2024屆一輪復(fù)習(xí)命題方向精講系列：39 隨機(jī)事件的概率與古典概型（十二大經(jīng)典題型）（原卷附答案）

第第頁(yè)獲取更多資料，關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派考向39隨機(jī)事件的概率與古典概型經(jīng)典題型一：隨機(jī)事件的關(guān)系與運(yùn)算經(jīng)典題型二：頻率與概率經(jīng)典題型三：互斥事件與對(duì)立事件經(jīng)典題型四：利用互斥事件與對(duì)立事件計(jì)算概率經(jīng)典題型五：簡(jiǎn)單的古典概型問(wèn)題經(jīng)典題型六：古典概型與向量的交匯問(wèn)題經(jīng)典題型七：古典概型與幾何的交匯問(wèn)題經(jīng)典題型八：古典概型與函數(shù)的交匯問(wèn)題經(jīng)典題型九：古典概型與數(shù)列的交匯問(wèn)題經(jīng)典題型十：古典概率與統(tǒng)計(jì)的綜合經(jīng)典題型十一：有放回與無(wú)放回問(wèn)題的概率經(jīng)典題型十二：概率的基本性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)1、隨機(jī)試驗(yàn)我們把對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的實(shí)現(xiàn)和對(duì)它的觀察稱為隨機(jī)試驗(yàn)，簡(jiǎn)稱試驗(yàn)，常用字母表示．我們感興趣的是具有以下特點(diǎn)的隨機(jī)試驗(yàn)：（1）試驗(yàn)可以在相同條件下重復(fù)進(jìn)行；（2）試驗(yàn)的所有可能結(jié)果是明確可知的，并且不止一個(gè)；（3）每次試驗(yàn)總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個(gè)，但事先不能確定出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果．知識(shí)點(diǎn)2、樣本空間我們把隨機(jī)試驗(yàn)的每個(gè)可能的基本結(jié)果稱為樣本點(diǎn)，全體樣本點(diǎn)的集合稱為試驗(yàn)的樣本空間，一般地，用．．表示樣本空間，用表示樣本點(diǎn)，如果一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)有個(gè)可能結(jié)果，，…，，則稱樣本空間為有限樣本空間．知識(shí)點(diǎn)3、隨機(jī)事件、確定事件（1）一般地，隨機(jī)試驗(yàn)中的每個(gè)隨機(jī)事件都可以用這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間的子集來(lái)表示，為了敘述方便，我們將樣本空間的子集稱為隨機(jī)事件，簡(jiǎn)稱事件，并把只包含一個(gè)樣本點(diǎn)的事件稱為基本事件．當(dāng)且僅當(dāng)中某個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)時(shí)，稱為事件發(fā)生．（2）作為自身的子集，包含了所有的樣本點(diǎn)，在每次試驗(yàn)中總有一個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生，所以總會(huì)發(fā)生，我們稱為必然事件．（3）空集不包含任何樣本點(diǎn)，在每次試驗(yàn)中都不會(huì)發(fā)生，我們稱為為不可能事件．（4）確定事件：必然事件和不可能事件統(tǒng)稱為相對(duì)隨機(jī)事件的確定事件．知識(shí)點(diǎn)4、事件的關(guān)系與運(yùn)算①包含關(guān)系：一般地，對(duì)于事件和事件，如果事件發(fā)生，則事件一定發(fā)生，這時(shí)稱事件包含事件（或者稱事件包含于事件），記作或者．與兩個(gè)集合的包含關(guān)系類比，可用下圖表示：不可能事件記作，任何事件都包含不可能事件．②相等關(guān)系：一般地，若且，稱事件與事件相等．與兩個(gè)集合的并集類比，可用下圖表示：③并事件（和事件）：若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件發(fā)生或事件發(fā)生，則稱此事件為事件與事件的并事件（或和事件），記作（或）．與兩個(gè)集合的并集類比，可用下圖表示：④交事件（積事件）：若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件發(fā)生且事件發(fā)生，則稱此事件為事件A與事件B的交事件（或積事件），記作（或）．與兩個(gè)集合的交集類比，可用下圖表示：知識(shí)點(diǎn)5、互斥事件與對(duì)立事件（1）互斥事件：在一次試驗(yàn)中，事件和事件不能同時(shí)發(fā)生，即，則稱事件與事件互斥，可用下圖表示：如果，，…，中任何兩個(gè)都不可能同時(shí)發(fā)生，那么就說(shuō)事件，．．，…，彼此互斥．（2）對(duì)立事件：若事件和事件在任何一次實(shí)驗(yàn)中有且只有一個(gè)發(fā)生，即不發(fā)生，則稱事件和事件互為對(duì)立事件，事件的對(duì)立事件記為．（3）互斥事件與對(duì)立事件的關(guān)系①互斥事件是不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件，而對(duì)立事件除要求這兩個(gè)事件不同時(shí)發(fā)生外，還要求二者之一必須有一個(gè)發(fā)生．②對(duì)立事件是互斥事件的特殊情況，而互斥事件未必是對(duì)立事件，即“互斥”是“對(duì)立”的必要不充分條件，而“對(duì)立”則是“互斥”的充分不必要條件．知識(shí)點(diǎn)6、概率與頻率（1）頻率：在次重復(fù)試驗(yàn)中，事件發(fā)生的次數(shù)稱為事件發(fā)生的頻數(shù)，頻數(shù)與總次數(shù)的比值，叫做事件發(fā)生的頻率．（2）概率：在大量重復(fù)盡心同一試驗(yàn)時(shí)，事件發(fā)生的頻率總是接近于某個(gè)常數(shù)，并且在它附近擺動(dòng)，這時(shí)，就把這個(gè)常數(shù)叫做事件的概率，記作．（3）概率與頻率的關(guān)系：對(duì)于給定的隨機(jī)事件，由于事件發(fā)生的頻率隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加穩(wěn)定于概率，因此可以用頻率來(lái)估計(jì)概率．知識(shí)點(diǎn)7、隨機(jī)事件的概率對(duì)隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的度量(數(shù)值)稱為事件的概率，事件的概率用表示.知識(shí)點(diǎn)8、古典概型（1）定義一般地，若試驗(yàn)具有以下特征：①有限性：樣本空間的樣本點(diǎn)只有有限個(gè)；②等可能性：每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性相等.稱試驗(yàn)E為古典概型試驗(yàn)，其數(shù)學(xué)模型稱為古典概率模型，簡(jiǎn)稱古典概型.（2）古典概型的概率公式一般地，設(shè)試驗(yàn)是古典概型，樣本空間包含個(gè)樣本點(diǎn)，事件包含其中的個(gè)樣本點(diǎn)，則定義事件的概率.知識(shí)點(diǎn)9、概率的基本性質(zhì)（1）對(duì)于任意事件都有：．（2）必然事件的概率為，即；不可能事概率為，即．（3）概率的加法公式：若事件與事件互斥，則．推廣：一般地，若事件，，…，彼此互斥，則事件發(fā)生（即，，…，中有一個(gè)發(fā)生）的概率等于這個(gè)事件分別發(fā)生的概率之和，即：．（4）對(duì)立事件的概率：若事件與事件互為對(duì)立事件，則，，且．（5）概率的單調(diào)性：若，則．（6）若，是一次隨機(jī)實(shí)驗(yàn)中的兩個(gè)事件，則．1、解決古典概型的問(wèn)題的關(guān)鍵是：分清基本事件個(gè)數(shù)與事件中所包含的基本事件數(shù)．因此要注意清楚以下三個(gè)方面：(1)本試驗(yàn)是否具有等可能性；(2)本試驗(yàn)的基本事件有多少個(gè)；(3)事件是什么．2、解題實(shí)現(xiàn)步驟：(1)仔細(xì)閱讀題目，弄清題目的背景材料，加深理解題意；(2)判斷本試驗(yàn)的結(jié)果是否為等可能事件，設(shè)出所求事件；(3)分別求出基本事件的個(gè)數(shù)與所求事件中所包含的基本事件個(gè)數(shù)；(4)利用公式求出事件的概率．3、解題方法技巧：(1)利用對(duì)立事件、加法公式求古典概型的概率(2)利用分析法求解古典概型．①任一隨機(jī)事件的概率都等于構(gòu)成它的每一個(gè)基本事件概率的和．②求試驗(yàn)的基本事件數(shù)及事件A包含的基本事件數(shù)的方法有列舉法、列表法和樹狀圖法．經(jīng)典題型一：隨機(jī)事件的關(guān)系與運(yùn)算1．（2022·浙江省桐廬中學(xué)高三階段練習(xí)）拋擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子，若事件“向上的點(diǎn)數(shù)為”，“向上的點(diǎn)數(shù)為”，“向上的點(diǎn)數(shù)為或”，則有（

