十三、客觀性問(wèn)題(22試題簡(jiǎn)析23專項(xiàng)模擬)

客觀性問(wèn)題進(jìn)才中學(xué)魏明志七寶中學(xué)李廣學(xué)一、客觀性試題簡(jiǎn)析和思路點(diǎn)撥客觀性問(wèn)題（填空題與選擇題）是一種傳統(tǒng)的題型，也是高考試卷中又一常見(jiàn)題型。根據(jù)客觀性問(wèn)題的內(nèi)容形式，可以將其劃分成兩種類型：一是定量型，要求考生填寫數(shù)值、數(shù)集或數(shù)量關(guān)系等；二是定性型，要求填寫的是具有某種性質(zhì)的對(duì)象或者填寫給定的數(shù)學(xué)對(duì)象的某種性質(zhì)。由于填空題和選擇題相比，缺少選擇支的信息，所以高考題中多數(shù)是以定量型問(wèn)題出現(xiàn)。近年來(lái)數(shù)學(xué)高考（上海卷）填空題穩(wěn)定在12個(gè)小題左右，選擇題穩(wěn)定在4個(gè)小題左右，總計(jì)64分，占全卷總分的42.700。由于客觀性試題不要求學(xué)生書(shū)寫推理或者演算的過(guò)程，只要求直接填寫結(jié)果，或選擇支，因此，解答客觀性試題時(shí)準(zhǔn)確、迅速是贏得時(shí)間獲取高分的必要條件。也可以考查學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解、數(shù)量問(wèn)題的計(jì)算。在一定程度上提高了試卷的效度與信度；側(cè)重于考查學(xué)生是否能迅速選出正確答案，解題手段不拘常規(guī)。（1）客觀性試題注重考查基礎(chǔ)知識(shí)（2003年高考題上海卷）在AABC中，sinA:sinB:sinC=2:3:4，則ZABC= 。（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）解題思路：由正弦定理得a:b:c=2:3:4，不妨設(shè)a=2,b=3,c=4，再由余弦定理得cosB=，即ZABC=arccos,本題為解斜三角形的常規(guī)題目。1616（2）客觀性試題注重考查基本技能（1997年高考題上海卷）若直線l沿x軸負(fù)方向平移3個(gè)單位，再沿y軸正方向平移1個(gè)單位后，又回到原來(lái)的位置。那么直線l的斜率是 （ ）（A）-1 （B）-3 （C）1 （D）333解題思路：設(shè)x'=x-3，y'=y+1，利用斜率公式得罕丄=--，選A。利用數(shù)形結(jié)合x(chóng)一x3也是比較恰當(dāng)?shù)姆椒āＨ缭O(shè)x'=x-3，y'=y+1，我們將（x,y）作為點(diǎn)P的坐標(biāo)，（x',y‘）作為點(diǎn)Q的坐標(biāo)，上述關(guān)系可以看作是坐標(biāo)平面上點(diǎn)的一個(gè)變換。本題考查的實(shí)質(zhì)是曲線的平移變換,主要是高中數(shù)學(xué)知識(shí)的理解程度，而不是孤立的知識(shí)點(diǎn)。如數(shù)學(xué)中的平移變換、伸縮變換、旋轉(zhuǎn)變換、對(duì)稱變換等都是高考常見(jiàn)的內(nèi)容。（2003年高考題上海卷）設(shè)a（2003年高考題上海卷）設(shè)a1、b1、c1、a、b2、c2均為非零實(shí)數(shù)，不等式ax2+bx+c>0和a和a2x2+?x+c->0的解集分別為集合M和N，那么“”是“M=N”A）充分非必要條件；B）必要非充分條件；C）充要條件；D）既非充分又非必要條件。解題思路：當(dāng)時(shí)，不妨設(shè)=kA）充分非必要條件；B）必要非充分條件；C）充要條件；D）既非充分又非必要條件。解題思路：當(dāng)時(shí)，不妨設(shè)=k，則不等式ax2+bx+c>0111變形為k(ax2+bx+c)>0，當(dāng)k<0時(shí)，ax2+bx+c>0與ax2+bx+c<0同解,222111222所以“”不是“M=N”的充分條件；當(dāng)M=N=0時(shí)，不一定有成立，所以”不是“M=N”的必要條件，故選D。