新教材適用2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)第4章指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)4.5函數(shù)的應(yīng)用二4.5.3函數(shù)模型的應(yīng)用素養(yǎng)作業(yè)新人教A版必修第一冊(cè)

第四章4.54.5.3A組·基礎(chǔ)自測(cè)一、選擇題1．“紅豆生南國，春來發(fā)幾枝？”如圖給出了紅豆生長(zhǎng)時(shí)間t(月)與枝數(shù)y(枝)的散點(diǎn)圖．那么紅豆生長(zhǎng)時(shí)間與枝數(shù)的關(guān)系用下列哪個(gè)函數(shù)模型擬合最好(A)A．指數(shù)函數(shù)：y＝2tB．對(duì)數(shù)函數(shù)：y＝log2tC．冪函數(shù)：y＝t3D．二次函數(shù)：y＝2t2[解析]由題意知函數(shù)的圖象在第一象限是一個(gè)單調(diào)遞增的函數(shù)，并且增長(zhǎng)速度很快，符合指數(shù)型函數(shù)模型，且圖象過點(diǎn)(1,2)，所以圖象由指數(shù)函數(shù)y＝2t來模擬比較好．2．某企業(yè)生產(chǎn)的一種電子產(chǎn)品的成本是每件500元，計(jì)劃在今后的3年內(nèi)，使成本降低到每件256元，則平均每年成本應(yīng)降低(C)A．10% B．15%C．20% D．35%[解析]設(shè)平均每年降低百分比為x，則500(1－x)3＝256，解得x＝20%，故選C.3．某食品的保鮮時(shí)間y(單位：小時(shí))與儲(chǔ)存溫度x(單位：℃)滿足函數(shù)關(guān)系y＝2kx＋m(k，m為常數(shù))．若該食品在0℃的保鮮時(shí)間是64小時(shí)，在18℃的保鮮時(shí)間是16小時(shí)，則該食品在36℃的保鮮時(shí)間是(A)A．4小時(shí) B．8小時(shí)C．16小時(shí) D．32小時(shí)[解析]依題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m＝64，,218k＋m＝16，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝6，,k＝－\f(1,9)，))∴y＝.當(dāng)x＝36時(shí)，y＝＝22＝4，故選A.4．某一輛汽車經(jīng)過多次實(shí)驗(yàn)得到，每小時(shí)耗油量Q(單位：L)與速度v(單位：km/h)(0≤v≤120)的下列數(shù)據(jù)：v0406080120Q0.0006.6678.12510.00020.000為了描述汽車每小時(shí)耗油量與速度的關(guān)系，現(xiàn)有以下四種模型供選擇：甲：Q＝av2＋bv＋c，乙：Q＝av3＋bv2＋cv，丙：Q＝0.5v＋a，?。篞＝klogav＋b.其中a，b，c均不為0，其中最符合實(shí)際的函數(shù)模型為(B)A．甲 B．乙C．丙 D．丁[解析]依題意可知該函數(shù)必須滿足三個(gè)條件：第一，定義域?yàn)閇0,120]；第二，在定義域上單調(diào)遞增；第三，函數(shù)經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)．當(dāng)v＝0時(shí)，Q＝klogav＋b沒有意義，排除丁，函數(shù)Q＝av2＋bv＋c不經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，排除甲，函數(shù)Q＝0.5v＋a單調(diào)遞減，排除丙，故最符合實(shí)際的函數(shù)模型為乙．5．地震以里氏震級(jí)來度量地震的強(qiáng)度，若設(shè)I為地震時(shí)所散發(fā)出來的相對(duì)能量，則里氏震級(jí)γ可定義為γ＝0.6lgI．