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第二章一元二次方程2.1認識一元二次方程

情景導入一個面積為120m2的矩形苗圃,它的長比寬多2m,苗圃的長和寬各是多少?解:設苗圃的寬為xm,則長為(x+2)m.根據(jù)題意,得x(x+2)=120.所列方程是否為一元一次方程?解:如果設所求的寬為x

m

,那么地毯中央長方形圖案的長為

m,寬為

m,根據(jù)題意,可得方程:(8-2x)(5-2x)(8-2x)(5-2x)=18.化簡:2x2-

13x+11=0①該方程中未知數(shù)的個數(shù)和最高次數(shù)各是多少?xx(8–2x)xx(5–2x)探究2:觀察下面等式:102+112+122=132+142你還能找到其他的五個連續(xù)整數(shù),使前三個數(shù)的平方和等于后兩個數(shù)的平方和嗎?解:如果設五個連續(xù)整數(shù)中的第一個數(shù)為x,那么后面四個數(shù)依次可表示為:

,

,

,

.

根據(jù)題意,可得方程:

x+1x+2x+3x+4x2+

(x+1)2+

(x+2)2=(x+3)2+(x+4)2.化簡得,x2-8x

-20=0.②該方程中未知數(shù)的個數(shù)和最高次數(shù)各是多少?解:由勾股定理可知,滑動前梯子底端距墻

m.如果設梯子底端滑動xm,那么滑動后梯子底端距墻

m,根據(jù)題意,可得方程:探究3:如圖,一個長為10m的梯子斜靠在墻上,梯子的頂端距地面的垂直距離為8m.如果梯子的頂端下滑1m,那么梯子的底端滑動多少米?6(x+6)72+(x+6)2

=102.化簡得,x2+12

x

-

15=0.③10m8m1mxm該方程中未知數(shù)的個數(shù)和最高次數(shù)各是多少?活動總結觀察上述方程①、②、③,它們有什么共同特點呢?2x2-13x+11=0

①x2-8x-20=0②x2+12x-15=0③特點:1.只含有一個未知數(shù);

2.未知數(shù)的最高次數(shù)是2;

3.整式方程.歸納總結

方程的等號兩邊都是整式,只含有一個未知數(shù),且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的方程叫做一元二次方程.一元二次方程的概念ax2+bx+c=0(a、b、c為常數(shù),a≠0)一元二次方程的一般形式ax2是二次項,

a是二次項的系數(shù),bx是一次項,

b是一次項系數(shù),c是常數(shù)項.應用舉例例1

下列方程哪些是一元二次方程?為什么?7x2-6x=0;(2)2x2-5xy+6y=0;(3)2x2-

-1=0;(4)=0;(5)x2+2x-3=1+x2.【方法指導】根據(jù)一元二次方程的概念進行判定.解:(1)(4)是一元二次方程;(2)含兩個未知數(shù);(3)不是整式方程;(5)不含ax2這一項.

關于x的方程(k2-1)x2+2(k-1)x+2k+2=0,當k_______時,是一元二次方程;當k_______時,是一元一次方程.【方法指導】當k2-1≠0,即k≠±1時,方程是一元二次方程.當k2-1=0時,且2(k-1)≠0時,即k=-1時是一元一次方程.例2≠±1=-1例3a為何值時,下列方程為一元二次方程?(1)ax2-x=2x2(2)(a-1)x|a|+1

-2x-7=0.解:(1)將方程式轉化為一般形式,得(a-2)x2-x=0,所以當a-2≠0,即a≠2時,原方程是一元二次方程;(2)由∣a

∣+1=2,且a-1≠0知,當a=-1時,原方程是一元二次方程.

用一元二次方程的定義求字母的值的方法:根據(jù)未知數(shù)的最高次數(shù)等于2,列出關于某個字母的方程,再排除使二次項系數(shù)等于0的字母的值.點撥將方程3x(x-1)=5(x+2)化為一般形式,并分別指出它們的二次項、一次項和常數(shù)項及它們的系數(shù).解:去括號,得3x2-3x=5x+10.移項、合并同類項,得一元二次方程的一般形式3x2-8x-10=0.其中二次項是3x2,系數(shù)是3;一次項是-8x,系數(shù)是-8;常數(shù)項是-10.例41.把方程-5x2+6x+3=0的二次項系數(shù)化為1,方程可變?yōu)?/p>

(

)A.x2+

x+

=0

B.x2-6x-3=0C.x2-

x-

=0

D.x2-

x+

=02.一元二次方程(x+1)2-x=3(x2-2)化成一般形式是________________隨堂練習2x2-x-7=0

C3.把方程(1-3x)(x+3)=2x2+1化為一元二次方程的一般形式,并寫出二次項、二次項系數(shù)、一次項、一次項系數(shù)及常數(shù)項.解:原方程化為一般形式是:5x2+8x-2=0,其中二次項是5x2,二次項系數(shù)是5,一次項是8x,一次項系數(shù)是8,常數(shù)項是-2.4.(1)如圖,已知一矩形的長為200cm,寬150cm.現(xiàn)在矩形中挖去一個圓,使剩余部分的面積為原矩形面積的四分之三.求挖去的圓的半徑xcm應滿足的方程(其中π

取3).解:由于圓的半徑為xcm,則它的面積為3x2

cm2.整理,得根據(jù)題意有,200cm150cm(2)如圖,據(jù)某市交通部門統(tǒng)計,前年該市汽車擁有量為75萬輛,兩年后增加到108萬輛.求該市兩年來汽車擁有量的年平均增長率

x應滿足的方程.解:該市兩年來汽車擁有量的年平均增長率為x,整理,得

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