2021年新高考數(shù)學(xué)全真模擬試卷（新高考地區(qū)專用）（解析版） (二)

2021年新高考地區(qū)綜合模擬

數(shù)學(xué)命題卷（05）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要

求的.

1.已知集合4={》|%2>1},則（）

A.（T1）B.[TJ]

C.（-oo,-l）U（l,+oo）D.（-oo,-l]U[l,+°°）

【答案】B

【解析】???4=卜卜2，}={x|x<-l或X>1},

故選：B.

2.2021年是鞏固脫貧攻堅(jiān)成果的重要一年，某縣為響應(yīng)國家政策，選派了6名工作人員到A、B、C三

個(gè)村調(diào)研脫貧后的產(chǎn)業(yè)規(guī)劃，每個(gè)村至少去1人，不同的安排方式共有（）

A.630種B.600種C.540種D.480種

【答案】C

【解析】把6名工作人員分成1,1,4三組，再安排到三個(gè)村有：爺支用=等3x3x2xl=90種；

等…種;

把6名工作人員分成2,2,2三組，再安排到三個(gè)村有:

1c3°6x5x4

把6名工作人員分成1,2,3三組，再安排到三個(gè)村有：C：C；C：A=-------x3x2xl=360種:

2x1

所以共有90+90+360=540種.

故選：C.

3.如圖，直角三角形PQR的三個(gè)頂點(diǎn)分別在等邊三角形ABC的邊AB、BC、C4上，且

PQ=2G,QR=2,NPQR=T，則AB長度的最大值為（）

A

4幅

B.6C.D.半

3

【答案】c

【解析】設(shè)NHQC=e,則ZQRC丁氏

。。

△QRC中，由正弦定理

sinZQRC

2C=^sin(—-6>).同理6Q=4sin(二+6),

336

AB=BC=QC+BQ=—sin(——6)+4sin(-+0)

336

45/3..2"八2乃7i八7i.

-----(sin——cos6-cos——sin3n)+4(sin—cos0+cos—sin3n)

33366

=4cose+^^sin6=^^(Gcose+2sine)==^^^sin(e+8)，其中sin6=^'.cos^=-y=,

且0為銳角,

所以當(dāng)e=5-夕時(shí)，A%X=華^

故選：c.

4.飲酒駕車、醉酒駕車是嚴(yán)重危害《道路交通安全法》的違法行為，將受到法律處罰.檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)：“飲酒駕

車：車輛駕駛?cè)藛T血液中的酒精含量大于或者等于20mg/100ml,小于80mg/100ml的駕駛行為；醉酒駕

車：車輛駕駛?cè)藛T血液中的酒精含量大于或者等于80mg/100ml的駕駛行為.”據(jù)統(tǒng)計(jì)，停止飲酒后，血液中

的酒精含量平均每小時(shí)比上一小時(shí)降低20%.某人飲酒后測(cè)得血液中的酒精含量為100mg/100ml,若經(jīng)過

〃(〃eN*)小時(shí)，該人血液中的酒精含量小于20mg/100ml,則〃的最小值為(參考數(shù)據(jù)：lg2a0.3010)

)

A.7B.8C.9D.10

【答案】B

【解析】經(jīng)過小時(shí)，該人血液中的酒精含量為100x0.8"mg/100ml,

由題意得,100x0,8n<20)即0.8”<0.2,

?colg0.2lg2-llg2-l0.3010-1__

依是彳且.n>102..0.2=-----=-------=-------H----------------x7.2.

lg0.8lg8-l31g2-l

所以"的最小值為8.

故選：B.

5.如圖，在平行四邊形ABCD中，M是邊CD的中點(diǎn)，N是A"的一個(gè)三等分點(diǎn)（|AN<M0］）,

若存在實(shí)數(shù)X和〃，使得麗=/1荏+〃而，則，+〃=（）

D例C

7

AB

一

A.—B.—C.——D.2

4224

【答案】c

【解析】因?yàn)镹是4以的一個(gè)三等分點(diǎn)（|AN|<|M0|）,所以前=g初■.因?yàn)镸是邊CD的中點(diǎn)，所

以麗=_反=_麗.乂

22

麗=麗_麗=；礪—而=；（而+麗［麗=；（而T-AB\-AB=--AB+-AD,所以

2)63

.511

Z+//=1■—=—.

632

故選：C.

