第10章 向量自回歸和向量誤差修正模型(第三版)

1第十章向量自回歸和向量誤差修正模型

傳統(tǒng)的經(jīng)濟(jì)計(jì)量方法是以經(jīng)濟(jì)理論為基礎(chǔ)來(lái)描述變量關(guān)系的模型。但是，經(jīng)濟(jì)理論通常并不足以對(duì)變量之間的動(dòng)態(tài)聯(lián)系提供一個(gè)嚴(yán)密的說(shuō)明，而且內(nèi)生變量既可以出現(xiàn)在方程的左端又可以出現(xiàn)在方程的右端使得估計(jì)和推斷變得更加復(fù)雜。為了解決這些問(wèn)題而出現(xiàn)了一種用非結(jié)構(gòu)性方法來(lái)建立各個(gè)變量之間關(guān)系的模型。本章所要介紹的向量自回歸模型(vectorautoregression，VAR)和向量誤差修正模型(vectorerrorcorrectionmodel，VEC)就是非結(jié)構(gòu)化的多方程模型。2向量自回歸(VAR)是基于數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)建立模型，VAR模型把系統(tǒng)中每一個(gè)內(nèi)生變量作為系統(tǒng)中所有內(nèi)生變量的滯后值的函數(shù)來(lái)構(gòu)造模型，從而將單變量自回歸模型推廣到由多元時(shí)間序列變量組成的“向量”自回歸模型。VAR模型是處理多個(gè)相關(guān)經(jīng)濟(jì)指標(biāo)的分析與預(yù)測(cè)最容易操作的模型之一，并且在一定的條件下，多元MA和ARMA模型也可轉(zhuǎn)化成VAR模型，因此近年來(lái)VAR模型受到越來(lái)越多的經(jīng)濟(jì)工作者的重視。10.1向量自回歸理論

3

VAR(p)模型的數(shù)學(xué)表達(dá)式是(10.1.1)

其中：yt是k維內(nèi)生變量列向量，xt是d維外生變量列向量，p是滯后階數(shù)，T是樣本個(gè)數(shù)。k

k維矩陣

1，…，

p和k

d維矩陣H是待估計(jì)的系數(shù)矩陣。

t

是k維擾動(dòng)列向量，它們相互之間可以同期相關(guān)，但不與自己的滯后值相關(guān)且不與等式右邊的變量相關(guān)，假設(shè)

是

t

的協(xié)方差矩陣，是一個(gè)(k

k)的正定矩陣。式(10.1.1)可以展開(kāi)表示為

10.1.1VAR模型的一般表示

4(10.1.2)

即含有k個(gè)時(shí)間序列變量的VAR(p)模型由k個(gè)方程組成。5其中，ci,

aij,bij是要被估計(jì)的參數(shù)。也可表示成：例如：作為VAR的一個(gè)例子，假設(shè)工業(yè)產(chǎn)量（IP）和貨幣供應(yīng)量（M1）聯(lián)合地由一個(gè)雙變量的VAR模型決定。內(nèi)生變量滯后二階的VAR(2)模型是：6

一般稱式(10.1.1)為非限制性向量自回歸模型(unrestrictedVAR)。沖擊向量

t是白噪聲向量，因?yàn)?/p>

t沒(méi)有結(jié)構(gòu)性的含義，被稱為簡(jiǎn)化形式的沖擊向量。

為了敘述方便，下面考慮的VAR模型都是不含外生變量的非限制向量自回歸模型，用下式表示

或其中:(10.1.5)7如果行列式det[

(L)]的根都在單位圓外，則式(10.1.5)滿足穩(wěn)定性條件，可以將其表示為無(wú)窮階的向量動(dòng)平均(VMA(∞))形式

(10.1.6)其中

8

對(duì)VAR模型的估計(jì)可以通過(guò)最小二乘法來(lái)進(jìn)行，假如對(duì)

矩陣不施加限制性條件，由最小二乘法可得

矩陣的估計(jì)量為

(10.1.7)

其中：當(dāng)VAR的參數(shù)估計(jì)出來(lái)之后，由于

(L)Θ(L)=Ik，所以也可以得到相應(yīng)的VMA(∞)模型的參數(shù)估計(jì)。9

由于僅僅有內(nèi)生變量的滯后值出現(xiàn)在等式的右邊，所以不存在同期相關(guān)性問(wèn)題，用普通最小二乘法(OLS)能得到VAR簡(jiǎn)化式模型的一致且有效的估計(jì)量。即使擾動(dòng)向量

t有同期相關(guān)，OLS仍然是有效的，因?yàn)樗械姆匠逃邢嗤幕貧w量，其與廣義最小二乘法(GLS)是等價(jià)的。注意，由于任何序列相關(guān)都可以通過(guò)增加更多的yt的滯后而被消除，所以擾動(dòng)項(xiàng)序列不相關(guān)的假設(shè)并不要求非常嚴(yán)格。10例10.1我國(guó)貨幣政策效應(yīng)實(shí)證分析的VAR模型

為了研究貨幣供應(yīng)量和利率的變動(dòng)對(duì)經(jīng)濟(jì)波動(dòng)的長(zhǎng)期影響和短期影響及其貢獻(xiàn)度，采用我國(guó)1995年1季度～2007年4季度的季度數(shù)據(jù)，并對(duì)變量進(jìn)行了季節(jié)調(diào)整。設(shè)居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)為CPI_90(1990年1季度=1)、居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)增長(zhǎng)率為CPI、實(shí)際GDP的對(duì)數(shù)ln(GDP/CPI_90)為ln(gdp)

、實(shí)際M1的對(duì)數(shù)ln(M1/CPI_90)為ln(m1)

和實(shí)際利率rr(一年期存款利率R-CPI）。

11

利用VAR(p)模型對(duì)

ln(gdp)

，

ln(m1)和rr，3個(gè)變量之間的關(guān)系進(jìn)行實(shí)證研究，其中實(shí)際GDP和實(shí)際M1以對(duì)數(shù)差分的形式出現(xiàn)在模型中，而實(shí)際利率沒(méi)有取對(duì)數(shù)。12EViews軟件操作

1．建立VAR模型

為了創(chuàng)建一個(gè)VAR對(duì)象，應(yīng)選擇Quick/EstimateVAR…或者選擇Objects/Newobject/VAR或者在命令窗口中鍵入var。便會(huì)出現(xiàn)下圖的對(duì)話框(以例10.1為例)：13可以在對(duì)話框內(nèi)添入相應(yīng)的信息：

(1)選擇模型類型（VARType）：

無(wú)約束向量自回歸（UnrestrictedVAR）或者向量誤差修正（VectorErrorCorrection）。無(wú)約束VAR模型是指VAR模型的簡(jiǎn)化式。

(2)在EstimationSample編輯框中設(shè)置樣本區(qū)間

(3)輸入滯后信息在LagIntervalsforEndogenous編輯框中輸入滯后信息，表明哪些滯后變量應(yīng)該被包括在每個(gè)等式的右端。這一信息應(yīng)該成對(duì)輸入：每一對(duì)數(shù)字描述一個(gè)滯后區(qū)間。例如，滯后對(duì)14表示用系統(tǒng)中所有內(nèi)生變量的1階到4階滯后變量作為等式右端的變量。也可以添加代表滯后區(qū)間的任意數(shù)字，但都要成對(duì)輸入。例如：24691212即為用2―4階，6―9階及第12階滯后變量。14

(4)在EndogenousVariables編輯欄中輸入相應(yīng)的內(nèi)生變量

(5)在ExogenousVariables編輯欄中輸入相應(yīng)的外生變量EViews允許VAR模型中包含外生變量，其中xt

是d維外生變量向量,k

d維矩陣H是要被估計(jì)的系數(shù)矩陣?？梢栽贓xogenousVariables編輯欄中輸入相應(yīng)的外生變量。系統(tǒng)通常會(huì)自動(dòng)給出常數(shù)c作為外生變量。其余兩個(gè)菜單（Cointegration和Restrictions）僅與VEC模型有關(guān)，將在下面介紹。15

