高考難點放縮法

PAGEPAGE2高考專題—放縮法一．先求和后放縮例1．正數(shù)數(shù)列的前項的和，滿足，試求：（1）數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項的和為，求證：解：（1）由已知得，時，，作差得：，所以，又因為為正數(shù)數(shù)列，所以，即是公差為2的等差數(shù)列，由，得，所以（2），所以注：一般先分析數(shù)列的通項公式．如果此數(shù)列的前項和能直接求和或者通過變形后求和，則采用先求和再放縮的方法來證明不等式．求和的方式一般要用到等差、等比、差比數(shù)列（這里所謂的差比數(shù)列，即指數(shù)列滿足條件）求和或者利用分組、裂項、倒序相加等方法來求和．二．先放縮再求和1．放縮后成等差數(shù)列，再求和例2．已知各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和為,且.(1)求證：；(2)求證：解：（1）在條件中，令，得，，又由條件有，上述兩式相減，注意到得∴所以，，所以（2）因為，所以，所以；2．放縮后成等比數(shù)列，再求和例3．（1）設(shè)a，n∈N*，a≥2，證明：；（2）等比數(shù)列{an}中，，前n項的和為An，且A7，A9，A8成等差數(shù)列．設(shè)，數(shù)列{bn}前n項的和為Bn，證明：Bn＜．解：（1）當n為奇數(shù)時，an≥a，于是，．當n為偶數(shù)時，a－1≥1，且an≥a2，于是．（2）∵，，，∴公比．∴．．∴．3．放縮后為差比數(shù)列，再求和例4．已知數(shù)列滿足：，．求證：證明：因為，所以與同號，又因為，所以，即，即．所以數(shù)列為遞增數(shù)列，所以，即，累加得：．令，所以，兩式相減得：，所以，所以，故得．4．放縮后為裂項相消，再求和例5．在m（m≥2）個不同數(shù)的排列P1P2…Pn中，若1≤i＜j≤m時Pi＞Pj（即前面某數(shù)大于后面某數(shù)），則稱Pi與Pj構(gòu)成一個逆序.一個排列的全部逆序的總數(shù)稱為該排列的逆序數(shù).記排列的逆序數(shù)為an，如排列21的逆序數(shù)，排列321的逆序數(shù)．（1）求a4、a5，并寫出an的表達式；（2）令，證明，n=1,2,….解（1）由已知得，.（2）因為，所以.又因為，所以=.綜上，.注：常用放縮的結(jié)論：（1）（2）．練習1已知數(shù)列{a}滿足：a=1且.求數(shù)列{a}的通項公式；設(shè)mN，mn2，證明（a+）（m-n+1）分析：這是06年河北省高中數(shù)學競賽的一道解答題（1）大家都知道數(shù)列的遞推公式往往比通項公式還重要.這就引導(dǎo)我們要重視數(shù)列的遞推公式由已知有a=,學生對形如,A，B是常數(shù)）形式的一次線性遞推關(guān)系的數(shù)列通過構(gòu)造新數(shù)列求通項公式的方法已不陌生，本題中的遞推關(guān)系顯然不是此類型.那么我們能否也可通過待定系數(shù)法構(gòu)造新數(shù)列呢?不妨設(shè)即與比較系數(shù)得c=1.即又,故{}是首項為公比為的等比數(shù)列，故這一問是數(shù)列、二項式定理及不等式證明的綜合問題.綜合性較強.即證，當m=n時顯然成立。易驗證當且僅當m=n=2時，等號成立。設(shè)下面先研究其單調(diào)性。當>n時，即數(shù)列{}是遞減數(shù)列.因為n2，故只須證即證。事實上，故上不等式成立。綜上，原不等式成立。