2024屆一輪復習命題方向精講系列：09 冪函數與二次函數（原卷附答案）

第第頁獲取更多資料，關注微信公眾號：Hi數學派考向09冪函數與二次函數1、根據圖象高低判斷冪指數大小的方法冪函數的冪指數的大小，大都可通過冪函數的圖象與直線的交點縱坐標的大小反映.一般地，在區(qū)間上，冪函數中指數越大，函數圖象越靠近軸(簡記為“指大、圖低”)，在區(qū)間上，冪函數中指數越大，圖象越遠離軸(不包括冪函數，在區(qū)間上，冪函數中指數越大，函數圖象越靠近軸(簡記為“指大圖低")，在區(qū)間上，冪函數中指數越大，函數圖象越遠離軸.2、對于函數，若是二次函數，就隱含，當題目未說明是二次函數時，就要分和兩種情況討論.在二次函數中，的正負決定拋物線開口的方向的大小決定開口大小)確定拋物線在軸上的截距，與確定頂點的橫坐標(或對稱軸的位置).3、根據二次函數單調性求參數范圍，常轉化為二次函數圖象的對稱軸與單調區(qū)間的位置關系，若二次函數在某區(qū)間上單調，則該區(qū)間在對稱軸的一側，若二次函數在某區(qū)間上不單調，則對稱軸在該區(qū)間內（非端點），4、二次函數在閉區(qū)間上的最值二次函數在閉區(qū)間上必有最大值和最小值.它只能在區(qū)間的端點或二次函數的頂點處取得，可分別求值再比較大小，最后確定最值.1.冪函數在第一象限內圖象的畫法如下：①當時，其圖象可類似畫出；②當時，其圖象可類似畫出；③當時，其圖象可類似畫出．2．實系數一元二次方程的實根符號與系數之間的關系（1）方程有兩個不等正根（2）方程有兩個不等負根（3）方程有一正根和一負根，設兩根為3.一元二次方程的根的分布問題一般情況下需要從以下4個方面考慮：（1）開口方向；（2）判別式；（3）對稱軸與區(qū)間端點的關系；（4）區(qū)間端點函數值的正負.設為實系數方程的兩根，則一元二次的根的分布與其限定條件如表所示.根的分布圖像限定條件在區(qū)間內沒有實根在區(qū)間內有且只有一個實根在區(qū)間內有兩個不等實根4.有關二次函數的問題，關鍵是利用圖像.（1）要熟練掌握二次函數在某區(qū)間上的最值或值域的求法，特別是含參數的兩類問題——動軸定區(qū)間和定軸動區(qū)間，解法是抓住“三點一軸”，三點指的是區(qū)間兩個端點和區(qū)間中點，一軸指對稱軸.即注意對對稱軸與區(qū)間的不同位置關系加以分類討論，往往分成：=1\*GB3①軸處在區(qū)間的左側；=2\*GB3②軸處在區(qū)間的右側；=3\*GB3③軸穿過區(qū)間內部（部分題目還需討論軸與區(qū)間中點的位置關系），從而對參數值的范圍進行討論.（2）對于二次方程實根分布問題，要抓住四點，即開口方向、判別式、對稱軸位置及區(qū)間端點函數值正負.1.冪函數的定義一般地，(為有理數)的函數，即以\t"/item/%E5%B9%82%E5%87%BD%E6%95%B0/_blank"底數為\t"/item/%E5%B9%82%E5%87%BD%E6%95%B0/_blank"自變量，冪為\t"/item/%E5%B9%82%E5%87%BD%E6%95%B0/_blank"因變量，\t"/item/%E5%B9%82%E5%87%BD%E6%95%B0/_blank"指數為常數的函數稱為冪函數.2.冪函數的特征：同時滿足一下三個條件才是冪函數①的系數為1； ②的底數是自變量； ③指數為常數.(3)冪函數的圖象和性質3.常見的冪函數圖像及性質：函數圖象定義域值域奇偶性奇偶奇非奇非偶奇單調性在上單調遞增在上單調遞減，在上單調遞增在上單調遞增在上單調遞增在和上單調遞減公共點4.二次函數解析式的三種形式（1）一般式：；（2）頂點式：；其中，為拋物線頂點坐標，為對稱軸方程.（3）零點式：，其中，是拋物線與軸交點的橫坐標.5．二次函數的圖像二次函數的圖像是一條拋物線，對稱軸方程為，頂點坐標為.（1）單調性與最值=1\*GB3①當時，如圖所示，拋物線開口向上，函數在上遞減，在上遞增，當時，；=2\*GB3②當時，如圖所示，拋物線開口向下，函數在上遞增，在上遞減，當時，；.（2）與軸相交的弦長當時，二次函數的圖像與軸有兩個交點和，.6.二次函數在閉區(qū)間上的最值閉區(qū)間上二次函數最值的取得一定是在區(qū)間端點或頂點處.對二次函數，當時，在區(qū)間上的最大值是，最小值是，令：（1）若，則；（2）若，則；（3）若，則；（4）若，則.1．（2022·湖北·黃岡中學三模）已知二次函數的值域為，則的最小值為（