2．VAR估計(jì)的輸出

VAR對(duì)象的設(shè)定框填寫(xiě)完畢，單擊OK按紐，EViews將會(huì)在VAR對(duì)象窗口顯示如下估計(jì)結(jié)果：

表中的每一列對(duì)應(yīng)VAR模型中一個(gè)內(nèi)生變量的方程。對(duì)方程右端每一個(gè)變量，EViews會(huì)給出系數(shù)估計(jì)值、估計(jì)系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差(圓括號(hào)中)及t-統(tǒng)計(jì)量(方括號(hào)中)。例如，在D(log(M1_SA_P))的方程中RR_SA(-1)的系數(shù)是-0.002187。同時(shí)，有兩類回歸統(tǒng)計(jì)量出現(xiàn)在VAR對(duì)象估計(jì)輸出的底部：16

輸出的第一部分顯示的是每個(gè)方程的標(biāo)準(zhǔn)OLS回歸統(tǒng)計(jì)量。根據(jù)各自的殘差分別計(jì)算每個(gè)方程的結(jié)果，并顯示在對(duì)應(yīng)的列中。

輸出的第二部分顯示的是VAR模型的回歸統(tǒng)計(jì)量。17

殘差的協(xié)方差的行列式值(自由度調(diào)整)由下式得出：其中m是VAR模型每一方程中待估參數(shù)的個(gè)數(shù)，不做自由度調(diào)整的殘差協(xié)方差行列式計(jì)算中不減m。是k維殘差列向量。通過(guò)假定服從多元正態(tài)（高斯）分布計(jì)算對(duì)數(shù)似然值：

AIC和SC兩個(gè)信息準(zhǔn)則的計(jì)算將在后文詳細(xì)說(shuō)明。

18例10.1結(jié)果如下：

盡管有一些系數(shù)不是很顯著，我們?nèi)匀贿x擇滯后階數(shù)為2。3個(gè)方程擬合優(yōu)度分別為：

可以利用這個(gè)模型進(jìn)行預(yù)測(cè)及下一步的分析。19

同時(shí)，為了檢驗(yàn)擾動(dòng)項(xiàng)之間是否存在同期相關(guān)關(guān)系，可用殘差的同期相關(guān)矩陣來(lái)描述。用ei

表示第i個(gè)方程的殘差，i

=1，2，3。其結(jié)果如表10.1所示。

表10.1殘差的同期相關(guān)矩陣

e1e2e3e110.36-0.4e20.3610.15e3-0.40.151從表中可以看到實(shí)際利率rr與實(shí)際M1的

ln(m1)方程、實(shí)際GDP的

ln(gdp)方程的殘差項(xiàng)之間存在的同期相關(guān)系數(shù)比較高，進(jìn)一步表明實(shí)際利率與實(shí)際貨幣供給量(M1)、實(shí)際GDP之間存在著同期的影響關(guān)系，盡管得到的估計(jì)量是一致估計(jì)量，但是在本例中卻無(wú)法刻畫(huà)它們之間的這種同期影響關(guān)系。2010.1.2結(jié)構(gòu)VAR模型(SVAR)在式(10.1.1)或式(10.1.3)中，可以看出，VAR模型并沒(méi)有給出變量之間當(dāng)期相關(guān)關(guān)系的確切形式，即在模型的右端不含有當(dāng)期的內(nèi)生變量，而這些當(dāng)期相關(guān)關(guān)系隱藏在誤差項(xiàng)的相關(guān)結(jié)構(gòu)之中，是無(wú)法解釋的，所以將式(10.1.1)和式(10.1.3)稱為VAR模型的簡(jiǎn)化形式。本節(jié)要介紹的結(jié)構(gòu)VAR模型(StructuralVAR，SVAR)，實(shí)際是指VAR模型的結(jié)構(gòu)式，即在模型中包含變量之間的當(dāng)期關(guān)系。211．兩變量的SVAR模型

為了明確變量間的當(dāng)期關(guān)系，首先來(lái)研究?jī)勺兞康腣AR模型結(jié)構(gòu)式和簡(jiǎn)化式之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系。如含有兩個(gè)變量(k=2)、滯后一階(p=1)的VAR模型結(jié)構(gòu)式可以表示為下式(10.1.8)

在模型(10.1.8)中假設(shè)：（1）隨機(jī)誤差uxt和uzt

是白噪聲序列，不失一般性，假設(shè)方差

x2=

z2=1；（2）隨機(jī)誤差uxt和uzt之間不相關(guān)，cov(uxt,uzt)=0。式(10.1.8)一般稱為一階結(jié)構(gòu)向量自回歸模型(SVAR(1))。22它是一種結(jié)構(gòu)式經(jīng)濟(jì)模型，引入了變量之間的作用與反饋?zhàn)饔?，其中系?shù)

c12表示變量zt的單位變化對(duì)變量xt的即時(shí)作用，

21表示xt-1的單位變化對(duì)zt的滯后影響。雖然uxt

和uzt

是單純出現(xiàn)在xt和zt中的隨機(jī)沖擊，但如果c21

0，則作用在xt上的隨機(jī)沖擊uxt

通過(guò)對(duì)xt的影響，能夠即時(shí)傳到變量zt上，這是一種間接的即時(shí)影響；同樣，如果c12

0，則作用在zt上的隨機(jī)沖擊uzt

也可以對(duì)xt產(chǎn)生間接的即時(shí)影響。沖擊的交互影響體現(xiàn)了變量作用的雙向和反饋關(guān)系。23

為了導(dǎo)出VAR模型的簡(jiǎn)化式方程，將上述模型表示為矩陣形式該模型可以簡(jiǎn)單地表示為(10.1.9)

假設(shè)C0可逆，可導(dǎo)出簡(jiǎn)化式方程為其中：

，，(10.1.10)24

從而可以看到，簡(jiǎn)化式擾動(dòng)項(xiàng)

t是結(jié)構(gòu)式擾動(dòng)項(xiàng)ut的線性組合，因此代表一種復(fù)合沖擊。因?yàn)閡xt

和uzt是不相關(guān)的白噪聲序列，則可以斷定上述

1t和

2t

也是白噪聲序列，并且均值和方差為25

同期的

1t和

2t之間的協(xié)方差為

從式(10.1.11)可以看出當(dāng)c12≠0或c21≠0時(shí)，VAR模型簡(jiǎn)化式中的擾動(dòng)項(xiàng)不再像結(jié)構(gòu)式中那樣不相關(guān)，正如例10.1中的表10.1所顯示的情況。當(dāng)c12=c21=0時(shí)，即變量之間沒(méi)有即時(shí)影響，上述協(xié)方差為0，相當(dāng)于對(duì)C0矩陣施加約束。(10.1.11)26

2．多變量的SVAR模型

下面考慮k個(gè)變量的情形，p階結(jié)構(gòu)向量自回歸模型SVAR(p)為其中：

,,

(10.1.13)27

可以將式(10.1.13)寫(xiě)成滯后算子形式(10.1.14)其中：C(L)=C0

1L

2L2…

pLp

，C(L)是滯后算子L的

k

k

的參數(shù)矩陣，C0

Ik。需要注意的是，本書(shū)討論的SVAR模型，C0

矩陣均是主對(duì)角線元素為1的矩陣。如果C0是一個(gè)下三角矩陣，則SVAR模型稱為遞歸的SVAR模型。不失一般性，在式(10.1.14)假定結(jié)構(gòu)式誤差項(xiàng)(結(jié)構(gòu)沖擊)

ut的方差-協(xié)方差矩陣標(biāo)準(zhǔn)化為單位矩陣Ik。同樣，如果矩陣多項(xiàng)式C(L)可逆，可以表示出SVAR的無(wú)窮階的VMA(∞)形式其中：

