)x0處可微的充分必要條件是f(x)x0df(x0)f(x0)dx問題2：利用導(dǎo)數(shù)定義求極限的問題；問題5：復(fù)合函數(shù)和隱函數(shù)求二階導(dǎo)數(shù)的問題； 1．f(x)

cosx

x在x0處連續(xù)但不可導(dǎo)，則α的取值范圍是 xA.α B.0α C.α 答f(xlimxαcos10limxα0，所以α0f(xx0 cos函數(shù)f(x)在x0處不可導(dǎo)，說明limf(x)f(0)limxα cos

2（2005） A． C． 1limf(f(0) 1limf(

f()f0，f(0)lim 2． n nf(x2xf(x)f(x)2f(a13（2006） n A． B． C．lnf答

f

fff(a1 lnf(a1)lnf因?yàn)閘imn n lnf f n

f f函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，取f(x)ex，則1f(a

limn nlimnlnenlimnlnenlimn11 f 4（2012）f(x是非負(fù)連續(xù)函數(shù)，且lim

f2(x)2 ，則f(2) x2 2 2因?yàn)閒(x)是非負(fù)連續(xù)函數(shù)，所以limf(x)f(2)0．又，所以f(2) f2(x) f(x)f f(x)f

lim

x2

x

x

x所以limf(xf(2)4f(2)4 xf2(x) f2(x)特殊值代入法：因?yàn)?/p>

x2x2

x2f2(x)22(x24)2所以2f(x)f(x)42x．又f(2) ，所以f(2)45（201018）g(xyln(12x) xf(x) x

在原點(diǎn)可導(dǎo)，則a 1

2所以alimg(x)limg(xg(0)g(02 g(xln(12xalimf(xlimln(12x)2 6（2003）limf(x0)df(x0) A.等于f(x0 B.等于 C．等于 答系．因?yàn)閒(x)在x0處可導(dǎo)，所以可微，即f(x0)f(x0x)f(x0)df(x0)o(x)limf(x0df(x0)limo(x)0．故正確選項(xiàng)為 x0df(xf(x)xxlimf(x0df(x0)0 例7．f(x)yf(x)在其上任意一點(diǎn)(x,y)和點(diǎn)(xy) f(xf(xf(xf(xyf(x在其上任意一點(diǎn)(x,y)和點(diǎn)(x,y)處的切線斜率絕對(duì)值相等、符號(hào)相反．故正確選項(xiàng)為B．f(xx2f(xf(x2xf(x2xf(x2x 34

4y

66 x則．根據(jù)復(fù)合函數(shù)的鏈導(dǎo)法則，u(1)f(g(1))g(1)．由圖可以看出g(1)3,g(1)603，f(g(1))f(3)3410 6 所以u(píng)(1)f(g(1))g(1)3．故正確選項(xiàng)為42（201017）

2

f(xx2，所以h(xf(1g(x1g(x)]2h(x)2[1g(x)]g(xg(1h(12，所g(1123．yfx1f(xx

，則dx

22

3

3

3因?yàn)閒(x) x1x1 (xf f (x x1x1x 例4．曲線sinxyln(yx)x在點(diǎn)(0,1)處的切線方程為 A．yx B．yx C．yx D．yx題．在方程sinxyln(yx)xxyx的函數(shù)，得(yxy)cosxyy1yx0,y1代入，得y(0)1，故所求的切線是過點(diǎn)(0,1)、斜率為1的直線，方程為y1x，yx1．故正確選項(xiàng)為A．sin sin x 5.（2012）yy(x由參數(shù)方程

u

y A．3

B．23 3當(dāng)tπ附近時(shí)，因?yàn)閐ycost2tdxsint2t，所以 dycostcott 36．設(shè)y

d2

A.eu( B.eu(x)u C.eu(x)[u(x)u D.eu(x)[(u(x))2u dyu(x) d2yu( 2u(x) u(x u

3羅爾定理：f(x)在[ab上連續(xù)，在(ab)內(nèi)可導(dǎo)，且f(a)f(b，則存在ξab)拉格朗日中值定理：f(b)f(a)f(ξ)(ba)

f(x[ab](ab)ξab)),limf(x)limf(x)xx0 xx0單調(diào)性與?階導(dǎo)數(shù)的關(guān)系f(x在[abf(x在[abf(x在[ab上小于零，則f(x)在[ab]上單減．凹凸性與二階導(dǎo)數(shù)的關(guān)系f(x在[abf(x在[abf(x在[ab上小于零，則f(x)在[ab]上上凸．漸近線的求法：

