動能定理和功能原理

導出：④導出：④動能定理和功能原理拋磚引玉指點迷津思維基礎學法指要思維體操心中有數(shù)動腦動手創(chuàng)新園地.教法建議【拋磚引玉】在經(jīng)典力學中，“動能定理”是“牛頓運動定律”的推論和發(fā)展，“功能原理”也是“牛頓運動定律”的進一步推導的結果。因此我們建議：教師不要把本單元的內(nèi)容當作新知識灌輸給學生，而是引導學生運用“牛頓運動定律”對下述的這個勻加速運動問題進行分析和推導，使學生自己獲得新知識—“動能定理”和“功能原理”。具體的教學過程請參考下列四個步驟：第一步：說明物體的運動狀態(tài)，并導出加速度計算式口如圖疔一疔所示戈物體沿著不光滑的斜面勻加速向上運動，通過且處時的即時速度為訓，通過E處時的即時速度為譏，由月處到B處的位移為肌通過提問引導學生根據(jù)呼_時論寫出:第二步：畫出物體的受力分析圖，進行正交分解，說明物體的受力情況口圖于一6是物體的受力分析圖（這個圖既可以單獨畫出，也可補畫在上圖的月、E之間），物體受到了重力用廠斜面支持力動力氏阻力斤由于重力既不平行于斜面，也不垂直于斜面，所以要對它進行正交分解，分解為平行于斜面的下滑分力鬥和垂直于斜面正壓力鬥口然后說明：物體在垂直斜面方向的力N=Fq：物體平行斜面方向的力F＞尸近1（否則物體不可能加速上行）,荘合力為：F-f-F, ②第三步：運用牛頓第二定律和①、②兩式導出“動能定理”。若已知物體的質量為m、所受之合外力為工月、產(chǎn)生之加速度為a。則根據(jù)牛頓第二定律可以寫出：2F=沁③將①、②兩式代入③式：若以W表示外力對物體所做的總功W=Fs-fe-F^s⑤若以E表示物體通過A處時的動能，以E表示物體通過B處時的動能kokt則：⑥

則：⑥盼柿⑦將⑤、⑥、⑦三式代入④式，就導出了課本中的“動能定理”的數(shù)學表達形式：W=E－Ektko若以AE表示動能的變化E-Ekktko則可寫出“動能定理”的一種簡單表達形式：W=^Ek它的文字表述是：外力對物體所做的總功等于物體動能的變化。這個結論叫做“動能定理”。第四步：在“動能定理”的基礎上推導出“功能原理”。在推導“動能定理”的過程中，我們曾經(jīng)寫出過④式，現(xiàn)抄列如下：④為了導出“功能原理”我們需要對其中的下滑分力做功項FS進行分析推導。我們知道，當斜面的底角為0時，下滑分力F和重力mg的關系如下：1= （前面已有⑤、⑥、⑦式）⑧上式中如何表達呢？請看圖5—7.物體在貝處時的高度為加，在E處時的髙度為尿，則根據(jù)中學數(shù)學中所學過的三角函數(shù)知識可以寫出下式：將⑩式代入④式后進行推導就導出了一種“功能原理”的數(shù)學表達形式：若以代入（11）式,將⑩式代入④式后進行推導就導出了一種“功能原理”的數(shù)學表達形式：若以代入（11）式,將⑨式代入⑧式著進行推導:Fs—fs二+△EKP它的物理意義是：動力對物體做功Fs與物體克服阻力做功fs之差（不包括重力做的功），等于物體動能的變化量與勢能的變化量之和。若在（式基礎上進行移項變化可導出下式：(12)(12)=［枷r =丄哪：+淤叭若以 代入2式，就可以寫為:Fs—fs=E—Et0再以%=氐-抿也=比-氏代入上式就可以導出“功能原理”的另一種數(shù)學表達形式：W=^E它的物理意義是：外力對物體對所做的總功（不包括重力做的功），等于物體機械能的變化量AE。（當FF〉0時，△〔＞（），機械能增加；當WV0時，AEVO，機械能減少。F