，

(10.1.15)28

式(10.1.15)通常稱為經(jīng)濟(jì)模型的最終表達(dá)式，因?yàn)槠渲兴袃?nèi)生變量都表示為ut的分布滯后形式。而且結(jié)構(gòu)沖擊ut是不可直接觀測(cè)得到，需要通過(guò)

yt各元素的響應(yīng)才可觀測(cè)到。可以通過(guò)估計(jì)式(10.1.5)，轉(zhuǎn)變簡(jiǎn)化式的誤差項(xiàng)得到結(jié)構(gòu)沖擊ut。從式(10.1.6)和式(10.1.15)，可以得到上式對(duì)于任意的t都是成立的，稱為典型的SVAR模型。由于Θ0=Ik，可得或

(10.1.16)(10.1.17)29

(10.1.18)式(9.1.17)兩端平方取期望，可得

所以我們可以通過(guò)對(duì)D0施加約束來(lái)識(shí)別SVAR模型。由式(10.1.15)，有更一般的，假定A、B是(k

k)階的可逆矩陣，A矩陣左乘式(10.1.5)形式的VAR模型，則得

t=1，2，…，T(10.1.19)如果A、B滿足下列條件：A

t=But

,E(ut

)=0k,E(utut

)=Ik，則稱上述模型為AB-型SVAR模型。特別的，在式（10.1.17）的后一個(gè)表達(dá)式中，A=D0-1

,B=Ik。3010.2結(jié)構(gòu)VAR(SVAR)模型的識(shí)別條件

前面已經(jīng)提到，在VAR簡(jiǎn)化式中變量間的當(dāng)期關(guān)系沒(méi)有直接給出，而是隱藏在誤差項(xiàng)的相關(guān)關(guān)系的結(jié)構(gòu)中。自Sims的研究開(kāi)始，VAR模型在很多研究領(lǐng)域取得了成功，在一些研究課題中，VAR模型取代了傳統(tǒng)的聯(lián)立方程模型，被證實(shí)為實(shí)用且有效的統(tǒng)計(jì)方法。然而，VAR模型存在參數(shù)過(guò)多的問(wèn)題，如式(10.1.1)中，一共有k(kp+d)個(gè)參數(shù)，只有所含經(jīng)濟(jì)變量較少的VAR模型才可以通過(guò)OLS和極大似然估計(jì)得到滿意的估計(jì)結(jié)果。為了解決這一參數(shù)過(guò)多的問(wèn)題，計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)家們提出了許多方法。這些方法的出發(fā)點(diǎn)都是通過(guò)對(duì)參數(shù)空間施加約束條件從而減少所估計(jì)的參數(shù)。SVAR模型就是這些方法中較為成功的一種。3110.2.1VAR模型的識(shí)別條件

在經(jīng)濟(jì)模型的結(jié)構(gòu)式和簡(jiǎn)化式之間進(jìn)行轉(zhuǎn)化時(shí)，經(jīng)常遇到模型的識(shí)別性問(wèn)題，即能否從簡(jiǎn)化式參數(shù)估計(jì)得到相應(yīng)的結(jié)構(gòu)式參數(shù)。對(duì)于k元p階簡(jiǎn)化VAR模型利用極大似然方法，需要估計(jì)的參數(shù)個(gè)數(shù)為而對(duì)于相應(yīng)的k元p階的SVAR模型來(lái)說(shuō)，需要估計(jì)的參數(shù)個(gè)數(shù)為

(10.2.1)(10.2.2)(10.2.3)(10.2.4)32

要想得到結(jié)構(gòu)式模型惟一的估計(jì)參數(shù)，要求識(shí)別的階條件和秩條件，即簡(jiǎn)化式的未知參數(shù)不比結(jié)構(gòu)式的未知參數(shù)多(識(shí)別的階條件和秩條件的詳細(xì)介紹請(qǐng)參見(jiàn)第14章的“14.1.2聯(lián)立方程模型的識(shí)別”)。因此，如果不對(duì)結(jié)構(gòu)式參數(shù)加以限制，將出現(xiàn)模型不可識(shí)別的問(wèn)題。對(duì)于k元p階SVAR模型，需要對(duì)結(jié)構(gòu)式施加的限制條件個(gè)數(shù)為式(10.2.4)和式(10.2.2)的差，即施加k(k-1)/2個(gè)限制條件才能估計(jì)出結(jié)構(gòu)式模型的參數(shù)。這些約束條件可以是同期(短期)的，也可以是長(zhǎng)期的。特別的，對(duì)于式（10.1.19）表示的AB-型的SVAR模型，其滿足E(A

t

t

A

)=E(Butut

B

)，進(jìn)而得到A

A

=BB

。如果

的形式已知，則A

A

=BB

是對(duì)矩陣A、B的參數(shù)施加了k(k+1)/2個(gè)非線性限制條件，剩下2k2

k(k+1)/2個(gè)自由參數(shù)。3310.2.2SVAR模型的約束形式

為了詳細(xì)說(shuō)明SVAR模型的約束形成，從式(10.1.16)和式(10.1.17)出發(fā)，可以得到其中Θ(L)、D(L)分別是VAR模型和SVAR模型相應(yīng)的VMA(∞)模型的滯后算子式，這就隱含著因此，只需要對(duì)D0進(jìn)行約束，就可以識(shí)別整個(gè)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)。由式(10.1.15)知D0=C0-1，因此如果C0或D0是已知的，可以通過(guò)估計(jì)式(10.1.17)和式(10.2.6)非常容易的得到滯后多項(xiàng)式的結(jié)構(gòu)系數(shù)和結(jié)構(gòu)新息ut。在有關(guān)SVAR模型的文獻(xiàn)中，這些約束通常來(lái)自于經(jīng)濟(jì)理論，表示經(jīng)濟(jì)變量和結(jié)構(gòu)沖擊之間有意義的長(zhǎng)期和短期關(guān)系。

(10.2.5),i=0，1，2，…(10.2.6)34

1.短期約束

短期約束通常直接施加在矩陣D0上，表示經(jīng)濟(jì)變量對(duì)結(jié)構(gòu)沖擊的同期響應(yīng)，常見(jiàn)的可識(shí)別約束是簡(jiǎn)單的0約束排除方法。

（1）通過(guò)Cholesky-分解建立遞歸形式的短期約束

Sims提出使D0矩陣的上三角為0的約束方法，這是一個(gè)簡(jiǎn)單的對(duì)協(xié)方差矩陣

的Cholesky-分解。下面，首先介紹Cholesky-分解的基本思想。

35

Cholesky(喬利斯基)分解

對(duì)于任意實(shí)對(duì)稱正定矩陣

，存在惟一一個(gè)主對(duì)角線元素為1的下三角形矩陣G和惟一一個(gè)主對(duì)角線元素為正的對(duì)角矩陣Q使得：利用這一矩陣G可以構(gòu)造一個(gè)k維向量ut，構(gòu)造方法為

ut=G

-1

t，設(shè)則

由于Q是對(duì)角矩陣，可得ut的元素互不相關(guān)，其（j,j）元素是ujt

的方差。令Q1/2表示其（j,j）元素為ujt

標(biāo)準(zhǔn)差的對(duì)角矩陣。注意到式(10.2.7)可寫(xiě)為其中P=GQ1/2是一個(gè)下三角矩陣。式(10.2.8)被稱為Cholesky(喬利斯基)分解。(10.2.7)(10.2.8)36

Sims施加約束的基本過(guò)程是：

由于

是正定矩陣，所以可得到Cholesky因子P，即PP

=

。而且，當(dāng)給定矩陣

時(shí)，Cholesky因子P是惟一確定的。

對(duì)于VAR模型，其中VWN(0k,

)表示均值為0k，協(xié)方差矩陣為

的白噪聲向量，這里0k表示k維零向量。上式兩邊都乘以P

1，得到其中：ut=P-1

t。由于

所以u(píng)t是協(xié)方差為單位矩陣的白噪聲向量，即ut~

VMN(0k,Ik)。(10.2.9)(10.2.10)37在向量

t中的各元素可能是當(dāng)期相關(guān)的，而向量

ut中的各元素不存在當(dāng)期相關(guān)關(guān)系，即這些隨機(jī)擾動(dòng)是相互獨(dú)立的。這些相互獨(dú)立的隨機(jī)擾動(dòng)可以被看作是導(dǎo)致內(nèi)生變量向量yt變動(dòng)的最終因素。由式(10.2.9)還可以得出其中

