函數(shù)、數(shù)列、三角函數(shù)中大小比較問題講

-.z.縱觀近幾年高考對于大小比擬問題的考察，重點(diǎn)放在與函數(shù)、數(shù)列、三角函數(shù)的大小比擬問題上，要求學(xué)生有較強(qiáng)的推理能力和準(zhǔn)確的計算能力，才能順利解答，從實(shí)際教學(xué)來看，這局部知識是學(xué)生掌握最為模糊，看到就頭疼的題目.分析原因，除了這類題目的入手確實(shí)不易之外，主要是學(xué)生沒有形成解題的模式和套路，以至于遇到類似的題目便產(chǎn)生畏懼心理.本文就高中階段出現(xiàn)這類問題加以類型的總結(jié)和方法的探討.1函數(shù)中的大小比擬問題函數(shù)是高中數(shù)學(xué)必修教材中重要的局部，應(yīng)用廣泛，教材中重點(diǎn)介紹了利用判斷單調(diào)性、最值、單調(diào)性、奇偶性、周期性等根底知識，但是高考數(shù)學(xué)是以能力立意，所以往往以數(shù)列、方程、不等式為背景，綜合考察學(xué)生轉(zhuǎn)化和化歸、分類討論、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用能力，面對這種類型的題目，考生會有茫然，無所適從的感覺，究其原因是沒有認(rèn)真分析總結(jié)這種題目的特點(diǎn)和解題思路.指數(shù)函數(shù)中的大小比擬問題比擬指數(shù)冪值的大小時，要注意區(qū)分底數(shù)一樣還是指數(shù)相等，是用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，還是用冪函數(shù)的單調(diào)性，要注意指數(shù)函數(shù)圖象和冪函數(shù)的圖象的應(yīng)用，指數(shù)函數(shù)的圖象在第一象限“底大圖高(逆時針方向底數(shù)依次變大)〞，還應(yīng)注意中間量0，1等的運(yùn)用．例1.設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系是〔〕A．B．C．D．【答案】A.對數(shù)函數(shù)中的大小比擬問題比擬對數(shù)值的大小時，要注意區(qū)分對數(shù)底數(shù)是否相等，是用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，還是用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，要注意對數(shù)函數(shù)圖象的應(yīng)用，還應(yīng)注意中間量0，1等的運(yùn)用．例2.【省**市四校2017屆高三上學(xué)期期中聯(lián)考】，，則有〔〕A． B． C．D．【答案】C【解析】因?yàn)椋?，所以，．因?yàn)椋?，所以，所以，?yīng)選C．1.3通過求函數(shù)的最值證明不等式在對不等式的證明過程中，可以依此不等式的特點(diǎn)構(gòu)造函數(shù)，進(jìn)而求函數(shù)的最值，當(dāng)該函數(shù)的最大值或最小值對不等式成立時，則不等式是永遠(yuǎn)是成立的，從而可將不等式的證明轉(zhuǎn)化到求函數(shù)的最值上來.例3.函數(shù)〔其中，是自然對數(shù)的底數(shù)假設(shè)，判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性；假設(shè)函數(shù)有兩個極值點(diǎn)，，求的取值圍；在〔2〕的條件下，試證明：.【答案】〔1〕在上單調(diào)遞減；〔2〕實(shí)數(shù)的取值圍是；〔3〕見解析.2數(shù)列與不等式相結(jié)合數(shù)列與不等式交匯主要以壓軸題的形式出現(xiàn)，試題還可能涉及到與導(dǎo)數(shù)、函數(shù)等知識綜合一起考察．主要考察知識重點(diǎn)和熱點(diǎn)是數(shù)列的通項(xiàng)公式、前項(xiàng)和公式以及二者之間的關(guān)系、等差數(shù)列和等比數(shù)列、歸納與猜測、數(shù)學(xué)歸納法、比擬大小、不等式證明、參數(shù)取值圍的探求，在不等式的證明中要注意放縮法的應(yīng)用．