）A． B． C． D．2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（文））一批產(chǎn)品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品.從這批產(chǎn)品中任意抽取5件，現(xiàn)給出以下四個(gè)事件：事件A：恰有一件次品；事件B：至少有兩件次品；事件C：至少有一件次品；事件D：至多有一件次品.并給出以下結(jié)論：①；②是必然事件；③；④.其中正確結(jié)論的序號(hào)是（

）A．①② B．③④ C．①③ D．②③3．（多選題）（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）對(duì)空中飛行的飛機(jī)連續(xù)射擊兩次，每次發(fā)射一枚炮彈，設(shè)A＝“兩次都擊中飛機(jī)”，B＝“兩次都沒(méi)擊中飛機(jī)”，C＝“恰有一枚炮彈擊中飛機(jī)”，D＝“至少有一枚炮彈擊中飛機(jī)”，下列關(guān)系正確的是（

）A．A?D B．B∩D＝C．A∪C＝D D．A∪B＝B∪D經(jīng)典題型二：頻率與概率4．（多選題）（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）支氣管炎患者會(huì)咳嗽失眠，給患者日常生活帶來(lái)嚴(yán)重的影響.某醫(yī)院老年患者治愈率為20%，中年患者治愈率為30%，青年患者治愈率為40%.該醫(yī)院共有600名老年患者，500名中年患者，400名青年患者，則（

）A．若從該醫(yī)院所有患者中抽取容量為30的樣本，老年患者應(yīng)抽取12人B．該醫(yī)院青年患者所占的頻率為C．該醫(yī)院的平均治愈率為28.7%D．該醫(yī)院的平均治愈率為31.3%5．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）將容量為100的樣本數(shù)據(jù)，由小到大排列，分成8個(gè)小組，如下表所示：組號(hào)12345678頻數(shù)101314141513129第3組的頻率和累積頻率分別為（

）A．0.14，0.37 B．， C．0.03，0.06 D．，6．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）甲、乙兩所學(xué)校舉行了某次聯(lián)考，甲校成績(jī)的優(yōu)秀率為30%，乙校成績(jī)的優(yōu)秀率為35%，現(xiàn)將兩所學(xué)校的成績(jī)放到一起，已知甲校參加考試的人數(shù)占總數(shù)的40%，乙校參加考試的人數(shù)占總數(shù)的60%，現(xiàn)從中任取一個(gè)學(xué)生成績(jī)，則取到優(yōu)秀成績(jī)的概率為（

）A．0.165 B．0.16 C．0.32 D．0.337．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）甲、乙兩人玩擲骰子游戲，規(guī)定：甲、乙兩人同時(shí)擲骰子，若甲擲兩次骰子的點(diǎn)數(shù)之和小于，則甲得一分；若乙擲兩次骰子的點(diǎn)數(shù)之和大于，則乙得一分，最先得到10分者獲勝.為確保游戲的公平性，正整數(shù)的值應(yīng)為（

）A． B． C． D．8．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某地區(qū)公共衛(wèi)生部門為了了解本地區(qū)中學(xué)生的吸煙情況，對(duì)隨機(jī)抽出的200名學(xué)生進(jìn)行了調(diào)查．調(diào)查中使用了下面兩個(gè)問(wèn)題：?jiǎn)栴}一：你的父親陽(yáng)歷生日日期是不是奇數(shù)？問(wèn)題二：你是否經(jīng)常吸煙？調(diào)查者設(shè)計(jì)了一個(gè)隨機(jī)化裝置：一個(gè)裝有大小、形狀和質(zhì)量完全一樣的50個(gè)白球和50個(gè)紅球的袋子，每個(gè)被調(diào)查者隨機(jī)從袋子中摸取1個(gè)球（摸出的球再放回袋子中），摸到白球的學(xué)生如實(shí)回答第一個(gè)問(wèn)題，摸到紅球的學(xué)生如實(shí)回答第二個(gè)問(wèn)題，回答“是”的人往一個(gè)盒子中放一個(gè)小石子，回答“否”的人什么都不要做，如果一年按365天計(jì)算，且最后盒子中有60個(gè)小石子，則可以估計(jì)出該地區(qū)中學(xué)生吸煙人數(shù)的百分比為（

）A．7% B．8% C．9% D．30%經(jīng)典題型三：互斥事件與對(duì)立事件9．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）“黑匣子”是飛機(jī)專用的電子記錄設(shè)備之一，黑匣子有兩個(gè)，為駕駛艙語(yǔ)音記錄器和飛行數(shù)據(jù)記錄器.某興趣小組對(duì)黑匣子內(nèi)部構(gòu)造進(jìn)行相關(guān)課題研究，記事件A為“只研究駕駛艙語(yǔ)音記錄器”，事件B為“至少研究一個(gè)黑厘子”，事件C為“至多研究一個(gè)黑厘子”，事件D為“兩個(gè)黑厘子都研究”.則（

）A．A與C是互斥事件 B．B與D是對(duì)立事件C．B與C是對(duì)立事件 D．C與D是互斥事件10．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)靶子上的環(huán)數(shù)取1~10這10個(gè)正整數(shù)，脫靶計(jì)為0環(huán)．某人射擊一次，設(shè)事件“中靶”，事件“擊中環(huán)數(shù)大于5”，事件“擊中環(huán)數(shù)大于1且小于6”，事件“擊中環(huán)數(shù)大于0且小于6”，則下列關(guān)系正確的是（

）A．B與C互斥 B．B與C互為對(duì)立C．A與D互為對(duì)立 D．A與D互斥11．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）從1，2，3，4，5，6這六個(gè)數(shù)中任取三個(gè)數(shù)，下列兩個(gè)事件為對(duì)立事件的是（

