數(shù)形結(jié)合教學(xué)中的形象思維和抽象思維

數(shù)形結(jié)合教學(xué)中的形象思維和抽象思維

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，研究數(shù)學(xué)和形狀之間的關(guān)系非常重要。通過(guò)把抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖形結(jié)合起來(lái),“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”可使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化、抽象問(wèn)題具體化,從而達(dá)到優(yōu)化教學(xué)的目的。其“數(shù)”與“形”結(jié)合,相互滲透,把代數(shù)式的精確刻畫(huà)與幾何圖形的直觀描述相結(jié)合,使代數(shù)問(wèn)題、幾何問(wèn)題相互轉(zhuǎn)化,使抽象思維和形象思維有機(jī)結(jié)合.應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想,就是充分考查數(shù)學(xué)問(wèn)題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系,既分析其代數(shù)意義又揭示其幾何意義,將數(shù)量關(guān)系和空間形式巧妙結(jié)合,來(lái)尋找解題思路,使問(wèn)題得到解決。本文將結(jié)合例題淺析數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用。一、數(shù)形結(jié)合模型函數(shù)的圖像可以形象的反映函數(shù)的性質(zhì),通過(guò)觀察圖形可能確定圖像的變化趨勢(shì),對(duì)稱性、分布情況等,數(shù)形結(jié)合,借助于圖像與函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系,研究函數(shù)的性質(zhì)。例1:f(x)是定義在R是的偶函數(shù),其圖像關(guān)于直線x=2對(duì)稱,且當(dāng)x∈(-2,2)時(shí)f(x)=-x2+1,則當(dāng)xx∈(-6,-2)時(shí),求f(x)的表達(dá)式。分析:當(dāng)x∈(-2,2)時(shí),f(x)=-x2+1的函數(shù)圖像已知,因?yàn)閒(x)的圖像關(guān)于直線x=2對(duì)稱和函數(shù)是偶函數(shù),圖像關(guān)于y軸對(duì)稱,所以可以畫(huà)出x∈(-6,-2)的圖像,如圖所示,由圖像可知x∈(-6,-2)的圖像與x∈(-2,2)的圖像一樣,只不過(guò)是所在位置不同而已,只要把x∈(-2,2)的圖像向左平移4個(gè)單位,就得到x∈(-6,-2)的圖像,由平移性質(zhì)可得:x∈(-6,-2)時(shí),f(x)=-(x+4)2+1例2:設(shè)對(duì)于任意實(shí)數(shù)x∈[-2,2],函數(shù)f(x)=1g(3a-ax-x2)總有意義,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。解法1:函數(shù)f(x)有意義,則3a-ax-x2>0,即x2+ax-3a<0在x∈[-6,-2)x∈[-2,2]上總成立。設(shè)g(x)=x2+ax-3a,即當(dāng)x∈[-2,2]時(shí),g(x)<0總成立?！嘁罀佄锞€y=g(x)的特征,將其定位,有,如圖1所示。解法2:對(duì)于不等式3a-ax-x2>0,因?yàn)閤∈[-2,2],所以3-xε-,不等式可化成∴只要的最大值即可。設(shè)t=3-x,x∈,的圖像如圖2所示,可知6+h(x)的最大值為10,故h(x)最大值為4,則a>4。解法1抓住了拋物線的特征,由實(shí)數(shù)a的不等式組,將拋物線定位,再求解范圍。另外,由于涉及到一元二次方程根的分布,所以又提供了一次數(shù)形結(jié)合的機(jī)會(huì)。解法2將實(shí)數(shù)a從不等式中分離出來(lái),對(duì)后邊函數(shù)中3-x換元后,利用典型函數(shù)圖像直觀地求其最大值,求得a的范圍,體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想,不失為好辦法。例2:設(shè)A={x|-2≤x≤a},B={y|y=2x+3,且x∈A},C={z|z=x2,且x∈A},若,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。分析:解決本題的關(guān)鍵是依靠一元二次函數(shù)在區(qū)間上的值域求法確定集合C.