其次三部分Mathematic在幾何及高等數(shù)學中的應用

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試驗一一元函數(shù)及其圖形

本試驗的目的是通過圖形來認識函數(shù)，并運用函數(shù)的圖形來觀測和分析函數(shù)的有關特性，建立數(shù)形結合的思想.

Mathematica作圖主要命令如下：

1.畫散點圖的命令為

ListPlot[{{x1,y1},{x2,y2},…{xn,yn}},選項]

或者ListPlot[{y1,y2,…yn},選項]命令ListPlot的選項主要有兩個:

(1)PlotJoined->True,要求用折線將散點連接起來;(2)PlotStyle->PointSize[0.02],表示散點的大小.2.畫區(qū)間[a,b]上函數(shù)y?f(x)的圖形的命令為

Plot[f,{x,a,b}]

3.畫參數(shù)方程x?f(t),y?g(t),t?[a,b]所表示曲線的圖形的命令為

ParametricPlot[{f,g},{t,a,b}]

4.隱函數(shù)作圖命令ImplicitPlot這里同樣要先開啟作圖軟件包,輸入

RGBColor[1,0,0]]

輸出

423.02.52.01.51.024(2)輸入

g2=Plot[Sin[x]f[x],{x,-4,4},PlotStyle->RGBColor[0,1,0]]

輸出

422421

試驗2觀測函數(shù)y?sin解：輸入

Plot[Sin[1/x],{x,-1,1}];

輸出

從圖中可以看到函數(shù)y?sin

1.00.5121的圖形.x1.00.51在x?0附近來回振蕩.請解釋其原因.x1.0試驗3（參數(shù)方程的圖形）繪出以下參數(shù)方程的圖形.

3??x(t)?2cost?3??y(t)?2sint解：輸入

x[t_]=2Cos[t]^3；

2

y[t_]=2Sin[t]^3；

ParametricPlot[{x1[t],y1[t]},{t,0,2Pi}]

2輸出

121112

21?2?xsin,x?0試驗4畫出分段函數(shù)f(x)??的圖形.x??0,x?0解：輸入

f[x]:=x^2Sin[1/x]/;x?0;f[x]:=0/;x=0;

Plot[f[x],{x,-0.8,0.8},PlotRange?{-0.08,0.08}]

輸出

0.50.050.50.05試驗5分別畫出坐標為并畫出折線（i,i2）、(i2,4i2?i3),(i?1,2,...,10)的散點圖，

圖.解：輸入

t1=Table[i^2,{i,10}];

g1=ListPlot[t1,PlotStyle?PointSize[0.02]];g2=ListPlot[t1,PlotJoined?True];Show[g1,g2]

t2=Table[{i^2,4i^2+i^3},{i,10}];

g1=ListPlot[t2,PlotStyle?PointSize[0.02]];

3

g2=ListPlot[t2,5PlotJoined?True];Show[g1,g2]

輸出

10014001200

801000608006004004020230246810204060801001.2函數(shù)性質的研究

給定二維曲線圖形，如何判斷一個圖形是某一個函數(shù)的圖形已在高等數(shù)學中

介紹.若其是某一個函數(shù)的圖形（一個x,對應圖形上的一點），我們如何從圖形觀測函數(shù)的單調性、奇偶性、周期性等？

試驗6研究函數(shù)f(x)?x5?3ex?log3(3?x)在區(qū)間[-2,2]上的圖形特性.

解：輸入

Plot[x^5+3E^x+Log[3,3-x],{x,-2,2}]

輸出

40

20

2112

20試驗7判斷函數(shù)f(x)?sin2?x?cos2?x是否為周期函數(shù)？解：輸入

Plot[Sin[2Pix]+Cos[2Pix],{x,-4,4}]

輸出

4

420.51.00.5241.0試驗8判斷函數(shù)y?f(x)?x3?3x2?3x?1的反函數(shù)的存在性.若存在，求反函

數(shù)的表達式，并畫出其圖形.解：輸入

Solve[y==x^3+3x^2+3x+1,x]得反函數(shù)為y??1?3x再輸入

Plot[-1+x^(1/3),{x,-3,3}];輸出

30.81.00.40.2123試驗9制作函數(shù)sincx的圖形動畫，觀測參數(shù)C對函數(shù)圖形的影響.