）A．“至多有一個(gè)是偶數(shù)”和“至多有兩個(gè)是偶數(shù)”B．“恰有一個(gè)是奇數(shù)”和“恰有一個(gè)是偶數(shù)”C．“至少有一個(gè)是奇數(shù)”和“全都是偶數(shù)”D．“恰有一個(gè)是奇數(shù)”和“至多有一個(gè)是偶數(shù)”經(jīng)典題型四：利用互斥事件與對(duì)立事件計(jì)算概率12．（2022·江蘇·南京市中華中學(xué)高三階段練習(xí)）甲?乙兩人向同一目標(biāo)各射擊一次，已知甲命中目標(biāo)的概率為，乙命中目標(biāo)的概率為，已知目標(biāo)至少被命中1次，則乙命中目標(biāo)的概率為___________.13．（2022·湖北·天門市教育科學(xué)研究院模擬預(yù)測(cè)）為落實(shí)國(guó)務(wù)院提出的“雙減”政策，某校在課后服務(wù)時(shí)間開展了豐富多彩的興趣小組活動(dòng)，其中有個(gè)課外興趣小組制作了一個(gè)正十二面體模型，并在十二個(gè)面分別雕刻了十二生肖的圖案，作為2022年春節(jié)的吉祥物，2個(gè)興趣小組各派一名成員將模型隨機(jī)拋出，兩人都希望能拋出虎的圖案朝上，寓意虎虎生威.2人各拋一次，則在第一人拋出虎的圖案朝上時(shí)，兩人心愿均能達(dá)成的概率為__________.14．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）產(chǎn)品質(zhì)量檢驗(yàn)過(guò)程主要包括進(jìn)貨檢驗(yàn)（），生產(chǎn)過(guò)程檢驗(yàn)（），出貨檢驗(yàn)（）三個(gè)環(huán)節(jié).已知某產(chǎn)品單獨(dú)通過(guò)率為，單獨(dú)通過(guò)率為，規(guī)定上一類檢驗(yàn)不通過(guò)則不進(jìn)入下一類檢驗(yàn)，未通過(guò)可修復(fù)后再檢驗(yàn)一次（修復(fù)后無(wú)需從頭檢驗(yàn)，通過(guò)率不變且每類檢驗(yàn)最多兩次），且各類檢驗(yàn)間相互獨(dú)立.若該產(chǎn)品能進(jìn)入的概率為，則___________.15．（2022·湖南長(zhǎng)沙·高三階段練習(xí)）已知事件A，B，且P(A)=0.5，P(B)=0.2，如果A與B互斥，令；如果A與B相互獨(dú)立，令，則___________.16．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知某電腦賣家只賣甲?乙兩個(gè)品牌的電腦，其中甲品牌的電腦占，甲品牌的電腦中，優(yōu)質(zhì)率為；乙品牌的電腦中，優(yōu)質(zhì)率為，從該電腦賣家中隨機(jī)購(gòu)買一臺(tái)電腦，則買到優(yōu)質(zhì)電腦的概率為___________.17．（2022·江蘇淮安·一模）集合，，從，中各任意取一個(gè)數(shù)，則這兩個(gè)數(shù)之和等于4的概率是__________．經(jīng)典題型五：簡(jiǎn)單的古典概型問(wèn)題18．（2022·云南師大附中高三階段練習(xí)）甲和乙玩紙牌游戲，已知甲手中有2張10，4張3，乙手里有4張5和6張2，現(xiàn)從兩人手中各隨機(jī)抽取兩張牌并交換給對(duì)方，則交換之后甲手中牌的點(diǎn)數(shù)之和大于乙手中牌的點(diǎn)數(shù)之和的概率為（

）A． B． C． D．19．（2022·廣西南寧·高三階段練習(xí)（文））設(shè)有5個(gè)大小和質(zhì)地相同的小球，其中甲袋中裝有標(biāo)號(hào)分別為1，2的兩個(gè)小球，乙袋中裝有標(biāo)號(hào)分別為1，2，3的三個(gè)小球.現(xiàn)從甲袋和乙袋中各任取一個(gè)小球，則這兩小球標(biāo)號(hào)之和為4的概率為（

）A． B． C． D．20．（2022·浙江·高三階段練習(xí)）某小組九名學(xué)生在一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)中的得分（單位：分）如下：83，84，86，86，87，88，90，93，96，這九人成績(jī)的第70百分位數(shù)是.若在該小組隨機(jī)選取兩名學(xué)生，則得分一個(gè)比高，另一個(gè)比低的概率為（

）A． B． C． D．21．（2022·廣西·模擬預(yù)測(cè)（理））4個(gè)人排成一排，則甲不站兩邊的概率為（

）A． B． C． D．經(jīng)典題型六：古典概型與向量的交匯問(wèn)題22．（2022·山東淄博·三模）正邊形內(nèi)接于單位圓，任取其兩個(gè)不同頂點(diǎn)、，則的概率是（

）A． B． C． D．23．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））已知為整數(shù)，且，設(shè)平面向量與的夾角為，則的概率為（

）A． B． C． D．24．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，在圓上任取一點(diǎn)，則的概率為（

）A． B． C． D．25．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））已知為內(nèi)的一點(diǎn)，滿足，且的面積與的面積之比為，若在內(nèi)任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自的概率為（

）A． B． C． D．26．（2022·江西·九江市柴桑區(qū)第一中學(xué)高三階段練習(xí)（理））如圖，在中，D，E是AB邊上兩點(diǎn)，，且，，，的面積成等差數(shù)列.若在內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自的概率是（

）A． B． C． D．27．（2022·湖南·高三階段練習(xí)（理））如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為正十邊形的中心，在軸正半軸上，任取不同的兩點(diǎn)、（其中，，且，），點(diǎn)滿足，則點(diǎn)落在第二象限的概率是（

）A． B．C． D．經(jīng)典題型七：古典概型與幾何的交匯問(wèn)題28．（2022·云南師大附中高三階段練習(xí)（文））正多面體是指多面體的各個(gè)面都是全等的正多邊形，并且各個(gè)多面角都是全等的多面角.在古希臘已經(jīng)發(fā)現(xiàn)正多面體有且僅有5種，分別是正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體和正二十面體、如圖，有一個(gè)棱長(zhǎng)為2的正八面體（每一個(gè)面都是正三角形），其六個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，在球內(nèi)任選一個(gè)點(diǎn)，則該點(diǎn)落在正八面體內(nèi)部的概率是（

）A． B． C． D．29．（2022·寧夏·吳忠中學(xué)三模（文））有一個(gè)底面圓的半徑為1，高為2的圓柱，點(diǎn)分別為這個(gè)圓柱上底面和下底面的圓心，在這個(gè)圓柱內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P到點(diǎn)的距離都大于1的概率為（

）A． B． C． D．30．（2022·山西·模擬預(yù)測(cè)（文））如圖，棱長(zhǎng)為2的正方體．E，F(xiàn)分別為棱的中點(diǎn)，過(guò)E，F(xiàn)，三點(diǎn)作正方體的截面，點(diǎn)P是該截面內(nèi)任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P在內(nèi)的概率為（

