概率論與數(shù)理統(tǒng)計慕課版第章隨機(jī)變量及其分布

xx年xx月xx日概率論與數(shù)理統(tǒng)計慕課版第章隨機(jī)變量及其分布目錄contents隨機(jī)變量隨機(jī)變量的分布多元隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量的數(shù)字特征馬爾科夫鏈隨機(jī)過程01隨機(jī)變量定義隨機(jī)變量是定義在樣本空間上的實(shí)值函數(shù)。性質(zhì)隨機(jī)變量具有可重復(fù)性、可觀測性和隨機(jī)性。定義與性質(zhì)離散與連續(xù)隨機(jī)變量取有限個或可數(shù)無窮個值的隨機(jī)變量，如擲硬幣的次數(shù)、蒲豐投針試驗(yàn)等。離散隨機(jī)變量取任意實(shí)數(shù)值的隨機(jī)變量，如測量誤差、人的身高、體重等。連續(xù)隨機(jī)變量定義設(shè)X是一個隨機(jī)變量，Y是X的函數(shù)，則Y也是一個隨機(jī)變量。性質(zhì)如果X是一個離散隨機(jī)變量，則Y仍然是離散隨機(jī)變量；如果X是一個連續(xù)隨機(jī)變量，則Y不一定是連續(xù)隨機(jī)變量。隨機(jī)變量的函數(shù)02隨機(jī)變量的分布1分布函數(shù)23F(x)=P(X≤x)定義描述隨機(jī)變量取值的概率規(guī)律意義非減函數(shù)，F(xiàn)(∞)=1，F(xiàn)(-∞)=0性質(zhì)離散隨機(jī)變量的分布意義隨機(jī)變量取特定值的概率性質(zhì)p1+p2+…+pn=1定義P(X=xk)=pk>0,k=1,2,…連續(xù)隨機(jī)變量的分布定義F(x)=P(X≤x)=∫(-∞tox)f(x)dx意義描述隨機(jī)變量取值的概率規(guī)律性質(zhì)F(∞)=1，F(xiàn)(-∞)=0010302定義E[Xn]=μn，n=1,2,…意義描述隨機(jī)變量各次冪的期望性質(zhì)E[X]=μ1，D[X]=σ11隨機(jī)變量的矩03多元隨機(jī)變量及其分布二維隨機(jī)變量的定義由兩個隨機(jī)變量組成的隨機(jī)變量，表示為(X,Y)。聯(lián)合概率分布描述二維隨機(jī)變量(X,Y)在所有可能取值及其對應(yīng)的概率分布。邊緣概率分布在給定其中一個隨機(jī)變量的取值時，另一個隨機(jī)變量的概率分布。二維隨機(jī)變量的分布條件分布要點(diǎn)三條件概率分布的定義在給定另一個隨機(jī)變量取值的條件下，二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率分布。要點(diǎn)一要點(diǎn)二條件期望和方差在給定另一個隨機(jī)變量取值的條件下，二維隨機(jī)變量的期望和方差。條件概率、期望和方差的性質(zhì)條件概率、期望和方差的性質(zhì)與對應(yīng)的無條件概率、期望和方差相同。要點(diǎn)三多維隨機(jī)變量的定義由兩個或更多隨機(jī)變量組成的隨機(jī)變量。多維隨機(jī)變量的函數(shù)可以是一個二元函數(shù)、三元函數(shù)等，描述了各個隨機(jī)變量之間的依賴關(guān)系。在給定其中一個或多個隨機(jī)變量的取值時，多維隨機(jī)變量的概率分布。在給定其中一個或多個隨機(jī)變量取值的條件下，多維隨機(jī)變量的概率分布。多維隨機(jī)變量的函數(shù)多維隨機(jī)變量的函數(shù)多維隨機(jī)變量的邊緣分布多維隨機(jī)變量的條件分布04隨機(jī)變量的數(shù)字特征均值與方差反映隨機(jī)變量取值的平均水平均值反映隨機(jī)變量取值離散程度方差大數(shù)定律當(dāng)樣本容量足夠大時，隨機(jī)事件的頻率近似于其概率中心極限定理當(dāng)樣本容量足夠大時，樣本均值的分布近似于正態(tài)分布大數(shù)定律與中心極限定理協(xié)方差衡量兩個隨機(jī)變量同時變化趨勢和變化幅度相關(guān)系數(shù)衡量兩個隨機(jī)變量線性相關(guān)的程度協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)05馬爾科夫鏈定義與性質(zhì)馬爾科夫鏈?zhǔn)且环N隨機(jī)過程，其中下一個狀態(tài)只依賴于當(dāng)前狀態(tài)。定義馬爾科夫鏈具有無后效性和狀態(tài)離散性。性質(zhì)狀態(tài)分類根據(jù)狀態(tài)間的關(guān)系，可將狀態(tài)分為吸收態(tài)、周期態(tài)和暫態(tài)。狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣描述狀態(tài)間的轉(zhuǎn)移概率。狀態(tài)分類與狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣?yán)民R爾科夫鏈建立語言模型，預(yù)測下一個詞的概率。語言模型利用馬爾科夫鏈預(yù)測天氣狀態(tài)，如晴天、雨天等。天氣預(yù)報利用馬爾科夫鏈建立用戶行為模型，進(jìn)行精準(zhǔn)推薦。推薦系統(tǒng)010203馬爾科夫鏈的應(yīng)用06隨機(jī)過程定義與分類隨機(jī)過程是指在不同時間上的一系列隨機(jī)變量的集合。定義按隨機(jī)變量的取值特點(diǎn)，隨機(jī)過程可分為離散隨機(jī)過程和連續(xù)隨機(jī)過程；按隨機(jī)變量之間的依賴關(guān)系，隨機(jī)過程可分為馬爾科夫過程和非馬爾科夫過程。分類離散隨機(jī)過程離散隨機(jī)過程是指隨機(jī)變量的取值為一離散集合的隨機(jī)過程，如二項(xiàng)隨機(jī)過程、泊松隨機(jī)過程等。定義離散隨機(jī)過程的概率分布通常比較簡單，可以通過直接計算或查表得到。性質(zhì)連續(xù)隨機(jī)過程是指隨機(jī)變量的取值為一連續(xù)集合的隨機(jī)過程，如正態(tài)隨機(jī)過程、維納隨機(jī)過程等。連續(xù)隨機(jī)過程的概率分布通常比較復(fù)雜，需要通過微積分或數(shù)值模擬等方法進(jìn)行計算。定義性質(zhì)連續(xù)隨機(jī)過程馬爾科夫過程是指一個隨機(jī)過程，其未來狀態(tài)只依賴于當(dāng)前狀態(tài)，而與過去狀態(tài)無關(guān)。馬爾科夫過程的概