2021年中考數(shù)學壓軸題專項高分突破訓練-19 函數(shù)中的三角形存在問題（教師版）

專練19函數(shù)中的三角形存在問題

1.如圖，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A(-1,0),B(3,0)兩點，與y軸交于點C(0,-3).

(I)求出該拋物線的解析式；

(2)點D為拋物線在第四象限內圖象上一個動點，設點D的橫坐標求為x,四邊形ABDC的面積為力

①求四邊形ABDC的面積yi關于x的解析式；

②求出使得四邊形ABDC的面積y,最大的點D的坐標；

(3)在拋物線y=ax2+bx+c上求點Q,使ABCQ是以BC為直角邊的直角三角形.

【答案】(1)解：設拋物線解析式為y=a(x+1)(x-3),

???拋物線過點C(0,-3),

,-3=a(0+1)(0-3),

??3-1,

二.拋物線解析式為y=(x+1)(x-3)；

:.y=x2—2x—3；

(2)解：①如圖，過點D作DH_Lx軸，

???OH=x,DH=2x+3-x2,HB=3-x

AS四邊形ABDC=SAAOC+S四邊形OCDH+SAHDB

322

?V-,(3+2X+3-X)X(3-X)(2X+3-X)_3(3.2.75

??%一”----2----------+------------2----------------+石

②yi=_“x_|)2+￡，

根據二次函數(shù)的性質，

當X=,時，%的最大值為卷;

No

二y=(|)2-2x|-3=4

(3)解:如圖

過點B作BQIJ_BC,交拋物線于點QI、交y軸于點E,連接QIC.

VCO=BO=3,

NCBO=45°,

AZEBO=45°,B0=0E=3.

.??點E的坐標為(0,3).

將(0,3),(3,0)代入y=kx+b得:

b=3

3k+b=0

解得：｛￡=工1

D=3

二直線BE的解析式為y=-x+3,

,,y=-x+3

由｛y=x2-2x-3'

解得：

???QK-2,5)

如圖，過點C作CF_LCB,交拋物線于點Q2、交x軸于點F,連接BQ2.

TZCBO=45°,

/.ZCFB=45°,OF=OC=3.

???點F的坐標為(-3,0).

宜線CF的解析式為y=-x-3.

..y=-x-3

由｛2Q)

y=x—2x—3

解得：產二

l

=-3y2=-4

二點Q2的坐標為(1,-4).

綜上，在拋物線上存在點QI(-2,5)、Q2(1,-4),使ABCQ1、△BCQ2是以BC為直角邊的直

角三角形.

2.在直角坐標系xOy中，定義點C(a,b)為拋物線L：y=ax2+bx(a/))的特征點坐標.

(1)已知拋物線L經過點A(-2,-2).B(-4,0),求出它的特征點坐標;

(2)若拋物線L：y=ax2+bx的位置如圖所示:

2

①拋物線L：y=ax+bx關于原點O對稱的拋物線L2的解析式為；

②若拋物線J的特征點C在拋物線L2的對稱軸上，試求a、b之間的關系式；

③在②的條件下，已知拋物線Li、L2與x軸有兩個不同的交點M、N,當一點C、M、N為頂點構成的三

角形是等腰三角形時，求a的值.

【答案】(1)解：將點A(-2,-2)、B(-4,0)代入到拋物線解析式中，得

一興，解得：-=：.拋物線L的解析式為y=-2+2x,

0=16a-4bb=22

它的特征點為(：，2).

(2)y=-ax2+bx；解：②\?拋物線L2的對稱軸為直線：x=-或片=葛.，當拋物線L1的特征點C(a,

b)在拋物線L2的對稱軸上時，有2=/，；.a與b的關系式為b=2a2.③：拋物線LI、L2與x軸有兩

個不同的交點M、N,...在拋物線LI：y=ax2+bx中，令y=0,即ax2+bx=0,解得：xl=,x2=0(舍去),

即點M(—3,0)；在拋物線L2：y=-ax2+bx中，令y=0,即-ax2+bx=0,解得：xl=,x2=0(舍去)，

即點N(P,0).；b=2a2,.*.點M(-2a,0),點N(2a,0),點C(a,2a2).；.MN=2a-

a

2a)Ea,MC=7[a-(-2a)]2+4a4,NC=7(a-2a)2+4a4.因此以點C、M、N為頂點的三角形是等

腰三角形時，有以下三種可能：(1)MC=MN,此時有：J[a-(-2a)]2+4a4=4a,即9a2+4a4=16a2,

解得：a=0,或2=,Va<0,，a=；(2)NC=MN,此時有：J(a—2a尸+4a4=4a,B|J

a2+4a4=16a2,解得：a=0,或a=+運，Va<0,；.a=-??；(3)MC=NC,此時有：

一22

7[a-(-2a)]2+4a4=7(3-2a)2+4a4,即9a2=a2,解得：a=0,又〈aVO,???此情況不存在.綜上

所述：當以點c、M、N為頂點的三角形是等腰三角形時，a的值為一足或—0.