6.如圖，點(diǎn)M、N分別是正四面體ABC。棱A&8上的點(diǎn),設(shè)?0=x,直線MN與直線3c所成

的角為。，則（）

A

M

R

A.當(dāng)ND=2CN時(shí),。隨著x的增大而增大

B.當(dāng)ND=2CN時(shí),。隨著x的增大而減小

C.當(dāng)CN=2ND時(shí),。隨著X的增大而減小

D.當(dāng)CN=2NDW,夕隨著X的增大而增大

【答案】D

【解析】當(dāng)ND=2CN時(shí)，如下圖作NF//BC交BD于F點(diǎn)、,所以百線MN與直線6c所成的角即為直線

與直線N戶所成的角，即NMNr=8.

設(shè)正四面體的棱長為3,則CN=BF=1,FN=2,

可求得Mb=y/x2-x+1,MN=Jf—3%+7-

5-X1/1?_7r

所以在口皿0中，有cos"/=_J1+---------(xe[0,3]),

2y/x2-3x+72\X2-3X+7

18—7x7X2-36X+5

令/(x)，則尸(x)=

x2—3x+7(X2-3X+7)2

7x~—36x+5

XG[O,3]時(shí),/'(x)=有正有負(fù),函數(shù)有增有減,

(%2—3X+7)2

所以故A與B錯(cuò)誤;

當(dāng)CN=2ND時(shí),如下圖作NE7/BC交班)于E點(diǎn)，所以直線與宜.線BC所成的角即為直線與

直線NE所成的角，即=

同樣設(shè)正四面體的棱長為3,則CN=BF=2,FN=2,

可求得ME-yjx2-2x+4>

AN=BN=幣,

9+7-73

在□ABN中，有cosNABN

2x3x77-2A/7

3

所以MN~x~+7—2xxx5/7x—-==—3x+7,即肱V=&-3x+7，

2V7

4—x1/9—5x

所以在口跖花中，有cose=/.=-A1+,(xe[0,3]),

2jf_3x+72\X2-3X+1

9—5x5X2-18X-8

令/(x)則/'(%)=<0

x~-3x+7，-3X+7>

所以/（X）在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，即X增大，/（X）減小，即COS。減小，從而。增大，故D正確，C錯(cuò)誤.

故選：D.

7.已知橢圓。與雙曲線f-＞2=1有相同的左焦點(diǎn)6、右焦點(diǎn)鳥，點(diǎn)P是兩曲線的一個(gè)交點(diǎn)，且

___________UUllUUU

「.過工作傾斜角為45。的直線交。于A,3兩點(diǎn)（點(diǎn)A在X軸的上方），a.AB=AAF2，則2

的值為（）

A.3+V3B.3+0C.2+百D.2+72

【答案】A

尤2v2

【解析】不妨設(shè)P為橢圓與雙曲線在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)，橢圓方程為$?+%■=1（。＞。＞0），

(-72,0),^(72,0),

由雙曲線定義可知：|P6|-|PR|=2,又因?yàn)橛?國=0,所以環(huán)工產(chǎn)入，忻閭=2c=2&,

所以|P耳「+(歸聞—2『=|耳《「=8,所以歸周=6+1,歸用=6一1,

所以為=|P制+|PR|=2G，所以"百，所以力=>//_'2=1，所以橢圓方程為3+y2=i,

又因?yàn)?小y=x-0,所以卜2="f，所以4y2+20y-1=(),

Ix+3y—3

所以_—2±2^6_—y/2±^6rri>1戈-近5/6+V2

所以A，B

S'―8"4~V=-—V4

ULMUUUVx/6+\I2I—

又因?yàn)?8=九4居，所以為一>A=-4%，所以］一丸=2=_廠L，解得X=3+G，

力J6-J2

故選：A.

8.若〃x)圖象上存在兩點(diǎn)A,3關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則點(diǎn)對(duì)［AB］稱為函數(shù)/(%)的“友情點(diǎn)對(duì)”(點(diǎn)對(duì)［4司

Xx〉0

與［氏可視為同一個(gè)“友情點(diǎn)對(duì)”)若〃司二爐’■恰有兩個(gè)“友情點(diǎn)對(duì)”，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

ax2,x<0

()

(n

B.0,-C.(0,1)D.(-1,0)

A.C。)\e7

【答案】A

【解析】根據(jù)題意,若要求“友情點(diǎn)對(duì)“，可把x<0時(shí)的函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

