建筑力學(xué)-彎曲變形及答案

本文格式為Word版，下載可任意編輯——建筑力學(xué)—彎曲變形及答案第七章組合變形

本章主要探討建筑工程中常見(jiàn)的組合變形的強(qiáng)度計(jì)算問(wèn)題。其中斜彎曲、拉（壓）與彎曲、偏心拉（壓）組合變形的強(qiáng)度計(jì)算問(wèn)題是本章的重點(diǎn)。

第一節(jié)組合變形的概念

前面的章節(jié)分別研究了桿件在軸向拉（壓）、剪切、扭轉(zhuǎn)、平面彎曲基本變形下的強(qiáng)度和剛度計(jì)算。但在工程實(shí)際中，結(jié)構(gòu)中一些桿件的受力狀況是繁雜的，往往同時(shí)發(fā)生兩種或者兩種以上的基本變形，這種由兩種或兩種以上的基本變形組合而成的變形稱為組合變形。

例如，圖7-1a所示的煙囪，除自重引起的軸向壓縮外，還有水平方向的風(fēng)力引起的彎曲變形，即同時(shí)產(chǎn)生兩種基本變形。又如，圖7-1b所示的備有吊車的廠房柱，作用在立柱上的荷載F1和F2,其合力的作用線一般不在立柱軸線上，此時(shí)，立柱即發(fā)生壓縮變形又發(fā)生彎曲變形。再如，圖7-1c所示的曲拐軸，在荷載F作用下，曲拐AB段同時(shí)發(fā)生扭轉(zhuǎn)和彎曲變形。上述這些桿件的變形，都是結(jié)構(gòu)桿件發(fā)生組合變形的工程實(shí)例。

圖7-1

由上一章梁的彎曲可知：外力沿橫向作用在梁的縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)，梁將發(fā)生平面彎曲變形。那么，外力雖然沿梁的橫向（垂直于軸線），但不作用在縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)時(shí)，梁會(huì)發(fā)生怎樣的變形呢?試驗(yàn)及理論研究得知，此時(shí)梁軸線變形后彎成的曲線已不在荷載的作用平面內(nèi)，即不屬于平面彎曲，這種彎曲稱為斜彎曲。若外力不沿梁的橫向（斜交于軸線），但力作用仍在縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)，梁將發(fā)生拉（壓）與彎曲組合變形。若作用外力雖然沿桿件軸向方向，但不與軸線重合，桿件也將發(fā)生拉（壓）與彎曲組合變形，稱為偏心拉（壓）。對(duì)發(fā)生組合變形的桿件計(jì)算應(yīng)力和變形時(shí)，可將荷載進(jìn)行簡(jiǎn)化或分解，使簡(jiǎn)化或分解后得到的靜力等效的荷載，每類荷載各自只引起一種基本變形，分別計(jì)算，再進(jìn)行疊加，就得到由原來(lái)的荷載所引起的組合變形的應(yīng)力和變形，這就是組合變形的分析方法和組合變形計(jì)算的疊加原理。這里需要強(qiáng)調(diào)的是：疊加原理是在滿足小變形和力與位移成線性關(guān)系的條件下才適用。

本章將主要探討斜彎曲、拉壓與彎曲、偏心拉伸（壓縮）組合變形的強(qiáng)度計(jì)算問(wèn)題。

其次節(jié)拉伸（壓縮）與彎曲組合變形

若外力不沿梁的橫向（斜交于軸線），但力仍作用在縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)，這時(shí)梁將發(fā)生拉伸（壓縮）與彎曲變形。如圖7-2a所示矩形截面懸臂梁，外力F斜交于軸線，與y軸夾角為?。若將力沿x、y軸方向正交分解，則分力Fx沿梁的軸線作用，使梁發(fā)生軸向拉伸變形；分力Fy沿垂直于軸線作用，使梁發(fā)生平面彎曲變形。因此，懸臂梁的變形為軸向拉伸（壓縮）與彎曲的組合變形，簡(jiǎn)稱為拉（壓）彎曲組合變形。下面以圖7-2a為例，說(shuō)明拉（壓）彎曲組合變形時(shí)的正應(yīng)力及強(qiáng)度計(jì)算。

圖7-2

桿件發(fā)生拉（壓）彎曲組合變形時(shí)，截面上的彎曲切應(yīng)力較小，可略去不計(jì)，桿件截面上既有軸向拉（壓）時(shí)均勻分布的拉應(yīng)力，又有線性分布的彎曲正應(yīng)力，如圖7-2c、d所示。截面各點(diǎn)處同時(shí)作用的正應(yīng)力可以疊加，如圖7-2e所示?？梢?jiàn)截面上邊緣有最大的拉應(yīng)力，其值為