）A． B． C． D．31．（2022·陜西咸陽(yáng)·二模（理））魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽在他的著作《九章算術(shù)注》中，稱一個(gè)正方體內(nèi)兩個(gè)互相垂直的內(nèi)切圓柱所圍成的幾何體為“牟合方蓋”（如圖），通過(guò)計(jì)算得知正方體的體積與“牟合方蓋”的體積之比為3：2.若在該正方體的外接球內(nèi)任取一點(diǎn)，此點(diǎn)取自“牟合方蓋”內(nèi)的概率為（

）A． B． C． D．32．（2022·吉林·東北師大附中模擬預(yù)測(cè)（文））在棱長(zhǎng)為4的正方體內(nèi)任取一點(diǎn)，則這個(gè)點(diǎn)到該正方體的中心距離不超過(guò)1的概率為（

）A． B． C． D．33．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在《九章算術(shù)·商功》中，把四個(gè)面都是直角三角形的四面體稱為鱉臑.若從鱉臑的六條棱中任取兩條棱，則它們互相垂直的概率是；若從鱉臑的六條棱和四個(gè)面中取一條棱和一個(gè)面（要求棱不在面上），則它們互相垂直的概率是；若從鱉臑的四個(gè)面中任取兩個(gè)面，則它們互相垂直的概率是.則，，的值分別是（

）A．，， B．，， C．，， D．，，34．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））從正方體的條棱中任選條棱，則這條棱兩兩異面的概率為（

）A． B． C． D．經(jīng)典題型八：古典概型與函數(shù)的交匯問(wèn)題35．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）首位數(shù)定理：在進(jìn)位制中，以數(shù)字為首位的數(shù)出現(xiàn)的概率為，幾乎所有日常生活中非人為規(guī)律的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)都滿足這個(gè)定理.已知某銀行10000名儲(chǔ)戶的存款金額調(diào)查結(jié)果符合上述定理，則下列結(jié)論正確的是（

）（參考數(shù)據(jù)：，）A．存款金額的首位數(shù)字是1的概率約為B．存款金額的首位數(shù)字是5的概率約為9.7%C．存款金額的首位數(shù)字是6的概率小于首位數(shù)字是7的概率D．存款金額的首位數(shù)字是8或9的概率約為9.7%36．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（文））設(shè)a是從1、2、3、4中隨機(jī)取出的一個(gè)數(shù)，b是從1、2、3中隨機(jī)取出的一個(gè)數(shù)，構(gòu)成一個(gè)基本事件．記“這些基本事件中，滿足”的事件為E，則E發(fā)生的概率為（

）.A．； B．； C．； D．．37．（2022·廣東·金山中學(xué)高三階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，若是從三個(gè)數(shù)中任取一個(gè)，是從五個(gè)數(shù)中任取一個(gè)，那么恒成立的概率是（

）A． B． C． D．38．（2022·安徽合肥·一模（文））從冪函數(shù)，，，，中任意選取個(gè)函數(shù)，其中一個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)?另一個(gè)函數(shù)是增函數(shù)的概率等于（

）A． B． C． D．經(jīng)典題型九：古典概型與數(shù)列的交匯問(wèn)題39．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某校為推廣籃球運(yùn)動(dòng)，成立了籃球社團(tuán)，社團(tuán)中的甲、乙、丙三名成員進(jìn)行傳球訓(xùn)練，從甲開始隨機(jī)地傳球給其他兩人中的任意一人，接球者再隨機(jī)地將球傳給其他兩人中的任意一人，如此不停地傳下去，且假定每次傳球都能被接到．記開始傳球的人為第1次觸球者，第n次觸球者是甲的概率為，則＝（

）A． B． C． D．40．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知等比數(shù)列的首項(xiàng)為1，公比為-2，在該數(shù)列的前六項(xiàng)中隨機(jī)抽取兩項(xiàng)，，則的概率為（

）A． B． C． D．41．（2022·江西·高三階段練習(xí)（文））現(xiàn)有10個(gè)數(shù)，它們能構(gòu)成一個(gè)以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，若從這10個(gè)數(shù)中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)，則它小于8的概率是（

）A． B．C． D．42．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）意大利數(shù)學(xué)家斐波那契在他的《算盤全書》中提出了一個(gè)關(guān)于兔子繁殖的問(wèn)題：如果一對(duì)兔子每月能生1對(duì)小兔子（一雄一雌），而每1對(duì)小兔子在它出生后的第三個(gè)月里，又能生1對(duì)小兔子，假定在不發(fā)生死亡的情況下，從第1個(gè)月1對(duì)初生的小兔子開始，以后每個(gè)月的兔子總對(duì)數(shù)是：1，1，2，3，5，8，13，21，…，這就是著名的斐波那契數(shù)列，它的遞推公式是，其中，.若從該數(shù)列的前2021項(xiàng)中隨機(jī)地抽取一個(gè)數(shù)，則這個(gè)數(shù)是偶數(shù)的概率為（

）A． B．C． D．43．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）我國(guó)占代圖書之一的《周髀算經(jīng)》中指出：某地的冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷肉、立夏、小滿、芒種這十二節(jié)氣的日影長(zhǎng)依次是一個(gè)等差數(shù)列．已知立春與驚蟄兩個(gè)節(jié)氣的日影長(zhǎng)分別為11尺和10尺，現(xiàn)在隨機(jī)選出3個(gè)節(jié)氣，至少有一個(gè)節(jié)氣的日影長(zhǎng)大于9尺的概率為（

）A． B． C． D．44．（2022·甘肅張掖·高三階段練習(xí)（文））意大利數(shù)學(xué)家斐波那契的《算經(jīng)》中記載了一個(gè)有趣的問(wèn)題:已知-對(duì)兔子每個(gè)月可以生一對(duì)兔子，而一對(duì)兔子出生后在第二個(gè)月就開始生小兔子.假如沒(méi)有發(fā)生死亡現(xiàn)象，那么兔子對(duì)數(shù)依次為:1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，...，這就是著名的斐波那契數(shù)列，它的遞推公式是，其中，若從該數(shù)列的前120項(xiàng)中隨機(jī)地抽取一個(gè)數(shù)，則這個(gè)數(shù)是偶數(shù)的概率為（

）A． B． C． D．經(jīng)典題型十：古典概率與統(tǒng)計(jì)的綜合45．（2022·四川省開江中學(xué)高三開學(xué)考試（理））在某地區(qū)進(jìn)行流行病學(xué)調(diào)查，隨機(jī)調(diào)查了100位某種疾病患者的年齡，得到如圖所示的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖，則（

）A．這種疾病患者的年齡小于等于30的概率為0.2B．這種疾病患者的年齡的中位數(shù)小于45歲C．這種疾病患者的年齡的眾數(shù)為45歲D．這種疾病患者的平均年齡為48歲46．（2022·安徽·高三開學(xué)考試）下圖是國(guó)家統(tǒng)計(jì)局年月發(fā)布的規(guī)模以上工業(yè)日均原油產(chǎn)量（單位：萬(wàn)噸）的月度走勢(shì)情況，現(xiàn)有如下說(shuō)法：①年月至年月，規(guī)模以上工業(yè)原油的日均產(chǎn)量的極差為；②從年月至年月中隨機(jī)抽取個(gè)月份，月增速超過(guò)的概率為；③年月份，規(guī)模以上工業(yè)原油總產(chǎn)量約為萬(wàn)噸；則說(shuō)法錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)為（