研究對(duì)稱過去的圖像和x?0時(shí)的圖像有兩交點(diǎn)即可，

y=ox2(x<0)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的解析式為y=-or2(x>0),

考查了=工的圖像和y=-ax2(x>0)的交點(diǎn),

e'

可得土=一依2,a=-^,令g(x)=一^

eee

g'(x)=^7^=0，

e

所以xw(0,l),g'(x)<0,g(x)為減函數(shù),

1

XG(l,+oo),gf(x)>0,g(x)為增函數(shù)，g⑴

Y\

故若要。=一不有兩解，只要一1＜。＜0即可,

故選：A

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部

選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.設(shè)復(fù)數(shù)z=-L+在i,則以下結(jié)論正確的是

22

232020

A.0B.z=zC.z=lD.z

【答案】BCD

1手1V3,Y1V3.31V3,-

【解析】vz=--+—

222242422

/

z3=z-z2=(」+烏］12=1..z"+3=z"(〃eN*),

2222441)

貝|J^2020_Z3X673+I

所以，A選項(xiàng)錯(cuò)誤，B選項(xiàng)正確，C選項(xiàng)正確，D選項(xiàng)正確.

故選：BCD.

10.某高中2020年的高考考生人數(shù)是2010年高考考生人數(shù)的1.5倍，為了更好地比較該?？忌纳龑W(xué)情況,

統(tǒng)計(jì)了該校2010年和2020年的高考升學(xué)率，得到如下柱狀圖:

40%

28%—

--8%——

本

一二本藝體不上線率

達(dá)

線率達(dá)線率達(dá)線率

2020年

則下列說法中正確的有（)

A.與2010年相比，2020年一本達(dá)線人數(shù)有所減少

B.2020年二本達(dá)線率是2010年二本達(dá)線率的1.25倍

C.2010年與2020年藝體達(dá)線人數(shù)相同

D.與2010年相比，2020年不上線的人數(shù)有所增加

【答案】BD

【解析】設(shè)2010年高考考生人數(shù)為m則2020年的高考考生人數(shù)是的1.5a,

A.2010年一本達(dá)線人數(shù)為0.28a,2020年一本達(dá)線人數(shù)1.5。x0.24=0.36故錯(cuò)誤：

B.2020年二本達(dá)線率是40%,2010年二本達(dá)線率是32%,40%4-32%=1.25,故正確;

C.2010年藝體達(dá)線人數(shù)0.08a,2020年藝體達(dá)線人數(shù)0.08x1.5a=0.12a,故錯(cuò)誤；

D.與2010年不上線的人數(shù)0.32a,相比，2020年不上線的人數(shù)0.28xl.5a=0.42a.故正確；

故選：BD

11.設(shè)x〉0,y>0,則下列結(jié)論正確的是()

f11、

A.不等式(x+y)—+—24恒成立

I》y)

B.函數(shù)/5)=3,+3-*的最小值為2

Y1

C.函數(shù)〃X)=一:一的最大值為一

x+3x+15

11

D.若x+y=2,則；；~~-+—；的最小值為6

2x+ly+1

【答案】AC

【解析】因?yàn)閤>0,y>0,

由于x+yN2向，-+->2j—,當(dāng)且僅當(dāng)工=丁時(shí)，等號(hào)同時(shí)成立，

xy\xy

(11、

故(x+y)-+—24恒成立，所以A正確；

㈠yj

由3'+3-,22，當(dāng)且僅當(dāng)3*=3-*，即x=0時(shí)取等號(hào)，

由于0史(0,+oo),所以3*+3->2,所以B不正確;

因?yàn)閤>0,所以x+’N2,當(dāng)且僅當(dāng)x=l時(shí)取等號(hào)，

X

又由/（*）=X2+3X+1=1.-2+3=5?

XH---十D

X

y1

即函數(shù)/（無）=-7---------的最大值為一，所以c正確;

廠+3x+15

因?yàn)閤+y=2,則（2x+l）+（2y+2）=7,

11121（12、「小小7

-------H-------=--------+--------=—x-------+---------（2x+l）+（2y+2）

2x+ly+\2x+\2y+27（2x+l2v+2）LV'''，」

2y+2?2（2x+l）>3+20

—x3+，所以。不正確.

72x+l2y+2

故選：AC.

設(shè)數(shù)列｛%｝滿足向(對(duì)恒成立，則下列說法正確的是(

12.0</<g,4,=a“+ln2—a.)）.