由上式可知，拉（壓）與彎曲組合變形時(shí)最大應(yīng)力發(fā)生在彎矩最大的截面上。其強(qiáng)度設(shè)計(jì)準(zhǔn)則為

（7-1）

式（7-1）說(shuō)明，發(fā)生拉（壓）與彎曲組合變形時(shí)，危險(xiǎn)截面上危險(xiǎn)點(diǎn)的應(yīng)力不得超過(guò)

材料的許用應(yīng)力。在進(jìn)行組合變形強(qiáng)度計(jì)算時(shí)，需要先分析桿件的危險(xiǎn)截面和危險(xiǎn)點(diǎn)，然后用該強(qiáng)度準(zhǔn)則進(jìn)行計(jì)算校核。

例7-1圖7-2a所示為矩形截面懸臂木梁，已知作用外力F?10kN，與y軸夾角為

2

??30?，梁跨l?4m，矩形截面尺寸b?h=200×300mm，???=12MPa,試校核梁的強(qiáng)度。解1）求最大內(nèi)力。由前述分析可知，梁發(fā)生拉彎組合變形，其危險(xiǎn)截面是左端固端截面，截面內(nèi)力為

2）強(qiáng)度計(jì)算。危險(xiǎn)點(diǎn)是固定端截面上邊緣的點(diǎn)，即

所以，梁的強(qiáng)度滿足要求。

例7-2圖7-3所示為簡(jiǎn)易起重機(jī)，其最大起吊重量G?15.5kN，橫梁AB為工字鋼，許用應(yīng)力[?]=170MPa，若梁的自重不計(jì)，試按正應(yīng)力強(qiáng)度準(zhǔn)則選擇工字鋼的型號(hào)。

解1)橫梁的變形分析。橫梁AB可簡(jiǎn)化為簡(jiǎn)支梁，由于起重機(jī)電葫蘆可在AB之間移動(dòng)，由前述可知當(dāng)簡(jiǎn)支梁跨中點(diǎn)作用集中力時(shí)，梁跨中點(diǎn)截面有最大彎矩，所以當(dāng)電葫蘆移動(dòng)到梁跨中點(diǎn)時(shí)是梁的危險(xiǎn)狀態(tài)，因此應(yīng)以吊重作用于梁跨中點(diǎn)來(lái)計(jì)算支座約束力。為便于分析計(jì)算，可將拉桿BC的作用力FB分解為FBx和FBy(圖7-3b)，列平衡方程得

力FAy、G與FBy沿AB的橫向作用使梁AB發(fā)生彎曲變形，力FAx與FBx沿梁AB的軸向作用使梁AB發(fā)生軸向壓縮變形，所以梁AB發(fā)生壓縮與彎曲組合變形。

2）橫梁內(nèi)力分析。做梁AB的軸力圖和彎矩圖（如圖7-3c、d），可見(jiàn)，橫梁AB中點(diǎn)截面的彎矩最大，其值為

橫梁各截面的軸力為3）選擇工字鋼型號(hào)。由于在橫梁跨長(zhǎng)中點(diǎn)的截面上彎矩最大，故此截面為危險(xiǎn)截面。最大壓應(yīng)

力發(fā)生在該截面的上邊緣各點(diǎn)處。由強(qiáng)度準(zhǔn)則

確定工字鋼型號(hào)。因強(qiáng)度準(zhǔn)則含有截面A和抗彎截面系數(shù)Wz兩個(gè)未知量，不易確定。為便于計(jì)算，可以先不考慮壓縮正應(yīng)力，只根據(jù)彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度準(zhǔn)則進(jìn)行初步選擇，然后再按拉(壓)與彎曲強(qiáng)度準(zhǔn)則進(jìn)行校核。由彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度準(zhǔn)則

查附表型鋼表，選14號(hào)工字鋼，其Wz=102cm3

=102×103mm3,A=21.5cm2=21.5×102mm2。圖7-3

4）校核。初選工字鋼型號(hào)后，再按拉（壓）與彎曲組合強(qiáng)度準(zhǔn)則校核

所以選用14號(hào)工字鋼可滿足強(qiáng)度要求。若不滿足強(qiáng)度條件，可重新選擇工字鋼型號(hào)，直到滿足強(qiáng)度條件為止。

第三節(jié)斜彎曲

如圖７-4a所示，矩形截面梁在外力F作用下發(fā)生變形，但外力F的作用線只通過(guò)端截面的形心而不在梁的縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)，此時(shí)梁將發(fā)生斜彎曲變形。把外力F沿截面對(duì)稱軸方向進(jìn)行正交分解，斜彎曲變形就分解為兩個(gè)垂直平面上的平面彎曲變形的組合。