解：輸入

Manipulate[Plot[Sin[cx],{x,-Pi,Pi},PlotRange->{-1,1}],{c,

1,4,1/3}]輸出……

1.3關于函數(shù)圖形的進一步研究

利用Mathematica，我們可以畫出一些難以想象的圖形.試驗10畫出以下參數(shù)方程的圖形

11?x(t)?5cos(?t)?7cost?x(t)?costcos5t??5（1）?(2)?

y(t)?sintcos3t??y(t)?5sin(?11t)?7sint?5??x(t)?(1?sint?2cos4t)cost(3)?

y(t)?(1?sint?2cos4t)sint?解：分別輸入

5

（1）ParametricPlot[{5Cos[-11/5t]+7Cos[t],5Sin[-11/5

t]+7Sin[t]},{t,0,10Pi},AspectRatio?Automatic]

（2）ParametricPlot[{Cos[5t]

Cos[t],Sin[t]Cos[3t]},{t,0,Pi},AspectRatio->Automatic]（3）ParametricPlot[(1+Sin[t]-2Cos[4t])*{Cos[t],Sin[t]},{t,0,2

Pi},AspectRatio->Automatic,Axes?None]輸出，得

5105100.555100.5

實訓：

1.把正切函數(shù)tanx和反正切函數(shù)arctanx的圖形及其水平漸近線y???/2,y??/2和直線y?x用不同的線型畫在同一個坐標系內.2.觀測函數(shù)的疊加,輸入以下命令:

a1=Plot[x,{x,-5,5},PlotStyle->{RGBColor[0,1,0]}]a2=Plot[2Sin[x],{x,-5,5},PlotStyle->{RGBColor[1,1,0]}]a3=Plot[x+2Sin[x],{x,-5,5},PlotStyle->{RGBColor[1,0,0]}]Show[a1,a2,a3]

3.首先回憶一下sinx的性質，研究一個函數(shù)f(x)乘以sinx后圖形的變化趨勢.具體研究步驟如下：

(1)在區(qū)間[0,15]上作出函數(shù)y1?x,y2??x,y3?xsinx的圖形.(2)在區(qū)間[0,15]上作出函數(shù)y1?lnx,y2??lnx,y3?lnxsinx的圖形.

6

(3)任取一個函數(shù)f(x)和一個區(qū)間，作出函數(shù)y1?f(x)和y2?sinf(x)的圖形.(4)試給出函數(shù)y1?f(x)和y2?f(sinx)的圖形之間的關系.

試驗二極限

本試驗的目的是通過計算與作圖,從直觀上透露極限的本質,加深對極限概念的理解.把握用Mathematica畫散點圖,以及計算極限的方法.

1.Mathematic求極限的命令如下:

Limit[f[x],x->a]

Limit[f[x],x->a,Direction->-1];Limit[f[x],x->a,Direction->+1];Limit[f[x],x->Infinity,Direction->+1];Limit[f[x],x->Infinity,Direction->-1].

2.1數(shù)列的極限

試驗1觀測數(shù)列的前100項變化趨勢.｛nn｝解：輸入

t=N[Table[n^(1/n),{n,1,100}]];

ListPlot[t,PlotStyle?PointSize[0.01]]

1.4

1.3

1.21.120406080100試驗2利用動畫觀測當n??時數(shù)列an?解：輸入

Clear[tt];

1的變化趨勢.n27

tt={1,1/2^2,1/3^2};

Animate[tt=Append[tt,N[1/i^2]];

ListPlot[tt,PlotRange->{0,1},PlotStyle->PointSize[0.02]],{i,4,20}]從輸出的圖中可以看出所畫出的點逐漸接近于x軸.

2n3?1lim.試驗3研究極限n??5n3?1解：輸入

Print[n,\\\

For[i=1,i0]

1??lim1???.試驗8其次個重要極限x??x??x解：輸入

Limit[(1+1/n)^n,n->Infinity]輸出為e.再輸入

Plot[(1+1/x)^x,{x,1,100}]

1??則輸出函數(shù)?1?x?的圖形.觀測圖中函數(shù)的單調性.理解其次個重要極限

??x?1?lim?1???e.x????x?2.702.682.662.642.62x

2.602.5810020406080100

實訓：1.設數(shù)列xn?的變化趨勢.