A.1<fl2<lB.｛。“｝是遞增數(shù)列

133

。5</<WD.1<“2020<1

【答案】ABD

【解析】山為+]=%+ln（2—a〃），0<4<g,

設(shè)/（x）=x+ln（2-x）,則/==

所以當(dāng)0<x<l時(shí)，r(x)>0,即/(X)在(0,1)上為單調(diào)遞增函數(shù),

所以函數(shù)“X)在(o，；

為單調(diào)遞增函數(shù),

即〃0）<?。?lt;嗎）,

所以即g<a“<l(〃N2),則g<%<l，故A正確；

由/(x)在(0,1)上為單調(diào)遞增函數(shù)，所以｛《,｝是遞增數(shù)列，故B正確；

]131J.113

**—v。2V1，所以%=4+In(2—2)>—bln—>—Fine"<—I—>一,故C錯(cuò)誤；

22223

33

因此“2020>%>W。2020<1，故D正確.

故選：ABD.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.《九章算術(shù)》是中國古代的數(shù)學(xué)名著，其中《方田》一章給出了弧田（由圓弧和其所對(duì)弦所圍成）面

積的計(jì)算公式：弧田面積=，（弦x矢+矢2）.公式中“弦”指圓弧所對(duì)弦長，“矢”等于圓弧的最高點(diǎn)到弦

2

的距離.如圖，弧田是由圓弧A8和其所對(duì)弦AB圍成的圖形，若弧田的弧48長為三，弧所在的圓的半

徑為4,則利用九章算術(shù)中的弧田面積公式計(jì)算出來的面積與實(shí)際面積之差為.

【答案】8G+2-粵

3

8冗2jr

【解析】設(shè)圓弧AB所對(duì)圓心角的弧度為a，由題可知ax4=—,解得a=3-.

故扇形AQ8的面積為』x^x4=3兀，三角形A05的面積為Lxsin@x42=4x^,故弧田實(shí)際的面

23323

積為3—4G.

3

作分別交AB，于點(diǎn)。，C,則AB=46，OD=2,

所以利用九章算術(shù)中的弧田面積公式計(jì)算出來的面積為gx（4Gx2+22）=46+2,

貝0所求差值為（4>/5+2）_1'^_4百］=8#+2_4^.

故答案為：8*75+2-----.

3

C

14.已知甲、乙、丙三位選手參加某次射擊比賽，比賽規(guī)則如下：①每場比賽有兩位選手參加，并決出勝

負(fù)；②每場比賽獲勝的選手與未參加此場比賽的選手進(jìn)行下一場的比賽；③在比賽中，若有一位選手首先

獲勝兩場，則本次比賽結(jié)束，該選手獲得此次射擊比賽第一名.若在每場比賽中，甲勝乙的概率為g,甲勝

31

丙的概率為一，乙勝丙的概率為彳，且甲與乙先參加比賽，則甲獲得第一名的概率為_____.

42

25

【答案】—

72

13

【解析】因?yàn)槊繄霰荣愔?，甲勝乙的概率為一，甲勝丙的概率為一?/p>

34

乙勝丙的概率為工，

2

131^3、11，1A(1^3125

所以甲選手獲勝的概率是尸(A)=WX1+,x1--x-x-+1--xX7X0

25

故答案為：—

72

15.已知定義在R上的函數(shù)〃x),其導(dǎo)函數(shù)為/'(x),滿足/'(力>2,42)=4,則不等式

?(%-1)>2f一2%的解集為.

【答案】(口,0)U(3,+oo)

【解析】構(gòu)造函數(shù)g(x)=/(x)—2x,則g'(x)=/'(x)-2>0,即函數(shù)g(x)在R上為增函數(shù)，

且g⑵=〃2)-2x2=。

①當(dāng)x<0時(shí)，由V(x_l)>2f_2x可得/(x_l)<2(x_l),即/(x_l)_2(x—l)<0,

即g(x—l)<0=g(2),可得兀一1<2,解得x<3,此時(shí)x<0：

②x>0時(shí)，由xf(x-1)>2X2—2.x可得/(x—l)>2(x—I),即./(x—1)—2(x—1)>0.

即g(x—l)>0=g(2),可得x—1>2,解得x>3,此時(shí)x>3.

綜上所述，不等式必'(彳-1)>2%2-2%的解集為(-?),0"(3,+0)).

故答案為：(-OO,0)U(3,+8).