,,很明顯，C0

是下三角矩陣。這意味著變量間的當(dāng)期關(guān)系可以用遞歸的形式表示出來(lái)，得到的正交VMA(∞)表示(或Wold表示)形式為其中：Di=ΘiP，D0=P。注意到D0=P，所以沖擊

ut對(duì)

yt中的元素的當(dāng)期沖擊效應(yīng)是由Cholesky因子P決定的。(10.2.11)(10.2.12)38

更需要注意的是，由于P是下三角矩陣，由式(10.2.9)可知，這要求向量yt中的y2t，…，ykt的當(dāng)期值對(duì)第一個(gè)分量y1t沒(méi)有影響，因此Cholesky分解因子P的決定和VAR模型中變量的次序有關(guān)，而且在給定變量次序的模型中，Cholesky分解因子矩陣P是惟一的。綜上所述，只要式(10.1.13)中的C0是主對(duì)角線元素為1的下三角矩陣，則SVAR模型是一種遞歸模型，而且是恰好識(shí)別的。39

（2）依據(jù)經(jīng)濟(jì)理論假設(shè)的短期約束

但是，一般短期約束的施加不必是下三角形式的。只要滿足式(10.1.18)：約束可以施加給D0的任何元素。同時(shí)，由式(10.1.15)可知，SVAR模型中的同期表示矩陣C0是D0的逆，即D0=C0-1，因此也可以通過(guò)對(duì)C0施加限制條件實(shí)現(xiàn)短期約束。對(duì)于k個(gè)變量p階SVAR模型，需要對(duì)結(jié)構(gòu)式施加k(k-1)/2個(gè)限制條件才能識(shí)別出結(jié)構(gòu)沖擊。例如對(duì)于稅收(ln(y1t))、政府支出(ln(y2t))和產(chǎn)出(ln(y3t))的三變量SVAR(2)模型來(lái)說(shuō)，由于模型中包含3個(gè)內(nèi)生變量，則k(k-1)/2=3，因此需要對(duì)模型施加3個(gè)約束條件，才能識(shí)別出結(jié)構(gòu)沖擊。

40根據(jù)經(jīng)濟(jì)理論可作出如下的三個(gè)假設(shè)：①實(shí)際GDP不影響同期的政府支出，即C0矩陣中c23=0。②政府支出不影響同期的稅收，即C0矩陣中c12=0。③關(guān)于稅收的實(shí)際產(chǎn)出彈性假設(shè)，通過(guò)回歸模型得出平均的稅收的產(chǎn)出彈性為1.71，即c13=1.71。41

2.長(zhǎng)期約束

關(guān)于長(zhǎng)期約束的概念最早是由Blanchard和Quah在1989年提出的，是為了識(shí)別模型供給沖擊對(duì)產(chǎn)出的長(zhǎng)期影響。施加在結(jié)構(gòu)VMA(∞)模型的系數(shù)矩陣Di(i=1，2，…)上的約束通常稱為長(zhǎng)期約束。最常見(jiàn)的長(zhǎng)期約束的形式是對(duì)

i

=0

Di

的第i行第j列元素施加約束，典型的是0約束形式，表示第j個(gè)變量對(duì)第i個(gè)變量的累積乘數(shù)影響為0。

關(guān)于長(zhǎng)期約束更詳細(xì)的說(shuō)明及其經(jīng)濟(jì)含義可參考10.4節(jié)的脈沖響應(yīng)函數(shù)。42

在EViews中如何估計(jì)SVAR模型

在VAR估計(jì)窗口中選擇：Procs/EstimateStructuralFactorization即可。下面對(duì)這一操作進(jìn)行詳細(xì)說(shuō)明：假設(shè)在EViews中SVAR模型為：

其中et，ut是k維向量，et是簡(jiǎn)化式的殘差，相當(dāng)于前文的

t，而?t是結(jié)構(gòu)新息(結(jié)構(gòu)式殘差)。A、B是待估計(jì)的k

k矩陣。43例10.2基于SVAR模型的貨幣政策效應(yīng)的實(shí)證分析

中央銀行通過(guò)調(diào)整利率和貨幣供應(yīng)量等貨幣政策工具，來(lái)影響投資、社會(huì)需求及總支出，進(jìn)而對(duì)經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)產(chǎn)生作用。凱恩斯學(xué)派和貨幣主義學(xué)派都承認(rèn)貨幣供應(yīng)量對(duì)經(jīng)濟(jì)有影響，雖然途徑不一樣，但都是誘發(fā)經(jīng)濟(jì)波動(dòng)的主要原因。為了驗(yàn)證利率和貨幣供給的沖擊對(duì)經(jīng)濟(jì)波動(dòng)的影響，例10.1使用了VAR模型，但是其缺點(diǎn)是不能刻畫(huà)變量之間的同期相關(guān)關(guān)系，而這種同期相關(guān)關(guān)系隱藏在擾動(dòng)項(xiàng)變動(dòng)中，因此可以通過(guò)本節(jié)介紹的SVAR模型來(lái)識(shí)別，這就涉及對(duì)模型施加約束的問(wèn)題。首先，根據(jù)式（10.1.19）建立3變量的SVAR(2)模型，其形式如下：式中yt

(rrt,

ln(m1t),

ln(gdpt))。假定式(10.2.13)是AB-型SVAR模型，則

,t=1，2，…，T(10.2.13)44其中A、B參數(shù)矩陣及向量分別為，，(10.2.14)

,其中

t是VAR模型的擾動(dòng)項(xiàng)，u1t

、u2t

和u3t

分別表示作用在實(shí)際利率rr、Δln(m1)和Δln(gdp)上的結(jié)構(gòu)式?jīng)_擊，即結(jié)構(gòu)式擾動(dòng)項(xiàng)，ut～VMN(0k,Ik)。這里

t

=A-1ut，因此簡(jiǎn)化式擾動(dòng)項(xiàng)

t

是結(jié)構(gòu)式擾動(dòng)項(xiàng)

ut的線性組合，因此代表一種復(fù)合沖擊。45

模型中有3個(gè)內(nèi)生變量，因此至少需要施加2k2

k(k+1)/2=12個(gè)約束才能使得SVAR模型滿足可識(shí)別條件。本例中約束B(niǎo)矩陣是對(duì)角矩陣，相當(dāng)于施加了

k2

k

個(gè)約束條件，A矩陣（即C0矩陣）對(duì)角線元素為1，相當(dāng)于施加了k個(gè)約束條件，因此共施加k2

9個(gè)約束條件。根據(jù)經(jīng)濟(jì)理論，本例再施加如下3個(gè)約束條件：(1)實(shí)際利率對(duì)當(dāng)期貨幣供給量的變化沒(méi)有反應(yīng)，即a12=0；(2)實(shí)際利率對(duì)當(dāng)期GDP的變化沒(méi)有反應(yīng)，即a13=0；

(3)當(dāng)期GDP波動(dòng)對(duì)當(dāng)期貨幣供給量M1的變化沒(méi)有反應(yīng)，即a32=0。46

1.用矩陣模式表示的短期約束

在許多問(wèn)題中，對(duì)于A、B矩陣的可識(shí)別約束是簡(jiǎn)單的排除0約束。在這種情況下，可以通過(guò)創(chuàng)建矩陣指定A、B的約束，矩陣中想估計(jì)的未知元素定義為缺省值NA，在矩陣中所有非缺省的值被固定為某一指定的值。

例如：對(duì)于例10.2，(10.2.14)的簡(jiǎn)化式擾動(dòng)項(xiàng)和結(jié)構(gòu)式擾動(dòng)項(xiàng)的關(guān)系為A

t=But，對(duì)于k

=

3個(gè)變量的SVAR模型，其矩陣模式可定義為：47

一旦創(chuàng)建了矩陣，從VAR對(duì)象窗口的菜單中選擇Procs/EstimateStructuralFactorization，在下圖所示的SVAROptions的對(duì)話框中，擊中Matrix按鈕和Short-RunPattern按鈕，并在相應(yīng)的編輯框中填入模版矩陣的名字。

