總練習(xí)題六(2)答案

本文格式為Word版，下載可任意編輯——總練習(xí)題六(2)答案總練習(xí)題六（2）2．選擇題（1）設(shè)函數(shù)u(x,y,z)有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則rot(gradu)等于（（C））222222（A）0．（B）?u?x2+?u?y2+?u?u?u?u?z2．（C）(0,0,0)．（D）?x2i+?y2j+?z2k．（2）設(shè)Σ是球面x2+y2+z2=a2含在柱面x2+y2=ax(a>0)內(nèi)部的部分，則∫∫dS等于（）；（A）Σππ（A）4∫22acosθa0dθ∫acosθa0．（B）a2?r2rdr8∫0dθ∫0a2?r2rdr．ππ（C）16∫2dθ∫acosθaacosθa002ra2?rdr．（D）4∫2?πdθ2∫0a22r?rdr．25(1)I=∫∫1dyΛdz+1dzΛ1y2z2xdx+dxΛdyS:x2S+yza2+b+c2=1(外側(cè)）?z=c1?x2?Sy21:2?2(上側(cè)）解設(shè)??abx2y2D??x2y2xy:2+2≤1?S２:z=－c1?aba2?b2(下側(cè)）∫∫111zdxΛdy=∫∫1zdxΛdy+∫∫S2zdxΛdySS=∫∫1dxdy+D∫∫1(?dxdy)xyc1?x2y2Dxy2??c1?x2y2ab2a2?b21．填空題）設(shè)C為橢圓x24+y2（15=1，其周長記作l，則??∫(xy+5x2+4y2)ds=；20lC（2）設(shè)Σ為上半球面z=4?x2?y2，則曲面積分∫∫dS的值等于8Σ1+x2+y2+z23π；（3）設(shè)C是曲線y=x(2?x)上從點(diǎn)(2,0)到點(diǎn)(0,0)的一段弧，則曲線積分2∫(yex?e?y+y)dx+(xe?y+ex)dy=3；C（4）若S為球面x2+y2+z2=R2的外側(cè)，則∫∫xdydz+ydzdx+(z+R)dxdy2Sx2+y2+z2=．4πR2．選擇題（3）設(shè)Σ是球面x2+y2+z2=R2的外側(cè)，Dxy是xOy面上的圓域x2+y2≤R2，以下等式正確的是()．（D）（A）∫∫x2y2zdS=y2dxdy．∑∫∫x2y2R2?x2?Dxy（B）∫∫(x2+y2)dxdy=∑∫∫(x2+y2)dxdy．Dxy（C）∫∫zdxΛdy=0．∑（D）∫∫zdxΛdy=2R2?x2?y2dxdy．∑∫∫Dxy（4）設(shè)f(x)具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，f(0)=0，且在全平面內(nèi)的任意閉曲線L，曲線積分??∫L[f(t)?ex]sinydx?f(x)cosydy=0，則f(x)等于（B）?x（A）e?exex?e?xex+e?xex+e?x2；（B）2；（C）2?1；（D）1?2．由輪換性，∫∫1dx4πbc14SxΛdy=a∫∫SydxΛdy==πacb∴∫∫1dyΛdz+1dzΛdx+1dxΛdy=4πabc(1112+2Sxyzab+c2)15（2）計(jì)算曲面積分I=∫∫(8y+1)xdydz+2(1?y2)dzdx?4yzdxdyΣ其中Σ是曲線???z=y?1?(1≤y≤3)繞y軸旋轉(zhuǎn)一?x=0周所成的曲面，它的法向量與y軸正向的夾角恒大于π2.z解??z=y?1繞2?x=0y軸旋轉(zhuǎn)面方程為∑∑*y?1=z2+x2o13yxD2zx:x+z2≤2=2π∫2(2r?r30)dr=2π,∫∫=2∫∫(1?32)dzdx=?32π,Σ*Σ*故I=2π?