16.如圖所示，一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖為以A為圓心，半徑長為2的半圓，點(diǎn)。、M在8c上，且80的

TC

長度為亍，的長度為萬，則在該圓錐中，點(diǎn)M到平面ABD的距離為.

M

【答案］2姮

5

【解析】由側(cè)面轉(zhuǎn)開圖可得到圓錐，如圖所示,

JT

由題可知，AB=2,OB=1,ZBOD=-

3

則30=03=1,DM=^^=BA0=65〃=；X1X,d坐

設(shè)點(diǎn)M到平面河的距離為h,

山匕t-M6D=L-ABD'得gxgxGx?=‘解得：h=

故答案為：2叵

5

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.已知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為Sn,q>1,若數(shù)列｛4｝滿足an+l>an,且105?=(4+1)(4+2),

〃￡N*.

(I)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)；

(II)是否存在加，n,kwN；且加<〃<4，使得成立？若存在，寫出一組符合條件的〃？，〃，

人的值：若不存在，請(qǐng)說明理由.

從①3(S“-§“)=&,②2(a,“+%)=%這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面問題中，并作答.

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

【答案】(1)a“=g(5”—1)；(II)答案見解析.

【解析】解：(I)由10q=(%+l)(q+2),得2a；-54+2=0,解得q=2或4=；.

由于q>1,所以4=2.

因?yàn)?0szi=（2an+1）（%+2）,所以10S?=2a：+5a?+2.

故10。的=10S?+1-lOS,,=2a3+5%+2-2a；-54-2,

整理，得2（媒-4）-5（a?+l+a?）=0,即（%+??）[2（a?+1-a?）-5]=0.

因?yàn)閿?shù)列｛%｝滿足用所以｛%｝是單調(diào)遞增數(shù)列，且4=2,故。用+4#0,因此。川一%=|,

則數(shù)列｛%｝是以2為首項(xiàng)，1?為公差的等差數(shù)列，

所以a“=2+|（〃_l）=g（5〃_l）.

（H）若選①：滿足條件的正整數(shù)〃，n,左存在，如m=1,〃=2,k=3.

假設(shè)存在加，〃，keN*，且加＜〃＜左，使得3（S“一S,"）=S…

fc523…「53＜535,23,

因?yàn)镾”=—M+—〃，則3-n~2+—n-\2—m\=—k~+—k

n44L44U4JJ44f

整理，得3[5（/?—初2）+3（〃-m）]=5左2+3%,

3（n2-m2]=k2,j2

所以不妨設(shè)《17,所以根二一左，n=-k.

3（n-/?z）=k,33

所以取左=3,則〃2=1,n=2.

若選②：滿足條件的正整數(shù)機(jī)，〃，上不存在.

理由如下：

假設(shè)存在打，“，kGN：且帆＜“＜%,使得2（4“+%）=4，

則5加一1+5〃-1=/（5左一1）,整理，得2m+2n—k=3,（*）

顯然，左邊為整數(shù)，所以（*）式不成立.故滿足條件的正整數(shù)加，〃，%不存在.

18.在口鉆。中，角A,B,C的對(duì)邊分別為。，b,c.C=1,AB邊上的高為由.

（1）若S3c=2石，求（0ABC的周長；

21

（2）求一+不的最大值.

ab

【答案】（1）2廂+4;（2）叵.

【解析】解：（1）依題意5。8o=；。左皿。=；5百=26，可得c=4，

77

因?yàn)镃=§,所以"=8.由余弦定理得/+。2一加,=。2,

因此(a+b)2=<?+3"=40,即°+/?=2屈.

故□A3C的周長為2M+4.

（2）由（1）及正弦定理可得,

-A

212b+a2/7+。2sinB+sinA2sin

----1----=----------V?sin(A+。),

F（其中。為銳角,

abah2c~1T~F

且tan8=—)

2

27r7r2]/oi

由題意可知0<A</，因此，當(dāng)A+6=2時(shí)，一+:取得最大值*1.