）A． B． C． D．47．（2022·河南·高三開學(xué)考試（理））現(xiàn)有一組數(shù)據(jù)1，2，3，4，5，6，7，8，若將這組數(shù)據(jù)隨機(jī)刪去兩個(gè)數(shù)，則剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)大于5的概率為（

）．A． B． C． D．48．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某地教育局為了解“雙減”政策的落實(shí)情況，在轄區(qū)內(nèi)高三年級(jí)在校學(xué)生中抽取100名學(xué)生，調(diào)查他們課后完成作業(yè)的時(shí)間，根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制如下頻率直方圖.根據(jù)此頻率直方圖，下列結(jié)論中不正確的是（

）A．所抽取的學(xué)生中有25人在2小時(shí)至小時(shí)之間完成作業(yè)B．該地高三年級(jí)學(xué)生完成作業(yè)的時(shí)間超過(guò)3小時(shí)的概率估計(jì)為C．估計(jì)該地高三年級(jí)學(xué)生的平均做作業(yè)的時(shí)間超過(guò)小時(shí)D．估計(jì)該地高三年級(jí)有一半以上的學(xué)生做作業(yè)的時(shí)間在2小時(shí)至3小時(shí)之間經(jīng)典題型十一：有放回與無(wú)放回問(wèn)題的概率49．（2022·貴州·高三階段練習(xí)（文））從分別寫有1，2，3，4，5，6的6張卡片中無(wú)放回隨機(jī)抽取2張，則抽到的2張卡片上的數(shù)字之和是3的倍數(shù)的概率為（

）A． B． C． D．50．（2022·江蘇南京·高三階段練習(xí)）從分別寫有的六張卡片中無(wú)放回隨機(jī)抽取兩張，則抽到的兩張卡片上的數(shù)字之積是的倍數(shù)的概率為（

）A． B． C． D．51．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）一個(gè)袋子中放大小相同的9個(gè)小球，其中5個(gè)紅色球，4個(gè)白色球，若從中摸出1個(gè)球后放回再摸出1個(gè)球，記摸出的2個(gè)球都是紅色球的概率為，從中摸出1個(gè)球后不放回再摸出1個(gè)球，記摸出的2個(gè)球都是紅色球的概率為，則（

）A． B． C． D．52．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））不透明袋子里有大小完全相同的10只小球，其中4只藍(lán)色6只紅色，小朋友花花想從袋子里取到一只紅色小球，第一次從袋子里隨機(jī)取出一只小球，卻是藍(lán)色，不放回，再取第二次.則小朋友花花第二次取到紅色小球的概率是（

）A． B． C． D．53．（2022·遼寧沈陽(yáng)·三模）盒子中有4個(gè)球，其中3個(gè)白球，1個(gè)紅球，現(xiàn)在從盒中隨機(jī)無(wú)放回地取球，每次取出一個(gè)，直到取出紅球?yàn)橹梗畡t取出3個(gè)球停止的概率為（

）A． B． C． D．經(jīng)典題型十二：概率的基本性質(zhì)54．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）甲?乙去同一家藥店購(gòu)買一種醫(yī)用外科口罩，已知這家藥店出售A，B，C三種醫(yī)用外科口罩，甲?乙購(gòu)買A，B，C三種醫(yī)用口罩的概率分別如下：購(gòu)買A種醫(yī)用口罩購(gòu)買B種醫(yī)用口罩購(gòu)買C種醫(yī)用口罩甲0.20.4乙0.30.3則甲?乙購(gòu)買的是同一種醫(yī)用外科口罩的概率為（

）A．0.44 B．0.40 C．0.36 D．0.3255．（2022·江蘇·高三專題練習(xí)）若隨機(jī)事件，互斥，，發(fā)生的概率均不等于0，且，，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．56．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知消費(fèi)者購(gòu)買家用小電器有兩種方式：網(wǎng)上購(gòu)買和實(shí)體店購(gòu)買．經(jīng)工商局抽樣調(diào)查發(fā)現(xiàn)，網(wǎng)上家用小電器合格率約為，而實(shí)體店里家用小電器的合格率約為，工商局12315電話接到關(guān)于家用小電器不合格的投訴，統(tǒng)計(jì)得知，被投訴的是在網(wǎng)上購(gòu)買的概率約為．那么估計(jì)在網(wǎng)上購(gòu)買家用小電器的人約占（

）A． B． C． D．57．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)A、B是兩個(gè)概率大于0的隨機(jī)事件，則下列論述正確的是（

）A．事件A?B，則P（A）＜P（B）B．若A和B互斥，則A和B一定相互獨(dú)立C．若A和B相互獨(dú)立，則A和B一定不互斥D．P（A）+P（B）≤158．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（文））甲、乙兩人比賽下中國(guó)象棋，若甲獲勝的概率是，下成和棋的概率是，則乙獲勝的概率是（

）A． B． C． D．59．（2022·海南·嘉積中學(xué)高三階段練習(xí)）下列敘述錯(cuò)誤的是（

）．A．若事件發(fā)生的概率為，則B．互斥事件不一定是對(duì)立事件，但是對(duì)立事件一定是互斥事件C．某事件發(fā)生的概率是隨著試驗(yàn)次數(shù)的變化而變化的D．5張獎(jiǎng)券中有一張有獎(jiǎng)，甲先抽，乙后抽，則乙與甲中獎(jiǎng)的可能性相同60．（2022·福建·莆田錦江中學(xué)高三階段練習(xí)）有一道數(shù)學(xué)難題，在半小時(shí)內(nèi)，甲、乙能解決的概率都是，丙能解決的概率是，若3人試圖獨(dú)立地在半小時(shí)內(nèi)解決該難題，則該難題得到解決的概率為___．1．（2022·全國(guó)·高考真題（文））從分別寫有1，2，3，4，5，6的6張卡片中無(wú)放回隨機(jī)抽取2張，則抽到的2張卡片上的數(shù)字之積是4的倍數(shù)的概率為（

）A． B． C． D．2．（2021·全國(guó)·高考真題（文））將3個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，則2個(gè)0不相鄰的概率為（

）A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.83．（2021·全國(guó)·高考真題（理））將3個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，則2個(gè)0不相鄰的概率為（

）A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.84．（2020·山東·高考真題）現(xiàn)有5位老師，若每人隨機(jī)進(jìn)入兩間教室中的任意一間聽課，則恰好全都進(jìn)入同一間教室的概率是（

）A． B． C． D．5．（2020·全國(guó)·高考真題（文））設(shè)O為正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3點(diǎn)，則取到的3點(diǎn)共線的概率為（

