動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)專題

動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)專題技術(shù)中心：Ⅰ.動(dòng)力學(xué)計(jì)算原理Ⅱ.理解反應(yīng)譜—單自由體系Ⅲ.多自由體系的反應(yīng)譜計(jì)算Ⅳ.時(shí)程分析方法本期主要內(nèi)容Ⅰ.計(jì)算原理慣性力阻尼力彈性力結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)方程Ⅰ.計(jì)算原理

根據(jù)達(dá)朗貝爾（D’Alembert）原理:物體運(yùn)動(dòng)中的任一時(shí)刻，作用于物體的外力與慣性力平衡，也就將動(dòng)力問題轉(zhuǎn)化為靜力問題

左式：地震動(dòng)引起的結(jié)構(gòu)內(nèi)部的效應(yīng)右式：地面加速度引起的結(jié)構(gòu)振動(dòng)

阻尼比圓頻率周期結(jié)構(gòu)信息：1、橋墩單元無自重，墩頂施加100kN/g的質(zhì)量塊2、施加常規(guī)的時(shí)程地震波3、取10s時(shí)刻對(duì)應(yīng)的各個(gè)內(nèi)力

質(zhì)量m1000.824慣性力82.38711.1910.024阻尼力0.269彈性剛度k5055.60.014彈性力（查內(nèi)力）-72.845質(zhì)量m100-0.098地震作用力9.806結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)方程82.387+0.269-72.845=9.811Ⅰ.計(jì)算原理結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)方程

單自由度運(yùn)動(dòng)體系的振動(dòng)常系數(shù)二階非齊次線性微分方程齊次方程通解非齊次方程特解自由振動(dòng)強(qiáng)迫振動(dòng)

杜哈美積分杜哈美積分：將外荷載視為由時(shí)間間隔非常短的沖擊荷載組成的，結(jié)構(gòu)反應(yīng)為對(duì)各沖擊荷載反應(yīng)之和對(duì)脈沖1的反應(yīng)對(duì)脈沖2的反應(yīng)對(duì)??時(shí)刻脈沖的反應(yīng)總反應(yīng)Ⅰ.計(jì)算原理由靜力到動(dòng)力的華麗轉(zhuǎn)身待解決的問題解決方法線性方程（組）微分方程（組）內(nèi)力成分彈性力慣性力、阻尼力、彈性力核心物理量剛度質(zhì)量、阻尼、剛度考慮時(shí)間因素，動(dòng)力方程的結(jié)果可以近似考慮為多個(gè)靜力狀態(tài)的連續(xù)對(duì)于某一狀態(tài)除了剛度相關(guān)的彈性力，還要考慮阻尼力和慣性力理論上靜力分析對(duì)于橋梁結(jié)構(gòu)大部分是可以手算的，但是動(dòng)力分析很難手算靜力分析的核心算法是“線性方程組”，動(dòng)力分析的核心算法是“微分方程組”結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)方程Ⅰ.計(jì)算原理Ⅱ.理解反應(yīng)譜—單自由體系反應(yīng)譜中的地震波Ⅱ.理解反應(yīng)譜

阻尼比圓頻率周期

結(jié)構(gòu)的阻尼比和周期

Ⅱ.理解反應(yīng)譜結(jié)構(gòu)的阻尼比和周期結(jié)構(gòu)阻尼比的特性：周期與阻尼比無關(guān)阻尼比影響振動(dòng)幅度（振幅）

數(shù)學(xué)物理

無阻尼單自由度自由振動(dòng)（簡諧振動(dòng)）Ⅱ.理解反應(yīng)譜結(jié)構(gòu)的阻尼比和周期決定周期的兩個(gè)因素：質(zhì)量剛度單自由度體系計(jì)算周期的公式：質(zhì)量與剛度：質(zhì)量和剛度會(huì)影響振幅隨著質(zhì)量的增大，周期增大隨著剛度的增大，周期減小