在2021年3月下旬，A地區(qū)發(fā)生里氏3.1級(jí)地震，B地區(qū)發(fā)生里氏7.3級(jí)地震，則B地區(qū)地震所散發(fā)出來的相對(duì)能量是A地區(qū)地震所散發(fā)出來的相對(duì)能量的_________倍(C)A．7 B．106C．107 D．108[解析]設(shè)里氏3.1級(jí)地震所散發(fā)出來的能量為I1，里氏7.3級(jí)地震所散發(fā)出來的能量為I2，則3.1＝0.6lgI1……①，7.3＝0.6lgI2……②②－①得：4.2＝0.6lgeq\f(I2,I1)，解得：eq\f(I2,I1)＝107.故選C.二、填空題6．某商人購貨，進(jìn)價(jià)已按原價(jià)a扣去25%，他希望對(duì)貨物訂一新價(jià)b，以便按新價(jià)讓利20%銷售后仍可獲得售價(jià)25%的純利，則此商人經(jīng)營這種貨物的件數(shù)x與按新價(jià)讓利總額y之間的函數(shù)關(guān)系式是y＝eq\f(a,4)x(x∈N＋)_.[解析]依題意，有b(1－20%)－a(1－25%)＝b(1－20%)·25%，化簡(jiǎn)得b＝eq\f(5,4)a，∴y＝b·20%·x＝eq\f(5,4)a·20%·x，即y＝eq\f(a,4)x(x∈N＋)．7．基礎(chǔ)建設(shè)對(duì)社會(huì)經(jīng)濟(jì)效益產(chǎn)生巨大的作用，某市投入a億元進(jìn)行基礎(chǔ)建設(shè)，t年后產(chǎn)生f(t)＝aeeq\f(tln2,4)億元社會(huì)經(jīng)濟(jì)效益．則該市經(jīng)過_12_年，該項(xiàng)投資產(chǎn)生的社會(huì)經(jīng)濟(jì)效益是投資額的8倍．[解析]設(shè)投資t年后，產(chǎn)生的社會(huì)經(jīng)濟(jì)效益是投資額的8倍，則有＝8a，解得t＝12，所以再過12年，該項(xiàng)投資產(chǎn)生的社會(huì)經(jīng)濟(jì)效益是投資額的8倍．8．某農(nóng)場(chǎng)種植一種農(nóng)作物，為了解該農(nóng)作物的產(chǎn)量情況，現(xiàn)將近四年的年產(chǎn)量f(x)(單位：萬斤)與年份x(記2015年為第1年)之間的關(guān)系統(tǒng)計(jì)如下：x1234f(x)4.005.627.008.86則f(x)近似符合以下三種函數(shù)模型之一：①f(x)＝ax＋b；②f(x)＝2x＋a；③f(x)＝x2＋b.你認(rèn)為最適合的函數(shù)模型的序號(hào)是_①_.[解析]若模型為②，則f(1)＝2＋a＝4，解得a＝2，于是f(x)＝2x＋2，此時(shí)f(2)＝6，f(3)＝10，f(4)＝18，與表格中的數(shù)據(jù)相差太大，不符合；若模型為③，則f(1)＝1＋b＝4，解得b＝3，于是f(x)＝x2＋3，此時(shí)f(2)＝7，f(3)＝12，f(4)＝19，與表格中的數(shù)據(jù)相差太大，不符合；若模型為①，則根據(jù)表中數(shù)據(jù)得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f1＝4，,f3＝7，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝4，,3a＋b＝7，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(3,2)，,b＝\f(5,2)，))經(jīng)檢驗(yàn)是最適合的函數(shù)模型．三、解答題9．物體在常溫下的溫度變化可以用牛頓冷卻規(guī)律來描述：設(shè)物體的初始溫度是T0，經(jīng)過一定時(shí)間t后的溫度是T，則T－Ta＝(T0－Ta)·，其中Ta表示環(huán)境溫度，h稱為半衰期．現(xiàn)有一杯用88℃熱水沖的速溶咖啡，放在24℃的房間中，如果咖啡降溫到40℃需要20min，那么降溫到35℃，需要多少時(shí)間？