2設(shè)數(shù)列{}滿足求{}的通項公式；若求證：數(shù)列{}的前n項和分析：（1）此時我們不妨設(shè)即與已知條件式比較系數(shù)得又是首項為2，公比為2的等比數(shù)列。.由（1）知.當時,當n=1時，=1也適合上式，所以，故方法一：，(這步難度較大,也較關(guān)鍵,后一式縮至常數(shù)不易想到.必須要有執(zhí)果索因的分析才可推測出.).方法二:在數(shù)列中,簡單嘗試的方法也相當重要.很多學生做此題時想用裂項相消法但是發(fā)現(xiàn)此種處理達不到目的.但是當n3時,我們看:易驗證當n=1，2時.綜上下面我們再舉一個數(shù)列中利用放縮法證明不等式的問題.3已知正項數(shù)列{}滿足判斷數(shù)列{}的單調(diào)性；求證：分析：（1），即故數(shù)列{}為遞增數(shù)列.(2)不妨先證再證：原解答中放縮技巧太強，下面給出另一種證法.當時，.易驗證當n=1時,上式也成立.綜上,故有成立.4求證：證明：此題采用了從第三項開始拆項放縮的技巧，放縮拆項時，不一定從第一項開始，須根據(jù)具體題型分別對待，即不能放的太寬，也不能縮的太窄，真正做到恰倒好處。5已知求證：證明：6已知數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足：Sn=2an+(-1)n,n≥1．（Ⅰ）寫出求數(shù)列{an}的前3項a1,a2,a3；（Ⅱ）求數(shù)列{an}的通項公式；（Ⅲ）證明：對任意的整數(shù)m>4，有.解；數(shù)列{}的通項公式為：.⑶由已知得：.故(m>4).用放縮法證明不等式所謂放縮法就是利用不等式的傳遞性，對照證題目標進行合情合理的放大和縮小的過程，在使用放縮法證題時要注意放和縮的“度”，否則就不能同向傳遞了，此法既可以單獨用來證明不等式，也可以是其他方法證題時的一個重要步驟。下面舉例談?wù)勥\用放縮法證題的常見題型。一.“添舍”放縮通過對不等式的一邊進行添項或減項以達到解題目的，這是常規(guī)思路。例1.設(shè)a，b為不相等的兩正數(shù)，且a3－b3＝a2－b2，求證。證明：由題設(shè)得a2＋ab＋b2＝a＋b，于是（a＋b）2＞a2＋ab＋b2＝a＋b，又a＋b＞0，得a＋b＞1，又ab＜（a＋b）2，而（a＋b）2＝a＋b＋ab＜a＋b＋（a＋b）2，即（a＋b）2＜a＋b，所以a＋b＜，故有1＜a＋b＜。例2.已知a、b、c不全為零，求證：證明：因為，同理，。所以二.分式放縮一個分式若分子變大則分式值變大，若分母變大則分式值變小，一個真分式，分子、分母同時加上同一個正數(shù)則分式值變大，利用這些性質(zhì)，可達到證題目的。例3.已知a、b、c為三角形的三邊，求證：。證明：由于a、b、c為正數(shù)，所以，，，所以，又a，b，c為三角形的邊，故b+c＞a，則為真分數(shù)，則，同理，，故.綜合得。三.裂項放縮若欲證不等式含有與自然數(shù)n有關(guān)的n項和，可采用數(shù)列中裂項求和等方法來解題。例4.已知n∈N*，求。證明：因為，則，證畢。例5.已知且，求證：對所有正整數(shù)n都成立。證明：因為，所以，又，所以，綜合知結(jié)論成立。四.公式放縮利用已知的公式或恒不等式，把欲證不等式變形后再放縮，可獲簡解。例6.已知函數(shù)，證明：對于且都有。證明：由題意知又因為且，所以只須證，又因為所以。例7.已知，求證：當時。證明：證畢。五.換元放縮對于不等式的某個部分進行換元，可顯露問題的本質(zhì)，然后隨機進行放縮，可達解題目的。例8.已知，求證。證明：因為，所以可設(shè)，，所以則，即。例9.已知a，b，c為△ABC的三條邊，且有，當且時，求證：。證明：由于，可設(shè)