2021年新高考數(shù)學模擬試卷35

2021年新高考數(shù)學模擬試卷(35)

選擇題(共8小題，滿分40分，每小題5分)

1.(5分)己知集合4=(x\y=lg(x+2)},B={y\y=Vx124-1},則AG(CRB)=()

A.0B.[1,+8)C.(-2,1]D.(-2,1)

z-i

2.(5分)已知i是虛數(shù)單位，復數(shù)z滿足二元=1一t,則5=()

A.l+5zB.-1-5/C.1-5iD.-l+5z

3.(5分)某車間生產(chǎn)A,B,C三種不同型號的產(chǎn)品，產(chǎn)量之比分別為5：k：3,為檢驗產(chǎn)

品的質量，現(xiàn)用分層抽樣的方法抽取一個容量為120的樣本進行檢驗，已知B種型號的

產(chǎn)品共抽取了24件，則C種型號的產(chǎn)品抽取的件數(shù)為()

A.12B.24C.36D.60

53

4.(5分)兩個實習生每人加工一個零件.加工為一等品的概率分別為二和二，兩個零件是否

64

加工為一等品相互獨立，則這兩個零件中恰有一個一等品的概率為()

1151

A?—B.-C.—D.一

23126

TT

t—->->\a—bI

5.(5分)已知向量a=(m,2),b=(2,-2),且a_Lb,則t『t等于()

a(a+b)

11

A.-4B.-C.0D.1

22

6.(5分)已知。=32,b=log?遮,c=log3V2,則mb,c的大小關系為()

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.c>b>a

7.(5分)函數(shù)/(x)=/+加的圖象只可能是()

xy

8.(5分)已知雙曲線"一言=1(Q>0,b>0)的左、右焦點分別為Q,&,過F2且斜

24TTT

率為彳的直線與雙曲線在第一象限的交點為A,若(F2F1+F2A)-F1A=0,則此雙曲線的

標準方程可能為()

A.x2-^=lB.--^=1

1234

x2y2x2y2

C.---=1D.---=1

169916

二.多選題(共4小題，滿分20分，每小題5分)

9.(5分)若隨機變量X服從兩點分布，其中P(X=0)=/E(X)、D(X)分別為隨機變

量X均值與方差，則下列結論正確的是()

A.P(X=l)=E(X)B.E(3X+2)=4

4

C.D(3X+2)=4D.D(X)=；

10.(5分)下列選項中說法正確的是()

A.若非零向量；，1滿足。％X),則2與W的夾角為銳角

B.若命題存在使得亞一配+1V0,則「p：對任意x€R,都有j-x+1

>0

C.已知y=/(x)是R上的可導函數(shù)，則”/(出)=0”是“xo是函數(shù)y=f(x)的極

值點”的必要不充分條件

D.在△ABC中，“若si">sin8,則A>B”的逆否命題是真命題

11.(5分)在正三棱錐A-BC。中，側棱長為3,底面邊長為2,E,F分別為棱A8,CD

的中點，則下列命題正確的是()

3

A.Eb與AD所成角的正切值為二

2

2

B.所與所成角的正切值為§

7A/2

C.AB與面4CQ所成角的余弦值為一7

12

7

D.A8與面AC。所成角的余弦值為二

9

7T

12.(5分)將函數(shù)f(x)=sin2r的圖象向右平移1個單位后得到函數(shù)g(x)的圖象，則函

數(shù)g(x)具有性質()

A.在（0,今上單調遞增，為偶函數(shù)

B.最大值為1,圖象關于直線乂=-岑對稱

C.在（-相，分上單調遞增，為奇函數(shù)

D.周期為m圖象關于點（苧，0）對稱

三.填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分）

13.（5分）已知函數(shù)次-bx圖象上一點（2,.八2））處的切線方程為y--3x+2ln2+2,

貝（Ja+b=.

14.（5分）設x>-l,則當、=》+占取最小值時，x的值為.

15.（5分）已知拋物線C：y2=4x的焦點為尸，斜率為1的直線/與C的交點為A,B,與

x軸的交點為P,若筋=3而，則|A/q+|B/q=,|AB|=.