）A． B．C． D．6．（2022·全國(guó)·高考真題（理））從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任選4個(gè)，則這4個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平面的概率為________．7．（2020·江蘇·高考真題）將一顆質(zhì)地均勻的正方體骰子先后拋擲2次，觀察向上的點(diǎn)數(shù)，則點(diǎn)數(shù)和為5的概率是_____.8．（2020·天津·高考真題）已知甲、乙兩球落入盒子的概率分別為和．假定兩球是否落入盒子互不影響，則甲、乙兩球都落入盒子的概率為_________；甲、乙兩球至少有一個(gè)落入盒子的概率為_________．經(jīng)典題型一：隨機(jī)事件的關(guān)系與運(yùn)算1．【答案】D【解析】對(duì)于A：事件“向上的點(diǎn)數(shù)為”發(fā)生，事件“向上的點(diǎn)數(shù)為”一定不發(fā)生，故選項(xiàng)A不正確；對(duì)于B：事件“向上的點(diǎn)數(shù)為或”發(fā)生，事件“向上的點(diǎn)數(shù)為”不一定發(fā)生，但事件“向上的點(diǎn)數(shù)為”發(fā)生，事件“向上的點(diǎn)數(shù)為或”一定發(fā)生，所以，故選項(xiàng)B不正確；對(duì)于C：事件和事件不能同時(shí)發(fā)生，，故選項(xiàng)C不正確；對(duì)于D：事件“向上的點(diǎn)數(shù)為”或事件“向上的點(diǎn)數(shù)為”發(fā)生，則事件“向上的點(diǎn)數(shù)為或”發(fā)生，故選項(xiàng)D正確；故選：D2．【答案】A【解析】解析：事件：至少有一件次品,即事件C,所以①正確；事件,③不正確；事件：至少有兩件次品或至多有一件次品,包括了所有情況,所以②正確；事件：恰有一件次品,即事件A,所以④不正確.故選：A3．【答案】ABC【解析】“恰有一枚炮彈擊中飛機(jī)”指第一枚擊中第二枚沒(méi)中或第一枚沒(méi)中第二枚擊中，“至少有一枚炮彈擊中”包含兩種情況：恰有一枚炮彈擊中，兩枚炮彈都擊中．故A?D，A∪C＝D.故A、C正確；因?yàn)槭录﨎，D為互斥事件，所以B∩D＝.故B正確；對(duì)于D：A∪B＝“兩個(gè)飛機(jī)都擊中或者都沒(méi)擊中”，B∪D為必然事件，這兩者不相等.故D錯(cuò)誤.故選：ABC.經(jīng)典題型二：頻率與概率4．【答案】ABC【解析】對(duì)于A，由分層抽樣可得，老年患者應(yīng)抽取人，正確；對(duì)于B，青年患者所占的頻率為，正確；對(duì)于C，平均治愈率為，正確；對(duì)于D，由C知錯(cuò)誤.故選：ABC.5．【答案】A【解析】由表可知，第3組的頻率為，累積頻率為。故選：A6．【答案】D【解析】由題意得：將兩所學(xué)校的成績(jī)放到一起，從中任取一個(gè)學(xué)生成績(jī)，取到優(yōu)秀成績(jī)的概率為，故選：D7．【答案】C【解析】對(duì)于甲，擲兩次骰子的點(diǎn)數(shù)之和為時(shí)，甲能夠得一分，則由對(duì)稱性可知，擲兩次的骰子的點(diǎn)數(shù)之和為分別與擲兩次骰子的點(diǎn)數(shù)之和為對(duì)應(yīng)的概率相等，為確保游戲的公平性，需，此時(shí)甲乙得分概率相等.故選：C.8．【答案】C【解析】因?yàn)橐粋€(gè)裝有大小、形狀和質(zhì)量完全一樣的50個(gè)白球和50個(gè)紅球的袋子中，隨機(jī)摸出1個(gè)球，摸到白球和紅球的概率都為，因此，這200人中，回答了第一個(gè)問(wèn)題的有100人，而一年365天中，陽(yáng)歷為奇數(shù)的有186天，所以對(duì)第一個(gè)問(wèn)題回答“是”的概率為，所以這100個(gè)回答第一個(gè)問(wèn)題的學(xué)生中，約有51人回答了“是”，從而可以估計(jì)，在回答第二個(gè)問(wèn)題的100人中，約有9人回答了“是”，所以可以估計(jì)出該地區(qū)中學(xué)生吸煙人數(shù)的百分比為9%．故選：C經(jīng)典題型三：互斥事件與對(duì)立事件9．【答案】D【解析】事件A為“只研究駕駛艙語(yǔ)音記錄器”；事件B為“至少研究一個(gè)黑厘子”，包含“研究駕駛艙語(yǔ)音記錄器”或“研究飛行數(shù)據(jù)記錄器”，或“研究駕駛艙語(yǔ)音記錄器和研究飛行數(shù)據(jù)記錄器”；事件C為“至多研究一個(gè)黑厘子”，包含“研究駕駛艙語(yǔ)音記錄器”或“研究飛行數(shù)據(jù)記錄器”，或兩個(gè)黑匣子都不研究；事件D為“兩個(gè)黑厘子都研究”.即“研究駕駛艙語(yǔ)音記錄器和研究飛行數(shù)據(jù)記錄器”；所以對(duì)于A，事件A與事件C不是互斥事件，故A不正確；對(duì)于B，事件B與事件D不是對(duì)立事件，故B不正確；對(duì)于C，事件B與事件C不是對(duì)立事件，故C不正確；對(duì)于D，事件C和事件D不能同時(shí)發(fā)生，故C與D是互斥事件.故選：D.10．【答案】A【解析】對(duì)于AB，事件和不可能同時(shí)發(fā)生，但一次射擊中有可能擊中環(huán)數(shù)為1，所以B與C互斥，不對(duì)立，所以A正確，B錯(cuò)誤，對(duì)于CD，事件A與D有可能同時(shí)發(fā)生，所以A與D既不互斥，也不對(duì)立，所以CD錯(cuò)誤，故選：A11．【答案】C【解析】從1，2，3，4，5，6這六個(gè)數(shù)中任取三個(gè)數(shù)，可能有個(gè)奇數(shù)和個(gè)偶數(shù)，個(gè)奇數(shù)和個(gè)偶數(shù)，個(gè)奇數(shù)和個(gè)偶數(shù)，個(gè)奇數(shù)和個(gè)偶數(shù)，“至多有一個(gè)是偶數(shù)”包括個(gè)奇數(shù)和個(gè)偶數(shù)，個(gè)奇數(shù)和個(gè)偶數(shù)，“至多有兩個(gè)是偶數(shù)”包括個(gè)奇數(shù)和個(gè)偶數(shù)，個(gè)奇數(shù)和個(gè)偶數(shù)，個(gè)奇數(shù)和個(gè)偶數(shù)，即“至多有一個(gè)是偶數(shù)”包含于“至多有兩個(gè)是偶數(shù)”，故A錯(cuò)誤；“恰有一個(gè)是奇數(shù)”即個(gè)奇數(shù)和個(gè)偶數(shù)，“恰有一個(gè)是偶數(shù)”即個(gè)奇數(shù)和個(gè)偶數(shù)，所以“恰有一個(gè)是奇數(shù)”和“恰有一個(gè)是偶數(shù)”是互斥但不對(duì)立事件，故B錯(cuò)誤；同理可得“恰有一個(gè)是奇數(shù)”和“至多有一個(gè)是偶數(shù)”是互斥但不對(duì)立事件，故D錯(cuò)誤；“至少有一個(gè)是奇數(shù)”包括個(gè)奇數(shù)和個(gè)偶數(shù)，個(gè)奇數(shù)和個(gè)偶數(shù)，個(gè)奇數(shù)和個(gè)偶數(shù)，“全都是偶數(shù)”即個(gè)奇數(shù)和個(gè)偶數(shù)，所以“至少有一個(gè)是奇數(shù)”和“全都是偶數(shù)”為對(duì)立事件，故C正確；故選：C經(jīng)典題型四：利用互斥事件與對(duì)立事件計(jì)算概率12．