(參考數(shù)據(jù)：lg11≈1.04，lg2≈0.30)[解析]由題意知40－24＝(88－24)·，即eq\f(1,4)＝，解得h＝10.故T－24＝(88－24)·.當(dāng)T＝35時(shí)，代入上式，得35－24＝(88－24)·，兩邊取對(duì)數(shù)，求得t≈25.因此，約需要25min，可降溫到35℃.10．汽車駕駛員發(fā)現(xiàn)前方有障礙物時(shí)會(huì)緊急剎車，這一過程中，由于人的反應(yīng)需要時(shí)間，汽車在慣性的作用下有一個(gè)剎車距離，設(shè)停車安全距離為S，駕駛員反應(yīng)時(shí)間內(nèi)汽車所行距離為S1，剎車距離為S2，則S＝S1＋S2.而S1與反應(yīng)時(shí)間t有關(guān)，S1＝10ln(t＋1)，S2與車速v有關(guān)，S2＝bv2.某人剎車反應(yīng)時(shí)間為eq\r(e)－1秒，當(dāng)車速為60千米/時(shí)時(shí)，緊急剎車后滑行的距離為20米，若在限速100千米/時(shí)的高速公路上，則該汽車的安全距離為多少米？(精確到米)[解析]因?yàn)閯x車反應(yīng)時(shí)間為eq\r(e)－1秒，所以S1＝10ln(eq\r(e)－1＋1)＝10lneq\r(e)＝5，當(dāng)車速為60千米/小時(shí)，緊急剎車后滑行的距離為20米，則S2＝b·(60)2＝20，解得b＝eq\f(1,180)，即S2＝eq\f(1,180)v2.若v＝100，則S2＝eq\f(1,180)×1002≈56，S1＝5，所以該汽車的安全距離S＝S1＋S2＝5＋56＝61(米)．B組·能力提升一、選擇題1．一個(gè)人以6m/s的速度去追停在交通燈前的汽車，當(dāng)他離汽車25m時(shí)，交通燈由紅變綠，汽車以1m/s2的加速度勻加速開走，那么(D)A．人可在7s內(nèi)追上汽車B．人可在10s內(nèi)追上汽車C．人追不上汽車，其間距最少為5mD．人追不上汽車，其間距最少為7m[解析]設(shè)汽車經(jīng)過ts行駛的路程為sm，則s＝eq\f(1,2)t2，車與人的間距d＝(s＋25)－6t＝eq\f(1,2)t2－6t＋25＝eq\f(1,2)(t－6)2＋7，當(dāng)t＝6時(shí)，d取得最小值為7，故選D.2．某公司為激勵(lì)創(chuàng)新，計(jì)劃逐年加大研發(fā)獎(jiǎng)金投入．若該公司2019年全年投入研發(fā)獎(jiǎng)金130萬元．在此基礎(chǔ)上，每年投入的研發(fā)獎(jiǎng)金比上一年增長(zhǎng)12%，則該公司全年投入的研發(fā)獎(jiǎng)金開始超過200萬元的年份是(參考數(shù)據(jù)：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30)(C)A．2021年 B．2022年C．2023年 D．2024年[解析]設(shè)第x年的研發(fā)獎(jiǎng)金為200萬元，則由題意可得130×(1＋12%)x＝200，∴1.12x＝eq\f(20,13)，∴x＝log1.12eq\f(20,13)＝log1.1220－log1.1213＝eq\f(lg20,lg1.12)－eq\f(lg13,lg1.12)＝eq\f(lg2＋lg10－lg1.3＋lg10,lg1.12)≈eq\f(0.3＋1－0.11－1,0.05)＝3.8.即3年后不到200萬元，第4年超過200萬元，即2023年超過200萬元．3．(多選題)下面是一幅統(tǒng)計(jì)圖，根據(jù)此圖得到的以下說法中正確的是(ABD)A．這幾年生活水平逐年得到提高B．生活費(fèi)收入指數(shù)增長(zhǎng)最快的一年是2016年C．生活價(jià)格指數(shù)上漲速度最快的一年是2017年D．雖然2018年的生活費(fèi)收入增長(zhǎng)緩慢，但生活價(jià)格指數(shù)略有降低，因而生活水平有較大的改善[解析]由題意知，“生活費(fèi)收入指數(shù)”減去“生活價(jià)格指數(shù)”的差是逐年增大的，故A正確；“生活費(fèi)收入指數(shù)”在2016～2017年最陡，故B正確；“生活價(jià)格指數(shù)”在2017～2018年比較平緩，故C錯(cuò)；2018年“生活價(jià)格指數(shù)”降低，而“收入指數(shù)”上升．