拓撲空間開集閉集閉包聚點鄰域

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第一章拓撲空間與拓撲不變量

數(shù)學(xué)分析中的連續(xù)函數(shù)的定義與和值域都是歐氏空間（直線、平面或空間）或是其中的一部分。本章將首先把連續(xù)函數(shù)的定義域和值域的主要特征抽象出來用以定義度量空間，將連續(xù)函數(shù)的主要特征抽象出來用以定義度量空間的連續(xù)映射。然后將兩者再度抽象，給出拓撲空間和拓撲空間之間的連續(xù)映射。隨后逐步提出拓撲空間的一些基本問題如鄰域、開集、閉集、閉包、聚點、導(dǎo)集、內(nèi)部、邊界、序列、極限等。進一步引入緊致性、連通性、可數(shù)性與分開性等重要的拓撲不變性

§1.1拓撲空間、開集、閉集、聚點、閉包、鄰域

一、問題的引入

數(shù)學(xué)分析里我們知道，在連續(xù)函數(shù)的定義中只涉及距離這個概念，定義域是一維歐氏空間,即實數(shù)空間，兩點之間的距離d(x,y)=|x-y|,即兩兩實數(shù)之差的絕對值,定義域是n維歐氏空間，兩點x=(x1,x2,?，xn),Y=(y1,y2,?，yn)之間的距離d(x,y)=

(x1?y1)2?…+(xn?yn)2。

無論是幾維空間，它的距離都有下面的性質(zhì)：

1.d(x,y)≥0,?x,y∈R;2.d(x,y)=0?x=y;

3.d(x,y)=d(y,x)?x,y∈R;4.d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z),?x,y,z∈R;這些性質(zhì)反映了距離的特征。

將R推廣為一般的集合，我們由距離可以抽象出度量以及度量空間的定義。

nnnn（一）度量空間

1.定義

定義1設(shè)X是一個集合，ρ：X×X→R,假使對于任何x,y,z∈X,有①（正定性）ρ（x,y）≥0并且ρ(x,y)=0?x=y；②（對稱性）ρ(x,y)=ρ(y,x)；

③（三角不等式）ρ(x,z)≤ρ(x,y)+ρ(y,z)則稱ρ是集合X中的一個度量。

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假使ρ是集合X中的一個度量，則稱偶對（X，ρ）是一個度量空間，或徑稱X是一個度量空間。而ρ（x,y）稱為從點X到點Y的距離。

2.度量空間舉例例2.1.1實數(shù)空間R

對實數(shù)集合，定義ρ：R×R→R如下：?x,y∈R，令ρ（x,y）=|x-y|,易知ρ是R的一個度量。因此（R,ρ）是一個度量空間。

可見，度量空間是實數(shù)空間的推廣，度量是距離的推廣。

例2.1.1n維歐式空間R

對實數(shù)集合R的n重笛卡爾積R=R×R×?×R，定義ρ：R×R→R如下：對任意兩點x=(x1,x2,?，xn),Y=(y1,y2,?，yn)∈R，令ρ（x,y）=

nnnnnnn?(xi?1ni?yi)2，

n可以驗證ρ是R的一個度量，偶對（R，ρ）稱為n維歐氏空間。有時徑稱R為n維歐氏空間。n=2時，R2常稱為歐氏平面或平面。

例2.1.2Hilbert空間H

記H是平方收斂的所有實數(shù)序列構(gòu)成的集合，即H={x=(x1,x2,?，xn)|xi∈R,i∈Z+,

?xi?1?2iH→R如下：對于任意x=(x1,x2,?，??},定義ρ：H×

?xn),Y=(y1,y2,?，yn)∈H，令ρ（x,y）=

??(xi?1i?yi)2。這個定義的合理性及驗

證?(xi?12?y)ii??以及驗證ρ是H的一個度量，可見P49附錄。因此（H,ρ）

是一個度量空間，稱為Hilbert空間。

例2.1.3離散的度量空間

設(shè)（X,ρ）是一個度量空間，稱（X,ρ）是一個離散的度量空間或稱ρ是一

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個離散的度量，假使對每一個x∈X,存在一個實數(shù)?x?0使得ρ（x,y）>?x,對任何y∈X，y≠x成立。

如，設(shè)X是一個集合，定義ρ：X×X→R,使得對于任何x,y∈X,有

?(x,y)??離散的。

思考題

?0若x?y,易知ρ是X的一個離散度量，度量空間（X,ρ）是

1若x?y?例2.1.5令X=C([a,b])={f:[a,b]→R|f在[a,b]上連續(xù)}，并且對于任意的f,g∈C([a,b]),令d(f,g)=

?|f(x)-g(x)|dx,d是C([a,b])的度量嗎？

ab（答案：d是C([a,b])的度量，因此（C([a,b])，d）是一個度量空間）

3.鄰域、開集

⑴度量空間的球形鄰域及其基本性質(zhì)

