2024屆一輪復(fù)習(xí)命題方向精講系列：21 三角恒等變換（原卷附答案）

第第頁獲取更多資料，關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派考向21三角恒等變換1．給角求值給角求值中一般所給出的角都是非特殊角，從表面上來看是很難的，但仔細(xì)觀察會(huì)發(fā)現(xiàn)非特殊角與特殊角之間總有一定的關(guān)系．解題時(shí)，要利用觀察得到的關(guān)系，結(jié)合公式將非特殊角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)，從而得解．2．給值求值已知三角函數(shù)值，求其他三角函數(shù)式的值的一般思路：（1）先化簡所求式子．（2）觀察已知條件與所求式子之間的聯(lián)系（從三角函數(shù)名及角入手）．（3）將已知條件代入所求式子，化簡求值．3．給值求角通過求角的某種三角函數(shù)值來求角，在選取函數(shù)時(shí)，有以下原則：（1）已知正切函數(shù)值，則選正切函數(shù)．（2）已知正、余弦函數(shù)值，則選正弦或余弦函數(shù)．若角的范圍是，則選正、余弦皆可；若角的范圍是，則選余弦較好；若角的范圍為，則選正弦較好．4．與三角函數(shù)的圖象及性質(zhì)相結(jié)合的綜合問題（1）利用三角恒等變換及輔助角公式把三角函數(shù)關(guān)系式轉(zhuǎn)化成或的形式．（2）利用公式求周期．（3）根據(jù)自變量的范圍確定的范圍，根據(jù)相應(yīng)的正弦曲線或余弦曲線求值域或最值，另外求最值時(shí)，根據(jù)所給關(guān)系式的特點(diǎn)，也可換元轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值．（4）根據(jù)正、余弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間列不等式求函數(shù)或的單調(diào)區(qū)間．1．兩角和與差正切公式變形；．2．降冪公式與升冪公式；．3．其他常用變式．3．拆分角問題：①；；②；③；④；⑤．注意特殊的角也看成已知角，如．1．兩角和與差的正余弦與正切①；②；③；2．二倍角公式①；②；③；3．降次（冪）公式4．半角公式5．輔助角公式（其中）．1．（2022·四川省內(nèi)江市第六中學(xué)模擬預(yù)測（理））某城市要在廣場中央的圓形地面設(shè)計(jì)一塊浮雕，彰顯城市積極向上的活力.某公司設(shè)計(jì)方案如圖，等腰△PMN的頂點(diǎn)P在半徑為20的大⊙O上，點(diǎn)M，N在半徑為10的小⊙O上，點(diǎn)O，P在弦MN的同側(cè).設(shè)，當(dāng)△PMN的面積最大時(shí)，對于其它區(qū)域中的某材料成本最省，則此時(shí)（

）A． B． C． D．02．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知，，則（

）A． B． C． D．3．（2022·青?！ず|市第一中學(xué)模擬預(yù)測（文））若，則（

）A． B． C． D．4．（2022·江蘇無錫·模擬預(yù)測）若，則的值是（

）A． B． C． D．5．（2022·河南省杞縣高中模擬預(yù)測（文））已知，若，則（

）A． B．C．或 D．或1．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知，，，，則（

）A． B． C． D．2．（2022·河南省杞縣高中模擬預(yù)測（理））已知，若，則（

）A． B． C．或 D．或3．（2022·河南安陽·模擬預(yù)測（理））函數(shù)的最小正周期和最小值分別為（

）A．和 B．和0 C．和 D．和04．（2022·貴州·貴陽一中高三階段練習(xí)（理））若，則（

）A． B． C． D．5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，均為銳角，且，.則（

）A． B． C． D．6．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，若，則（

）A． B． C． D．7．（多選題）（2022·全國·模擬預(yù)測）下列四個(gè)等式正確的是（

）A．B．C．D．8．（多選題）（2022·遼寧·大連市普蘭店區(qū)高級中學(xué)模擬預(yù)測）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的可能值是（）A． B． C． D．9．（多選題）（2022·湖北武漢·模擬預(yù)測）已知函數(shù)關(guān)于對稱，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．在上單調(diào)遞增C．的最大值為D．把的圖象向左平移個(gè)單位長度，得到的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱10．（多選題）（2022·重慶南開中學(xué)模擬預(yù)測）已知函數(shù)，，則下列判斷正確的有（