（請讀者注意：“功能原理”中的WF與“動能定理”中的W是不相同的！我們將在后面的“指點迷津”中進行說明。）在上面所推導出的關于“功能原理”的各數(shù)學表達式中，雖以叮最為簡練，但在實用解題中以（11）、?兩式最方便，在后講述的“學海導航”和“智能顯示”欄目中將會看到?！局更c迷津】1■有沒有更簡單的方法推導岀“動能定理”？有口可以采用“物體在水平拉力作用下沿光滑水平面勻加速運動”為例進行推導，具體過程如下： ? TOC\o"1-5"\h\z如圖5—8所示：質量為削的物體在一個水平 、動力F作用下，沿著光滑的水平面勻加速前進，通 二「 ??**** ?*F *過A處簡便方法，又何必在“拋磚引玉”中介紹用廠二J 」昭厠推導的比較復雜的方法呢？荘原因如下： “s①在平平聞推導法的過程中只有動能旳娶雀而沒有勢能的變化，這會使一些中學生諼認為籍動能定理”只適用于解答沒有勢能變化的單純的動能變化問題，這顯然是不對的！若采用斜面推導法，學生就一目了然，能全面正確地理解h h h h“動能定理"的適用范圍了口|②采用水平聞推導法只能推導出“動能定理”,而不能推導出“功能原理”；采用斜面推導法能在導出“動能定理”的基礎上繼續(xù)導岀“功能原理”，從而使h h h h學生獲得更多的知識，也有益于提髙學生的解題能力口③采用斜面推導法涉及的物理知識和數(shù)學方法較多，能夠培養(yǎng)學生"運用數(shù)h h h h學解決物理問題的能力"O2「，重力對物體做功”和“物體重力勢能的變化”有什么關系？重力對物體做功，可以使物體的重力勢能發(fā)生變化.當重力對物體做正功時（重力是動力），物體的重力勢能減少口例如：物體h h h h沿豎直方向下降：物體沿斜面下滑……屬于這種情況口當重力對物體做負功時〔物體克服重力做功），物體的重力勢能增加□例h h h h如：物體沿豎直方向上升；物體沿斜面上升……屬于這種情況.下面我們推導“重力對物體做功”與“物體重力勢能的變化”的數(shù)量關系：如圖疔T所示：質量為廉的物體，在重力的作用下，由貝處下落到圖59B處，距地面高度先后為Ha和hs□重力對物體所做的功為：圖59W^GS物體重力勢能的變化為：\EP=mghA-mghs=mg（hA-hs）???G=mg￡=hA-hB:.%=AEP由此可知：重力對物體的所做的功等于物體重力勢能的變化。上面推導出的這個結論是否只適用于豎直下落問題呢？不是的，它適用于重力對物體做功的各種情況，我們在后面的“學海導航”中還將通過例題說明其它情況?！皠幽芏ɡ怼焙汀肮δ茉怼庇惺裁绰?lián)系和區(qū)別？在運用它們解題時需要注意什么？研究“外力對物體做功”和“物體機械能變化”的關系是力學中的重要問題之一?！皠幽芏ɡ怼焙汀肮δ茉怼倍际潜磉_這種關系的規(guī)律，只是表達的形式不同，但它們的本質是相同的。

在“動能定理”中只提動能而不提勢能；在“功能原理”中既提動能也提勢能。在“動能定理”中包含重力所做的功；在“功能原理”中不包含重力所做的功。在“動能原理”中所包含的重力對物體所做的功與在“功能原理”中所提到的物體重力勢能的變化是對同一物理現(xiàn)象的不同表述。某些力學問題，既可以用“動能定理”求解，也可以用“功能原理”求解。具體如何選擇，往往要根據(jù)題意而定。選擇恰當，不僅解題便捷，而且不易失誤。（注：目前的高三物理課本只講“動能定理”，但有關功能原理的思想也分布在課文之中了。如果學生的基礎不太好，若為減輕負擔，也可只學習和應用“動能定理”。）在運用“動能定理”解題時應當注意：在公式W=^E中不含勢能的變化K（△E）,但是在W中包含著重力做功W。PG在運用“功能原理”解題時應當注意：在公式W=^E中既含動能的變化也含勢能的變化，即^E=^E+AE，但FKP是在W中不包含重力做功W。（注：也不包括重力分解出的下滑分力做功?。〧G總之必須明確：W與W的區(qū)別；AE與AE的區(qū)別。FK二.學海導航【思維基礎】例題1?