Ⅱ.理解反應(yīng)譜結(jié)構(gòu)的阻尼比和周期小結(jié)：單自由度體系的自由振動(dòng)物理量有無阻尼的自由振動(dòng)阻尼比周期質(zhì)量、剛度運(yùn)動(dòng)形態(tài)呈現(xiàn)周期往復(fù)的特點(diǎn)阻尼與周期無關(guān)，阻尼和周期對(duì)振幅都有影響振動(dòng)周期與質(zhì)量和剛度有關(guān)，質(zhì)量越大周期越大，剛度越大周期越小阻尼比是結(jié)構(gòu)的固有特性，如混凝土0.05、鋼材0.02Ⅱ.理解反應(yīng)譜反應(yīng)譜的由來周期T質(zhì)量m0.010.0130.1950.11.2820.4790.25.1270.4730.311.5370.4850.420.5100.4760.532.0460.3820.646.1460.3160.762.8110.2730.882.0380.2350.9103.8300.2131128.1850.1912512.7390.10631153.6620.07142050.9550.05253204.6180.044

2、修改周期計(jì)算出最大加速度??=0.05

1、調(diào)整剛度或質(zhì)量來修改周期Ⅱ.理解反應(yīng)譜T=0.4T=0.1T=0.8T=2周期T0.10.4790.40.4760.80.23520.1060.4790.4760.2350.106反應(yīng)譜的由來Ⅱ.理解反應(yīng)譜反應(yīng)譜的由來周期T0.010.10.20.30.40.50.60.70.80.9123456

不同的阻尼比就是不同的曲線??=0.01~0.06Ⅱ.理解反應(yīng)譜反應(yīng)譜的由來

多條地震波對(duì)應(yīng)反應(yīng)譜的歸一化處理地震波分區(qū)特征周期，場地設(shè)防烈度反應(yīng)譜阻尼比周期歸一化多條地震波多種阻尼比Ⅱ.理解反應(yīng)譜單自由度結(jié)構(gòu)的反應(yīng)譜計(jì)算原理計(jì)算周期查譜值等效靜力靜力計(jì)算

設(shè)計(jì)反應(yīng)譜小結(jié)是實(shí)際地震記錄的統(tǒng)計(jì)結(jié)果表達(dá)特定地區(qū)單自由度體系不同周期對(duì)應(yīng)的慣性加速度可在規(guī)范中如移動(dòng)荷載一般規(guī)定明確的荷載“等級(jí)”已知設(shè)計(jì)譜無需解微分方程，求解方法和靜力一致Ⅱ.理解反應(yīng)譜單自由度結(jié)構(gòu)的反應(yīng)譜計(jì)算原理查譜值TS0.840.23210.900.21670.8934950.2184計(jì)算內(nèi)力質(zhì)量m100加速度S2.1413作用力F=mS214.133Civil-Fz214.010計(jì)算位移作用力214.133抗推剛度k5055.6120.042Ⅱ.理解反應(yīng)譜振動(dòng)的特殊現(xiàn)象——共振關(guān)于周期的進(jìn)一步討論——共振Ⅱ.理解反應(yīng)譜修改輸入荷載的周期，觀察結(jié)構(gòu)震動(dòng)情況：當(dāng)荷載周期與結(jié)構(gòu)的固有周期相近時(shí)，整個(gè)結(jié)構(gòu)的振動(dòng)位移明顯增大（共振）結(jié)構(gòu)振動(dòng)受到荷載周期和結(jié)構(gòu)自身周期的影響卓越周期：引起場地振動(dòng)最顯著的某條地震動(dòng)的諧波周期不同場地的卓越周期不同，與場地覆土厚度、土的剪切波速有關(guān)

Ⅲ.多自由度體系反應(yīng)譜計(jì)算以兩自由度體系為例–動(dòng)力平衡方程Ⅲ.多自由度體系

t時(shí)刻，質(zhì)點(diǎn)1的作用力慣性力阻尼力彈性力

同理可得到質(zhì)點(diǎn)2的動(dòng)力平衡方程

Ⅲ.多自由度體系

聯(lián)立為矩陣形式改寫為矩陣方程式推廣到多自由度體系以兩自由度體系為例–矩陣方程式Ⅲ.多自由度體系

無阻尼的自由振動(dòng)