(?32π)=34π.5（4）∫∫x3dyΛdz+(y3+f(yz))dzΛdx+(z3+f(yz))dxΛdyΣ，其中f(t)是連續(xù)的可微的奇函數(shù)，Σ是圓錐面x=z2+y2與球面x2+y2+z2=1所圍立體表面取外側(cè)．提醒：用Gauss公式，奇偶性注意：f(x)為奇函數(shù)，f′(x)為偶函數(shù)?！摇襵3dyΛdz+(y3+f(yz))dzΛdx+(z3+f(yz))dxΛdyΣ=∫∫∫(3x2+3y2+zf′(yz)+3z2+yf′(yz))dV(V)=3∫∫∫(x2+y2+z2)dV(V)欲求I=∫∫(8y+1)xdydz+2(1?y2)dzdx?4yzdxdyΣz且有I=Σ∫∫?2+Σ*∫∫Σ*∑∑*3y=P?Q?Ro1Σ∫∫+Σ*∫∫∫(??x+?y+?z)dv?xΣ*:y=3(x2+z2≤2)(右側(cè))=∫∫∫(8y+1?4y?4y)dv=?∫∫∫dv?=πD∫∫dxdz∫31+z2+x2dy=xz∫20dθ∫20rdr∫31+r2dy（3）∫∫[(x+y)2+z2+2yz]dS，Σ∑是球面x2+y2+z2=2x+2z；6．設(shè)曲面Σ是橢球面x2y2z2a2+b2+c2=1上第一卦限的點(diǎn)M(ξ,η,ζ)處的切平面被三坐標(biāo)面所截得的三角形，其法向量與z軸正向的夾角為銳角．問ξ,η,ζ取何值時(shí)，曲面積分I=∫∫xdydz+ydzdx+zdxdy的值最小?并求出Σ此最小值．2解：橢球面在切點(diǎn)M(ξ,η,ζ)處的切平面方程：xξyηza2+b2+?c2=1,ξ>0,η>0,?>0由輪換對稱性，∫∫xdydz=Σ∫∫ydzdx=Σ∫∫zdxdyΣzdxdy=3xξyηc2I=3∫∫Σ∫∫(1?2?2)dxdyDxyab?D{(x,y)xξyηxy=2+2≤1,x>0,y>0}=3c2a2xξabξdx∫(1?b2a2)ηxξyη?∫00(1?a2?b2)dy=3c2b2a2222ξ2?η∫(1?xξ2cba0a2)dx=2?ηξ7．求流體以速度v=(xz,2xy,3xy)流過曲面S:z=1?x2?1y24(0≤z≤1)的流量Q，曲面S的法向量與z軸正向的夾角為銳角．解：Q=∫∫Sv?ndS=∫∫SxzdyΛdz+2xydzΛdx+3xydxΛdyy2添加S0,(x,y)∈D:x21:z=+≤1,取下側(cè)Q=(??∫∫?∫∫)xzdyΛdz+2xydzΛdx4+3xydxΛdyS+S1S1=∫∫∫(z+2xy)dV?∫∫3xydxΛdyVS=∫∫∫zdV+3∫∫xydxdy1=∫∫∫zdV+0=∫10zdz∫∫dxdyVDV=∫1Dzπ02πz(1?z)dz=3解法1用stokes公式解:記Σ為平面x+y+z=2上L所圍部分的上側(cè),D為Σ在xoy面上的投影.由斯托克斯公式z1ΣI=∫∫31313???LΣ?x?y?zdSy2?z22z2?x23x2?y2=?23∫∫Σ(4x+2y+3z)dSDoyxyΣ:x+y+z=2,(x,y)∈DD:x+y≤11=?2∫∫D(x?y+6)dxdyD的形心oD=?12∫∫Ddxdyx=y=01x下面求ξηζ在條件ξ2η2ζ2a2+b2+c2=1(ξ≥0,η≥0,?≥0)下的最大值令F(ξ,η,ζ,λ)=ξηζ+λ(1?ξ22由?F?ξ=0,?F?η=0,?F?ζ=0,得ηζ=2λa2+ηb2+ζ22λc2)2λa2ξ,ξζ=b2η,ξη=c2ζ從而有ξ2a2=η2b2=ζ2c2,即得ξ2η2ζ2abca2=b2=c2=13?ξ=3,η=3,?=3由問題的實(shí)際意義知Imin=332abc8．