進(jìn)而將用不等式這一數(shù)學(xué)語(yǔ)言加以轉(zhuǎn)化.考生在確定z=x2,x∈[2,a]的值域時(shí)易出錯(cuò),不能分類(lèi)而論.巧妙觀察圖像將是上策.不能漏掉a<-2這一種特殊情形。解決集合問(wèn)題首先看清元素究竟是什么,然后再把集合語(yǔ)言“翻譯”為一般的數(shù)學(xué)語(yǔ)言,進(jìn)而分析條件與結(jié)論特點(diǎn),再將其轉(zhuǎn)化為圖形語(yǔ)言,利用數(shù)形結(jié)合的思想來(lái)解決。解:∵y=2x+3在[-2,a]上是增函數(shù)∴-1≤y≤2a+3,即B={y|-1≤y≤2a+3}作出z=x2的圖像,該函數(shù)定義域右端點(diǎn)x=a有三種不同的位置情況如下:1.當(dāng)-2≤a≤0時(shí),a2≤z≤4即C{z|z2≤z≤4}要使必須且只須2a+3≥4得與-2≤a<0矛盾;2.當(dāng)0≤a≤2時(shí),0≤z≤4即C={z|0≤z≤4},要使,由圖可知:必須且只需3.當(dāng)a>2時(shí),0≤z≤a2,即C={z|0≤z≤a2},要使必須且只需解得2<a≤3;4.當(dāng)a<-2時(shí),成立。綜上所述,a的取值范圍是二、xx=0的根數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中,許多代數(shù)問(wèn)題也可以通過(guò)數(shù)形結(jié)合來(lái)解決。如方程f(x)=0的根實(shí)際上就是曲線y=f(x)與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo),方程f(x)-g(x)=0的根實(shí)際上就是曲線y=f(x)與曲線y=g(x)的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。又如例題:討論1gx=sinx的根的個(gè)數(shù)＿＿＿＿。設(shè)y1=1gx,y2=sinx通過(guò)畫(huà)出函數(shù)圖像,分析有幾個(gè)交點(diǎn),便能很好地解決。平面向量教學(xué)中,一個(gè)向量可用有向線段來(lái)表示,而這樣的有向線段可分解為直角坐標(biāo)系中x軸、y軸方向上的有向線段之和,而每個(gè)方向上的有向線段又都可以用一個(gè)數(shù)來(lái)表示,這樣,向量的運(yùn)算就可以轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)的運(yùn)算,過(guò)程更直觀,更簡(jiǎn)單,很快計(jì)算出結(jié)果。如:三、數(shù)形結(jié)合的運(yùn)用復(fù)數(shù)教學(xué)中,復(fù)數(shù)的向量表示三角形的運(yùn)算,把復(fù)數(shù)與形進(jìn)一步結(jié)合起來(lái),使復(fù)數(shù)成為研究幾何、代數(shù)的有力工具。用數(shù)形結(jié)合的方法解題,能最直接提示總是的本質(zhì),直觀地看到問(wèn)題的結(jié)果,只需稍加計(jì)算或推導(dǎo),就得得到確切的答案。如:若復(fù)數(shù)Z滿足|z+i|+|z-i|=2,則|z+i+1|的最小值是()。分析可知,由于|z+i|和|z-i|分別表示復(fù)數(shù)Z在復(fù)平面上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)到i和-i之間的距離且有|z+i|+|z-i|=2,所以表示復(fù)數(shù)Z的點(diǎn)的集合虛軸上點(diǎn)i至-i之間的線段(含端點(diǎn))。另外,|z+i+1|=|z-(-1-i)|為復(fù)數(shù)Z在復(fù)平面上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)到-1-i的距離,通過(guò)畫(huà)圖可以看出,當(dāng)Z=-i時(shí),|z+i+1|的最小值是1。此題的常規(guī)解法,雖有可遵循的操作程序,但對(duì)解題過(guò)程中出現(xiàn)的情況難以預(yù)料,對(duì)可能發(fā)生的疏漏不易察覺(jué),且解程冗長(zhǎng)。而用數(shù)形結(jié)合的方法,開(kāi)赴救出問(wèn)題的本質(zhì)面貌,只要思考正確,形象清晰,往往很快能看到問(wèn)題的結(jié)果。教學(xué)中,數(shù)學(xué)教師要做好這種“數(shù)”與“形”的關(guān)系提示與轉(zhuǎn)化,引導(dǎo)學(xué)生變靜態(tài)思維方式為動(dòng)態(tài)思維方式,以運(yùn)動(dòng)、變化、聯(lián)系的觀點(diǎn)考慮問(wèn)題