f(xA或

f(xAyAyf(x)xx

f(xx

f(xxx0yf(x 問題2：判斷函數(shù)單調(diào)性和求函數(shù)極值的問題；問題3：證明函數(shù)不等式的問題；問題6：判斷函數(shù)的凹凸性和求拐點(diǎn)的問題；1（2005）

f(x1，則對(duì)任意常數(shù)alim[f(xa)f(x)] D．a(chǎn)ff(xa)f(x)f(ξ)a

fx)1limf(xaf(x

f(ξ)aa12 12

f(x)1又f(x)x lim[f(xa)f(x)]limxaxx x lima ax xax例1（2003）設(shè)f(x)xt2(t1)dt，則f(x)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)是 0A． C． f(xx2x1)f(xx2x1)0x0x1f(xx2x1)例2（2010．19）若a,b,c,d成等比數(shù)列，則函數(shù)y1ax3bx2cxd（ 3 分析：取abcd1y1ax3bx2cxd1x3x2x1 yx22x1x1)20y1x3x2x13例3．設(shè)函數(shù)yf(x)滿足方程y2y4y0，且f(x0)0,f(x0)0，則f C．在點(diǎn)x0的某鄰域內(nèi)單調(diào)增加 選項(xiàng)為A．例4．下圖是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)yf(x)的圖像，那么函數(shù)f(x)有 和極小值點(diǎn)，函數(shù)的三個(gè)拐點(diǎn)一個(gè)是x3，另外兩個(gè)分別介于12之間和2,3之間．綜上可知正確選項(xiàng)為5（2006 3h3A．12

V1πr2h1πh(52h2) 由dV1π(523h2)0得h225（易知這時(shí)體積最大從而r252h250，故r a3,b

a3,b

a3,b

a3,b ab6a2b解得a3b9 由于y9(1xx,1)y0x1,y0，故點(diǎn)(1,3)yax3bx2綜上可知正確選項(xiàng)為例7．（2006）如右圖曲線Pf(t)表示某工廠十年 前兩年越來越快,后五年越來越慢 C．前兩年越來越快,以后越來越慢 D．前兩年越來越慢,以后越來越快Pf(tPf(t的圖像下凸，例1．設(shè)當(dāng)x0時(shí)，ex(ax2bx1)是比x2高階的無(wú)窮小量,則 a1,b1答

a1,b C．a(chǎn)1,b2

D．a(chǎn)1,blimexax2bx1)0lim[ex2axb1b

，否則根據(jù)洛必達(dá)法則有

limex(ax2bx1)limex(2ax

，與條件矛盾．類似地可知

2a12a0 則

2limex(ax2bx1)limex(2axb)2

limex2a

1

0

綜上可知正確選項(xiàng)為1（2004）A．在(3,0)ln3xln(3x)C．在(0,)ln3xln(3x)

令f(x)ln(3x)xln3，則f(x) 3

14x0x3)f(0)0，所以在(3,3f(xf(0)0，即ln3xln(31（2003） f(xx2xsinxcosxf(x2xsinxxcosxsinxx(2cosxx(

f(x)

f(xf(x0分別在(0)和(0,例2（2011．17）若方程xelnxk0在(0,1]上有解，則k的最 A. B.e

(xxelnxkf(x1e0,x(0,1]x

f(xf(1)1kf(11k0k1

圖中給出了k1與k2yf(x1（2005） 在,x1 分析：因?yàn)閘imf(xlimf(x,limf(x1,limf(x1yf(x)在 4原函數(shù)的定義：F(xf(xxIF(xf(xIf(xI上的所有原函數(shù)可以表示為F(x)C，其中C是任一常數(shù)．不定積分的定義與性質(zhì)：f(x)dxF(xC[f(x)g(x)]dxf(x)dxg(x)dx，kf(x)dxkf(x)dxu(x)dv(x)u(x)v(x)v(x)du(x)型．[常見問題]問題2：求簡(jiǎn)單函數(shù)原函數(shù)的問題；例1．已知f(x)的一個(gè)原函數(shù)為ex2，則xf(x)dx A．(2x21)ex2 B．(2x1)ex2C．(x21)ex2 D．(2x1)xex2答因?yàn)閑x2f(xf(xex2

2xex2xf(x)dxxf(x)f(x)dx2x2ex2ex2C注：此類問題總可以利用選項(xiàng)驗(yàn)證的方法得到正確答案．因?yàn)閑x2f(xf(x2xex2f(x)2(12x2ex2 1)exC4xex(2x22x(12x2)exxf(x)， 2．設(shè)f(x)dxarctanxC

1dx f 答

2x C．1x2 D．x(11x2)3因 f(x)dxarctanxC，所以f(x) 11dx(1x2)dxx1x3Cf 2例3．ex2lnxdx )C（C為常數(shù)2答