本題舉反例更簡(jiǎn)捷些,abc當(dāng)—二1二1時(shí)M豐N，如x2+x+1>0的解集為R,-x2-x-1>0的解集為0；當(dāng)abc222abcM=N時(shí)沒(méi)有1二1二1成立，如x2+x+1>0與x2+2x+3>0的解集均為R。abc222(3)客觀性試題注重考查邏輯思維能力(2004年高考題上海卷)若函數(shù)f(x)=aIx-bI+2在［0,+Q上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a、的取值范圍是 。解題思路：由f(x)的圖像關(guān)于直線x=b對(duì)稱，所以a>0且b<0即可。由于f(b-x)=f(b+x)，所以f(x)與g(x)二a(x-b)2+2具有相同的單調(diào)性。學(xué)生在學(xué)習(xí)二次函數(shù)時(shí)，研究g(x)二a(x-b)2+2的單調(diào)性之后，與g(x)二a(x-b)2+2具有相同單調(diào)性的函數(shù)有無(wú)數(shù)個(gè)。(4)客觀性試題注重考查運(yùn)算能牛 )( )( )(2003年高考題上海卷)已知點(diǎn)A匕壬)，B匕-壬)，CU+壬,0丿,其中n為正整數(shù)。設(shè)Sn n n n表示AABC外接圓的面積，則limS二nnT8424+ +解題思路：設(shè)AABC外接圓的半徑為r，r=nn——n1n2，于是S=兀?r2解題思路：設(shè)AABC外接圓的半徑為r，r=nnnlimS二4兀。由于本題考查的是極限的運(yùn)算，當(dāng)nTa時(shí)，-T0，AC,2)B6-2)都n*n / ) n n n趨向于原點(diǎn)，CQ+乞,0丿趨向于(4,0)，AABC外接圓的直徑的極限為4,故limS二4兀。nnnTa(5)客觀性試題比較注重考查空間想象能力(2006年高考題上海卷)如果一條直線與一個(gè)平面垂直，那么，稱此直線與平面構(gòu)成一個(gè)“正交線面對(duì)”．在一個(gè)正方體中，由兩個(gè)頂點(diǎn)確定的直線與含有四個(gè)頂點(diǎn)的平面構(gòu)成的“正交線面對(duì)”的個(gè)數(shù)是 . _解題思路：含有兩個(gè)頂點(diǎn)的線段按長(zhǎng)度可分三類，長(zhǎng)度為1的棱有12條，長(zhǎng)度為的對(duì)角線有12條，長(zhǎng)度為*3的對(duì)角線有4條，含有4個(gè)頂點(diǎn)的矩形可分為兩類，一類正方體的6個(gè)面,一類為正方體的對(duì)角面有6個(gè)，在一個(gè)正方體中，由兩個(gè)頂點(diǎn)確定的直線與含有四個(gè)頂點(diǎn)的平面構(gòu)成的“正交線面對(duì)”的個(gè)數(shù)是6x4+6x2=36。本題直觀上考查空間想象能力，概念上考查兩個(gè)基本原理，思想方法上考查分類討論，對(duì)直線與平面垂直的定義為“正交線面對(duì)”是對(duì)中學(xué)生的學(xué)習(xí)能力的考查。(6)客觀性試題注重考查學(xué)習(xí)能力(2006年高考題上海卷)三個(gè)同學(xué)對(duì)問(wèn)題“關(guān)于x的不等式x2+25+1x3—5x21>ax在［1,12］上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍”提出各自的解題思路.甲說(shuō)：“只須不等式左邊的最小值不小于右邊的最大值”．乙說(shuō)：“把不等式變形為左邊含變量x的函數(shù)，右邊僅含常數(shù)，求函數(shù)的最值”.丙說(shuō)：“把不等式兩邊看成關(guān)于x的函數(shù)，作出函數(shù)圖像”.參考上述解題思路，你認(rèn)為他們所討論的問(wèn)題的正確結(jié)論，即a的取值范圍 .25解題思路：因?yàn)閤e［1,12］，所以x+ +Ix2-5xI>a在［1,12］上恒成立，當(dāng)x=5時(shí)x25x++Ix2-5xI取得最小值10,所以a<10即可。本題提供了三種不同的解題思路，要求學(xué)x生針對(duì)所提出的問(wèn)題選擇最合適的一種思路來(lái)解決問(wèn)題，乙說(shuō)的方法最合適，因?yàn)樵摲椒ㄍㄟ^(guò)降次，體現(xiàn)了化陌生為熟悉、化復(fù)雜為簡(jiǎn)單的化歸思想，也突出對(duì)學(xué)生針對(duì)不同問(wèn)題能選擇不同方法的自主學(xué)習(xí)能力的考查。