）A． B． C． D．2．（2022·寧夏·銀川一中模擬預測（文））若函數的值域為，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．（2022·山東濟南·二模）若二次函數，滿足，則下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．4．（2022·安徽·合肥市第六中學模擬預測（文））已知關于x的方程在區(qū)間上有實根，那么的最小值為________．5．（2022·內蒙古赤峰·模擬預測（文））寫出一個同時具有下列性質①②③的函數______．①；②當時，；③；6．（2022·四川瀘州·模擬預測（文））已知當時，函數的圖象與的圖象有且只有一個公共點，則實數的取值范圍是________.1．（2022·河北·石家莊二中模擬預測）設，函數，若的最小值為，則實數的取值范圍為（

）A． B． C． D．2．（2022·北京昌平·二模）已知函數，則關于的不等式的解集是（

）A． B． C． D．3．（2022·湖北·宜城市第一中學高三階段練習）若過點可以作曲線的兩條切線，則（

）A． B．C． D．且4．（2022·四川·宜賓市教科所三模（文））若函數的值域為，則的取值范圍是(

)A． B． C． D．5．（2022·廣東佛山·二模）設且，函數，若，則下列判斷正確的是（）A．的最大值為-a B．的最小值為-aC． D．6．（2022·北京市第十二中學三模）若函數的值域為R，則a的取值范圍是（

）A． B．C． D．7．（2022·全國·高三專題練習）函數的單調遞減區(qū)間為（

）A． B． C． D．8．（2022·全國·高三專題練習）已知函數是冪函數，直線過點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．9．（2022·北京·高三專題練習）已知函數是冪函數，對任意，，且，滿足，若，，且，則的值（

）A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．無法判斷10．（2022·全國·高三專題練習）已知冪函數的圖象在上單調遞減，則實數的值是（

）A．1 B． C．1或 D．二、填空題11．（2022·廣東·模擬預測）已知函數的最大值為，若函數有三個零點，則實數的取值范圍是______．12．（2022·江蘇南通·高三期末）已知函數若，則的最大值為_________．13．（2022·全國·高三專題練習）函數，，，當時，，且的最大值為，則_______．14．（2022·全國·高三專題練習）已知為常數，函數在區(qū)間上的最大值為，則____．15．（2022·全國·高三專題練習）設二次函數的值域為，則的最大值為__________.16．（2022·全國·高三專題練習（文））已知函數，若函數的值域為R，則實數a的取值范圍是_______________．17．（2022·全國·高三專題練習）已知函數，，若在區(qū)間上的最大值是3，則的取值范圍是______.1．（2021·湖南·高考真題）函數的單調遞減區(qū)間是（

）A． B． C． D．2．（2015·山東·高考真題）關于函數，以下表達錯誤的選項是（

）A．函數的最大值是1 B．函數圖象的對稱軸是直線C．函數的單調遞減區(qū)間是 D．函數圖象過點3．（2013·浙江·高考真題（文））已知a，b，c∈R，函數f(x)＝ax2＋bx＋c.若f(0)＝f（4）>f（1），則（

）A．a>0，4a＋b＝0 B．a<0，4a＋b＝0C．a>0，2a＋b＝0 D．a<0，2a＋b＝04．（2017·浙江·高考真題）若函數在區(qū)間[0，1]上的最大值是M，最小值是m，則的值A．與a有關，且與b有關 B．與a有關，但與b無關C．與a無關，且與b無關 D．與a無關，但與b有關5．（2014·上?！じ呖颊骖}（理））若是的最小值，則的取值范圍為.A．[-1，2] B．[-1，0] C．[1，2] D．6．（2022·全國·高考真題（文））已知，則（