48

2.用文本形式表示的短期約束對(duì)于更一般的約束，可用文本形式指定可識(shí)別的約束。在文本形式中，以一系列的方程表示關(guān)系：Aet=

B?t

并用特殊的記號(hào)識(shí)別et和?t向量中的每一個(gè)元素。A、B矩陣中被估計(jì)的元素必須是系數(shù)向量中被指定的元素。

例如：對(duì)于有3個(gè)變量的SVAR模型，約束A矩陣為C0矩陣，B矩陣是一對(duì)角矩陣。在這些約束條件下，Aet=?t

的關(guān)系式可以寫(xiě)為下面的形式。49為了以文本形式指定這些約束，從VAR對(duì)象窗口選擇Procs/EstimateStructureFactorization…，并單擊Text按鈕，在編輯框中，應(yīng)鍵入下面的方程：@e1=@u1

@e2=c(1)

@e1+

@u2+c(4)

@e3

@e3

=c(2)

@e1+

c(3)

@e2+

@u3

50

特殊的關(guān)鍵符“@e1”，“@e2”，“@e3”分別代表et(即

t)向量中的第一、第二、第三個(gè)元素，而“@u1”，“@u2”，“@u3”分別代表ut向量中的第一、第二、第三個(gè)元素。在這個(gè)例子中，A、B矩陣中的未知元素以系數(shù)向量c中的元素來(lái)代替。并且對(duì)A、B矩陣的約束不必是下三角形式，可以依據(jù)具體的經(jīng)濟(jì)理論來(lái)建立約束。51

4.A、B矩陣的估計(jì)

一旦提供了上述所描述的任何一種形式的可識(shí)別約束，單擊SVAROptions對(duì)話框的OK按鈕，就可以估計(jì)A、B矩陣。為了使用脈沖響應(yīng)和方差分解的結(jié)構(gòu)選項(xiàng)，必須先估計(jì)這兩個(gè)矩陣。假定擾動(dòng)項(xiàng)是多元正態(tài)的，EViews使用極大似然估計(jì)法估計(jì)A、B矩陣。使用不受限制的參數(shù)代替受限制的參數(shù)計(jì)算似然值。對(duì)數(shù)似然值通過(guò)得分方法最大化，在這兒梯度和期望信息矩陣使用解析法計(jì)算。52

①最優(yōu)化控制(OptimizationControl)

最優(yōu)化過(guò)程控制的選項(xiàng)在SVAROptions對(duì)話框的OptimizationControl欄下提供?？梢灾付ǔ跏贾?、迭代的最大數(shù)和收斂標(biāo)準(zhǔn)。53②估計(jì)的輸出

一旦估計(jì)收斂，EViews會(huì)在VAR對(duì)象窗口中顯示估計(jì)的結(jié)果，包括：估計(jì)值、標(biāo)準(zhǔn)誤差和被估計(jì)無(wú)約束參數(shù)的Z統(tǒng)計(jì)量及對(duì)數(shù)似然的最大值。54

在模型(10.2.13)滿足可識(shí)別條件的情況下，我們可以使用完全信息極大似然方法（FIML）估計(jì)得到SVAR模型的所有未知參數(shù)，從而可得矩陣A及

t

和ut的線性組合的估計(jì)結(jié)果如下（設(shè)VAR模型的估計(jì)殘差=et）：或者可以表示為本章將在例10.5中，利用脈沖響應(yīng)函數(shù)討論實(shí)際利率和貨幣供給量的變動(dòng)對(duì)產(chǎn)出的影響。55

無(wú)論建立什么模型，都要對(duì)其進(jìn)行識(shí)別和檢驗(yàn)，以判別其是否符合模型最初的假定和經(jīng)濟(jì)意義。本節(jié)簡(jiǎn)單介紹關(guān)于VAR模型的各種檢驗(yàn)。這些檢驗(yàn)對(duì)于后面將要介紹的向量誤差修正模型（VEC）也適用。

10.3.1Granger因果檢驗(yàn)

VAR模型的另一個(gè)重要的應(yīng)用是分析經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列變量之間的因果關(guān)系。本節(jié)討論由Granger(1969)提出，Sims(1972)推廣的如何檢驗(yàn)變量之間因果關(guān)系的方法。10.3VAR模型的檢驗(yàn)

56

1.Granger因果關(guān)系的定義Granger解決了x是否引起y的問(wèn)題，主要看現(xiàn)在的y能夠在多大程度上被過(guò)去的x解釋，加入x的滯后值是否使解釋程度提高。如果x在y的預(yù)測(cè)中有幫助，或者x與y的相關(guān)系數(shù)在統(tǒng)計(jì)上顯著時(shí)，就可以說(shuō)“y是由xGranger引起的”。

考慮對(duì)yt進(jìn)行s期預(yù)測(cè)的均方誤差（MSE）：

(10.3.1)57

這樣可以更正式地用如下的數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)描述。Granger因果定義：如果關(guān)于所有的s>0，基于(yt，yt-1，…)預(yù)測(cè)yt+s得到的均方誤差，與基于(yt，yt-1，…)和(xt，xt-1，…)兩者得到的yt+s的均方誤差相同，則y不是由xGranger引起的。對(duì)于線性函數(shù)，若有可以得出結(jié)論：x

不能Granger引起y。等價(jià)的，如果(10.3.2)式成立，則稱x對(duì)于y是外生的。這個(gè)意思相同的第三種表達(dá)方式是x關(guān)于未來(lái)的y無(wú)線性影響信息。(10.3.2)58

注意到“xGranger引起y”這種表達(dá)方式并不意味著y是x的效果或結(jié)果。Granger因果檢驗(yàn)度量對(duì)y進(jìn)行預(yù)測(cè)時(shí)x的前期信息對(duì)均方誤差MSE的減少是否有貢獻(xiàn)，并以此作為因果關(guān)系的判斷基準(zhǔn)。用和不用x的前期信息相比，MSE無(wú)變化，稱x在Granger意義下對(duì)y無(wú)因果關(guān)系，反之，當(dāng)x的前期信息對(duì)MSE的減少有貢獻(xiàn)時(shí)，稱x在Granger意義下對(duì)y有因果關(guān)系。可以將上述結(jié)果推廣到k個(gè)變量的VAR(p)模型中去，考慮對(duì)模型(10.1.5)，利用從(t-1)至(t-p)期的所有信息，得到y(tǒng)t的最優(yōu)預(yù)測(cè)如下：

(10.3.3)VAR(p)模型中Granger因果關(guān)系如同兩變量的情形，可以判斷是否存在過(guò)去的影響。

59作為兩變量情形的推廣，對(duì)多個(gè)變量的組合給出如下的系數(shù)約束條件：在多變量VAR(p)模型中不存在yjt到y(tǒng)it的Granger意義下的因果關(guān)系的必要條件是(10.3.4)其中是的第i行第j列的元素。

2.Granger因果關(guān)系檢驗(yàn)

Granger因果關(guān)系檢驗(yàn)實(shí)質(zhì)上是檢驗(yàn)一個(gè)變量的滯后變量是否可以引入到其他變量方程中。一個(gè)變量如果受到其他變量的滯后影響，則稱它們具有Granger因果關(guān)系。60

在一個(gè)二元p階的VAR模型中(10.3.5)當(dāng)且僅當(dāng)系數(shù)矩陣中的系數(shù)全部為0時(shí)，變量x不能Granger引起y，等價(jià)于變量x外生于變量y。

這時(shí)，判斷Granger原因的直接方法是利用F-檢驗(yàn)來(lái)檢驗(yàn)下述聯(lián)合檢驗(yàn)：

H0:

H1:至少存在一個(gè)q使得

61其統(tǒng)計(jì)量為

如果S1大于F的臨界值，則拒絕原假設(shè)；否則不拒絕原假設(shè)：x不能Granger引起

y。其中：RSS1是式(10.3.5)中y方程的殘差平方和：

(10.3.6)(10.3.7)RSS0是不含x的滯后變量，即如下方程的殘差平方和：(10.3.8)則有

(10.3.9)62在滿足高斯分布的假定下，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量式(10.3.6)具有精確的F分布。如果回歸模型形式是如式(10.3.5)的VAR模型，一個(gè)漸近等價(jià)檢驗(yàn)可由下式給出：(10.3.10)