22

【解析】(2)解：①I?拋物線LI：y=ax2+bx與拋物線L2關于原點O對稱，二拋物線L2的解析式為-y=a

(-x)2+b(-x),即y=-ax2+bx.故答案為y=-ax2+bx.

3.在平面直角坐標系中，已知拋物線y=-x2+4x.

(1)我們把一條拋物線上橫坐標與縱坐標相等的點叫做這條拋物線的“方點試求拋物線y=-x?+4x的

方點''的坐標；

(2)如圖，若將該拋物線向左平移1個單位長度，新拋物線與x軸相交于A、B兩點(A在B左側),

與y軸相交于點C,連接BC.若點P是直線BC上方拋物線上的一點，求APBC的面積的最大值；

(3)第(2)向中平移后的拋物線上是否存在點Q，使AQBC是以BC為直角邊的直角三角形？若存在，

直接寫出所有符合條件的點Q的坐標；若不存在，說明理由.

【答案】(1)解：由題意得：x=y?.-X2+4X=X

解得

Xi=0,x2=3

二拋物線的方點坐標是(0,0),(3,3).

(2)解：過P點作y軸的平行線交BC于點D.

易得平移后拋物線的表達式為y=-x2+2x+3,直線BC的解析式為y=-x+3.

設P(m,—m2+2m+3),則D(m,—m+3).

:.PD=-m2+2m+3—(—m+3)=—m2+3m(0<m<3)

SAPBC=;(-m2+3m)x3=-1(m-1)2+(0<m<3)

/Z4O

.?.當m=5時，APBC的面積最大，最大值為9.

ZO

(3)解：如圖所示，過點C作CM1BC交x軸于點M,作BN_LBC交y軸于點N

由已知條件得出點B的坐標為B(3,0),C的坐標為C(0,3),

...△COB是等腰直角三角形，

二可得出M、N的坐標分別為:M(-3,0),N(0,-3)

直線CM的解析式為：y=x+3

直線BN的解析式為：y=x-3

由此可得出:F=f2+/+3或J=f2+2X+3

y=x+3y=x—3

解方程組得出：｛仁:或｛仁二:

y—十y——。

:.Q(l,4)或(-2,-5)

4.如圖，拋物線y=ax?+bx+c(a/0)與直線y=x+l相交于A(-1,0),B(4,m)兩點，且拋物線經過點C

(5,0).

(1)求拋物線的解析式；

(2)點P是拋物線上的一個動點(不與點A、點B重合)，過點P作直線PDLx軸于點D,交直線AB于

點E,設點P的橫坐標為m.

①當PE=2ED時，求P點坐標；

②是否存在點P使ABEC為等腰三角形？若存在，請直接寫出in的值；若不存在，請說明理由.

【答案】(1)解：由題意，拋物線y=ax2+bx+c的解析式可化為y=a(x+l)(x—5),

將點B(4,m)代入直線y=x+l得：m=4+l=5,

將點B(4,5)代入y=a(x+l)(x-5)得：(4+1)x(4-5)a=5,

解得a=-1,

則拋物線的解析式為y=-(X+l)(x-5)=-x2+4x+5,

即

y=-X2+4x+5;

(2)解：①???點P的橫坐標為m,

二點P的縱坐標為-m2+4m+5,

即P(m,-m2+4m+5),

由題意，點E的橫坐標與點P的橫坐標相同，即為m,

則點E的縱坐標為m+1,

即E(m,m+1),

由題意，分以下兩種情況：

(i)當點P在點E的上方，即-1<m<5時，

則PE=—m2+4m+5—(m+1)=-m2+3m+4,ED=m+l,

因此有一m?+3m+4=2(m+1),

解得m=2或m=-1(不符題意，舍去)，

則-m2+4m+5=—22+4x2+5=9,

此時點P的坐標為P(2,9)；

(ii)當點P在點E的下方，即m<-1或m>5時，

則PE=m+1—(-m2+4m+5)=m2—3m—4,ED=|m+1|,

因此有m2—3m—4=2|m+1|,

解得m=6或m=-1(不符題意，舍去)，

則-m2+4m+5=-62+4x6+5=-7,

此時點P的坐標為P(6,-7),

綜上，點P的坐標為P(2,9)或P(6,-7)；

②存在，求解過程如下：

vB(4,5),C(5,0),E(m,m+1),

BC2=(5-4)2+(0-5)2=26,

BE2=(m-4產+(m+1—5)2=2(m-4)2,

CE2=(m-5/+(m+1—0)2=(m-5)2+(m+I)2,

由等腰三角形的定義，分以下三種情況：

(i)當BC=BE時，△BEC為等腰三角形，

則BC2=BE2，即2(m-4)2=26，

解得m=4+VT3或m=4—V13;

(ii)當BC=CE時、△BEC為等腰三角形，

則BC2=CE2,即(m-5)2+(m+I)2=26,

解得m=0或m=4(此時點P與點B重合，不符題意，舍去)；

(iii)當BE=CE時，ABEC為等腰三角形，

則BE2=CE2,即2(m-4)2=(m—5產+(m+,

解得m=4:

綜上，m的值為4+V13或4-V13或0或9.