16.（5分）在三棱錐P-ABC中，PA=PC=2y[3,BA=BC=V3,ZABC=WQ，若與

底面ABC所成的角為60°,則三棱錐尸-ABC的外接球的表面積.

四.解答題（共6小題，滿分70分）

17.（10分）在△ABC中，A、B、C的對邊分別是〃、b、c,且4、B、C成等差數(shù)列.△

ABC的面積為彳.

2

（1）求：“c的值；

（2）若6=百，求：a,c的值.

18.（12分）已知公差不為零的等差數(shù)列｛斯｝的前〃項和為％,若$5=30,且可，④，?4

成等比數(shù)列.

（1）求數(shù)列｛為｝的通項公式；

（2）若bn=.-I）'+1）,求數(shù)列仍"｝的前"項和丁心

19.（12分）如圖，在四棱錐P-ABC。中，側面南￡>_L底面ABC。，△P4O是等邊三角形，

底面4BCD為直角梯形，其中8C〃AZ）,ABLAD,AB=BC=E為CO中點.

（1）求證：平面以8J_平面力。；

（2）求二面角P-AE-B的余弦值.

x2jy/2

20.(12分)已知橢圓C：—+y=1(a>1)的離心率是三.

(I)求橢圓C的方程;

(II)已知Q,&分別是橢圓C的左、右焦點，過&作斜率為％的直線/，交橢圓C于

A,8兩點，直線QA,Q8分別交)，軸于不同的兩點M,N.如果NMQN為銳角，求上

的取值范圍.

21.(12分)已知函數(shù)/Xx)=p望X_1+以

(1)判斷f(x)極值點的個數(shù)；

(2)若x>0時，/>/(%)恒成立，求實數(shù)”的取值范圍

22.(12分)某校為了解校園安全教育系列活動的成效，對全校學生進行了一次安全意識測

試，根據(jù)測試成績評定“合格”"不合格”兩個等級，同時對相應等級進行量化：“合格”

記5分，“不合格”記。分.現(xiàn)隨機抽取部分學生的答卷，統(tǒng)計結果及對應的頻率分布直

方圖如圖：

等級不合格合格

得分[20,40)[40,60)[60,[80,

80)100]

頻數(shù)6a24b

(1)由該題中頻率分布直方圖求測試成績的平均數(shù)和中位數(shù)；

(2)其他條件不變，在評定等級為“合格”的學生中依次抽取2人進行座談，每次抽取

1人，求在第1次抽取的測試得分低于80分的前提下，第2次抽取的測試得分仍低于80

分的概率；

(3)用分層抽樣的方法，從評定等級為“合格”和“不合格”的學生中抽取10人進行

座談，現(xiàn)再從這10人中任選4人，記所選4人的量化總分為3，求S的數(shù)學期望E鰭).

2021年新高考數(shù)學模擬試卷(35)

參考答案與試題解析

一.選擇題(共8小題，滿分40分，每小題5分)

I.(5分)已知集合力=(x\y=lg[x+2)},B={y\y=Vxz+1),則AA(CRB)=()

A.0B.[1,+8)C.(-2,1]D.(-2,1)

【解答】解：集合A={x|y=/g(x+2)}=(-2,+8),B={y\y^\}=[\,+°°),

CRB=(-°°,1);

則AC(CRB)=(-2,1),

故選：D.

2.(5分)已知i是虛數(shù)單位，復數(shù)z滿足f-=1一i,則斤=()

3+2i

A.l+5zB.-I-5JC.1-5iD.-1+5/

z-t

【解答】解：因為一-=1-i,所以z?i=(l-i*3+2i)=5-i,所以z=—1-5i,z-1+

5i,

故選：D.