【答案】【解析】記事件為“乙命中目標(biāo)”，事件為“目標(biāo)至少被命中1次”，則，，．故答案為：．13．【答案】【解析】設(shè)第一人拋出虎的圖案的事件為A事件，第二人拋出虎的圖案的事件為事件，則，，所以，即在第一人拋出虎的圖案朝上時(shí)，兩人心愿均能達(dá)成的概率為.故答案為：14．【答案】【解析】設(shè)：第次通過(guò)，：第次通過(guò).由題意知，即，解得或（舍去）.故答案為：.15．【答案】0.4【解析】∵A與B互斥，∴,∵A與B相互獨(dú)立，∴，∴.故答案為：.16．【答案】【解析】隨機(jī)購(gòu)買一臺(tái)電腦，買到甲品牌優(yōu)質(zhì)電腦的概率為，隨機(jī)購(gòu)買一臺(tái)電腦，買到乙品牌優(yōu)質(zhì)電腦的概率為，則買到優(yōu)質(zhì)電腦的概率為故答案為：17．【答案】【解析】集合，從中各任意取一個(gè)數(shù)有種，其兩數(shù)之和為4的情況有兩種：，∴這兩數(shù)之和等于4的概率．故答案為．經(jīng)典題型五：簡(jiǎn)單的古典概型問(wèn)題18．【答案】D【解析】一開始兩人手中牌的點(diǎn)數(shù)之和是相等的，要想交換之后甲手中的牌點(diǎn)數(shù)之和更大，則甲被抽取的兩張牌的點(diǎn)數(shù)之和應(yīng)更?。艏妆怀槿〉膬蓮埮浦杏悬c(diǎn)數(shù)為10的牌，則這兩張牌的點(diǎn)數(shù)之和肯定更大，不合題意．故甲只能被抽取兩張3，故其抽取的兩張牌的點(diǎn)數(shù)之和為6，而乙抽取的兩張牌點(diǎn)數(shù)之和要大于6，則必然要至少有一張5，綜上.故選：D．19．【答案】B【解析】從甲袋和乙袋中各任取一個(gè)小球，標(biāo)號(hào)共有6種情況，分別為，其中這兩個(gè)小球標(biāo)號(hào)之和為4的有，2種情況，則概率為.故選：B20．【答案】A【解析】因?yàn)椋?0百分位數(shù)是從小到大的第七位數(shù)，所以第70百分位數(shù)是90，所以在該小組隨機(jī)選取兩名學(xué)生，則得分一個(gè)比90高，另一個(gè)比90低的概率為.故選:A.21．【答案】C【解析】依題意4個(gè)人排成一排基本事件總數(shù)為種，其中滿足甲不站兩邊的有種，所以所求概率.故選：C經(jīng)典題型六：古典概型與向量的交匯問(wèn)題22．【答案】B【解析】，可得，因?yàn)?，所以，，?duì)于任意給定的向量，滿足條件的向量的取法有，因此，的概率為.故選：B.23．【答案】D【解析】因?yàn)槠矫嫦蛄颗c的夾角為，且，所以，即，所以，因?yàn)闉檎麛?shù)，且，，所以共有種可能，又因?yàn)?，，所以或，①?dāng)時(shí)，由，即，所以或或或，滿足題意；②當(dāng)時(shí)，由，即，所以或，滿足題意；故或或或或或共種情況符合題意，所以的概率為；故選：D24．【答案】B【解析】由數(shù)量積的定義可得，，又，所以，即當(dāng)動(dòng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，才滿足，所以的概率為．故選：B．25．【答案】B【解析】，變?yōu)椋鐖D，，分別是對(duì)應(yīng)邊的中點(diǎn)，由平行四邊形法則，知，，故，在上，為的中位線，故底邊上的高是底邊上高的一半，則，∵，，則，故在內(nèi)任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自的概率為．故選：B．26．【答案】A【解析】因?yàn)?，所以，，因?yàn)椋?，，的面積成等差數(shù)列.設(shè)面積依次為，則，則，所以，，，的面積依次為，所求概率為．故選：A．27．【答案】B【解析】由題可知：任取不同的兩點(diǎn)的方法有；其中滿足題意的有如下種：.故滿足題意的概率.故選：B.經(jīng)典題型七：古典概型與幾何的交匯問(wèn)題28．【答案】B【解析】設(shè)球O的半徑是，根據(jù)對(duì)稱性知，球O的球心為中間截面的中心，如圖，即正方形ABCD的中心，于是，則，故，所以正八面體的體積是，球O的體積是，則.故選：B．29．【答案】A【解析】由題設(shè)，到的距離都大于1的部分為圓柱體去掉以底面為最大軸截面的兩個(gè)半球體，所以的距離都大于1的部分的體積為，故P到點(diǎn)的距離都大于1的概率.故選：A30．【答案】D【解析】連接，則過(guò)E、F、的正方體的截面為等腰梯形，所以所求概率，故選：D．31．【答案】B【解析】設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，則正方體體對(duì)角線，外接球半徑，所以牟合方蓋的體積，外接球的體積，所以，所求概率.故選：B32．【答案】D【解析】因?yàn)槔忾L(zhǎng)為4的正方體的體積為，以正方體的中心為球心，1為半徑的球的體積為，所以在棱長(zhǎng)為4的正方體內(nèi)任取一點(diǎn)，則這個(gè)點(diǎn)到該正方體的中心距離不超過(guò)1的概率為，故選：D33．【答案】A【解析】如圖所示，連接長(zhǎng)方體的四個(gè)頂點(diǎn)A，B，C，D，可得鱉臑ABCD.（1）從鱉臑ABCD的六條棱中任取兩條，有種取法，其中互相垂直的取法有5種：，，，，，所以.（2）從鱉臑ABCD的六條棱和四個(gè)面中取一條棱和一個(gè)面（要求棱不在面上），有種取法，它們互相垂直的取法有2種：平面BCD，平面ABC，所以.（3）從鱉臑ABCD的四個(gè)面中任取兩個(gè)面，有種取法，它們互相垂直的取法有3種：平面平面BCD，平面平面ACD，平面平面ABD，所以.故選：A.34．【答案】A【解析】從正方體的條棱中任選條棱，共有種，其中，每條棱都有4條棱與其異面，例如，與異面，有和兩組構(gòu)成兩兩異面，對(duì)于構(gòu)成的平面，每條棱都可以構(gòu)成2組兩兩異面，因此共有種組合公式構(gòu)成兩兩異面，故這條棱兩兩異面的概率為.故選：A.經(jīng)典題型八：古典概型與函數(shù)的交匯問(wèn)題35．【答案】D【解析】因此存款金額用十進(jìn)制計(jì)算，故，對(duì)于A，存款金額的首位數(shù)字是1的概率為，故A錯(cuò)誤.對(duì)于B，存款金額的首位數(shù)字是5的概率為，故不約為9.7%，故B錯(cuò)誤.對(duì)于C，存款金額的首位數(shù)字是6的概率為，存款金額的首位數(shù)字是7的概率為，因?yàn)?，故，故C錯(cuò)誤.