（2006年高考題上海卷）如圖，平面中兩條直線l（2006年高考題上海卷）如圖，平面中兩條直線li和12相交于點(diǎn)O,對(duì)于平面上任意一點(diǎn)M,若p、q分別是M到直線l和l的距離，則稱有序非負(fù)12lq)實(shí)數(shù)對(duì)（P，q）是點(diǎn)M的“距離坐標(biāo)”.已知常數(shù)p>0,q>0,給出下列命題：lq)若p=q=0,貝片距離坐標(biāo)”為（0,0）的點(diǎn)有且僅有1個(gè)；若pq=0,且p+q主0,貝『距離坐標(biāo)”為（p,q）的點(diǎn)有且僅有2個(gè)；若pq工0,則“距離坐標(biāo)”為（p,q）的點(diǎn)有且僅有4個(gè).上述命題中，正確命題的個(gè)數(shù)是（ ）（A）0； （B）1； （C）2； （D）3.解題思路：在學(xué)習(xí)解析幾何中點(diǎn)的坐標(biāo)的概念基礎(chǔ)之上，本題定義了“距離坐標(biāo)”的概念，由于“距離坐標(biāo)”與點(diǎn)的坐標(biāo)的根本區(qū)別是對(duì)應(yīng)關(guān)系的不同，進(jìn)一步要求學(xué)生判斷“距離坐標(biāo)”和平面上點(diǎn)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，考查學(xué)生對(duì)坐標(biāo)概念內(nèi)涵的深入理解。本題借助直角坐標(biāo)來(lái)考慮，①若Ix1=1y1=0，則以（0,0）為坐標(biāo)的點(diǎn)有且僅有1個(gè)是正確命題；②若IxI-1y1=0，且IxI+IyIh0，則以（IxI,IyI）為坐標(biāo)的點(diǎn)有且僅有2個(gè)是正確命題；③若IxI-1yIh0，則以（IxI,IyI）為坐標(biāo)的點(diǎn)有且僅有4個(gè)是正確命題.因此，上述命題中，正確命題的個(gè)數(shù)是3個(gè)?？疾榫嚯x坐標(biāo)的實(shí)質(zhì)是軌跡交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，我們將平面中兩條直線1和1相交于點(diǎn)O看作距離坐標(biāo)12系，那么距離坐標(biāo)系中有點(diǎn)M的“距離坐標(biāo)”就是軌跡x=p與軌跡y=q的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，顯然當(dāng)p=0時(shí)，軌跡x=p表示一條直線I/當(dāng)ph0時(shí)，軌跡x=p表示與直線11平行的兩條直線;當(dāng)q=0時(shí)，軌跡y=q表示一條直線〉；當(dāng)qH0時(shí)，軌跡y=q表示與直線l平行的兩條直線。22本題還可以拓展，比如軌跡k-x-y=0（k>0）表示什么曲線等。客觀性試題主要考查基礎(chǔ)知識(shí)的理解、基本技能的熟練、基本計(jì)算的準(zhǔn)確、基本方法的運(yùn)用、考慮問(wèn)題的嚴(yán)謹(jǐn)、解題速度的快捷等方面。一般地，解答客觀性試題的策略是：①熟練掌握各種基本題型的常規(guī)解法。②結(jié)合客觀性題目的結(jié)構(gòu)和不要求書(shū)寫解題過(guò)程的特點(diǎn)，靈活運(yùn)用特殊值、排除法、圖解法等常用解法與技巧。③充分挖掘題目“個(gè)性”尋求簡(jiǎn)便解法，迅速地作出正確的解答。二、專項(xiàng)模擬試題一、填空題 O由曲線f(x)=1+—sinx(xw【0,2兀])、x軸、y，則AABC的面積 O由曲線f(x)=1+—sinx(xw【0,2兀])、x軸、y，則AABC的面積S的取值范圍O x是 如圖軸及直線x=2兀所圍成圖形（陰影部分）的面積等于 。