32ab3

19.到2020年年底，經(jīng)過全黨全國各族人民共同努力，現(xiàn)行標(biāo)準(zhǔn)下9899萬農(nóng)村貧困人口全部脫貧，832個(gè)

貧困縣全部摘帽，12.8萬個(gè)貧困村全部出列，區(qū)域性整體貧困得到解決，完成了消除絕對(duì)貧困的艱巨任務(wù).在

接下來的5年過渡期，為鞏固脫貧成果，將繼續(xù)實(shí)行“四個(gè)不摘”，某市工作小組在2021年繼續(xù)為己脫貧群

眾的生產(chǎn)生活進(jìn)行幫扶，工作小組經(jīng)過多方考察，引進(jìn)了一種新的經(jīng)濟(jì)農(nóng)作物，并指導(dǎo)一批農(nóng)戶于2021年

初開始種植.已知該經(jīng)濟(jì)農(nóng)作物每年每畝的種植成本為1000元，根據(jù)前期各方面調(diào)查發(fā)現(xiàn)，由于天氣、市

場經(jīng)濟(jì)等因素的影響，近幾年該經(jīng)濟(jì)農(nóng)作物的畝產(chǎn)量與每千克售價(jià)具有隨機(jī)性，且互不影響，其具體情況

如下表：

該經(jīng)濟(jì)農(nóng)作物市場價(jià)格（元/kg）1015該經(jīng)濟(jì)農(nóng)作物每年畝產(chǎn)量（kg）400600

概率0.40.6概率0.250.75

（1）設(shè)2021年當(dāng)?shù)啬侈r(nóng)戶種植一畝該經(jīng)濟(jì)農(nóng)作物的純收入為X元，求X的分布列；

（2）己知當(dāng)?shù)啬侈r(nóng)戶在2021年初種植了3畝該經(jīng)濟(jì)農(nóng)作物，假設(shè)各畝地的產(chǎn)量相互獨(dú)立，求該農(nóng)戶在2021

年通過種植該經(jīng)濟(jì)農(nóng)作物所獲得的純收入超過12000元的概率.

（注：純收入=種植收入-種植成本）

【答案】（1）答案見解析；（2）0.9375.

【解析】（1）由題知一畝地的種植收入可能為4000,6000,9000,故X的所有可能取值為3000,5000,

8000

P(X=3000)=0.4x0.25=0.1,P(X=5000)=0.4x0.75+0.6x0.25=0.45,

P(X=8000)=0.6X0.75=0.45

X的分布列為:

X300050008000

P0.10.450.45

（2）純收入超過12000元，即3畝地種植收入超過15000元，

若價(jià)格為10元/kg,則3畝地的總產(chǎn)量超過1500kg,

因?yàn)?00x2+600<1500，

所以符合條件的概率為（C；x0.752x0.25+0.753）x0.4=0.3375.

若價(jià)格為15元/kg,則3畝地的總產(chǎn)量超過1000kg,3x400>1000,

：.P（純收入超過12007t）=0.6+0.3375=0.9375

20.如圖，三棱錐A—中，平面ABC,AC=CB=、CD,ZACB=90°,點(diǎn)E,F分別是AB，

2

AO的中點(diǎn).

（1）求證：AC_L平面BCD；

（2）求直線AO與平面C￡尸所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析：（2）1.

15

【解析】解：（1）因?yàn)椤Ｆ矫鍭BC，ACu平面A8C,

所以AC_LCD.

因?yàn)镹ACB=90。，

所以ACJ.CB.

因?yàn)镃DcC5=C,

所以4。，平面8?！辏?

（2）因?yàn)镃D平面ABC,

所以CB_LC￡).

以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以直線CB,CD,G4為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系C一町z.

設(shè)AC=8C=2,則OC=4.

因?yàn)辄c(diǎn)E，R分別是AB，的中點(diǎn)，

所以A(0,0,2),5(2,0,0),C(0,0,0),D(0,4,0),￡(1,0,1),F(0,2,l).

所以Ab=(0,4,-2)，&=(1,0,1)，CF=(0,2,1)■

—y

設(shè)平面CEF的法向量為?=(x,y,z)，

nCE=0,fx+z=0,

則4一即c八

[n-CF^O,[2y+z=0.

令y=1,則z=-2,x=2.

所以7=(2,1,-2)?

設(shè)直線AO與平面CEF所成角為，.

所以sin。=Icos(n,=—，475

1'〃同A。3x2石一記,

所以直線AD與平面CEF所成角的正弦值四5

If

21.在平面直角坐標(biāo)系x0y中，已知點(diǎn)A(l,2),8是一動(dòng)點(diǎn)，直線OA,OB,AB的斜率分別為K，J

111

%且港片短記B點(diǎn)的軌跡為E.

(1)求E的方程；

(2)過C(l,0)的直線與E