）A．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱B．函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位可以得到函數(shù)的圖象C．函數(shù)的最小正周期為D．函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增11．（多選題）（2022·全國·河源市河源中學(xué)模擬預(yù)測）如果函數(shù)的最大值為，那么該三角函數(shù)的周期可能為（

）A． B． C． D．12．（多選題）（2022·重慶·西南大學(xué)附中模擬預(yù)測）已知，，，且，則（

）A．若，則B．若，則C．，可能是方程的兩根D．13．（2022·浙江·杭師大附中模擬預(yù)測）函數(shù)，，，則______________．14．（2022·安徽師范大學(xué)附屬中學(xué)模擬預(yù)測（文））方程在區(qū)間上的所有解的和等于___________.15．（2022·江蘇南通·模擬預(yù)測）若＝3，則＝________．16．（2022·四川·宜賓市敘州區(qū)第一中學(xué)校模擬預(yù)測（理））已知，，則______．17．（2022·廣東茂名·二模）圖一是東漢末年與三國初期東吳數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)造的“趙爽弦圖”，它是由四個(gè)全等的直角三角形（陰影部分）圍成一個(gè)大正方形，三個(gè)全等的不等腰三角形構(gòu)成一個(gè)大的正三角形和一個(gè)小的正三角形（如圖二）．已知.(1)求證：EF=EB；(2)求的值．18．（2022·浙江·紹興一中模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的最小正周期和對稱中心；(2)若，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．19．（2022·浙江省江山中學(xué)高三期中）已知函數(shù).(1)求區(qū)數(shù)在區(qū)間上的值域；(2)若，且，求.1．（2022·全國·高考真題）若，則（

）A． B．C． D．2．（2021·全國·高考真題（文））（

）A． B． C． D．3．（2021·浙江·高考真題）已知是互不相同的銳角，則在三個(gè)值中，大于的個(gè)數(shù)的最大值是（

）A．0 B．1 C．2 D．34．（2021·全國·高考真題（文））若，則（

）A． B． C． D．5．（2021·全國·高考真題（理））2020年12月8日，中國和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰最新高程為8848.86（單位：m），三角高程測量法是珠峰高程測量方法之一．如圖是三角高程測量法的一個(gè)示意圖，現(xiàn)有A，B，C三點(diǎn)，且A，B，C在同一水平面上的投影滿足，．由C點(diǎn)測得B點(diǎn)的仰角為，與的差為100；由B點(diǎn)測得A點(diǎn)的仰角為，則A，C兩點(diǎn)到水平面的高度差約為（）（

）A．346 B．373 C．446 D．4736．（2021·全國·高考真題）若，則（

）A． B． C． D．7．（2020·全國·高考真題（文））已知，則（

）A． B． C． D．8．（多選題）（2021·全國·高考真題）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，，，，則（