注意，S2服從自由度為p的

2分布。如果S2大于

2的臨界值，則拒絕原假設(shè)；否則不拒絕原假設(shè)：x不能Granger引起y。

而且Granger因果檢驗(yàn)的任何一種檢驗(yàn)結(jié)果都和滯后長(zhǎng)度p的選擇有關(guān)。

63

在EViews中Granger因果檢驗(yàn)的操作

選擇View/LagStructure/PairwiseGrangerCausalityTests，即可進(jìn)行Granger因果檢驗(yàn)。

64

輸出結(jié)果對(duì)于VAR模型中的每一個(gè)方程，將輸出每一個(gè)其他內(nèi)生變量的滯后項(xiàng)(不包括它本身的滯后項(xiàng))聯(lián)合顯著的

2(Wald)統(tǒng)計(jì)量，在表的最后一行(ALL)列出了檢驗(yàn)所有滯后內(nèi)生變量聯(lián)合顯著的

2統(tǒng)計(jì)量。對(duì)例10.1進(jìn)行檢驗(yàn)，其結(jié)果如右表顯示：65

同時(shí)在組(Group)的View菜單里也可以實(shí)現(xiàn)Granger因果檢驗(yàn)，但是需要先確定滯后階數(shù)，具體統(tǒng)計(jì)量的構(gòu)造可依據(jù)10.3節(jié)的介紹，將例10.1的3個(gè)時(shí)間序列構(gòu)造成組，在組中進(jìn)行檢驗(yàn)可得如下結(jié)果：為了使兩個(gè)結(jié)果具有可比性，選擇了相同的滯后階數(shù)。兩個(gè)輸出結(jié)果的形式和統(tǒng)計(jì)量都不一樣，在VAR中用的是

2統(tǒng)計(jì)量，而在Group中使用的是F統(tǒng)計(jì)量。但是含義是一樣的。66

例10.3Granger因果檢驗(yàn)

早期研究發(fā)現(xiàn)，在產(chǎn)出和貨幣的單方程中，貨幣對(duì)于產(chǎn)出具有顯著Granger影響(Granger，1969)，這同F(xiàn)riedman等人(1963)“實(shí)際產(chǎn)出和貨幣供給當(dāng)中的擾動(dòng)成分正相關(guān)”的結(jié)論相符。但是，Sims(1980)對(duì)于“貨幣沖擊能夠產(chǎn)生實(shí)際效果”的觀點(diǎn)提出了質(zhì)疑，他通過(guò)使用變量之間的因果關(guān)系檢驗(yàn)，得到的主要結(jié)論是：如果在實(shí)際產(chǎn)出和貨幣的關(guān)系方程當(dāng)中引入利率變量，那么貨幣供給對(duì)實(shí)際產(chǎn)出的作用程度將出現(xiàn)顯著降低。因此，動(dòng)態(tài)的利率變量將比貨幣存量具有更強(qiáng)的解釋產(chǎn)出變化的能力，這樣的結(jié)論同凱恩斯經(jīng)濟(jì)學(xué)中的LM曲線機(jī)制更為接近。67

根據(jù)實(shí)際情況，利用例10.1的數(shù)據(jù)，基于VAR(3)模型檢驗(yàn)實(shí)際利率RR、實(shí)際貨幣供給M1和實(shí)際GDP之間是否有顯著的Granger關(guān)系，其結(jié)果如表10.3.1所示。原假設(shè)

2統(tǒng)計(jì)量自由度P值rr方程實(shí)際M1不能Granger引起實(shí)際利率1.49

20.4741實(shí)際GDP不能Granger引起實(shí)際利率2.5420.2808

實(shí)際M1、實(shí)際GDP不能同時(shí)Granger引起實(shí)際利率3.03

40.5527

Δln(m1)方程實(shí)際利率不能Granger引起實(shí)際M14.7220.0944

實(shí)際GDP不能Granger引起實(shí)際M13.5220.1724

實(shí)際利率、實(shí)際GDP不能同時(shí)Granger引起實(shí)際M18.2740.0821

Δln(gdp)方程實(shí)際利率不能Granger引起實(shí)際GDP9.52

20.0086實(shí)際M1不能Granger引起實(shí)際GDP0.02

20.9892

實(shí)際利率、實(shí)際M1不能同時(shí)Granger引起實(shí)際GDP12.39

40.0147

68從表10.3.1的結(jié)果可以看到：在實(shí)際利率方程中，不能拒絕實(shí)際M1、實(shí)際GDP不是實(shí)際利率的Granger原因的原假設(shè)，而且兩者的聯(lián)合檢驗(yàn)也不能拒絕原假設(shè)，表明實(shí)際利率外生于系統(tǒng)，這與我國(guó)實(shí)行固定利率制度是相吻合的；在實(shí)際M1的方程中，無(wú)論實(shí)際利率的Granger因果檢驗(yàn)，還是聯(lián)合檢驗(yàn)在10%的顯著性水平下都拒絕原假設(shè)，說(shuō)明實(shí)際利率在Granger意義下影響實(shí)際M1；在第三個(gè)方程(即實(shí)際GDP方程)中，實(shí)際利率在1%的顯著性水平下拒絕原假設(shè)，說(shuō)明實(shí)際利率對(duì)于產(chǎn)出具有顯著Granger影響;而實(shí)際M1外生于實(shí)際GDP的概率為0.9892，這可能是因?yàn)槲覈?guó)內(nèi)需不足，大部分商品處于供大于求，因此當(dāng)對(duì)貨幣的需求擴(kuò)張時(shí)，會(huì)由于價(jià)格調(diào)整而抵消，并不會(huì)形成對(duì)貨幣供給的數(shù)量調(diào)整，因此對(duì)產(chǎn)出沒(méi)有影響。69

VAR模型中一個(gè)重要的問(wèn)題就是滯后階數(shù)的確定。在選擇滯后階數(shù)p時(shí)，一方面想使滯后階數(shù)足夠大，以便能完整反映所構(gòu)造模型的動(dòng)態(tài)特征。但是另一方面，滯后階數(shù)越大，需要估計(jì)的參數(shù)也就越多，模型的自由度就減少。所以通常進(jìn)行選擇時(shí)，需要綜合考慮，既要有足夠數(shù)目的滯后項(xiàng)，又要有足夠數(shù)目的自由度。事實(shí)上，這是VAR模型的一個(gè)缺陷，在實(shí)際中常常會(huì)發(fā)現(xiàn)，將不得不限制滯后項(xiàng)的數(shù)目，使它少于反映模型動(dòng)態(tài)特征性所應(yīng)有的理想數(shù)目。

10.3.2滯后階數(shù)p的確定

70

1.確定滯后階數(shù)的LR(似然比)檢驗(yàn)

(10.3.11)

LR(LikelihoodRatio)檢驗(yàn)方法，從最大的滯后階數(shù)開(kāi)始，檢驗(yàn)原假設(shè)：在滯后階數(shù)為j時(shí)，系數(shù)矩陣

j的元素均為0；備擇假設(shè)為：系數(shù)矩陣

j中至少有一個(gè)元素顯著不為0。

2(Wald)統(tǒng)計(jì)量如下：其中m是可選擇的其中一個(gè)方程中的參數(shù)個(gè)數(shù)：m=d+k

j，d是外生變量的個(gè)數(shù)，k是內(nèi)生變量個(gè)數(shù)，和

分別表示滯后階數(shù)為(j–1)和j的VAR模型的殘差協(xié)方差矩陣的估計(jì)。從最大滯后階數(shù)開(kāi)始，比較LR統(tǒng)計(jì)量和5%水平下的臨界值，如果LR