動(dòng)力特征方程

非零解以兩自由度體系為例–動(dòng)力特征方程Ⅲ.多自由度體系

自振頻率

第一自振圓頻率（基本自振圓頻率）

第二自振圓頻率（較大值）

推廣到多自由度體系

以兩自由度體系為例–自振頻率Ⅲ.多自由度體系以兩自由度體系為例–振型

振動(dòng)的任意時(shí)刻，兩質(zhì)點(diǎn)的位移比值保持不變，這種振動(dòng)形式叫做振型振型是結(jié)構(gòu)的固有特性，只與結(jié)構(gòu)剛度和質(zhì)量有關(guān)，與外荷載無關(guān)第一振型第二振型第三振型振型曲線與體系初始位置的交點(diǎn)=+++++振型是將結(jié)構(gòu)的復(fù)雜振動(dòng)簡化為各種簡單振動(dòng)的疊加每一種振動(dòng)都是有可能發(fā)生的，但“概率”不同越靠前的振型發(fā)生的概率越高（主振型）振型可以看成按振型振動(dòng)時(shí)的慣性力作為靜荷載所引起的位移多自由度結(jié)構(gòu)的振型Ⅲ.多自由度體系

振型周期、振型參與質(zhì)量Ⅲ.多自由度體系振型周期：反應(yīng)結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性（和單自由度類似的）振型參與質(zhì)量決定計(jì)算的振型數(shù)量是否夠多多自由度結(jié)構(gòu)的反應(yīng)譜計(jì)算原理——振型分解法Ⅲ.多自由度體系

振型分解法——振型的正交性多自由度結(jié)構(gòu)的反應(yīng)譜計(jì)算原理——振型分解法Ⅲ.多自由度體系

轉(zhuǎn)置

振型關(guān)于質(zhì)量的正交性多自由度結(jié)構(gòu)的反應(yīng)譜計(jì)算原理——振型分解法Ⅲ.多自由度體系

振型關(guān)于質(zhì)量的正交性物理意義：

體系某一振型在振動(dòng)過程中所引起的慣性力不在其他振型上做功，即體系按某一振型作自由振動(dòng)時(shí)，不會(huì)激起該體系的其他振型的振動(dòng)

振型關(guān)于剛度的正交性物理意義：

體系某一振型在振動(dòng)過程中所引起的彈性恢復(fù)力不在其他振型上做功，即位移勢(shì)能不會(huì)轉(zhuǎn)移到其他振型上

振型關(guān)于阻尼的正交性

常用的瑞利阻尼，為質(zhì)量和剛度的線性組合多自由度結(jié)構(gòu)的反應(yīng)譜計(jì)算原理——振型分解法Ⅲ.多自由度體系振型分解法1）思路

利用各振型的相互正交，將耦聯(lián)的微分方程組轉(zhuǎn)變?yōu)槿舾蓚€(gè)相互獨(dú)立的微分方程，從而使原來多自由度體系的動(dòng)力計(jì)算問題變?yōu)槿舾蓚€(gè)單自由度體系的問題2）求解

在求得了各單自由度體系的解后，再將各個(gè)解進(jìn)行組合，從而可求得多自由度體系的地震反應(yīng)

以兩自由度體系為例第1質(zhì)點(diǎn)的位移

第2質(zhì)點(diǎn)的位移

多自由度體系多自由度結(jié)構(gòu)的反應(yīng)譜計(jì)算原理——振型分解法Ⅲ.多自由度體系

振型正交性

多自由度結(jié)構(gòu)的反應(yīng)譜計(jì)算原理——振型分解法Ⅲ.多自由度體系

分解振型參與系數(shù)90%多自由度結(jié)構(gòu)的反應(yīng)譜計(jì)算原理——振型分解法Ⅲ.多自由度體系計(jì)算周期查譜值等效靜力靜力計(jì)算

設(shè)計(jì)反應(yīng)譜小結(jié)多自由度可以理解為單自由度的疊加；這里的自由度不是節(jié)點(diǎn)的位移自由度，每個(gè)振型看作一個(gè)獨(dú)立的自由度，多少個(gè)陣型就是多少個(gè)自由度；每個(gè)振形都有自己的周期和振型形狀及質(zhì)量分布；引入振型之后，結(jié)構(gòu)實(shí)際復(fù)雜的動(dòng)力響應(yīng)