新教材2023-2024學年高中數(shù)學第6章平面向量初步6.1平面向量及其線性運算6.1.4數(shù)乘向量6.1.5向量的線性運算課件新人教B版必修第二冊

第六章6.1.4數(shù)乘向量6.1.5向量的線性運算基礎落實·必備知識全過關重難探究·能力素養(yǎng)全提升目錄索引

成果驗收·課堂達標檢測課程標準1.了解數(shù)乘向量的概念并理解其幾何意義.2.理解并掌握數(shù)乘向量的運算律.3.理解并掌握兩向量共線的性質(zhì)及判定方法,并能熟練地運用這些知識處理有關向量共線問題.4.會利用向量的加法、減法與數(shù)乘向量進行線性運算.基礎落實·必備知識全過關知識點1

數(shù)乘向量1.數(shù)乘向量的定義一般地,給定一個實數(shù)λ與任意一個向量a,規(guī)定它們的乘積是一個向量,記作λa,其中:(1)當λ≠0且a≠0時,λa的模為|λ||a|,而且λa的方向如下:①當λ>0時,與a的方向

;

②當λ<0時,與a的方向

.

(2)當λ=0或a=0時,λa=

.

上述實數(shù)λ與向量a相乘的運算簡稱為數(shù)乘向量.相同

相反02.數(shù)乘向量的定義說明,如果存在實數(shù)λ,使得b=λa,則b∥a.若,則A,B,C三點共線.3.數(shù)乘向量的幾何意義數(shù)乘向量的幾何意義是,把向量沿著它的方向或反方向放大或縮小.特別地,一個向量的相反向量可以看成-1與這個向量的乘積,即-a=(-1)a.名師點睛對數(shù)乘向量的理解(1)實數(shù)與向量可以求乘積,但不能將實數(shù)和向量進行加減運算.如λ+a,λ-a均沒有意義.(2)若λa=0,則λ=0或a=0.(3)對于非零向量a,表示a方向上的單位向量.過關自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)對于任意的向量a,總有0a=0.(

)(2)當λ>0時,|λa|=λa.(

)(3)若a≠0,λ≠0,則a與-λa的方向相反.(

)×××2.已知向量a=-2e,b=(e為單位向量),則向量a與向量b(

)A.不共線 B.方向相反C.方向相同 D.|a|>|b|B知識點2

向量的運算律1.λ(μa)=

.

2.λa+μa=

.

3.λ(a+b)=

.(其中λ,μ∈R)

名師點睛向量的運算律的理解要清楚數(shù)乘向量與實數(shù)乘法的區(qū)別,前者的結果是一個向量,后者的結果是一個實數(shù).(λμ)a(λ+μ)aλa+λb過關自診(多選題)[2023貴州黔西高一]已知實數(shù)m,n和向量a,b,下列結論正確的是(

)A.m(a-b)=ma-mb B.(m-n)a=ma-naC.若ma=mb,則a=b D.若ma=na(a≠0),則m=nABD

解析

易知A,B正確;對于C,若ma=mb,則m(a-b)=0,所以m=0或a=b,故C錯誤;對于D,若ma=na(a≠0),則(m-n)a=0,所以m-n=0,即m=n,故D正確.故選ABD.知識點3

向量的線性運算向量的

以及它們的混合運算,統(tǒng)稱為向量的線性運算.

名師點睛對向量的線性運算的理解(1)已知某些向量,要化簡與它們有關的向量式,其解題方法可類比初中所學的“求代數(shù)的值”,即先化簡向量式,代入,再化簡,求值,這樣能簡化解題過程.(2)解向量的線性方程組的方法,同解代數(shù)方程組一樣,進行消元,其消元方法通常為代入消元法、加減消元法.加法、減法、數(shù)乘向量過關自診1.化簡(2a+8b)-(4a-2b)]的結果是(

)A.2a-b

B.2b-aC.b-a

D.a-b2.若3(x+a)+2(x-2a)-4(x-a+b)=0,則x=

.

B解析

原式=[(1-4)a+(4+2)b]=-a+2b.故選B.4b-3a解析

3(x+a)+2(x-2a)-4(x-a+b)=0,即x+3a-4b=0,所以x=4b-3a.重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點一數(shù)乘向量的概念【例1】

(1)已知非零向量a,b滿足a=4b,則(

)A.|a|=|b|B.4|a|=|b|C.a與b的方向相同D.a與b的方向相反C解析

∵a=4b,4>0,∴|a|=4|b|.∵4b與b的方向相同,∴a與b的方向相同.C(3)若兩個非零向量a與(2x-1)a方向相同,則實數(shù)x的取值范圍為

.

解析

由定義可知2x-1>0,即x>.規(guī)律方法

經(jīng)過數(shù)乘向量運算得到的向量與原來的向量是共線的,其幾何意義就是把原來的向量沿著它的方向或者反方向放大或縮小.變式訓練1已知a,b是兩個非零向量,判斷下列各說法的正確性,并說明理由.(1)2a的方向與a的方向相同,且2a的模是a的模的2倍;(2)-2a的方向與5a的方向相反,且-2a的模是5a的模的;(3)-2a與2a是一對相反向量;(4)a-b與-(b-a)是一對相反向量;(5)若a,b不共線,則0a與b不共線.

解

(1)正確.∵2>0,∴2a與a同向,且|2a|=2|a|.(2)正確.∵5>0,∴5a與a同向,且|5a|=5|a|.∵-2<0,∴-2a與a反向,且|-2a|=2|a|.∴-2a與5a反向,且|-2a|=|5a|.(3)正確.-2a+2a=0.(4)錯誤.-(b-a)=-b+a=a-b.(5)錯誤.0a=0,0與任意向量共線.探究點二向量的線性運算【例2】

化簡下列各式:(1)2(5a-4b+c)-3(a-3b+c)-7a;(2)(m+n)(a-b)-(m+n)(a+b).解

(1)原式=10a-8b+2c-3a+9b-3c-7a=b-c.(2)原式=(m+n)a-(m+n)b-(m+n)a-(m+n)b=-2(m+n)b.規(guī)律方法

數(shù)乘向量運算的方法總結(1)數(shù)乘向量運算類似于多項式的代數(shù)運算,實數(shù)運算中的去括號、移項、合并同類項、提取公因式等變形手段在數(shù)與向量的乘積中同樣適用,但是這里的“同類項”“公因式”指向量,實數(shù)看作是向量的系數(shù).(2)向量也可以通過列方程來解,把所求向量當作未知數(shù),利用解代數(shù)方程的方法求解,同時在運算過程中要多注意觀察,恰當運用運算律,簡化運算.(2)已知向量為a,b,未知向量為x,y,向量a,b,x,y滿足關系式3x-2y=a,-4x+3y=b,求向量x,y.由①×3+②×2得,x=3a+2b,代入①得3×(3a+2b)-2y=a,解得,y=4a+3b.所以x=3a+2b,y=4a+3b.探究點三用已知向量表示未知向量D變式探究本例(1)中,設AC與BD相交于點O,F是線段OD的中點,AF的延長線交DC于點G,其余條件不變,試用a,b表示規(guī)律方法

用已知向量表示未知向量的策略用圖形中的已知向量表示未知向量,應結合已知和所求,聯(lián)想相關的法則和幾何圖形間的關系,將未知向量反復分解,直到全部可以用已知向量表示,其實質(zhì)是向量線性運算的反復應用.探究點四三點共線問題規(guī)律方法

用向量共線的條件證明三點共線的方法證明三點共線問題,可用向量共線來解決,但應注意向量共線與三點共線的區(qū)別與聯(lián)系,當兩向量共線且有公