求向量場F=(y2?z2)i+(2z2?x2)j+(3x2?y2)k沿閉曲線Γ的環(huán)量，Γ是平面x+y+z=2與柱面x+y=1的交線，從z軸正向看為逆時(shí)針方向．解法2化空間曲線積分為平面曲線積分記L為L在xoy平面上的投影，則I=??∫L(y2?z2)dx+(2z2?x2)dy+(3x2?y2)dz=??∫2222L[y?(2~~~~~~~~~?x?y)]dx+[2(2~~~~~~~~?x?y)?x]dy+(3x2?y2)d(2?x?y)(z=2?x?y)~~~~~~~~~=??∫L[2y2?(2?x?y)2?3x2]dx+[2(2?x?y)2?4x2+y2]dyGreen公式=x+∫∫(?12?2x+2y)dxdy=?y≤1x+∫∫12dxdy=?24y≤139．求一個(gè)可微函數(shù)f(x,y)滿足f(0,1)=1，并使曲線積分I231=∫(3xy+x)dx+f(x,y)dyL和I2=∫f(x,y)dx+(3xy2+x3)dy都與積分路徑無關(guān)．L10選取λ，使∫L2xy(x4+y2)λdx?x2(x4+y2)λdy在右半平面x>0與路徑無關(guān)，并求∫（x,y）(1,0)2xy(x4+y2)λdx?x2(x4+y2)λdy解令P=2xy(x4+y2)λ,Q=?x2(x4+y2)λ∵∫?Q?L與路徑無關(guān)?P?x=?y∴4x(x4+y2)λ(1+λ)=0,解之得λ=?1∫（x,y）(1,0)2xy(x4+y2)λdx?x2(x4+y2)λdy=∫（x,y）2xydx?x2dy(1,x4+y2=∫x2x0dxy?x2dyy0)1x4+02+∫0x4+y2=?arctanx2證明：記D:x2+y2+x+y≤0，即(x?1)2112+(y?2)2≤2，則由Green公式，I=??∫?ysinx2dx+xcosy2dy=∫∫(sinx2+cosy2)dxdy，LD又由于D具有輪換對稱性，所以∫∫cosy2dxdy=∫∫cosx2dxdy，則DDI=∫∫(sinx2+cosx2)dxdy=2∫∫sin(x2+πdy.DD4)dx根據(jù)(x?1)2+(y?1)222≤12可知(x?12)2≤12，有12(?2?1)≤x≤12(2?1)，因此x2≤??2+1?22?0時(shí)）0∫t0x00y2s2+y222=1(s2+t221t0s+s+t)t0?s0+t20)?ln()02t((s+s2+t20)14．已知二階連續(xù)可微函數(shù)f(x,y)滿足?2f2?x2+?f?y=e?(x2+y2)2，求∫∫(xfx+yfy)dxdy，D其中D:x2+y2≤1．提醒：D(r):x2+y2≤r2,D(r)的正向邊界L(r)：??x=rcosθ采用極坐標(biāo)?y=rsinθθ：0→2π∫∫(xfx+yfy)dxdy=y)dθD∫12π0rdr∫0(rcosθfx+rsinθf=∫10r(??∫L(r)fxdy?fydx)dr=∫10r????(fxx+fyy)dxdy??drD∫∫(r)??=∫10r???∫∫e?ρ2ρdρdθ??dr=12πr2π?D(r)??∫0rdr∫0dθ∫0e?ρρdρ=2e16．設(shè)對于半空間x>0內(nèi)任意光滑有向封閉曲面Σ都有??∫∫xf(x)dzΛdx?xyf(x)dzΛdx?e2xzdxΛdy=0，∑其中f(x)在(0,+∞)內(nèi)具有連續(xù)一階導(dǎo)數(shù)，且xlim→0+f(x)=1，求f(x)．提醒:沿任意閉曲面的曲面積分為零的條件設(shè)(G)是空間二維單連通區(qū)域，P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在(G)內(nèi)具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，則??