一階線性微分方程組

-.z.第4章一階線性微分方程組一容提要根本概念一階微分方程組：形如〔3.1〕的方程組，〔其中是關于的未知函數(shù)〕叫做一階微分方程組。假設存在一組函數(shù)使得在[a,b]上有恒等式成立，則稱為一階微分方程組(3.1)的一個解含有n任意常數(shù)的解稱為(3.1)通解。如果通解滿方程組則稱這個方程組為〔3.1〕的通積分。滿足初始條件的解，叫做初值問題的解。令n維向量函數(shù)Y=，F(xiàn)〔，Y〕=，則〔3.1〕可記成向量形式(3.2)初始條件可記為Y()=,其中則初值問題為:(3.3)一階線性微分方程組:形如(3.4)的一階微分方程組,叫做一階線性微分方程組.令A()=及F(=則(3.4)的向量形式:(3.5)F(時(3.6)稱為一階線性齊次方程組,(3.5)式稱為一階線性非齊次方程組。在〔3．5〕式A(即A((3.7)叫做常系數(shù)線性非齊次微分方程組.(3.8)叫做常系數(shù)線性齊次微分方程組.一階線性微分方程組的通解構造.定理1〔一階線性微分方程組解存在唯一性定理〕：如果線性微分方程組中的A及F在區(qū)間I=上連續(xù)，則對于上任一點以及任意給定的Y，方程組的滿足初始條件的解在上存在且唯一。1)向量函數(shù)線性相關性及其判別法則定義：設是m個定義在區(qū)間I上的n維向量函數(shù)。如果存在m個不全為零的常數(shù)使得恒成立，則稱這m個向量函數(shù)在區(qū)間I上線性相關；否則它們在區(qū)間I上線性無關。判別法則：①定義法②朗斯基〔Wronski〕行列式判別法：對于列向量組成的行列式通常把它稱為n個n維向量函數(shù)組的朗斯基〔Wronski〕行列式。定理1如果n個n維向量函數(shù)組在區(qū)間I線性相關，則們的朗斯基〔Wronski〕行列式在I上恒等于零。逆定理未必成立。如：朗斯基行列式在I上恒等于零，但它們卻是線性無關。定理2如果n個n維向量函數(shù)組的朗斯基〔Wronski〕行列式在區(qū)間I上*一點處不等于零，即則向量函數(shù)組在區(qū)間I線性無關。逆定理未必成立。同前例。但如果是一階線性齊次微分方程組的解，則上述兩定理及其逆定理均成立。即定理3一階線性齊次微分方程組的解是線性無關的充要條件是它們的朗斯基〔Wronski〕行列式在區(qū)間I上任一點處不等于零；解是線性相關的充要條件是它們的朗斯基〔Wronski〕行列式在區(qū)間I上任一點處恒等于零2).根本解組及其有關結論定義：一階線性齊次微分方程組的n個線性無關解稱為它的根本解組判別：一階線性齊次微分方程組的解是一個根本解組的充要條件是它們的朗斯基〔Wronski〕行列式在區(qū)間I上任一點處不等于零。結論：①一階線性齊次微分方程組必存在根本解組。②根本解組有無窮多個。3〕一階線性齊次微分方程組通解的構造定理：如果是線性齊次微分方程組的根本解組，則其線性組合Y是線性齊次微分方程組的通解。結論：線性齊次微分方程組的解的全體構成一n維線性空間。4〕解與系數(shù)的關系，即維爾公式定理：如果是線性齊次微分方程組的解，則這n個解的朗斯基行列式與線性齊次微分方程組的系數(shù)的關系是：此式稱為維爾〔Liouville〕公式.由此公式可以看出n個解的朗斯基行列式或者恒為零，或者恒不為零稱為矩陣A的跡。記作。一階線性非齊次方程組的通解構造定理〔通解構造定理〕：線性非齊次方程組的通解等于對應的齊次微分方程組的通解與的一個特解之和。即的通解為Y其中為對應的齊次微分方程組的通解，是的一個特解。求通解的方法——拉格朗日常數(shù)變易法：對應的齊次微分方程組的一個根本解組構成根本解矩陣齊次微分方程組的通解為其中線性非齊次方程組的通解為。