設(shè)正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為a,p是棱AB上的任意一點(diǎn),且P到面ACD,BCD的距離分別為d,d，則d+d= 。12124.設(shè)f（x）=x-sin丄,xeN*，猜想f（x）與f（x+1）的大小關(guān)系： xx2y2橢圓——+J=1的面積公式S=兀ab。如圖，在一塊矩形a2b2金屬版中間挖去一個(gè)橢圓形，若矩形規(guī)格為5mx3m，則余下的陰影部分的面積為 m2。定義在R上的函數(shù)f（x）同時(shí)滿足性質(zhì)：①對(duì)任何xeR，均有f(x3)=[f(x)]3成立；②對(duì)任何x1，x2eR，當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2時(shí)，有f(x1)=f(x2)。則f(-1)+f(0)+f(1)的值為二、選擇題7.P(x,y)是曲線￡+~4=1上的點(diǎn)，F(xiàn)(-3,0),F(3,0),則(C)5412(A)IPFI+IPFI=10 (B)IPFI+IPFI<101 2 1 2(C)IPFI+IPFI<10 (D)IPFI+IPFI>101 2 1 2sinAsinB設(shè)A、B是AABC的兩內(nèi)角弧度數(shù)，且A<B，貝I」 、 大小關(guān)系(C)ABsinA sinB sinA sinB sinA sinB sinA sinB(A) > (B) < (C) > (D) <AB AB AB AB將函數(shù)f(2x+4)的圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變)，然后再將所得圖象經(jīng)過(guò)怎樣的變換才能得到f(x)的圖象(B)(A)向左平移4個(gè)單位 (B)向右平移4個(gè)單位(C向左平移2個(gè)單位 (D向右平移2個(gè)單位若函數(shù)f(x)對(duì)任意的x,xeL-1,1丄都滿足If(x)-f(x)I<4-1x-xI，則稱函數(shù)121212f(x)為L(zhǎng)-1,1」上的“淡泊”函數(shù)。設(shè)①f(x)=5；②f(x)=4x-3；③f(x)二x2+2x；④f(x)=丄。在給定四個(gè)函數(shù)中，可稱為［-1,1］上的“淡泊”函數(shù)的是(D)x+2(A［①②③；(B［①②④；(C)②③； (D)①②③④。三、解答題11.設(shè)y= ，xe(0,站2)(\：2,+只)。x+1(1)求證：x-心2與y-^2異號(hào)；(2)問(wèn)x與y哪一個(gè)更接近^2。定義在R上的函數(shù)f(x)，對(duì)任意實(shí)數(shù)x、y，總有等式f(2x)+f(2y尸2f(x+y)-f(x-y)成立，且f(0)豐0。設(shè)f(x0)二，求f(0)與f(2x0)的值；(2)求證：函數(shù)f(x)為偶函數(shù)；(3)設(shè)f(x)的值域?yàn)椋?m,m］，求正數(shù)m的值。(1)等比數(shù)列匕｝中，對(duì)任意n>2，neN時(shí)都有a,a,a成等差，求公比q的值；n n-1n+1n設(shè)S是等比數(shù)列ia)的前n項(xiàng)和，當(dāng)S,S,S成等差時(shí)，是否有a,a,a一定也成等差n n 3 9 6 2 8 5數(shù)列？說(shuō)明理由；設(shè)等比數(shù)列匕｝的公比為q，前n項(xiàng)和為S，是否存在正整數(shù)k，使S,S,S成等n n m-km+km差且a,a,a也成等差，若存在，則求出k與q滿足的關(guān)系；若不存在，則說(shuō)明理由。n-kn+kn對(duì)于定義域?yàn)镈的函數(shù)f(x)同時(shí)滿足條件：①常數(shù)a,b滿足a<b，區(qū)間［a,b］匸D；②使f(x)在［a,b］上的值域?yàn)椋踜a,kb］(keN*)；那么我們把f(x)叫做［a,b］上的“k級(jí)矩形”函數(shù)。設(shè)函數(shù)f(x)二x3是［a,b］上的“1級(jí)矩形”函數(shù)，求常數(shù)a,b的值；是否存在常數(shù)a,b與正整數(shù)k，使函數(shù)g(x)=-^-(x>-2)是區(qū)間［a,b］上的“k級(jí)矩x+2形”函數(shù)？