時(shí)，拒絕原假設(shè)，表示統(tǒng)計(jì)量顯著，此時(shí)表示增加滯后值能夠顯著增大極大似然的估計(jì)值；否則，不拒絕原假設(shè)。每次減少一個(gè)滯后階數(shù)，直到不拒絕原假設(shè)。71其中在VAR模型(10.1.1)中n

=k(d

+

pk)是被估計(jì)的參數(shù)的總數(shù)，k是內(nèi)生變量個(gè)數(shù)，T是樣本長(zhǎng)度，d是外生變量的個(gè)數(shù)，p是滯后階數(shù)，l是由下式確定的(10.3.12)(10.3.13)(10.3.14)2．AIC信息準(zhǔn)則和SC準(zhǔn)則

實(shí)際研究中，大家比較常用的方法還有AIC信息準(zhǔn)則和SC信息準(zhǔn)則，其計(jì)算方法可由下式給出：72

在EViews軟件中滯后階數(shù)p的確定

一旦完成VAR模型的估計(jì)，在窗口中選擇View/LagStructure/LagLengthCriteria，需要指定較大的滯后階數(shù)，表中將顯示出直至最大滯后數(shù)的各種信息標(biāo)準(zhǔn)（如果在VAR模型中沒(méi)有外生變量，滯后從1開(kāi)始，否則從0開(kāi)始）。表中用“*”表示從每一列標(biāo)準(zhǔn)中選的滯后數(shù)。在4～7列中，是在標(biāo)準(zhǔn)值最小的情況下所選的滯后數(shù)。

為了確定例10.1中模型的合適滯后長(zhǎng)度p，默認(rèn)的滯后階數(shù)為4，得到如下的結(jié)果：

73滯后長(zhǎng)度

p=4：滯后長(zhǎng)度

p=2：74

在EViews軟件關(guān)于VAR模型的其他檢驗(yàn)

一旦完成VAR模型的估計(jì)，EViews會(huì)提供關(guān)于被估計(jì)的VAR模型的各種視圖。將主要介紹View/LagStructure和View/ResidualTests菜單下提供的檢驗(yàn)。75

1.AR根的圖表

如果被估計(jì)的VAR模型所有根的模的倒數(shù)小于1，即位于單位圓內(nèi)，則其是穩(wěn)定的。如果模型不穩(wěn)定，某些結(jié)果將不是有效的（如脈沖響應(yīng)函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤差）。共有k

p個(gè)根，其中k是內(nèi)生變量的個(gè)數(shù)，p是最大滯后階數(shù)。如果估計(jì)一個(gè)有r個(gè)協(xié)整關(guān)系的VEC模型，則應(yīng)有k

r個(gè)根等于1。

對(duì)于例10.1，可以得到如下的結(jié)果：所有的單位根的模大于1，因此例10.1的模型滿足穩(wěn)定性條件。76下面給出單位根的圖形表示的結(jié)果：77

2．VAR殘差檢驗(yàn)

(1)相關(guān)圖(Correlogram)顯示VAR模型在指定的滯后階數(shù)的條件下得到的殘差的交叉相關(guān)圖（樣本自相關(guān)）。

(2)混合的自相關(guān)檢驗(yàn)(PortmanteauAutocorrelationTest)

計(jì)算與指定階數(shù)所產(chǎn)生的殘差序列相關(guān)的多變量Box-Pierce/Ljung-BoxQ統(tǒng)計(jì)量。(3)自相關(guān)LM檢驗(yàn)(AutocorrelationLMTest)計(jì)算與直到指定階數(shù)所產(chǎn)生的殘差序列相關(guān)的多變量LM檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。(4)正態(tài)性檢驗(yàn)(NormalityTest)(5)White異方差檢驗(yàn)(WhiteHeteroskedasticityTest)

78

在實(shí)際應(yīng)用中，由于VAR模型是一種非理論性的模型，因此在分析VAR模型時(shí)，往往不分析一個(gè)變量的變化對(duì)另一個(gè)變量的影響如何，而是分析當(dāng)一個(gè)誤差項(xiàng)發(fā)生變化，或者說(shuō)模型受到某種沖擊時(shí)對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)影響，這種分析方法稱為脈沖響應(yīng)函數(shù)方法(impulseresponsefunction，IRF)。10.4脈沖響應(yīng)函數(shù)

79

用時(shí)間序列模型來(lái)分析影響關(guān)系的一種思路，是考慮擾動(dòng)項(xiàng)的影響是如何傳播到各變量的。下面先根據(jù)兩變量的VAR(2)模型來(lái)說(shuō)明脈沖響應(yīng)函數(shù)的基本思想。10.4.1脈沖響應(yīng)函數(shù)的基本思想(10.4.1)其中，ai，bi，ci，di是參數(shù)，

t=(

1t,

2t)

是擾動(dòng)項(xiàng)，假定是具有下面這樣性質(zhì)的白噪聲向量：(10.4.2)80下面討論xt

與zt的響應(yīng)，t

=0時(shí)：將其結(jié)果代入式(10.4.1)，當(dāng)t

=1時(shí)

再把此結(jié)果代入式(10.4.1)，當(dāng)t

=2時(shí)繼續(xù)這樣計(jì)算下去，設(shè)求得結(jié)果為稱為由x的脈沖引起的x的響應(yīng)函數(shù)。同時(shí)所求得假定上述系統(tǒng)從0期開(kāi)始活動(dòng)，且設(shè)x-1=x-2=

z-1=z-2=

0，又設(shè)于第0期給定了擾動(dòng)項(xiàng)

10=1，

20=0，并且其后均為0，即

1t=

2t=0(t＝1，2，…)，稱此為第0期給x以脈沖。81稱為由x的脈沖引起的z的響應(yīng)函數(shù)。

當(dāng)然，第0期的脈沖反過(guò)來(lái)，從

10=0，

20=1出發(fā)，可以求出由z的脈沖引起的x的響應(yīng)函數(shù)和z的響應(yīng)函數(shù)。因?yàn)橐陨线@樣的脈沖響應(yīng)函數(shù)明顯地捕捉對(duì)沖擊的效果，所以同用于計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型的沖擊乘數(shù)分析是類似的。82

將上述討論推廣到多變量的VAR(p)模型上去，由式(10.1.5)可得10.4.2VAR模型的脈沖響應(yīng)函數(shù)

(10.4.3)

VMA(∞)表達(dá)式的系數(shù)可按下面的方式給出，由于VAR(p)的系數(shù)矩陣

i

和VMA(∞)的系數(shù)矩陣Θi必須滿足下面關(guān)系：83(10.4.4)(10.4.5)其中：K1=K2=…=0。關(guān)于Kq的條件遞歸定義了MA系數(shù)：若(10.4.6)

考慮VMA(∞)的表達(dá)式y(tǒng)t的第i個(gè)變量yit可以寫(xiě)成：其中k是變量個(gè)數(shù)。(10.4.7)(10.4.8)84僅考慮兩個(gè)變量的情形：，

q=0,1,2,…，i

,j=1,2

現(xiàn)在假定在基期給y1一個(gè)單位的脈沖，即：(10.4.9)–2–1012345………t85則由

y1的脈沖引起的y2的響應(yīng)函數(shù)為

因此，一般地，由yj的脈沖引起的yi的響應(yīng)函數(shù)可以求出如下：

且由yj的脈沖引起的yi的累積(accumulate)響應(yīng)函數(shù)可表示為

Θq的第i行、第j列元素還可以表示為：作為q的函數(shù)，它描述了在時(shí)期t，其他變量和早期變量不變的情況下yi,t+q對(duì)yjt的一個(gè)沖擊的反應(yīng)(對(duì)應(yīng)于經(jīng)濟(jì)學(xué)中的乘數(shù)效應(yīng))，我們把它稱作脈沖-響應(yīng)函數(shù)。(10.4.10)86也可以用矩陣的形式表示為(10.4.11)即Θq的第i行第j列元素等于時(shí)期t第j個(gè)變量的擾動(dòng)項(xiàng)增加一個(gè)單位，而其他時(shí)期的擾動(dòng)為常數(shù)時(shí)，對(duì)時(shí)期t+q的第i個(gè)變量值的影響。一般地，如果沖擊不是一個(gè)單位，假定

t的第一個(gè)元素變化

1，第二個(gè)元素變化

2，…，第k個(gè)元素變化

k，則時(shí)期t沖擊為

(

1,

2,…,

k)