）A． B． C． D．7．（2022·上?！じ呖颊骖}）下列冪函數中，定義域為的是（

）A． B． C． D．8．（2012·江蘇·高考真題）已知函數的值域為，若關于的不等式的解集為，則實數的值為__________．9．（2017·北京·高考真題（文））已知，，且，則的取值范圍是_____.10．（2015·湖北·高考真題（文））為實數，函數在區(qū)間上的最大值記為.當_________時，的值最小.11．（2020·江蘇·高考真題）已知y=f(x)是奇函數，當x≥0時，，則f(-8)的值是____.12．（2021·江蘇·高考真題）某化工廠引進一條先進生產線生產某種化工產品，其生產的總成本萬元與年產量噸之間的函數關系可以近似地表示為，已知此生產線的年產量最小為60噸，最大為110噸.（1）年產量為多少噸時，生產每噸產品的平均成本最低?并求最低平均成本;（2）若每噸產品的平均出廠價為24萬元，且產品能全部售出，則年產量為多少噸時，可以獲得最大利潤?并求最大利潤.1．【答案】B【解析】若，則函數的值域為，不合乎題意，因為二次函數的值域為，則，且，所以，，可得，則，所以，，當且僅當時，等號成立，因此，的最小值為.故選：B.2．【答案】C【解析】當時，當時，要使的值域為則，故選：C3．【答案】B【解析】因為，所以二次函數的對稱軸為，又因為，所以，又，所以.故選：B.4．【答案】5【解析】因為，所以，當且僅當，時取等號，所以的最小值為5．故答案為：5.5．【答案】（答案不唯一）；【解析】由所給性質：在上恒正的偶函數，且，結合偶數次冪函數的性質，如：滿足條件.故答案為：（答案不唯一）6．【答案】##【解析】函數過定點，如圖：結合圖象可得：，即，故答案為：，．1．【答案】A【解析】當時，，當且僅當時，等號成立；即當時，函數的最小值為，當時，，要使得函數的最小值為，則滿足，解得，即實數的取值范圍是.故選：A.2．【答案】C【解析】由題設，對稱軸為且圖象開口向下，則在上遞增，上遞減，由，即恒過且，所以上，上，而在上遞增，且上，上，所以的解集為.故選：C3．【答案】D【解析】作出的圖象，由圖可知，若過點可以作曲線的兩條切線，點應在曲線外，設切點為，所以，，所以切線斜率為，整理得，即方程在上有兩個不同的解，所以，，所以且.故選：D．4．【答案】C【解析】當時，f(x)=，當時，f(x)=，故要使的值域是，則0≤≤1，解得．故選：C．5．【答案】D【解析】依題意，，因，則是奇函數，于是得，即，因此，，而，當時，的最小值為-a，當時，的最大值為-a，A，B都不正確；，，，即，，因此，C不正確，D正確.故選：D6．【答案】D【解析】解：由時，，因為函數的值域為R，所以當時，，分兩種情況討論：①當時，，所以只需，解得，所以；②當時，，所以只需，顯然成立，所以.綜上，的取值范圍是.故選：D.7．【答案】A【解析】，由得，又，所以函數的單調遞減區(qū)間為.故選：．8．【答案】D【解析】由是冪函數，知：，又在上，∴，即，則且，∴.故選：D.9．【答案】A【解析】利用冪函數的定義求出m，利用函數的單調性和奇偶性即可求解．【詳解】∵函數是冪函數，∴，解得：m=-2或m=3．∵對任意，，且，滿足，∴函數為增函數，∴，∴m=3（m=-2舍去）∴為增函數．對任意，，且，則，∴∴．故選：A10．【答案】A【解析】由冪函數定義得，解得或.當時，在上單調遞減；當時，在上單調遞增.故選：A二、填空題11．【答案】【解析】解：因為，所以的最大值為，易知函數有三個零點，等價于函數的圖象與直線有三個交點，因為，所以當或時，，當時，，所以在，上單調遞減，在上單調遞增，所以，，又當時，；當時，，函數的圖象如下所示：結合函數圖象可知，若函數的圖象與直線有三個交點，則．故答案為：12．【答案】【解析】令，作出的圖象和的圖象如圖所示：由圖知：，不妨設，若求最大值，則，，所以，，所以，當即時，取得最大值為，即的最大值為，故答案為：.13．【答案】2【解析】因為，所以在，上單調遞增，所以，因為當時，，所以，則，又因為，所以，則，所以，令，且對稱軸為，因為當時，，所以，則，所以，故答案為：214．【答案】或##3或1【解析】解：函數的圖象是由函數的圖象縱向對折變換得到的，故函數的圖象關于直線對稱，則函數的最大值只能在或處取得，若時，函數取得最大值3，則，，當時，時，，滿足條件；當時，時，，不滿足條件；若時，函數取得最大值3，則，，或，當時，時，，不滿足條件；當時，時，，滿足條件；綜上所述：值為1或3；故答案為：1或3．15．【答案】##1.2【解析】由題意知：,的值域為，∴，則，又，∴，當且僅當時取等號，故目標式最大值為.故答案為：.16．【答案】【解析】根據題意，函數，分三種情況討論：①若，，其值域為，不符合題意；②若，當時，，有最大值；當時，，若函數的值域為R，則必有，即，不符合題意；③若，當時，，有最小值；當時，，若函數的值域為R，則必有，即，故有，即的范圍為故答案為：17．【答案】【解析】由題易知，即，所以，又，所以.下證時，在上最大值為3.當時，，;當，若，即，則，滿足;若，即，此時，而，滿足;因此，符合題意.1．【答案】C【解析】函數的對稱軸為，開口向上，所以函數的單調遞減區(qū)間是，故選：C.2．【答案】C【解析】，最大值是1，A正確；對稱軸是直線，B正確；單調遞減區(qū)間是，故C錯誤；令的，故在函數圖象上，故D正確，故選：C3．【答案】A【解析】由f(0)＝f（4），得f(x)＝ax2＋bx＋c圖象的對稱軸為x＝－＝2，∴4a＋b＝0，又f(0)>f（1），f（4）>f（1），∴f(x)先減后增，于