3.(5分)某車間生產(chǎn)4,B,C三種不同型號的產(chǎn)品，產(chǎn)量之比分別為5：&：3,為檢驗產(chǎn)

品的質量，現(xiàn)用分層抽樣的方法抽取一個容量為120的樣本進行檢驗，已知B種型號的

產(chǎn)品共抽取了24件，則C種型號的產(chǎn)品抽取的件數(shù)為()

A.12B.24C.36D.60

【解答】解：由題意可得二=丁工，求得％=2.

1205+/C+3

則C種型號的產(chǎn)品抽取的件數(shù)為120X引為=36,

故選：C.

53

4.(5分)兩個實習生每人加工一個零件.加工為一等品的概率分別為二和二，兩個零件是否

64

加工為一等品相互獨立，則這兩個零件中恰有一個一等品的概率為()

1151

A.-B.-C.—D.一

23126

【解答】解：由于兩個零件是否加工為一等品相互獨立，

所以兩個零件中恰有一個一等品為：兩人一個為一個為一個一等品，另一個不為一等品.

53531

?”=黑一》+(1—涓=1，

故選：B.

TT

TTTT\a—bI

5.(5分)已知向量Q=(m,2),6=(2,-2),且a_Lb,則_t等于()

Q(Q+b)

11

A.-4B.-C.0D.1

22

【解答】解：向量Q=(m,2),b=(2,—2),旦Q1b,

所以=2m-4=0,

解得加=2；

所以Q=(2,2),

所以0-h)2=a2-2a'b+於=8-0+8=16,

所以而-b\=4,

所以Q?(Q+6)=a2+a-6=8+0=8,

所以山

41

-

a(a+b)82

故選：B.

6.(5分)已知〃=32,b=log2yc=log3y/2,則4,b,c的大小關系為()

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.c>b>a

【解答】解：?.?32>3°=1,-<log2yj3<log22=1,log3V2<log3y/3=

故選：A.

7.(5分)函數(shù)/(x)=x?+e園的圖象只可能是()

c.D.

【解答】解：因為對于任意的x€R,f(K)=/+別>0恒成立，所以排除A,B,

由于/'(())=。2+33=1,則排除。，

故選：C.

%2y2

8.(5分)已知雙曲線=一片二l(a>0,b>0)的左、右焦點分別為Fi，&,過&且斜

a2b2

24TTT

率為亍的直線與雙曲線在第一象限的交點為4,若(尸2尸1+尸24>招4=0,則此雙曲線的

標準方程可能為()

y2x2y2

A.X2-f5=lB.---=1

1234

x2y2x2y2

C.---=1D.---=1

169916

【解答】解：若(F；%+點)?點=0,即為若(F>i+點)?(一產(chǎn)；"+點)=0,

可得242=點『，即有|4&1=舊2尸11=2。，

由雙曲線的定義可得|AFi|=2a+2c,

在等腰三角形AQ&中，tan/A&Q=一竿，

八一74c2+4c2-(2a+2c)2

COSZAF2FI=-25=-----聲五-----，

化為3c=5m

nn3.4

即a=5c,b=5c,

可得a：b=3：4,a1：Z?2=9：16.

故選：D.

二.多選題(共4小題，滿分20分，每小題5分)

9.(5分)若隨機變量X服從兩點分布，其中P(X=0)=/,E(X)、D(X)分別為隨機變

量X均值與方差，則下列結論正確的是()

A.P(X=l)=E(X)B.E(3X+2)=4

4

C.D(3X+2)=4D.O(X)=；

【解答】解：隨機變量X服從兩點分布，其中p(x=0)=號，

2

:.P(X=l)

172

E(X)=0x^+1x@=w，

2912922

D(X)=(0—3)~x3+(1—可)?xw=g,

在A中，P(X=l)=E(X),故A正確；

在8中，E(3X+2)=3E(X)+2=3x^+2=4,故3正確；

在C中，。(3X+2)=9D(X)=9X3=2,故C錯誤；

在。中，O(X)=*故。錯誤.

故選：AB.