，而t到t+q的其他時(shí)期沒(méi)有沖擊，向量yt+q的響應(yīng)表示為

q=0，1，…(10.4.12)其中

t-1表示t-1期的信息集合。但是對(duì)于上述脈沖響應(yīng)函數(shù)的結(jié)果的解釋卻存在一個(gè)問(wèn)題：前面我們假設(shè)協(xié)方差矩陣

是非對(duì)角矩陣，這意味著擾動(dòng)項(xiàng)向量

t中的其他元素隨著第j個(gè)元素

jt的變化而變化，這與計(jì)算脈沖響應(yīng)函數(shù)時(shí)假定

jt變化，而

t中其他元素不變化相矛盾。這就需要利用一個(gè)正交化的脈沖響應(yīng)函數(shù)來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題。87

常用的正交化方法是Cholesky分解，由式（10.2.12）和式（10.4.11）可知，在時(shí)期t，其他變量和早期變量不變的情況下yt+q對(duì)yjt的一個(gè)單位沖擊的反應(yīng)為

(10.4.13)其中Pj表示式(10.2.8)中Cholesky分解得到的P矩陣的第j列元素。由前面的討論可知矩陣P的選擇與變量次序有關(guān)。8810.4.3廣義脈沖響應(yīng)函數(shù)

VAR模型的動(dòng)態(tài)分析一般采用“正交”脈沖響應(yīng)函數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)，而正交化通常采用式（10.4.13）形式的Cholesky分解完成，但是Cholesky分解的結(jié)果嚴(yán)格的依賴于模型中變量的次序。本節(jié)介紹的由Koop等（1996）年提出的廣義脈沖響應(yīng)函數(shù)克服了上述缺點(diǎn)。考慮式(10.4.3)形式的VAR模型，其中擾動(dòng)項(xiàng)滿足式(10.4.2)的假定，且其方差協(xié)方差矩陣

是正定矩陣，擾動(dòng)項(xiàng)之間可以存在同期相關(guān)關(guān)系，即

不一定是對(duì)角矩陣。89在式（10.4.12）中假定沖擊不是發(fā)生在所有的變量上，只是發(fā)生在第j個(gè)變量上，則有(10.4.14)

q=0，1，…其中

t-1表示t-1期的信息集合。由于

不是對(duì)角矩陣，意味著

t各元素之間存在同期相關(guān)關(guān)系，則給

jt一個(gè)沖擊，

t中的其它元素同期也會(huì)發(fā)生變化，因此，為了得到式（10.4.14）的結(jié)果，需要首先計(jì)算由于

jt的變化而引起的

t中其他元素同期發(fā)生的變化，此時(shí)

E(

t|

jt

j)，假定

t服從多元正態(tài)分布，則

(10.4.15)其中

jj

E(

jt2)，

j

E(

t

jt)表示

t協(xié)方差矩陣

的第j列元素，90

變量j的沖擊引起的向量yt+q的響應(yīng)為：

(10.4.16)若設(shè)

(10.4.17)則響應(yīng)的廣義脈沖響應(yīng)函數(shù)為

(10.4.18)當(dāng)協(xié)方差矩陣

是對(duì)角矩陣時(shí)，正交脈沖與廣義脈沖的結(jié)果是一致的。當(dāng)協(xié)方差矩陣

是非對(duì)角矩陣時(shí)，Cholesky正交脈沖與廣義脈沖只在j=1時(shí)相等。91

本例選擇鋼鐵行業(yè)及其主要的下游行業(yè)的銷(xiāo)售收入數(shù)據(jù)做為各行業(yè)的需求變量，利用脈沖響應(yīng)函數(shù)分析各下游行業(yè)自身需求的變動(dòng)對(duì)鋼鐵行業(yè)需求的影響。分別用y1

表示鋼材銷(xiāo)售收入；y2

表示建材銷(xiāo)售收入

y3

表示汽車(chē)銷(xiāo)售收入；y4

表示機(jī)械銷(xiāo)售收入；y5表示家電銷(xiāo)售收入。樣本區(qū)間為1999年1月～2002年12月，所采用數(shù)據(jù)均作了季節(jié)調(diào)整，指標(biāo)名后加上后綴sa，并進(jìn)行了協(xié)整檢驗(yàn)，存在協(xié)整關(guān)系，這表明，所選的各下游行業(yè)的銷(xiāo)售收入與鋼鐵工業(yè)的銷(xiāo)售收入之間具有長(zhǎng)期的均衡關(guān)系。例10.4鋼鐵行業(yè)的需求對(duì)下游相關(guān)行業(yè)變化的響應(yīng)92

脈沖響應(yīng)函數(shù)在EViews軟件中的實(shí)現(xiàn)

為了得到脈沖響應(yīng)函數(shù)，先建立一個(gè)VAR模型，然后在VAR工具欄中選擇View/ImpulseResponse…或者在工具欄選擇Impulse，并得到下面的對(duì)話框，有兩個(gè)菜單：Display和ImpulseDefinition。93

1.Display菜單提供下列選項(xiàng)：

(1)顯示形式（DisplayFormat）

選擇以圖或表來(lái)顯示結(jié)果。如果選擇CombinedGraphs則ResponseStandardError選項(xiàng)是灰色，不顯示標(biāo)準(zhǔn)誤差。而且應(yīng)注意：輸出表的格式是按響應(yīng)變量的順序顯示，而不是按脈沖變量的順序。

(2)顯示信息（DisplayInformation）

輸入產(chǎn)生沖擊的變量（Impulses）和希望觀察其脈沖響應(yīng)的變量（Responses）。可以輸入內(nèi)生變量的名稱，也可以輸入變量的對(duì)應(yīng)的序數(shù)。例如，如果VAR模型以GDP、M1、CPI的形式定義，則既可以以：GDPCPIM1的形式輸入，也可以以132的形式輸入。輸入變量的順序僅僅影響結(jié)果的顯示。還應(yīng)定義一個(gè)確定響應(yīng)函數(shù)軌跡的期間的正整數(shù)。如果想顯示累計(jì)的響應(yīng)，則需要單擊AccumulateResponse選項(xiàng)。對(duì)于穩(wěn)定的VAR模型，脈沖響應(yīng)函數(shù)應(yīng)趨向于0，且累計(jì)響應(yīng)應(yīng)趨向于某些非0常數(shù)。94

(3)脈沖響應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)差（ResponseStandardError）

提供計(jì)算脈沖響應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)誤差的選項(xiàng)。解析的或MonteCarlo標(biāo)準(zhǔn)誤差對(duì)一些Impulse選項(xiàng)和誤差修正模型（VEC）一般不一定有效。若選擇了MonteCarlo，還需在下面的編輯框確定合適的迭代次數(shù)。如果選擇表的格式，被估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)誤差將在響應(yīng)函數(shù)值下面的括號(hào)內(nèi)顯示。如果選擇以多圖來(lái)顯示結(jié)果，曲線圖將包括關(guān)于脈沖相應(yīng)的正負(fù)（+/-）兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)偏離帶。在CombinedGraphs中將不顯示標(biāo)準(zhǔn)誤差偏離帶。95

2.ImpulseDefinition菜單提供了轉(zhuǎn)換脈沖的選項(xiàng)：

(1)Residual-OneUnit

設(shè)置脈沖為殘差的一個(gè)單位的沖擊。這個(gè)選項(xiàng)忽略了VAR模型殘差的單位度量和相關(guān)性，所以不需要轉(zhuǎn)換矩陣的選擇。這個(gè)選項(xiàng)所產(chǎn)生的響應(yīng)函數(shù)是VAR模型相對(duì)應(yīng)VMA(∞)模型的系數(shù)。

(2)Residual-OneStd.Dev

設(shè)置脈沖為殘差的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)偏差的沖擊。這個(gè)選項(xiàng)忽略了