函數(shù)性質(zhì)-奇偶性講義 高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊

越努力，越幸運(yùn)！函數(shù)的性質(zhì)—奇偶性模塊一：奇偶性的定義與證明知識精講1．函數(shù)奇偶性的定義（1）奇函數(shù)：設(shè)函數(shù)的定義域為，如果對于內(nèi)的任意一個，都有，且，則這個函數(shù)叫做奇函數(shù)．（2）偶函數(shù)：設(shè)函數(shù)的定義域為，如果對于內(nèi)的任意一個，都有，且，則這個函數(shù)叫做偶函數(shù)．2．函數(shù)奇偶性的判斷（1）定義法；（2）性質(zhì)法：奇奇奇，偶偶偶，奇奇偶，偶偶偶，奇偶奇；（3）圖像法．典例分析【例1】判斷下列函數(shù)的奇偶性：（1）；（2）；（3）．【練1.1】判斷下列函數(shù)是否具有奇偶性：（1）； （2）．

【練1.2】判斷下列函數(shù)的奇偶性：（1） （2）（3）．【練1.3】（1）已知，分別為定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，則下列為奇函數(shù)的是（）A． B． C． D．（2）（多選）已知函數(shù)，的定義域都為，且是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A．是奇函數(shù) B．是奇函數(shù) C．是偶函數(shù) D．是偶函數(shù)【例2】若函數(shù)是奇函數(shù)，求實數(shù)的值．【練2.1】函數(shù)是奇函數(shù)，則__________．【練2.2】若函數(shù)為偶函數(shù)，則實數(shù)__________．

【例3】已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的定義域；（2）判斷的奇偶性并證明．【練3.1】已知函數(shù)，且．（1）求的值；（2）判斷函數(shù)的奇偶性．【練3.2】已知函數(shù)，定義域為，且，．（1）確定函數(shù)的解析式；（2）判斷并證明函數(shù)奇偶性．模塊二：奇偶性的性質(zhì)與應(yīng)用知識精講1．函數(shù)具有奇偶性其定義域關(guān)于原點對稱；2．函數(shù)是偶函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱；3．函數(shù)是奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱;4．奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相同；偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相反;5．若為奇函數(shù)，則;推論1：若為奇函數(shù);推論2：若為奇函數(shù)，且0在定義域內(nèi)，則;推論3：若為奇函數(shù)，則關(guān)于有這樣的性質(zhì)；①；②若在上有最大值和最小值，則．典例分析【例4】（1）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時，，則等于（）A． B．7 C． D．5（2）已知函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，當(dāng)時，，則當(dāng)時，函數(shù)____．【練4.1】已知為奇函數(shù)，當(dāng)時，；則當(dāng)，的解析式為____．

【練4.2】已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時，．（1）求在上的解析式；（2）用定義法證明在上的單調(diào)性．【例5】已知是定義在上的偶函數(shù)，那么的值為（）A． B． C． D．【練5.1】函數(shù)是定義在的偶函數(shù)，則的值為（）A． B． C． D．【練5.2】若定義域為的函數(shù)是偶函數(shù)，則的遞減區(qū)間是________．【例6】（1）若函數(shù)是偶函數(shù)，在上有最大值8，則函數(shù)在上有（）A．最小值 B．最大值8 C．最小值 D．最小值（2）設(shè)函數(shù)，若，則________．

【練6.1】（1）定義在上的函數(shù)、，其中是奇函數(shù)滿足且，則________．（2）已知且，那么________．（3）已知函數(shù)為奇函數(shù)，若，則______模塊三：單調(diào)性與及奇偶性的綜合知識精講奇偶性和單調(diào)性的綜合應(yīng)用：1．利用單調(diào)性和奇偶性解不等式的方法（1）充分利用已知的條件，結(jié)合函數(shù)的奇偶性，把已知不等式轉(zhuǎn)化為或的形式，再利用單調(diào)性脫掉“”求解．（2）在對稱區(qū)間上根據(jù)奇函數(shù)的單調(diào)性一致，偶函數(shù)的單調(diào)性相反，列出不等式或不等式組，求解即可，同時要注意函數(shù)自身定義域?qū)?shù)的影響．2．已知奇偶性，求函數(shù)的解析式根據(jù)函數(shù)奇偶性求解析式的三個步驟步驟一:“求誰設(shè)誰”，即在哪個區(qū)間求解析式，就設(shè)在哪個區(qū)間．步驟二:轉(zhuǎn)化代入已知區(qū)間的解析式．步驟三:利用函數(shù)的奇偶性寫出或，從而求出函數(shù)的解析式．典例分析【例7】（1）已知偶函數(shù)在單調(diào)遞減，，若，則的取值范圍是________．（2）已知是定義域為的奇函數(shù)，而且是減函數(shù)，如果，那么實數(shù)的取值范圍是____．【練7.1】設(shè)奇函數(shù)在上為增函數(shù)，且，則不等式的解集為（）A． B． C． D．【練7.2】已知函數(shù)是奇函數(shù)，且時，有，，則不等式的解集為________．【例8】函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且．（1）確定函數(shù)的解析式；（2）證明函數(shù)在上是增函數(shù)；（3）解不等式．【練8.1】已知是定義在上的奇函數(shù)，且，若，，時，有．（1）證明在上是增函數(shù)；（2）解不等式（3）若對，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．

模塊四：函數(shù)周期性知識精講1．定義：設(shè)的定義域為，若對，存在一個非零常數(shù)，有，則稱函數(shù)是一個周期函數(shù)，稱為的一個周期;2．若是一個周期函數(shù)，則，那么，即也是的一個周期，進(jìn)而可得：也是的一個周期;3．函數(shù)周期性的判定：（1）：可得為周期函數(shù)，其周期；（2）的周期；（3）的周期；（4）（為常數(shù)）的周期；（5）（為常數(shù)）的周期；（6）雙對稱的周期：若一個函數(shù)存在兩個對稱關(guān)系，則是一個周期函數(shù)，具體情況如下：（假設(shè)）①若的圖像關(guān)于軸對稱，則是周期函數(shù)，周期②若的圖像關(guān)于中心對稱，則是周期函數(shù)，周期③若的圖像關(guān)于軸對稱，且關(guān)于中心對稱，則是周期函數(shù)，周期．典例分析【例9】（1）設(shè)是周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則（）A． B． C． D．（2）設(shè)函數(shù)對任意都有且，則（）A．2 B． C．2020 D．【練9.1】（1）已知是定義在上的偶函數(shù)，并滿足，當(dāng)，，則（）A．5.5 B． C． D．2.5（2）偶函數(shù)對于任意實數(shù)，都有成立，并且當(dāng)時，，則（）A． B． C． D．【例10】（1）函數(shù)是上最小正周期為2的周期函數(shù)，當(dāng)時，則函數(shù)的圖象在區(qū)間上與軸的交點個數(shù)為（）A．6 B．7 C．8 D．9（2）已知是定義在上周期為2