10.(5分)下列選項中說法正確的是()

A.若非零向量；，力滿足三工R),則之與6的夾角為銳角

B.若命題〉存在x()6R,使得就-Xo+lVO,則「P：對任意xCR,都有j-x+i

>0

C.已知y=/(x)是R上的可導函數(shù)，則'了，(xo)=0”是“沖是函數(shù)y=/(x)的極

值點”的必要不充分條件

D.在△ABC中，“若siivl>sinB,則A>B”的逆否命題是真命題

【解答】解：對于4a,7同向時，之與力的夾角為0,不是銳角，故不正確；

對于8,根據(jù)命題的否定可知"：對任意xeR,都有/-x+i》o,可知不正確；

對于C,已知y=f(x)是R上的可導函數(shù)，則“/(沖)=0"函數(shù)不一定有極值，”出

是函數(shù)y=/(x)的極值點”必要不充分條件，正確；

對于￡),,.,sinA>sin8.由正弦定理可得a>b,由于大邊對大角，...A>B即原命題正確，

逆否命題是真命題，故正確，

故選：CD.

II.(5分)在正三棱錐4-BC。中，側棱長為3,底面邊長為2,E,尸分別為棱4B,CD

的中點，則下列命題正確的是()

3

A.E尸與AD所成角的正切值為5

B.￡尸與A。所成角的正切值為!

7V2

C.AB與面ACD所成角的余弦值為二77

12

7

D.A8與面AC。所成角的余弦值為二

9

【解答】解：取8。中點M,BC中點N,連結EM,FM,AN,DN,

:在正三棱錐A-8CQ中，側棱長為3,底面邊長為2,E,尸分別為棱A8,CQ的中點,

：.ANLBC,DNLBC,又ANCDN=N,：.BCmADN,

平面ADN,：.ADLBC,

1

EM//AD,KEM=^AD=EF//BC,EF=^BC=1,

EMIMF,EF與AD所成角為NFEM,

；.EF與A。所成角的正切值為tanNFEM=^=/=,,故A錯誤，B正確;

2

連結8F,AF,則AF_LC￡>,BF_LCD,^AF（^BF=F,CD_L平面ABF,

過點8作2P_LAF,交AF于尸，則2P_LCZ）,

'：CDQAF=F,：.BPL^^ACD,

：.NBAF是AB與面ACD所成角，

；A3=3,AF=V9^1=2V2,BF=V4^1=V3,

222

..n,?AB+AF-BF9+8-37V2

..C°S/BAF=2XABXAF=

7V2

???AB與面ACD所成角的余弦值為一7,故。正確，O錯誤.

12

故選：BC.

7T

12.(5分)將函數(shù)f(x)=sin2r的圖象向右平移1個單位后得到函數(shù)g(x)的圖象，則函

數(shù)g(X)具有性質()

A.在(0,9上單調遞增，為偶函數(shù)

B.最大值為1,圖象關于直線彳=-￥對稱

C.在(-舞，價上單調遞增，為奇函數(shù)

D.周期為m圖象關于點(當，0)對稱

71

【解答】解：將函數(shù)f(x)=sin2x的圖象向右平移二個單位后得到函數(shù)g(x)的圖象，

4

貝(Jg(x)=sin2(x—=sin(2x—=-cos2x,

則函數(shù)g(x)為偶函數(shù)，當0<xV押，0<2xV號此時g(x)為增函數(shù)，故A正確，

函數(shù)的最大值為1,當x=-當時，g(x)=-cos(-3n)=-COS7T=1,為最大值，則

函數(shù)圖象關于直線x=一當對稱，故8正確，

函數(shù)為偶函數(shù)，故C錯誤，

r\37r37r37rQ

函數(shù)的周期T=*=7r,g(7)=-cos(—x2)=-cos—=0,即圖象關于點(*,0)對稱,

故D正確

故正確的是AB。，

故選：ABD.

三.填空題(共4小題，滿分20分，每小題5分)

13.(5分)己知函數(shù)Rx)=alnx-bx圖象上一點(2,火2))處的切線方程為y=-3x+2/〃2+2,

貝！1a+b—3.

【解答】解：將x=2代入切線得/(2)=2歷2-4.