對(duì)于D，存款金額的首位數(shù)字是8的概率為，存款金額的首位數(shù)字是9的概率為，故存款金額的首位數(shù)字是8或9的概率為，故D正確.故選：D.36．【答案】B【解析】試驗(yàn)發(fā)生包含的事件是分別從兩個(gè)集合中取兩個(gè)數(shù)字，共有種結(jié)果,滿足條件的事件是滿足，可以列舉出所有的事件,當(dāng)時(shí),，當(dāng)時(shí),，共有個(gè)，所以根據(jù)古典概型的概率公式得到概率是,故選：B37．【答案】A【解析】當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取“＝”，∴，于是恒成立就轉(zhuǎn)化為成立；當(dāng)時(shí)，，設(shè)事件A：“恒成立”，則基本事件總數(shù)為15個(gè)，即（0，1），（0，2）（0，3），（0，4），（0，5），（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5）；事件A包含事件：（0，1），（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5）共9個(gè)所以.故選：A.38．【答案】C【解析】?jī)绾瘮?shù)中是奇函數(shù)的有，，，增函數(shù)的有，，，基本事件總數(shù)為，其中一個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)、另一個(gè)函數(shù)是增函數(shù)的事件有：共種，故滿足條件的概率為，故選C.經(jīng)典題型九：古典概型與數(shù)列的交匯問(wèn)題39．【答案】C【解析】要想第n次觸球者是甲，則第（n-1）次觸球的人不能是甲，且第（n-1）次觸球的人有的概率將球傳給甲，所以，即，設(shè)，則，所以，所以是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，所以，即，所以，故選：C.40．【答案】C【解析】由題意知：，，，，，，由，則m，n奇偶相同，若m，n都為偶數(shù)時(shí)，符合題意，情況數(shù)為種；若m，n都為奇數(shù)時(shí)，僅有不符題意，情況數(shù)為種，綜上，符合題意的情況數(shù)為種，而總情況數(shù)為種，∴概率．故選：C.41．【答案】A【解析】由題意得，易知前10項(xiàng)中奇數(shù)項(xiàng)為正，偶數(shù)項(xiàng)為負(fù)，所以小于8的項(xiàng)為第一項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)，共6項(xiàng)，即6個(gè)數(shù)，所以所求概率，故選：A.42．【答案】B【解析】由題設(shè)，斐波那契數(shù)列從第一項(xiàng)開始，每三項(xiàng)的最后一項(xiàng)為偶數(shù)，而，∴前2021項(xiàng)中有個(gè)偶數(shù)，故從該數(shù)列的前2021項(xiàng)中隨機(jī)地抽取一個(gè)數(shù)為偶數(shù)的概率為.故選：B43．【答案】C【解析】由題意，令冬至影長(zhǎng)為，公差為，則，故.∴冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷肉、立夏、小滿、芒種這十二節(jié)氣的日影長(zhǎng)依次為，∴隨機(jī)選出3個(gè)節(jié)氣至少有一個(gè)節(jié)氣的日影長(zhǎng)大于9尺的概率.故選：C44．【答案】A【解析】因?yàn)槠鏀?shù)加奇數(shù)結(jié)果是偶數(shù)，奇數(shù)加偶數(shù)結(jié)果是奇數(shù)，偶數(shù)加奇數(shù)結(jié)果是奇數(shù)，所以數(shù)列中任意相鄰的三項(xiàng)，其中一項(xiàng)為偶數(shù)，兩項(xiàng)為奇數(shù)，所以前項(xiàng)中偶數(shù)有項(xiàng)，所以這個(gè)數(shù)是偶數(shù)的概率為.故選：A.經(jīng)典題型十：古典概率與統(tǒng)計(jì)的綜合45．【答案】C【解析】小于等于30的概率為?，故A不對(duì)；小于等于45的概率為，所以中位數(shù)大于45，故B錯(cuò)誤；??（歲），故D錯(cuò)誤；而眾數(shù)為最高矩形的中點(diǎn)，所以眾數(shù)為45，故選：C.46．【答案】B【解析】對(duì)于①，年月至年月，規(guī)模以上工業(yè)原油的日均產(chǎn)量的極差為，①正確；對(duì)于②，年月至年月中，月增速超過(guò)超過(guò)的月份有月、月和月，隨機(jī)抽取個(gè)月，月增速超過(guò)超過(guò)的概率為，②錯(cuò)誤；對(duì)于③，年月份，規(guī)模以上工業(yè)原油總產(chǎn)量約為萬(wàn)噸，③正確.故選：B.47．【答案】A【解析】這組數(shù)據(jù)各數(shù)之和為36，設(shè)刪去的兩數(shù)之和為x．若剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)大于5，則，解得，則刪去的兩個(gè)數(shù)可以為{1，2}、{1，3}、{1，4}、{2，3}，故所求概率為．故選：A48．【答案】D【解析】對(duì)A，直方圖中2小時(shí)至小時(shí)之間的頻率為，故所抽取的學(xué)生中有25人在2小時(shí)至小時(shí)之間完成作業(yè)，故A正確；對(duì)B，由直方圖得超過(guò)3小時(shí)的頻率為,所以B正確；對(duì)C，直方圖可計(jì)算學(xué)生做作業(yè)的時(shí)間的平均數(shù)為：，所以C正確；對(duì)D，做作業(yè)的時(shí)間在2小時(shí)至3小時(shí)之間的頻率為，所以D錯(cuò)誤.故選:D．經(jīng)典題型十一：有放回與無(wú)放回問(wèn)題的概率49．【答案】B【解析】從6張卡片中無(wú)放回抽取2張，共有（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6），共15種結(jié)果，其中數(shù)字之和為3的倍數(shù)的有（1，2），（1，5），（2，4），（3，6），（4，5），共5種結(jié)果，故抽到的2張卡片上的數(shù)字之和是3的倍數(shù)的概率為.故選：B.50．【答案】A【解析】根據(jù)題意，從六張卡片中無(wú)放回隨機(jī)抽取2張，有，，，，，，，，，，，，，，，共15種取法，其中抽到的2張卡片上的數(shù)字之積是3的倍數(shù)有，，，，，，，，，共9種情況，則抽到的2張卡片上的數(shù)字之積是3的倍數(shù)的概率；故選：．51．【答案】B【解析】9個(gè)小球放回地摸2次，每次摸出1球的所有方法數(shù)為（種），其中摸出的2個(gè)球都是紅色球的方法數(shù)為（種），故；9個(gè)小球不放回地摸2次，每次摸出1