因此生活水平有較大改善，故D正確，故選ABD.二、填空題4．工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的月產(chǎn)量y與月份x滿足關(guān)系式y(tǒng)＝a·0.5x＋b，現(xiàn)已知今年1月份、2月份該產(chǎn)品的產(chǎn)量分別為1萬件、1.5萬件，則3月份該產(chǎn)品的產(chǎn)量為_1.75_萬件．[解析]由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＝0.5a＋b，,1.5＝0.25a＋b，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝2，))所以y＝－2×0.5x＋2，所以3月份的產(chǎn)量為－2×0.53＋2＝1.75(萬件)．5．生物機(jī)體內(nèi)碳14的半衰期(剩留量為原來的一半所需要的時(shí)間)為5730年，某古墓一文物出土?xí)r碳14的殘余量約占原始含量的77%，試推算該古墓距出土?xí)r約有_2_161_年．(參考數(shù)據(jù)：lg0.77＝－0.1135，lg0.5＝－0.3010，結(jié)果精確到年)[解析]設(shè)生物死亡的年數(shù)為x年，由題意得∴x＝5730×eq\f(1135,3010)≈2161.∴該古墓距出土?xí)r約有2161年．三、解答題6．某企業(yè)生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查與預(yù)測(cè)，A產(chǎn)品的利潤(rùn)與投資成正比，其關(guān)系如圖1；B產(chǎn)品的利潤(rùn)與投資的算術(shù)平方根成正比，其關(guān)系如圖2(注：利潤(rùn)和投資單位：萬元)．(1)分別將A，B兩種產(chǎn)品的利潤(rùn)表示為投資的函數(shù)關(guān)系式；(2)已知該企業(yè)已籌集到18萬元資金，并將全部投入A，B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)．①若平均投入生產(chǎn)兩種產(chǎn)品，可獲得多少利潤(rùn)？②問：如果你是廠長(zhǎng)，怎樣分配這18萬元投資，才能使該企業(yè)獲得最大利潤(rùn)？其最大利潤(rùn)約為多少萬元？[解析](1)設(shè)A，B兩種產(chǎn)品分別投資x萬元，x≥0，所獲利潤(rùn)分別為f(x)萬元、g(x)萬元．由題意可設(shè)f(x)＝k1x，g(x)＝k2eq\r(x).根據(jù)圖象可解得f(x)＝0.25x(x≥0)．g(x)＝2eq\r(x)(x≥0)．(2)①由(1)得f(9)＝2.25，g(9)＝2eq\r(9)＝6.∴總利潤(rùn)y＝8.25萬元．②設(shè)B產(chǎn)品投入x萬元，A產(chǎn)品投入(18－x)萬元，該企業(yè)可獲總利潤(rùn)為y萬元．則y＝eq\f(1,4)(18－x)＋2eq\r(x)，0≤x≤18.令eq\r(x)＝t，t∈[0,3eq\r(2)]，則y＝eq\f(1,4)(－t2＋8t＋18)＝－eq\f(1,4)(t－4)2＋eq\f(17,2).∴當(dāng)t＝4時(shí)，ymax＝eq\f(17,2)＝8.5，此時(shí)x＝16,18－x＝2.∴當(dāng)A，B兩種產(chǎn)品分別投入2萬元、16萬元時(shí)，可使該企業(yè)獲得最大利潤(rùn)，約為8.5萬元．C組·創(chuàng)新拓展一片森林原來面積為a，計(jì)劃每年砍伐一些樹，且使森林面積每年比上一年減少p%,10年后森林面積變?yōu)閑q\f(a,2).為保護(hù)生態(tài)環(huán)境，所剩森林面積至少要為原面積的eq\f(1,4).已知