所以2/〃2-4=出〃2-4〃①，

又f，(x)=^-2bx,

(2)=尹4b=-3②，

聯(lián)立①②解得a=2,b=l.

所以4+8=3.

故答案為：3.

14.（5分）設x>-l,則當y=x+$取最小值時，x的值為1.

【解答】解：-1,...x+lX）,

44

則y=x+m'=x+l+弟T>3,

當且僅當x+l=磊即x=I時取等號，

故答案為：1

15.（5分）已知拋物線C：『=4x的焦點為凡斜率為1的直線/與C的交點為A,B,與

x軸的交點為P,若小=3而，則IAfl+IBFI=12,\AB\=8V2.

【解答】解：設A（xi，yi）,B（如>2），斜率為1的直線/的方程為x=y+，"，則PCm,

0）,

MW得六4廠4〃7=。，.?儼+'2=4,

（*=4x'J'（丫,2=-4m

?：AP=3PB,.，.yi=-3y2，

又yi+y2=4,，yi=6,y2=-2,從而為=9,M=1,

故|AQ+出用=刁+尤2+2=12.

由A（9,6）,B（1,-2）,得依陰=8&.

故答案為：12；8V2.

16.（5分）在三棱錐P-ABC中，PA=PC=2炳,BA=BC=V3,NABC=90°，若山與

底面ABC所成的角為60°,則三棱錐P-ABC的外接球的表面積157T.

【解答】解：因為以=PC=2g,BA=BC=V3,所以P在底面的投影在/ABC的角平

分線上，設為￡

再由若雨與底面ABC所成的角為60°可得AE=Rl?cos60°=2B々=遮，可得E,B

重合，PB=B4?sin60°=2V3-=3,

即面ABC,由/ABC=90°可得，將三棱錐尸-ABC放在長方體中，

由長方體的對角線為外接球的直徑2R可得：4/?2=32+（V3）2+（V3）2=15,

所以外接球的表面積S=4TTR2=15m

故答案為：15n.

四.解答題（共6小題，滿分70分）

17.（10分）在△ABC中，4、B、C的對邊分別是“、b、c,且A、B、C成等差數(shù)列.△

V3

ABC的面積為77.

2

（1）求：ac的值；

（2）若6=遮，求：a,c的值.

【解答】解：（1）B、C成等差數(shù)列

：.2B=A+C

：.B=J,

..1.V3

?Sc=2acsinDB=區(qū)

:?ac=2

（2）VZ?2=6724-C2-laccQsB,

18.（12分）已知公差不為零的等差數(shù)列｛斯｝的前〃項和為S”,/i$5=30,且a],“2，。4

成等比數(shù)列.

（1）求數(shù)列｛斯｝的通項公式；

（2）若歷尸（即—l）Xn+iy求數(shù)列｛兒｝的前"項和刀”

【解答】解：（1）設等差數(shù)列｛斯｝的公差為d,4#0.

由$5=30,得30=5ai+10d,…①

'：ax,a2,。4成等比數(shù)列，

22

a2=at-a4,則（％+d）=a1（%+3d）,…②

由①②解得：［2,

數(shù)列｛斯｝的通項公式為詼=2+2(/?-1)=2〃；

(2)由bn=@_1)而+1)'得加=(2n-l)(2n+l)=2(2^1-2n+l^'

1

11111

-+---n

???數(shù)列伯”｝的前〃項和〃=必+歷+…+與=*(1335L=

1+2n+l'

19.(12分)如圖，在四棱錐P-ABC。中，側面以￡>_!_底面A8CD,△以。是等邊三角形,

底面4BC。為直角梯形，其中8C〃A￡>,ABLAD,AB=BC=^AD,E為CD中點、.

(1)求證：平面以B_L平面以。；

(2)求二面角P-AE-B的余弦值.

p

【解答】(1)證明：'：AB±AD,側面以。_L底面ABC。，側面以。A底面A8CD=A￡),

，A8_L側面PAD,

又ABu平面ABCD,

平面以81.平面PAD.