提醒:輸入

Clear[f];

f[n_]:=Sum[1/j^3,{j,1,n}];xn=Table[f[n],{n,30}]

2.計算極限

11??(1)lim?xsin?sinx?x?0?xx?111????.計算這個數(shù)列的前30項的近似值.1323n3作散點圖,觀測點

x2(2)xlim???ex(3)limtanx?sinxx(4)limxx?0x??0x3

試驗三函數(shù)的連續(xù)與休止

本試驗的目的是進一步理解函數(shù)連續(xù)的概念，熟悉幾種休止點的類型與休止點的圖形特征.

3.1一元函數(shù)連續(xù)的概念試驗1考察函數(shù)

f(x)?sinx在x?5處的連續(xù)性.

解：選取幾個{xn}考察當xn?5時,sinxn的變化趨勢,依次取

11?1?xn?5?,xn?5?(?1)n,xn?ln?1??,

nn?n?當n??時,他們的極限均為5.

輸入命令

g1=ListPlot[Table[Sin[5+1/n],{n,1,1000,5}],PlotStyle->RGBColor[1,

11

5n0,0]];

g2=ListPlot[Table[Sin[5+(-1)^n/Sqrt[n]],{n,1,1000,5}],

PlotStyle->RGBColor[0,1,0]];

g3=ListPlot[Table[Sin[5*n*Log[(1+1/n)]],{n,1,1000,5}],

PlotStyle->RGBColor[0,0,1]];

g=Show[g1,g2,g3];

則輸出相應的(xn,sinxn)的散點圖.由圖可看出它們趨于同一極限值.

0.92

0.940.960.9850100150200

3.2不同類型休止點的圖形特征

下面將說明各種不同類型休止點的圖形特征試驗2函數(shù)f(x)?sinx在x?0點處休止，且休止點為可去休止點，請觀測x其圖形特征.解：輸入

1.0000Plot[Sin[x]/x,{x,-0.1,0.1}]

0.9995輸出

0.100.050.99900.050.10?1,x?0?試驗3（騰躍休止點）考慮符號函數(shù)sgn(x)??0,x?0在x?0點處的休止情

??1,x?0?況

解：輸入

Plot[Sign[x],{x,-2,2}]

輸出

1.0

210.512

0.5121.0

試驗4（無窮休止點）考察函數(shù)f(x)?解：輸入

Plot[1/(1-x^2),{x,-3,3}]輸出

1試驗5（振蕩休止點）考察函數(shù)f(x)?sin在點x?0處的連續(xù)性.

x32112341在x??1處的休止狀況1?x2224解：輸入

Plot[Sin[1/x],{x,-1,1}]

輸出

1.01.01.00.50.5實訓

13

1.觀測函數(shù)f(x)?e?1x的圖形特征，并指出x?0處的休止類型.

1的圖形特征，并指出x?1點的休止點類型.x?12

12.觀測函數(shù)f(x)?cos3.求以下極限：

x11??(1)lim?xsin?sinx?(2)limxx???ex?0?xx?sinx?xcosx?sinx?1?cosx(3)lim(4)lim??2x?0x?0xsinx?x?

試驗四一元函數(shù)的微分學

本試驗目的是幫助學生深入理解導數(shù)與微分的概念，導數(shù)的幾何意義.把握用Mathematica求導數(shù)與高階導數(shù)的方法.深入理解和把握求隱函數(shù)的導數(shù).Mathematic命令如下：1.求導數(shù)和求微分的命令

D[f,x]D[f,{x,n}]D[f,x,y,z,…]Dt[f,x]Dt[f]

2.循環(huán)語句Do

Do[表達式,{循環(huán)變量名,最小值,最大值,增量}]

當省略增量時,默認增量為1.省略最小值時,默認最小值為1.

例如,輸入

Do[Print[Sin[n*x]],{n,1,10}]

則在屏幕上顯示Sin[x],Sin[2x],…,Sin[10x]等10個函數(shù).

4.1導數(shù)的概念

試驗1用定義法求f(x)?x3?3x2?x?1的導數(shù).

14

解：輸入

Clear[f];

f[x_]=x^3-3x^2+x+1;

zlb=Simplify[(f[x+h]-f[x])/h]

執(zhí)行以后得到函數(shù)的增量與自變量的增量的比

221?h?3h(?1?x)?6x?3x

再輸入

df=Limit[zlb,h->0]Plot[{f[x],df},{x,-1.5,3},

PlotStyle->{GrayLeve1[0],Dashing[{0.01}]},PlotRange->{-3,2}]

2

1輸出

112312332試驗2作函數(shù)f(x)?2x?3x?12x?7的圖形和在x??1處的切線.