若存在，求出a,b與k的值；不存在，說(shuō)明理由。(3)設(shè)h(x)=-2x2-x是［a,b］上的“3級(jí)矩形”函數(shù)，求常數(shù)a,b的值。6.0；CCBD答案：(0需］；2丄；呵a；4?f(x)<f(x+1)；5」56.0；CCBDIy~2\<Ix—x-:2I，即y更接近*2。f(0)=1；f(2x0)=2f2(x0)—1=$(1)q=1或q=一[；(2)一定有a,a,a成等差數(shù)列；(3)存在正整數(shù)k(k<m,k<n)2285滿足題設(shè)，當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，q=—1；當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，qk=—2。[a=—1 fa二0 [a=—1(1)仁八或仁[或「 [;(2)不存在常數(shù)a,b與正整數(shù)k，滿足題設(shè)；(3)[b=0 [b=1 [b=1如版面容許，就可用以下詳解，如版面不夠，就用上面略解。11.解：(1)證明：由題設(shè)知x—x：2豐0，y—2豐0，又y—=???= (x—“2)x+1因?yàn)閤e(0八：2)U(卞2,+s)所以 <0，故x一丫2與y一卞2異號(hào)；x+1__ [2一1 —(2)比較Ix-邁I與Iy—-J2I的大小。由(1)得Iy-邁I二…― Ix-邁Ix+12一1 L L由于0< <1，所以Iy—邁I<Ix-邁I，即y更接近“2。x+112.解：(1)設(shè)x=y=0得，2f(0)二2f2(0)，又f(0)豐0所以f(0)=1；設(shè)y=0得f(2x)=2f2(x)—1=。002⑵設(shè)y=—x得，f(2x)+f(—2x)=2f(0)f(2x)nf(—2x)=f(2x),由定義知函數(shù)f(x)為偶函數(shù)。(3)由(1)知f(2x)=2f2(x)—1，一m<f(x)<mn—1<f(2x)<2m2一1,[—m=一1由題意得1 nm二1。Im=2m2—113.解：(1)當(dāng)n>2，neN時(shí)有a+13.解：(1)當(dāng)n>2，所以q豐1，(不合題意)所以所以q豐1，(不合題意)所以q3=—2；(2)當(dāng)q=1時(shí)S=na，顯然3a,9a,6a不是等差數(shù)列,n1 1 1 1由S3,S/S6成等差得q3+q6=2q9nq3=所以1+q3=2q所以1+q3=2q6na+aq3=2aq6na+a=2a，111258(3)假設(shè)存在正整數(shù)k，使S,S,S成等差且a,an—kn+k285,a也成等差。m—km+km n—kn+knm—k m+k m=na，顯然(m一k)a,(m+k)a,ma不是等差數(shù)列，所以q豐1，由m—k m+k m成等差得oqm—k+qm=2qm+ko1+qk=2q2k0qk=——或qk=1。當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，q=—1，則有S=S=S且a=a=a；m—km+kmn—kn+kn當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，qk=——；1+qk=2q2kna+aqk=2aq2kna+a=2a，2 n—k n—k n一k n—k n n+k12。綜上，存在正整數(shù)k(k<m,k<n)滿足題設(shè)，當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，q=—1；當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，qk=—14.解：(1)函數(shù)f(x)=x3在［a,b］上遞增，所以值域?yàn)椋踗(a),f(b)］又f(x)=x3是［a,b］上的“1級(jí)矩形”函數(shù)，所以f(a)=a,f(b)=b，即a,b是方程f(x)=x的兩不等實(shí)根，Ia=0Ia=—1或|b=1或|b=1。厶(