∫∫pdyΛdz+QdzΛdx+RdxΛdy=0(?(S)?(G))(s)??P?Q???x+?y+?R?z=0,(divF=0)在G內(nèi)成立。13．設(shè)u(x，y)，v(x，y)是具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，證明:(1)??∫∫v??2u?2u????u?v?u?v??u2+dσ=?∫∫D??x?y2???D??x?x+?y?y?d?σ+??∫Lv?nds；(2)??∫∫??u???2v?2v???2u?2u????v?u?D???x2+?y2??v????x2+?y2???dσ=???∫L??u?n?v?n??ds，其中D為光滑曲線L所圍的平面區(qū)域，而?u?n=?u?xcos(n,x)+?u?ysin(n,x),?v?n=?v?v?xcos(n,x)+?ysin(n,x)是u(x，y)，v(x，y)沿曲線L的外法線n的方向?qū)?shù)．提醒：(1)?u?u???u???n=?xcos(n,x)+?xsin(n,x)=?u?xcos?????(τ,x)?π??u2??+?ysin?????(τ,x)?π?2??=?u?xsin(τ??,x)??u???ycos(τ,x)∴??∫Lv?u?nds=??∫Lv?u?xdy?v?u?ydx再用Green公式……15．設(shè)函數(shù)f(t)在[0,+∞)連續(xù)且滿足方程f(t)=e4πt2+x2+y∫∫f(12x2+y2)dxdy，求f(x)．2≤4t2解：∫∫f(1x2+y2)dxdy=2π2trx2+y2≤4t22∫0dθ∫0f(2)rdr2t∴f(t)=e4πt2+2π∫2tr=2π∫0rf(r2)dr0rf(2)dr(1)由(1)知，f(0)=1f′(t)=8πte4πt2+8πtf(t)即f′(t)?8πtf(t)=8πte4πt2（一階線性微分方程）f(t)=e∫8πtdt[∫8πte4πt2e?∫8πtdtdt+c]=(4πt2+c)e4πt2由f(0)=1?c=1故??f(t)=(4πt2+1)e4πt2解∵?P?x+?Q?y+?R?z=0，則xf'(x)+f(x)?xf(x)?e2x=0x>0即f'(x)+(1x?1)f(x)=1xe2xx>0??一階線性非齊次方程f(x)=e∫?(1x?1)dx(c+∫1e2xe∫(1x?1)dxx)解得f(x)=exx(ex+c)將條件limx→0+f(x)=1代入得:c=?1∴f(x)=exxx(e?1)517．設(shè)在上半平面D={(x,y)|y>0}內(nèi)，函數(shù)f(x,y)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且對任意的t>0都有f(tx,ty)=t?2f(x,y).證明：對D內(nèi)的任意分段光滑的有向簡單閉曲線L，都有??∫Lyf(x,y)dx?xf(x,y)dy=0.利用曲線積分與路徑無關(guān)的條件齊次函數(shù)求導(dǎo)性質(zhì)解：令P(x,y)=yf(x,y),Q(x,y)=?xf(x,y)，則?Q?x=?f(x,y)?xfx,y),?Px′(?y=f(x,y)+yfy′(x,y).將f(tx,ty)=t?2f(x,y)兩邊對t求導(dǎo)得xfx′(tx,ty)+yfy′(tx,ty)=?2t?3f(x,y).令t=1，則xfx′(x,y)+yfy′(x,y)=?2f(x,y)則由此可得?Q?P?x=?y.∴??∫Lyf(x,y)dx?xf(x,y)dy=0.解:（1）在不包含原點(diǎn)