結論：線性非齊次方程組解的全體并不構成n+1維線性空間。常系數(shù)線性微分方程組的解法常系數(shù)線性齊次微分方程組的解法：假設當標準型方法〔根本解組的求解方法〕求特征根：即特征方程式det(A-的解。②根據(jù)特征根的情況分別求解：特征根都是單根時，求出每一個根所對應的特征向量，即可求出根本解組；單復根時，要把復值解實值化；有重根時，用待定系數(shù)法求出相應的解?！苍斅浴吵Ｏ禂?shù)線性非齊次微分方程組的解法：①求相應的齊次微分方程組的根本解組；用待定系數(shù)法求特解。〔詳略〕二．典型例題及解題方法簡介〔1〕化一階線性微分方程組:有些高階線性微分方程或高階線性微分方程組，可以通過合理的函數(shù)代換，化為一階線性微分方程組。例1化如下微分方程為一階線性微分方程組：解：令則∴原微分方程化為等價的一階線性微分方程組：例2化如下微分方程組為一階線性微分方程組：解：令則有∴原微分方程組化為等價的一階線性微分方程組：一般線性微分方程組的求解問題對于一般線性齊次微分方程組，如何求出根本解組，至今尚無一般方法。一些簡單的線性微分方程組可以化為前面兩章學過的微分方程來求解。消元法〔化方程組為單個方程的方法〕例3求解方程組解：有前一個方程解出y并求導，有代入后一方程化簡得假定則有，積分得原方程組的通解為常系數(shù)線性微分方程組在教材中介紹了假設當標準型方法，其實兩個方程構成的簡單常系數(shù)線性微分方程組我們還可以用消元法求解。例4解方程組解：由前一方程得代入后一方程，得常系數(shù)二階線性方程其通解為從而所以通解為例5解方程組解：由第二式得代入第一式得從而可求得代入得將代入上述兩式得解得所以原方程組的解為〔三〕常系數(shù)線性齊次微分方程組的通解問題雖然一般線性齊次微分方程組，如何求出根本解組，至今尚無一般方法，但是常系數(shù)線性齊次微分方程組通過假設當標準型方法，從理論上已經(jīng)完全解決，根據(jù)特征根情形分別采取不同的求解方法，教材上都一一作了詳細的講解，在此不再多講。在此我們介紹一種通用的方法——待定系數(shù)法步驟：①解特征方程式det(A-，得特征根；②根據(jù)根的重數(shù)，求出對應于每一個根的解式設λ是線性齊次微分方程組是k重根〔單根為k=1〕，則線性齊次微分方程組對應λ的解式為其中為待定常數(shù)，將此解式代入中，比擬兩端同類項的系數(shù)，得一關于的線性代數(shù)方程組，解之即可定出。把對應于每一個根的解式相加，即可得到的通解。例6〔均為單根的情形，教材170頁例〕解方程組解：特征方程為=0即解之得特征根〔均為一重〕時令待定解為代入原方程組，化簡得解得，假設為任意常數(shù)，對應于的解式為：同理對應于的解式為：對應于的解式為：通解為：例7〔特征方程有復根的情形〕解方程組：解：特征方程為=0即都是單根象例6可得對應的特解：因為原題是實系數(shù)的方程組，所以是的特解且為原題的實線性無關解?！沧ⅲ杭僭O則記Rez=a,Imz=b〕所以復通解為實通解為：例8〔特征方程有重根的情形〕解方程組解：特征方程為=0即解得λ=3是兩重根即k=2對應的待定解式為代入原方程并比擬兩邊的同次冪的系數(shù)，得解得，。令得通解為〔四〕常系數(shù)線性非齊次微分方程組的通解問題根據(jù)常系數(shù)線性非齊次方程組的通解等于對應的常系數(shù)齊次微分方程組的通解與的一個特解之和。即的通解為Y+其中為對應的齊次微分方程組的通解。前面已經(jīng)介紹了對應的齊次微分方程組的通解問題，只須用拉格朗日常數(shù)變易法求出一個特解即可。例9解方程組解：特征方程為=特征根為易于求得對應的對應的齊次微分方程組的通解為根據(jù)拉格朗日常數(shù)變易法，令原方程組的特解為代入