）A． B．C． D．9．（2020·浙江·高考真題）已知，則________；______．10．（2022·浙江·高考真題）若，則__________，_________．11．（2022·北京·高考真題）若函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)為，則________；________．12．（2022·上?！じ呖颊骖}）已知，則的值為_________.13．（2020·北京·高考真題）若函數(shù)的最大值為2，則常數(shù)的一個(gè)取值為________．14．（2020·江蘇·高考真題）已知=，則的值是____.15．（2021·天津·高考真題）在，角所對的邊分別為，已知，．（I）求a的值；（II）求的值；（III）求的值．1．【答案】C【解析】等腰△PMN中，，設(shè)△PMN的面積為，則，，求導(dǎo)，令，即，解得：（舍去負(fù)根），記，，當(dāng)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)，，函數(shù)單調(diào)遞減；故當(dāng)時(shí)，即，取得極大值，即最大值，則故選：C.2．【答案】A【解析】，所以，因?yàn)?，所以，所以．故選：A．3．【答案】A【解析】由已知可得，則原式．故選：A.4．【答案】A【解析】.故選：A.5．【答案】A【解析】因?yàn)?，所以，又，所以，，所以．故選：A．1．【答案】D【解析】解：因?yàn)?-.，；，，所以，故．故選：D.2．【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，又，所以，所以，所以，所以，又，．故選：B．3．【答案】D【解析】由題意知，定義域?yàn)?，，則最小正周期為，最小值為，此時(shí).故選：D.4．【答案】D【解析】由題意得：，故選：D．5．【答案】A【解析】因?yàn)?，均為銳角，故，又，故，故，，故故選：A6．【答案】D【解析】由題設(shè)，又，即，所以，，而.故選：D7．（多選題）【答案】AD【解析】∵，∴，所以A正確；∵設(shè)，則，而，故即，故B錯(cuò)誤.，所以C錯(cuò)誤，，所以D正確，故選：AD．8．（多選題）【答案】AC【解析】由題意，得，由，解得,當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)f（x）在上單調(diào)遞增.因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以.故選：AC.9．（多選題）【答案】AC【解析】對A，函數(shù)關(guān)于對稱，故，所以，解得，故A正確；對B，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)是減函數(shù)，故B錯(cuò)誤；對C，最大值為，故C正確；對D，把的圖象向左平移個(gè)單位長度，得到，又，不為對稱點(diǎn)處的橫坐標(biāo)，故D錯(cuò)誤；故選：AC10．（多選題）【答案】BC【解析】A：，故關(guān)于對稱，錯(cuò)誤；B：，正確；C：，其周期為，正確；D：在上，故在內(nèi)不單調(diào)，錯(cuò)誤.故選：BC11．（多選題）【答案】BD【解析】.則其最大值為，所以，則a=2+4k，，函數(shù)的周期即為.對照四個(gè)選項(xiàng)中只有BD符合.故選：BD12．（多選題）【答案】ABD【解析】A.由，，且，所以，所以故正確；B.因?yàn)椋?，且，所以，故正確；C.若，可能是方程的兩根，則，，因?yàn)?，，所以，所以，又，，故錯(cuò)誤；D.，，，，，故正確；故選：ABD13．【答案】【解析】，，，又，，，，，.故答案為：.14．【答案】【解析】由可得，，則，所以，，解得，因此，方程在區(qū)間上的所有解的和.故答案為：.15．【答案】【解析】故答案為：.16．【答案】【解析】，因?yàn)?，所以，故答案為?17．【解析】(1)證明：∵,故設(shè)△DEF的面積為m,則，則△ABC的面積為，∴三個(gè)全等的不等腰三角形的面積各自為，設(shè)，則由題意可得∵△DEF為等邊三角形，故在△DEF中，①，在中，②,由得，，化簡得，∵，∴即,故EF＝EB．(2)由（1）知，，在△ABE中，由余弦定理知，∴，∴，由題意知是銳角，故，同理可得,由題意知是銳角，故,故.18．【解析】(1)

=

=

==所以，最小正周期，由，得所以，對稱中心為．(2)因?yàn)?，所以，由正弦曲線可得．19．【解析】(1)解：，所以，當(dāng)時(shí)，，故從而，所以函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)椋海?2)解：所以，因，若，則，矛盾！故，從而所以.1．【答案】C【解析】由已知得：,即：，即：,所以,故選：C2．【答案】D【解析】由題意，.故選：D.3．【答案】C【解析】法1：由基本不等式有，同理，，故，故不可能均大于.取，，，則，故三式中大于的個(gè)數(shù)的最大值為2，故選：C.法2：不妨設(shè)，則，由排列不等式可得：，而，故不可能均大于.取，，，則，故三式中大于的個(gè)數(shù)的最大值為2，故選：C.4．【答案】A【解析】，，，，解得，，.故選：A.5．【答案】B【解析】過作，過作，故，由題，易知為等腰直角三角形，所以．所以．因?yàn)?，所以在中，由正弦定理得：，而，所以所以．故選：B．6．【答案】C【解析】將式子進(jìn)行齊次化處理得：．故選：C．7．【答案】B【解析】由題意可得：，則：，，從而有：，即.故選：B.8．（多選題）【答案】AC【解析】A：，，所以，，故，正確；B：，，所以，同理，故不一定相等，錯(cuò)誤；C：由題意得：，，正確；D：由題意得：，，故一