如圖5—10所示：質量為m的物體沿著光滑的斜面由A處滑到B處。物體通過A處時的速度為v、高度為h；物體通過B處時的速度為v、高度為h。則在此過程中重力對物體所做的功WA A B B G為：WG=mg^cosa%=噸gsiii*答：[] 闍訐10(P)WG=mghA-mghB答：[] 闍訐10思維基礎：這是一個檢查學生對概念規(guī)律的理解和應用能力的選擇題，需掌握下列知識：功的定義及其計算式?！爸亓ξ矬w做功”與“物體重力勢能變化”的關系?！皠幽芏ɡ怼钡奈锢硪饬x及其應用。建議：請學生閱讀前面“教法建議”的內(nèi)容后，參考其推理方法，先不看本題后面的解題思路和答案，自己進行解答，然后再進行核對，將會有較大的收獲。解題思路：在本題中物體只受重力和斜面的支持力（彈力），又因斜面的支持力與物體的位移垂直而不做功，所以與解答本題無直接關系（因而在圖中也未畫出），因此只考慮重力做功與物體機械能的變化就可以了。根據(jù)功的定義及其計算式琢=Fs詫，在本題中F=mg，代入可得：%=mgscos住根據(jù)數(shù)學中的三角函數(shù)知識，可知在本題中costz=sin^,，代入可得:WG=mgssind（附：若將mg分解出下滑分力十噸亂然后據(jù)%"廠叱心,亦可得出同樣結果。而重力的另一正壓分力 因與位移垂直不做功，只是與斜面支持力平衡，使物體在垂直于斜面方向保持°）根據(jù)“重力對物體做功等于物體重力勢能的變化”（當重力對物體做正功時，物體的重力勢能減少），可以寫出下式：=mghA-答案：[A、B、C、D]

解題后的思考：你想到了本題的四個答案都是正確的嗎？這四個答案之間有什么聯(lián)系？2?你能夠運用功的計算式、勻變速運動公式及數(shù)學中的三角函數(shù)知識等推導出（C）、（D）兩個答案嗎？3?如果在本題中斜面是不光滑的（物體與斜面間存在著摩擦力f）,那么（A）、（B）、（C）、（D）四個答案中哪些是正確的？哪些答案是不正確的？【學法指要】例題2?原來以7米/秒速度在水平軌道上直線行駛著的火車，在關閉氣門停止動力后，滑行100米，車速減為5米/秒。問：繼續(xù)滑行100米,車速將減為多少？（火車在滑行過程中阻力始終保持不變。）啟發(fā)性問題：1.火車在滑行過程中處于何種做功狀態(tài)？2?你打算用什么物理規(guī)律解答本題？3?你會用圖示法分析物理問題嗎？分析與說明：1?在本題中，火車滑行時已停止了動力作用，所以只存在運動著的火車克服阻力做功火車將減速運動。2?解答本題可有幾種不同方法，但是對于學過“動能定理”的學生，往往想到使用這個規(guī)律。我們以本題為例，用圖示法進行分析，如圖疔一11所示口圖5H1在本題中,已知卩尸7米/秒,卩冃米/秒，St=Sh=100米口茨叱=?求解過程：根據(jù)“動能定理”用心藍，我們可以寫出下列展開式:=0、在本題中％=0、％=fs和W=fs、設火車的質量為m，=0、TOC\o"1-5"\h\zI 阻II對于s段可以寫出下式：I0—fs= ①I對于s段可以寫出下式：II0—fs= ②I在①、②兩式中，已知s=S,所以兩式的左方相等，因此兩式的右方也應相等:II—m消去等式兩邊的2可得-謚=V2~V1迸=2甘-卩；匕=72v?~vo將v=7米/秒、V=5米/秒代入上式可得：10v2=^2x52-72=750-49=1（米/■秒）答：火車繼續(xù)滑行100米（即火車一共滑行了200米）車速將減為1米/秒。