解：輸入

Clear[f];

f[x_]=2x^3+3x^2-12x+7;

plotf=Plot[f[x],{x,-4,3},DisplayFunction->Identity];plot2=Plot[f’[-1]*(x+1)+f[-1],{x,-4,3},

PlotStyle->GrayLeve1[0.5],DisplayFunction->Identity];Show[plotf,plot2,DisplayFunction->$DisplayFunction]

輸出

40

43212023320試驗3求函數(shù)y?sin2x的導數(shù)與y?sinaxcosbx的微分.

解：輸入

D[Sin[2x],x]

15

Dt[Sin[a*x]*Cos[b*x],Constants?{a,b}]//Simplify輸出

(aCos[ax]Cos[bx]-bSin[ax]Sin[bx])

試驗４求由方程2x2?2xy?y2?x?2y?1?0確定的隱函數(shù)的導數(shù).

解：輸入

deq=D[2x^2-2x*y[x]+y[x]^2+x+2y[x]+1?0,x]；Solve[deq1,y'[x]]輸出

??1?4x?2y[x]??????y[x]???????2(?1?x?y[x])??????4.2微分中值定理

試驗5對函數(shù)f(x)?x(x?1)(x?2),觀測羅爾定理的幾何意義.

解：由于f(0)?f(1)?f(2)?0,由羅爾定理,存在x1?(0,1),x2?(1,2),使得f?(x1)?f?(x2)?0.(1)畫出y?輸入

f[x_]=x*(x-1)*(x-2);g1=Plot[f[x],{x,-1,3},PlotStyle?RGBColor[1,0,0]];g2=Plot[f'[x],{x,-1,3}];Show[g1,g2]NSolve[f'[x]??0,x]輸出

1121f(x)與f?(x)的圖形,并求出x1與x2.

1232(2)畫出y?f(x)及其在點(x1,f(x1))與(x2,f(x2))處的切線.

316

輸入

t1[x_]=f[0.42265];t2[x_]=f[1.57735];Plot[{f[x],t1[x],t2[x]},{x,-1,3}]

輸出

0.51231.01.5試驗6對函數(shù)f(x)?ln(1?x)在區(qū)間[0,4]上觀測拉格朗日中值定理的幾何意義.

解：(1)畫出y?輸入

Clear[g1,g2];f[x_]=Log[1+x];a=0;b=4;

g1[x_]:=f[a]+(f[b]-f[a])*(x-a)/(b-a);g2[x_]:=f'[x]-(f[b]-f[a])/(b-a);Plot[{f[x],g1[x]},{x,a,b}];(2)畫出函數(shù)y?f?(x)?f(4)?f(0)的曲線圖,并求出?使得

4?0f(x)及其左、右端點連線的圖形;

f?(?)?輸入

Plot[g2[x],{x,a,b}]NSolve[f'[x]

f(4)?f(0).

4?0(f[b]-f[a])/(b-a),x];

(3)畫出y?f(x),它在?處的切線及它在左、右端點連線的圖形.

輸入

x1=1.4853397382384472;g3[x_]=f[x1]+f'[x1]*(x-x1);Plot[{f[x],g1[x],g3[x]},{x,a,b}]

17

輸出的圖象1.00.512340.50.2123412344.3導數(shù)的應用

試驗7已知函數(shù)f(x)?2x6?3x5?3x3?2x2,在區(qū)間[-3,2]上畫出

f(x),f'(x),f''(x)的圖形，并找出所有的駐點和拐點.

解：輸入

f[x_]=2x^6+3x^5+3x^3-2x^2;

Plot[f[x],{x,-3,2}];df[x_]=f'[x];ddf[x_]=f''[x];Plot[df[x],{x,-2,1}];Plot[df[x],{x,-0.2,0.5}];Plot[ddf[x],{x,-2,1}];

Plot[{f[x],df[x],ddf[x]},{x,-0.6,0.6},PlotStyle?{RGBColor[1,0,0],RGBColor[0,1,0],RGBColor[0,0,1]}]

NSolve[df[x]??0,x]

NSolve[ddf[x]??0,x]

105輸出

{{x?-1.61612},{x?0.},{x?0.351613}}{{x?-1.23293},{x?0.193431}}

510

試驗8求函數(shù)y?x的極值.