此類題型主要考察學(xué)生對知識的靈活變通、融合與遷移，考察學(xué)生數(shù)學(xué)視野的廣度和進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的潛能．近年來加強(qiáng)了對遞推數(shù)列考察的力度，這點(diǎn)應(yīng)當(dāng)引起我們高度的重視．預(yù)計在高考中，比擬新穎的數(shù)列與不等式選擇題或填空題一定會出現(xiàn)．?dāng)?shù)列解答題的命題熱點(diǎn)是與不等式交匯，呈現(xiàn)遞推關(guān)系的綜合性試題．其中，以函數(shù)與數(shù)列、不等式為命題載體，有著高等數(shù)學(xué)背景的數(shù)列與不等式的交匯試題是未來高考命題的一個新的亮點(diǎn)，而命題的冷門則是數(shù)列與不等式綜合的應(yīng)用性解答題．2.1數(shù)列中的不等問題例4.假設(shè)等差數(shù)列滿足，則當(dāng)時，的前項(xiàng)和最大.【答案】.【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)，，，又∵，∴，∴，，，故數(shù)列的前項(xiàng)最大.2.2數(shù)列參與的不等式證明此類不等式的證明常用的方法：〔1〕比擬法；〔2〕分析法與綜合法，一般是利用分析法分析，再利用綜合法分析；〔3〕放縮法，主要是通過分母分子的擴(kuò)大或縮小、項(xiàng)數(shù)的增加與減少等手段到達(dá)證明的目的．例5.【2016年高考理數(shù)】數(shù)列{}的首項(xiàng)為1，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，，其中q>0，.〔Ⅰ〕假設(shè)成等差數(shù)列，求的通項(xiàng)公式；〔Ⅱ〕設(shè)雙曲線的離心率為，且，證明：.【答案】〔Ⅰ〕；〔Ⅱ〕詳見解析.所以.〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕可知，.所以雙曲線的離心率．由解得.因?yàn)椋?于是，故.3三角函數(shù)的最值與綜合運(yùn)用1.掌握求三角函數(shù)最值的常用方法：①配方法〔主要利用二次函數(shù)理論及三角函數(shù)的有界性〕；②化為一個角的三角函數(shù)〔主要利用和差角公式及三角函數(shù)的有界性〕；③數(shù)形結(jié)合法〔常用到直線的斜率關(guān)系〕；④換元法〔如萬能公式，將三角問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題〕；⑤根本不等式法等.2.三角函數(shù)最值都是在給定區(qū)間上取得的，因而特別要注意題設(shè)中所給出的區(qū)間.〔1〕求三角函數(shù)最值時，一般要進(jìn)展一些代數(shù)變換和三角變換，要注意函數(shù)有意義的條件及弦函數(shù)的有界性；〔2〕含參數(shù)函數(shù)的最值問題，要注意參數(shù)的作用和影響.3.1解三角形中的最值問題例6.【省**市四校2017屆高三上學(xué)期期中聯(lián)考】在中，分別為角所對的邊，假設(shè)，則的最大值為()A．4B．C．D．2【答案】C3.1與三角函數(shù)有關(guān)的最值問題例7.【省市2017屆高三上學(xué)期第一次教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測】函數(shù).〔=1\*ROMANI〕求函數(shù)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；〔=2\*ROMANII〕求函數(shù)在區(qū)間的最大值及所對應(yīng)的值.【答案】〔=1\*ROMANI〕，；〔=2\*ROMANII〕最大值為,.【反思提升】綜合上面的三種類型，解決函數(shù)、數(shù)列、三角函數(shù)中的大小比擬問題，解答時首先要找準(zhǔn)模型，通過轉(zhuǎn)化來解決，一般情況下，此類問題是幾個知識點(diǎn)的交匯，需綜合不等式、函數(shù)等性質(zhì)解題.大小比擬問題是函數(shù)、數(shù)列、三角函數(shù)的綜合應(yīng)用，在近幾年的高考試題中經(jīng)常出現(xiàn)，成為