定義2.設(shè)（X,ρ）是一個度量空間，x∈X,對于任意的ε>0，

B（x,ε）={y∈X|ρ（x,y）<ε}稱為以x為中心，ε為半徑的球形鄰域，也稱為x的一個ε鄰域，也記作Bε(x)。

定理1.0.1度量空間（X,ρ）的球形鄰域具有以下性質(zhì)：①每一點x∈X至少有一鄰域，并且x屬于它的每一個鄰域；

②對于點x∈X的任意兩個球形鄰域，存在x的一個球形鄰域同時包含于兩者；

③假如y∈X屬于x的某個球形鄰域，則y有一個球形鄰域包含于x的那個球形鄰域。

證明：??

⑵度量空間的開集及其基本性質(zhì)

定義3.設(shè)X是一個度量空間，A?X，假如?a?A,都???0，使B(a,ε)

?X，則稱A是X的一個開集。

由定理2.1.1的③知，X的球形鄰域都是開集。

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例2.1.7實數(shù)空間R中的開區(qū)間都是開集，而半開半閉區(qū)間、閉區(qū)間都不是開集。兩個開區(qū)間的并也是開集。

可見，度量空間的開集是實數(shù)空間開區(qū)間的推廣。定理1.0.2度量空間X的開集具有以下性質(zhì)：①集合X本身和空集Ф都是開集；②任何兩個開集的交是開集；③任何一個開集族的并是開集。證??

推論U是度量空間的開集的充分必要條件是U是這個空間中若干個球形鄰域的并。

⑶度量空間中點x的鄰域球形鄰域的推廣

定義4.設(shè)X是一個度量空間，x∈X,U?X，假如存在開集V使x∈V?U，則稱U是x的一個鄰域。

注：有定義可知，開集V是它的每一點的鄰域，但鄰域卻不一定是開集。如[0，2]是1的鄰域，但它不是開集。

定理1.0.3設(shè)X是一個度量空間，x∈X,U?X，則U是x的一個鄰域?存

在B(x,ε)?U。

證明：??

本定理為鄰域提供了一個等價說法。

推論X是一個度量空間，U?X，則U是X的一個開集?U是其內(nèi)每一點的鄰域。

證由定義2.1.3和定理2.1.3。

（二）度量空間之間的連續(xù)映射

定義5設(shè)X和Y是兩個度量空間，f：X→Y，以及x0∈X，假如對于f(x0)的任何一個球形鄰域B(f(x0),ε)，存在x0的某一個球形鄰域B(x0，δ)使得f(B(x0，δ))?B(f(x0),ε)，則稱映射f在x0處是連續(xù)的。

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假如映射f在X的每一點連續(xù)，則稱f是一個連續(xù)函數(shù)。顯然這個定義是數(shù)學(xué)分析中連續(xù)函數(shù)定義純粹形式上的推廣。

定理1.0.4設(shè)X和Y是兩個度量空間，f：X→Y，則

①f在x0點處連續(xù)?f(x0)的每一個鄰域的原像是x0的一個鄰域；②f是連續(xù)的?Y中每個開集的原像是X中的開集。

證明：①“?〞若f在x0點處連續(xù)，設(shè)U為f(x0)的一個鄰域，據(jù)TH2.1.3，有B(f(x0),ε)?U，由于f在x0點處連續(xù)，所以存在B(x0，δ)使得f(B(x0，δ))然而f-1[B(f(x0),ε)]?f-1(U)，而B(x0，δ)?f-1[B(f(x0),ε)]，?B(f(x0),ε)，

所以B(x0，δ)?f-1(U)，這說明f-1(U)是x0的一個鄰域。

“?〞設(shè)f(x0)的每一個鄰域的原像是x0的一個鄰域，任給f(x0)的一個鄰域B(f(x0),ε)，則f-1[B(f(x0),ε)]是x0的一個鄰域，據(jù)TH2.1.3，x0有一個球形鄰域B(x0，δ)?f-1[B(f(x0),ε)]，因此f[B(x0，δ)]?B(f(x0),ε)，所以f在x0點處連續(xù)。

②“?〞設(shè)f連續(xù)，令V為Y中一開集，U=f-1(V),對于每一個x∈U，則f(x)∈V，由于V是開集，所以V是f(x)的一個鄰域，由于f在每一點x連續(xù)，故由①知U是x的一個鄰域，由上面的