1?x218

解：輸入

f2[x_]:=x/(1+x^2);Plot[f2[x],{x,-10,10}]Solve[f2'[x]==0,x]

0.4輸出

{{x?-1},{x?1}}

試驗9求函數(shù)y?解：輸入

f3[x_]:=1/(1+2x^2);

11?2x21050.25100.20.4的凹凸區(qū)間和拐點.

Plot[{f3[x],f3''[x]},{x,-3,3},PlotRange->{-5,2},PlotStyle->{GrayLeve1[0.01],Dashing[{0.01}]}]

gen=Solve[f3''[x]==0,x]

2輸出

｛{x??1632111123423},{x?51616}｝即得到二階導數(shù)等于0的點是?

導數(shù)大于零,曲線弧向上凹.在?????16,.

由圖知在????,???1??6??和???1?,?????6?上二階

1??上二階導數(shù)小于零,6??曲線弧向上凸.

再輸入

f3[x]/.gen輸出

{3/4,3/4}

這說明函數(shù)在?

16和

16的值都是3/4.因此兩個拐點分別是?????1?13?3??,?,?和???.46??64?實訓：

1.求以下函數(shù)的導數(shù):

19

(1)y?e3x?1x?;(2)y?ln[tan(?)];

242.求以下函數(shù)的微分:(1)y?2?1cosx22;(2)y?ln(x?x?a)

3.求以下函數(shù)的高階導數(shù):(1)

y?xsinx,求y(100);(2)y?x2cosx,求y(10);

4.求由以下方程所確定的隱函數(shù)y?y(x)的導數(shù):(1)lnx?e?yx?e;(2)arctan?lnx2?y2.

yx5.作出函數(shù)f(x)?1,(?5?x?4)的圖形，c分別取-1，0，1，2，2x?2x?c3等5個值，試比較作出的5個圖，并從圖上觀測極值點、駐點、單調區(qū)間和凹凸區(qū)間.

試驗五一元函數(shù)積分學

本試驗的目的是加深理解定積分的概念，深入理解積分理論中分割、近似、求和、取極限的思想方法，初步了解定積分的近似計算方法.Mathematic命令如下：1.計算不定積分

Integrate[f[x],x]

2.計算定積分

Integrate[f[x],{x,a,b}]

3.循環(huán)語句For

For[循環(huán)變量的起始值,測試條件,增量,運算對象]例如,輸入

t=0;

For[j=1,j<=10,j++,t=t+j];t

20

則輸出變量t的最終值1+2+…+10=55.

4.求一般方程的近似根的命令

FindRoot

FindRoot[f[x]==0,{x,a},選項]FindRoot[f[x]==0,{x,a,b},選項]

FindRoot[{f[x,y]==0,g[x,y]==0},{x,a},{y,b}]

5.1定積分的概念

試驗1利用定積分計算積分?x2dx

01解：方法：在區(qū)間[0,1]中插入n?1個分點（我們可以均勻的產(chǎn)生，也可以借助隨機數(shù)任意產(chǎn)生），在一定意義下取得了任意分點與任意的

?i計算?f(?i)?xi,即可求得lim?f(?i)?xi的近似值.提高精度的方

i?1nn??0i?1法是增加分點.

輸入

f[x_]:=x^2;

a=0;b=1;n=202;Array[x,{641}];x[0]=a;For[k=1,k?6,k++,x[n]=b;s=0;Do[x[i]=(i+Random[])*(b-a)/n,{i,1,n-1}];

For[i=0,i<n,i++,delxi=x[i+1]-x[i];c=x[i]+delxi*Random[];s=s+f[c]*delxi];

Print[\

n=n*2]輸出

n=20s=0.333163n=40s=0.335524n=80s=0.332023n=160s=0.33367n=320s=0.333349n=640s=0.333351

21

所以我們認為

?10x2dx=0.333

235試驗2求x(1?x)dx.

?解：輸入

Integrate[x^2*(1-x^3)^5,x]

輸出

x35x610x95x12x15x18?????3696318

試驗3求

?40|x?2|dx.

解：輸入

Integrate[Abs[x-2],{x,0,4}]

輸出