解題后的思考：你還能想到用茸它規(guī)律解答本題的方法嗎？在本題中若不再施動力，火車二養(yǎng)滑行多遠就會停??？（提示：設總滑行距離為缶再列出0-^=0-|w^與前面列出的①式解聯(lián)立方程就可得答案口答案:s^204o）思維體操】例題3■如圖疔一12所示：一輛車通過一根跨過滑輪的繩PQ提升井中質量為尬的物體.繩的P端拴在車后的掛鉤、0端拴在的物體上口設繩的總長不變，繩的質量、定滑輪的質量和尺寸、滑輪上的摩擦都忽略不計n開始時，車在A點，左右兩側繩都已繃緊并且是豎直的，左側繩長為提升時，車加速向左運動，沿水平方向從貝經(jīng)過E駛向O設貝到E的距離也是車過B點時的速度為加口求：在車由月移到￡的過程中，繩Q端的拉力對物體做的功口“準備活動”（解題所需的知識與技能）1?在本題中，由于汽車是加速運動，所以被提拉的物體也應是加速上升一這表明物體的動能和重力勢能都增加了。2?根據(jù)“功能原理”J^=A^=^+A^?就可以求出繩的拉力對物體所做的功W。（注：因為本題只要求繩的F拉力對物體所做的功，所以就不必考慮汽車在運動過程中的牽引力和阻力等問題了。）3■根據(jù)數(shù)學的分析可知，物體上升的高度h=DO~DP.若設ADOP=9f貝［J00=總。已知DP=H?且OP=BA^H?所以為等腰直角三角形，因此如圖5—13所示：汽車的速度泊是水平方向的，而此時物體上升的速度應等于VB在沿著繩子DO方向的分速譏（注：圖中虛線表示繩子在兀位置的方向口—另一分速W與繩子垂直將使繩子繼續(xù)改變傾斜程度口）根據(jù)三角函數(shù)知識可以寫岀：V=vscosft“體操表演"（解題的過程） V罔弓_13■. ■.■ r, , r II ■ irrrr urrj — ■ . ■. . .■設：汽車開到B處時，物體上升的即時速度為v、上升的高度為h,據(jù)前面“準備活動”的分析，可以寫下列二式：則：根據(jù)：“功能原理”，并將①、②兩式代入進行推導，就可求出繩Q端拉力對物體做的功W，具體過程如F下：(注：物體的初速為零，初高定為零)“整理運動”(解題后的思考)1.在本題的做功過程中，物體受到的是恒力還是變力？物體是勻加速上升還是變加速上升？2?請你用“動能定理”再將本題解答一次，并進行比較一你喜歡用哪種方法求解。.智能顯示【心中有數(shù)】1?功和能的關系：各種不同形式的能可以通過做功來轉化，能轉化的多少通過功來量度，即功是能轉化的量度。1212-—mV-.2?動能定理：合力的功等于物體動能的增量，表達式為:W=合應用動能定理解題步驟：分析物體的受力情況和運動情況；分析各個力對物體做功的情況，計算時要把各已知功的正負號代入分式進行運算，若是未知功，則用代號W代入。變力(大小或方向改變)的功不要直接用W二FscosO來求，可以應用動能定理來求。在公式中變力的功只能用代號W表示。如果物體運動有幾個過程時，可以分段運用動能定理，也可以對全過程運用動能定理，即各個力做功的代數(shù)和等于物體動能的增量：1212=片叫一—W+W+……W=21 2 n【動腦動手】(一)?選擇題1?關于做功和物體動能變化的關系，下列說法中正確的是只有動力對物體做功，物體的動能一定增加只有物體克服阻力做功，物體的動能一定減少外力對物體做功的代數(shù)和等于物體末動能與初動能之差。動力和阻力都對物體做功，物體的動能一定變化下面關于物體所受的合外力、合外力做功和物體動能變化的說法中正確的是如果物體所受的合外力為零，合外力對物體做的功一定為零如果合外力對物體做的功為零，合外力一定為零如果物體的動能不變，所受的合外力一定為零如果物體的動能不變，合外力對物體做的功一定為零質點在恒力作用下，從靜止開始做直線運動，則質點的動能與它通過的位移成正比與它通過位移的平方成正比與它運動的時間成正比與它運動時間的平方成正比4?一顆子彈以水平速率v射入固定的木塊中，射入深度為s,設子彈在木塊中所受阻力是恒定的。當子彈以％的水平速度射入固定的木塊中，射入深度為C.