(2)解：如圖所示，建立空間直角坐標系.不妨設AB=1.

r-13

A(0,0,0),B(1,0,0),P(0,1,遮)，E(-,0),

22

T-13

AP=(0,1,V3)>AE=(—,—,0),

22

設平面以E的法向量為蔡=G,y,z),則/力3=盛?易?=(),

r-13

>'+V3z=0,-x+^y—O,

取1=(3V3,-V3,1).

取平面ABE的法向量為薪=(0,0,1).

i_vn

cos<m,n>7H=k

由圖可得：二面角P-4E-8的平面角為鈍角，可得余弦值為一照.

Xy/2

20.（12分）已知橢圓C：—4-y9=1（。＞1）的離心率是——.

az2

（I）求橢圓c的方程；

（II）已知F1，乃分別是橢圓c的左、右焦點，過危作斜率為4的直線/，交橢圓c于

A,8兩點，直線F|A,QB分別交y軸于不同的兩點M,N.如果/MQN為銳角，求k

的取值范圍.

【解答】解：（I）由題意，［3-1,解得J=2.

I=1

L2=b2+c2

2

工橢圓C的方程為yx+y2=1；

（II）由已知直線/的斜率不為0,設直線/的方程為y=k（x-1）,

直線/與橢圓C的交點A（X）,y\）,B（M，＞2），

（y=k（x-1）

聯(lián)立1x2,，得（2d+1）X-4鏟x+2&2-2=o.

匕+y-

A.k2"乙一?…

由己知，△＞（）恒成立，且%1+%2=-2-'X1X2=-2-,①

2F+12k'+l

直線QA的方程為、=（x+1）,令x=0,得M（0,x

同理可得N（0,孚一）.

X2+l

7

：.F^M?FJV=1+為、2_i,卜（巧―1）02-1）

（々+1）（久2+1）—（巧+1）（上+1）

_（1+必）巧久2+（1—必）（巧+尢2）+1+必

x/2+%1+%2+1

將①代入并化簡得：F；M,F；N=野二,

8k-1

TT7"2一1

依題意，NMQN為銳角，則&M-EN=S＞」＞0,

8k—1

解得：記乂或武號

綜上，直線/的斜率的取值范圍為(-8,一，)U(一4，0)U(0,—)u(―,+

7447

8).

21.(12分)已知函數(shù)/'(X)=竺尹+a.

(1)判斷/(x)極值點的個數(shù)；

(2)若x>0時，/>/(x)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍

【解答】解：(1)由/co=絲3+小得f(x)=［七?:+i.%ro；

設g(x)=(x-1)e"+l,則g'(x)=xex,

當(-8,0)時，g'(x)<0,所以g(x)在(-8,0)上是減函數(shù)，

當在(0,+8)時，g'(x)>0,所以g(x)在(0,+8)上是增函數(shù)，

所以g(x)2g(0)=0,所以/(x)>0,

所以/(x)在定義域上是增函數(shù)，f(x)極值點個數(shù)為0.

(2)ex>f(x)(x>0),可化為(1-x)ex+ax-1<0.

令人(x)=(1-x)e'+ax-1,(x>0),則問題等價于當x>0時，h(x)<0.

li(x)=-xe'+a,

令加(x)=-xei+a,則機(x)在(0,+°°)上是減函數(shù).

①當“W0時，m(x)(0)=aWO.

所以/?'(x)<0,h(x)在(0,+8)上是減函數(shù).

所以6(x)<h(0)=0.

②當a>0時，，w(0)=a>0,

m(a)--ae°+a=a(1-e")<0,

所以存在即6(0,a),使〃？(xo)=0.

當(0,3)時，m(x)>0,h'(x)>0,h(x)在(0,x0)上是增函數(shù).

因為九(0)=0,所以當xe(0,演))時，h(x)>0,不滿足題意.

綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是(-8,0J.

22.(12分)某校為了解校園安全教育系列活動的成效，對全校學生進行了一次安全意識測

試，根據(jù)測試成績評定“合格””不合格”兩個等級，同時對相應等級進行量化：“合格”

記5分，“不合格”記