圖7-4

一、斜彎曲的應(yīng)力分析

當(dāng)梁發(fā)生斜彎曲時(shí)，梁的橫截面上同時(shí)存在正應(yīng)力和切應(yīng)力，由于彎曲切應(yīng)力與彎曲正應(yīng)力相比，切應(yīng)力的值較小，一般可以忽略不計(jì)。先將外力F沿截面兩個(gè)對(duì)稱軸方向分解為Fy和Fz，分別計(jì)算Fy和Fz單獨(dú)作用下的Mz和My，以及兩個(gè)彎矩各自產(chǎn)生的正應(yīng)力，然后再進(jìn)行同一點(diǎn)應(yīng)力的疊加，即得出截面任意點(diǎn)的應(yīng)力值。

由圖7-4a可知，外力F沿截面兩個(gè)對(duì)稱軸方向分解為Fy和Fz，其值為

則任意截面A的彎矩（圖7-4b）為

其中，Mz和My下標(biāo)z、y分別表示截面彎曲的中性軸。

由彎曲應(yīng)力分布公式可知，截面A任意點(diǎn)K處的彎曲正應(yīng)力分別是Fy和Fz作用下截面A中任意點(diǎn)K處的彎曲應(yīng)力為

(a)

式（a）即為斜彎曲時(shí)梁橫截面上任意點(diǎn)的正應(yīng)力計(jì)算公式。式中，Iz、Iy分別為截面對(duì)z軸和y軸的慣性矩；y和z分別為所求應(yīng)力點(diǎn)的截面坐標(biāo)。

二、斜彎曲的強(qiáng)度計(jì)算

1.最大應(yīng)力

由圖7-4b所示可見(jiàn)，Mz使截面A上邊緣有最大拉應(yīng)力、下邊緣有最大壓應(yīng)力；My使截面A后邊緣有最大拉應(yīng)力、前邊緣有最大壓應(yīng)力。故截面A的上、后邊緣的交點(diǎn)處有最大拉應(yīng)力，截面A的下、前邊緣的交點(diǎn)處有最大壓應(yīng)力，其計(jì)算公式為：

（b）

式（b）即為任意截面的最大應(yīng)力計(jì)算公式。從式（b）可以看出，對(duì)工程常用的工字形、矩形等對(duì)稱截面梁，斜彎曲時(shí)最大應(yīng)力一定發(fā)生在彎矩最大截面的邊緣交點(diǎn)處。尋常把最大彎矩的截面稱為危險(xiǎn)截面，危險(xiǎn)截面上最大正應(yīng)力的作用點(diǎn)稱為危險(xiǎn)點(diǎn)。

如圖7-4a所示的矩形截面梁，其左端固定端截面的彎矩值最大，該截面是梁的危險(xiǎn)截面。該截面上、后邊緣的交點(diǎn)d和下、前邊緣的交點(diǎn)b是梁的危險(xiǎn)點(diǎn)。全梁的最大彎曲正應(yīng)力為(c)

式（c）說(shuō)明，斜彎曲時(shí)梁的最大彎曲正應(yīng)力必發(fā)生在彎矩最大的截面上。

2.強(qiáng)度準(zhǔn)則

與平面彎曲一樣，斜彎曲時(shí)梁的強(qiáng)度設(shè)計(jì)準(zhǔn)則要求梁的最大工作應(yīng)力（即危險(xiǎn)截面上危險(xiǎn)點(diǎn)的最大正應(yīng)力）不超過(guò)材料的許用應(yīng)力，即

（7-2）

此式即為斜彎曲梁的強(qiáng)度準(zhǔn)則。

應(yīng)用斜彎曲梁的強(qiáng)度準(zhǔn)則，同樣可以解決工程中常見(jiàn)的三類問(wèn)題，即校核強(qiáng)度、設(shè)計(jì)截面和確定許用荷載。但在設(shè)計(jì)截面時(shí)應(yīng)注意：由于式中存在兩個(gè)未知變量Mz和My，所以在選擇截面時(shí)，需先設(shè)定一個(gè)比值Mz/My(工程中一般為：矩形截面取Mz/My=1.2~2；工字形截面取Mz/My=6~10)，然后再用式（7-2）設(shè)計(jì)截面的具體尺寸，最終對(duì)所選截面進(jìn)行校核，以確保滿足強(qiáng)度準(zhǔn)則。

例7-3圖7-5所示矩形懸臂梁，已知F1?0.5kN,F2?0.8kN,截面尺寸b?100mm,h?150mm，試計(jì)算梁的最大拉應(yīng)力及所在位置。

圖7-5

解1）求最大彎矩。梁受鉛垂力F1和水平力F2共同作用，發(fā)生雙向彎曲變形。梁的危險(xiǎn)截面是左端固定端截面，最大彎矩分別為

2）求最大彎曲正應(yīng)力。

3）危險(xiǎn)點(diǎn)