C.■5-14王質量為用的小球，用長為2的輕繩懸掛于O點，如圖疔一14所示，小球在水平力F作用下，從平衡位置卩點緩慢地移到0點，Og與OF間的夾角為S則力F所做的功為■5-14mglcostzFlsinamgl(l-cosa)Fla6.兩個物體的質量分別為m和m，已知m=4m，當它們以相同的初動能在動摩擦因數(shù)相同的水平面上運動時，1212它們的滑行距離之比和滑行1時間2之比分別1為2A.ss=12,t:t=2:11212B.ss=41,t:t=1:21212C.ss=21,t:t=4:11212D.s1s=124,t:1t=1:22如圖5—15所示，質量為廉的物體被用細繩經(jīng)過光滑小孔而牽引在光滑水平面上做勻速圓周運動口當拉力為F時轉動半徑為Ec■若拉D■零力逐漸減小到%時，物體仍做勻速圓周運動，半徑為2&那么在半徑從E增加到2E的過程中，外力對物體所做的功的大小是D■零如圖5—16所示，質量為即的物體在光滑水平桌面上處于靜止狀態(tài)，系在物體上輕繩跨過光滑的定滑輪，另一端由地面上以速度vo向右勻速走動的人拉著，人從桌子的邊緣開始向右行至繩和水平方向成30。角處，在此過程中人所做的功為A吆mVgD.3W2Wo/D.3W/O9■如圖5—17所示，木板長為打在板的H端放有質量為陽的小物體只物體與木板間的動摩擦因數(shù)為山口開始時木板水平，若以且端為軸讓木板緩慢轉過一個小角度「物體保持與木板相對靜止，在這個過程中A.摩擦力對物體做功為pmgcos^/(l-cosa)|B摩擦力對物體做功為mgsin^J(l-cost7)彈力對物體做功為mgcosaJ或no木板對物體做功為mglsina10.質量為10kg的物體以4m/s的速度在光滑水平面上向左滑行，從某時刻起在物體上作用一個向右的水平力，經(jīng)過一段時間，物體的速度方向變?yōu)橄蛴?，大小?m/s，在這段時間里水平力做的功為0B.8JC.16JD.32J11?在水平面上有一質量為m的物體，受到水平力F的作用從靜止開始運動，通過距離s撤去力F,這以后又通過距離s停止下來，則在這個過程中

它所受的摩擦力大小為F它所受的摩擦力大小為咲力F對物體做的功為Fs力F對物體做的功為零12.被豎直上拋物體的初速度與回到拋出點時速度大小之比為k,空氣阻力在物體運動過程中大小不變，則重力與空氣阻力的大小之比等于〔疋+1)/ 3+1)/B.C.k13?兩輛汽車在同一平直路面上行駛，它們的質量之比m:m=1：2,速度之比v:v=2：1。當兩車急剎車后，甲車滑行的最大距離為s，乙車滑行的最大距離為s。設兩車與路面間的動摩擦因數(shù)相同，不計空氣阻力，則12s:s=1:2,12s:s=1:1,12s:s=2:1,12s:s=4:1汽車拉著拖車在平直的公路上勻速行駛，拖車與汽車突然脫鉤，而汽車的牽引力不變，各自受的阻力不變，在拖車停止前它們的總動能不變它們的總動能增加它們的總動量不變它們的總動量增加質量為m的汽車在平直公路上以速度v開始加速行駛，經(jīng)過時間t前進距離s后，速度達到最大值v。設在這一過程中汽車發(fā)動機的功率恒為P，汽車所受的阻力恒為f。在這段時間內(nèi)汽車發(fā)動機所做的功為m00".如圖5—18所示，一個粗糙的水平轉臺以角速度?勻速轉動，轉臺上有一質量為朋的物體，物體與轉臺軸心口間用長為2的細繩相連，此時物體與轉臺處于相對靜止口設物體與轉臺間的動摩擦因數(shù)為口口現(xiàn)突然使轉臺停止轉動，則A.物體在轉臺上運動一周的過程中，摩擦力對物體做功為零物體在轉臺上運動一周的過程中，產(chǎn)生的熱量為知洛?2皿U物體在轉臺上運動直至停止的過程中轉化的內(nèi)能為D.物體在轉臺上通過的總路程為吟焜(二)?填空題L7■如圖5—19所示，一個質量為m的物體靜止在水平地面上，物體與地面間的動摩擦因數(shù)為莊，在跟水平方向成衛(wèi)角的拉力F作用下物體移動距離左時的速度是 ■18-顆子彈以700m/s的水平速度射入一塊固定不動的木板，射出后的速度變?yōu)?00m/sf設木板對子彈的阻力恒定不變，則這顆子彈還再射穿 塊同樣固定的木板口一人坐在雪橇上，從靜止開始沿著高度為15m的斜坡下滑，到達底部時速度為10m/s。已知人和雪橇的總質量為80kg，g取10m/s2。下滑過程中克服阻力做的功是 如圖5—20所示，質量為m的物體，從弧形面底端A點以速度v往上滑行，達到某一高度后，又沿原路返回，且繼續(xù)沿水平面滑行至B點而停止。在整個過程中物體克服摩擦力做的功是 。質量為m的小球，以初速度v從傾角為6的斜面底端向上滑行，上滑的最大距離為s,則小球滑回到原出TOC\o"1-5"\h\z發(fā)點時的動能為 。一個單擺小球的質量為m，擺球經(jīng)過最低點時的速度為v，由于擺球受到大小不變的空氣阻力f作用而最終靜止。則擺球通過的最大路程是 。 023?如圖5—21所示，物體A放在傾角為6的斜面上，向下輕輕一推，它剛好能勻速下