12

(12x2 2因?yàn)閑x2lnxdxxex2dx1ex2dx21ex2C 2注：本題利用選項(xiàng)驗(yàn)證法也很簡(jiǎn)單．由于ex2

，所以排除掉選項(xiàng)A1ex2

ex2ln

，所以選項(xiàng)B例4．ln(lnx)dx

答x因?yàn)閘n(lnxdxln(lnx)d(lnxlnxln(lnxlnxCx5a bfa

f(x)dxlλimf(ξk)(xkxk1f

bbf(x0af(x)dxxaxb,y0yf(x圍成的曲b af(x)dxbf(x)dx，af(x)dxaf a[k1f(xk2g(x)]dxk1af(x)dxk2ag(x af(x)dxaf(x)dxcf(x f(x)isaf(x)dx f(x)is 函數(shù)周期性：若函數(shù)f(x)以l為周期，則 f(x)dx0f(x)dx f(xg(xx[ab，則af(x)dxag(x)dx bf(x在[ab上連續(xù)，則存在ξ[ab]b

af(x)dxf(ξ)(ba)xxF(xaf(t)dtxx變限定積分函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：當(dāng)函數(shù)axf(t)dtf(x)a

f(x)在[ab]上連續(xù)時(shí)，F(xiàn)(xaf(t)dtf(x)在[abF(xf(x)在[abbaf(x)dxF(b)F(a)b問題2：利用牛頓—萊布尼茲公式求積分值的問題；問題4：利用比較定理判斷兩個(gè)積分大小的問題；11 0f

dx 4

4

11因?yàn)閤f(x)(1x2) ，所以11dx11x2dx11注：定積分1

0f 1 12．計(jì)算定積分2(x2)4x2dx 解：2(x2)4x2dx2x4x2dx224x2dx04π 3（2011．21）f(x1x2)＞f(x1)f(x2)，g(x)是f(x)的反函數(shù)，P2g(x)dx，則 A． B． C． D．2概念及定積分的幾何意義，P1g(x)dx表示的是圖中曲邊ABC的面積，其值小于1．2 x1，則g(x)2(x1)2，所2P2g(x)dx22(x1)2dx2 3a4．設(shè)a0I

dx與I 01 A.I1 B.I1 C.I1 D.與a令f(x) 1

ln(1x)， f(x)

0(x ， f(0) ，所f(x) xln(1xf(00x0)II21 1．f(x在區(qū)間[0,1]上連續(xù)，且1f(x)dxa，則

1f(x)dx A．1 2因?yàn)?

f(x)dx21f(x

u

1 2．(2004f(x為連續(xù)函數(shù)，且0πf(xsinxsinxdx1π0f(xsinx)xcosxdx π 0f(xsinx)sinxdx0f(xsinx)xcos 0f(xsinx)d(xsinx)0f(u)du0 且0f(xsinxsinxdx1，所以0f(xsinx)xcosxdx1 π例3．(2003)設(shè)I0sin(cosx)dx，則 πA．I B．I C．0I D．I sint 11t令tcosx，則dx dt，從而I0sin(cosx)dx111t 11t1

注：本題也可作如下變換，令txπ2π π Isin(cosx)dxsin(cos(t))dtsin(sint)dtsin(sint)dt0π 2 π π0 π2由于sin(sint2

sin(sint)dt04（2006）2線性函數(shù)，則0f(g(x))dx（BA．2

C． 2分析：根據(jù)圖形可知g(x)13x0

f(x)dx13且函 f 在每個(gè)長(zhǎng)度為 的區(qū)間上的積分值相等，所2f(g(x))dx7f(u)1du132f(x)dx1311 1 t5．A01dt，求0(1t)2dtt1

et

1 0(1t)2dt1t001tdt12A f x，則π

f(x)cosxdx A．f(π)fC．f(π)f

B．f(π)f2D．f(π)f2

πf(x)cosxdxf(x)sinxπ

f(x)sin

πf(x)cosxπ

f(x)cos f f(π

f(x)cosxdx 因?yàn)閒 f x，且π

ππ

f(x) π

f(x)cosxdx即πf(xcosxdxf(πf(π) 特殊值代入法：f(xx，則πf(xcosxdxπxcosxdx0 6（201．20）

xetdt2

d2d2

A． B． C． D．d2 d2d2

2xe

2e2xe2(1x)e

07（200819x0f(xg(xf(xg(t)dtx21成立，則函數(shù)f(x) A.2x B.2x C.x2 D.x f(x)g(t)dtx21，1

f(x)g(f(x))2xgf