復(fù)變函數(shù)與積分變換第五章留數(shù)測驗(yàn)題與答案

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第五章留數(shù)

一、選擇題：1．函數(shù)

cot?z在z?i?2內(nèi)的奇點(diǎn)個(gè)數(shù)為()

2z?3（A）1（B）2（C）3（D）4

2．設(shè)函數(shù)f(z)與g(z)分別以z?a為本性奇點(diǎn)與m級(jí)極點(diǎn)，則z?a為函數(shù)f(z)g(z)的()

（A）可去奇點(diǎn)（B）本性奇點(diǎn)

（C）m級(jí)極點(diǎn)（D）小于m級(jí)的極點(diǎn)3．設(shè)z?0為函數(shù)

1?e的m級(jí)極點(diǎn)，那么m?()4zsinzx2（A）5（B）4(C)3（D）24．z?1是函數(shù)(z?1)sin1的()z?1(A)可去奇點(diǎn)（B）一級(jí)極點(diǎn)（C）一級(jí)零點(diǎn)（D）本性奇點(diǎn)

3?2z?z35．z??是函數(shù)的()

z2(A)可去奇點(diǎn)（B）一級(jí)極點(diǎn)（C）二級(jí)極點(diǎn)（D）本性奇點(diǎn)6．設(shè)f(z)??anzn在z?R內(nèi)解析，k為正整數(shù)，那么Res[n?0?f(z),0]?()kz（A）ak（B）k!ak（C）ak?1（D）(k?1)!ak?17．設(shè)z?a為解析函數(shù)f(z)的m級(jí)零點(diǎn)，那么Res[f?(z),a]?()f(z)(A)m（B）?m（C）m?1（D）?(m?1)8．在以下函數(shù)中，Res[f(z),0]?0的是（）

1

復(fù)變函數(shù)測驗(yàn)題

ez?1sinz1（A）f(z)?（B）f(z)??

zzz2（C）f(z)?sinz?cosz11?(D)f(z)?zze?1z9．以下命題中，正確的是()（A）設(shè)f(z)?(z?z0)極點(diǎn)．

（B）假使無窮遠(yuǎn)點(diǎn)?是函數(shù)f(z)的可去奇點(diǎn)，那么Res[f(z),?]?0（C）若z?0為偶函數(shù)f(z)的一個(gè)孤立奇點(diǎn)，則Res[f(z),0]?0（D）若

?m?(z)，?(z)在z0點(diǎn)解析，m為自然數(shù)，則z0為f(z)的m級(jí)

?f(z)dz?0，則f(z)在c內(nèi)無奇點(diǎn)

c10．Res[zcos32i,?]?()z（A）?2222（B）（C）i（D）?i

333321z?i11．Res[ze（A）?,i]?()

1515?i（B）??i（C）?i（D）?i666612．以下命題中，不正確的是()

（A）若z0(??)是f(z)的可去奇點(diǎn)或解析點(diǎn)，則Res[f(z),z0]?0（B）若P(z)與Q(z)在z0解析，z0為Q(z)的一級(jí)零點(diǎn)，則Res[（C）若

P(z0)P(z),z0]?Q(z)Q?(z0)z0為

f(z)的m級(jí)極點(diǎn)，n?m為自然數(shù)，則

1dnRes[f(z),z0]?limn[(z?z0)n?1f(z)]

n!x?x0dz

2

復(fù)變函數(shù)測驗(yàn)題

（D）假使無窮遠(yuǎn)點(diǎn)?為f(z)的一級(jí)極點(diǎn)，則z?0為f()的一級(jí)極點(diǎn)，并且

1z1Res[f(z),?]?limzf()

z?0z13．設(shè)n?1為正整數(shù)，則

1dz?()?nz?1z?2(A)0（B）2?i（C）

2?i（D）2n?inz914．積分?10dz?()

z?13z?2（A）0（B）2?i（C）10（D）

?i515．積分

12zsindz?()?zz?1（A）0（B）?二、填空題

?i1（C）?（D）??i

36331．設(shè)z?0為函數(shù)z?sinz的m級(jí)零點(diǎn)，那么m?．

2．函數(shù)f(z)?11cosz在其孤立奇點(diǎn)zk?1k???2(k?0,?1,?2,??)處的留數(shù)

Res[f(z),zk]?．

3．設(shè)函數(shù)f(z)?exp{z?21}，則Res[f(z),0]?z23

復(fù)變函數(shù)測驗(yàn)題

4．設(shè)z?a為函數(shù)f(z)的m級(jí)極點(diǎn)，那么Res[f?(z),a]?．f(z)5．雙曲正切函數(shù)tanhz在其孤立奇點(diǎn)處的留數(shù)為．6．設(shè)f(z)?2z，則Res[f(z),?]?．1?z27．設(shè)f(z)?1?cosz，則Res[f(z),0]?．z5edz?．

1z8．積分

z?1?z39．積分

1dz?．?sinzz?1??xeixdx?．10．積分???1?x2三、計(jì)算積分

z?zsinz?1(ez?1?z)2dz．

4四、利用留數(shù)計(jì)算積分

??0d?a2?sin2?(a?0)

五、利用留數(shù)計(jì)算積分

?????x2?x?2dx42x?10x?9六、利用留數(shù)計(jì)算以下積分：１．

???0??cos(x?1)xsinxcos2xdxdx２．?22??x?1x?1七、設(shè)a為f(z)的孤立奇點(diǎn)，m為正整數(shù)，試證a為f(z)的m級(jí)極點(diǎn)的充要條件是

lim(z?a)mf(z)?b，其中b?0為有限數(shù)．

z?a八、設(shè)a為f(z)的孤立奇點(diǎn)，試證：若f(z)是奇函數(shù)，則Res[f(z),a]?Res[f(z),?a]；

4

復(fù)變函數(shù)測驗(yàn)題

若f(z)是偶函數(shù)，則Res[f(z),a]??Res[f(z),?a]．九、設(shè)f(z)以a為簡單極點(diǎn)，且在a處的留數(shù)為A，證明limz?af?(z)21?f(z)?1.A十、若函數(shù)?(z)在z?1上解析，當(dāng)z為實(shí)數(shù)時(shí)，?(z)取實(shí)數(shù)而且?(0)?0，f(x,y)表示

?(x?iy)的虛部，試證明?2?tsin?01?2tcos??t2f(cos?,sin?)d????(t)

5

(?1?t?1)

答案

復(fù)變函數(shù)測驗(yàn)題

第五章留數(shù)

一、1．（D）2．（B）3．（C）4．（D）５．（B）

６．（C）７．（A）８．（D）９．（C）10．（A）11．（B）12．（D）13．（A）14．（B）15．（C）

1．92．(?1)k二、(k???22)6．?27．?124