5.已知拋物線y=ax2+bx+c(a>0)與x軸的兩個交點分別為A(—1,0)、B(3,0),與y軸的交點

為點D,頂點為C,

(1)求出該拋物線的對稱軸；

(2)當點C變化，使6OO0NACBW9O。時，求出智=；的取值范圍；

lol)3

(3)作直線CD交x軸于點E,問：在y軸上是否存在點F,使得△CEF是一個等腰直角三角形？若存在,

請求出a的值，若不存在，請說明理由。

【答案】(1)解：???拋物線與x軸的兩個交點分別為A(-1,0)、B(3,0),

???拋物線的對稱軸為直線x=三*=1.

(2)解：當NACB=60。時,△ABC為等邊三角形，C(l,-26)

設y=a(x+l)(x-3),C點代入得a=y

當NACB=90。時，△ABC為等腰直角三角形，即C(l,-2)

同理可得,a=

所以i<a<^

22

(3)解：由于C(l,4a),D(0,-3a)

ycp=-ax-3a=-a(x+3),故E(-3,0)

兩種情況討論：

①如圖1可證明△EHF=△FKC得CK=HF=3

②如圖2可證明△EHF=△FKC,得EK=HF=3

綜上a=；和a=：

24

6.如圖，平面直角坐標系中，四邊形OABC為矩形，點A、B的坐標分別為(3,0),(3,4).動點M、

N分別從0、B同時出發(fā)，以每秒1個單位的速度運動.其中點M沿OA向終點A運動，點N沿BC向終

點C運動.過點N作NPJ_BC,交AC于P,連接MP,已知動點運動了x秒.

（1）求點P的坐標（用含X的代數(shù)式表示）.

（2）試求△MPA面積的最大值，并求此時x的值.

（3）請你探索：當x為何值時，△MPA是一個等腰三角形？你發(fā)現(xiàn)了幾種情況？寫出你的探索結果.

【答案】（1）解：延長NP交x軸于點G,則有PGLOA

:.GA=x,CN=3-x,

，0G=3-x,

4

tanzOAC=-,

3

4

：.PG=-x,

3

，P點的坐標為(3-x,(x)；

(2)解：設4MPA的面積為S,

在^MPA中,MA=3-x,MA邊上的高為gx,其中0芻S3

?、、？

..Sc=-1(/3c—X)X4-X=——2,(X—3)2+3一

2、733、2)2

AS的最大值為|,此時，x=|

（3）解:有三種情況:

①若MP=PA,

VPG1MA,

:.MG=GA=x

/.3x=3,

即x=l；

②若MP=PA,則MG=3-2x,PG=|x,PM=MA=3-x,

在RtAPMG中，

VPM2=MG2+PG2

，(3-x)2=(3-2x)2+(^x)2,

?54

??X=—

43

③若PA=AM,

VPA=|x,AM=3?x,

/.|x=3-x,

?9

??X二一

8

綜上所述，X=1或x=V或x=，

438

7.如圖，拋物線y=-x?+2x+3與x軸交于點A,點B,與y軸交于點C,點D與點C關于x軸對稱，點P

是拋物線上的一個動點.

(1)求直線BD的解析式；

(2)當點P在第一象限時，求四邊形BOCP面積的最大值，并求出此時P點的坐標;

(3)在點P的運動過程中，是否存在點P,使4BDP是以BD為直角邊的直角三角形？若存在，求出點P

的坐標；若不存在，請說明理由.

【答案】(1)解：對于y=-x2+2x+3,令x=0,貝ijy=3,令y=-x2+2x+3=0,解得x=-1或3,故

點A、B、C的坐標分別為(-1,0)、(3,0)、(0,3),

點D與點C關于x軸對稱，故點D(0,-3),

設直線BD的表達式為y=kx+b,則,解得｛J=匕,

0=3k+bb=-3

故直線BD的表達式為y=x-3；

(2)解：連接BC,過點P作y軸的平行線交BC于點H,

由點B、C的坐標，同理可得，直線BC的表達式為y=-x+3,

設點P(x,-x2+2x+3),則點H(x,-x+3),

則四邊形BOCP面積=5△OBC+SAPHC+SaPHB=-xQB?OC+-xPHxOB=-x3x3+-x3x(-

399

-+-X+-

x2+2x+3+x-3)=-2X222

：--<0,故四邊形BOCP面積存在最大值，當*=時，四邊形BOCP面積最大值為,此時點P

228

(-,-);

24

(3)解：存在，理由：

①當/PBD為直角時，如上圖所示，此時點P與點C重合，過點P的坐標為(0,3)；

②當NPDB為直角時，由BD的表達式知，直線BD與x軸的傾斜角為45。，

當/PDB為直角時，即PD_LBD,則直線PD與x軸負半軸的夾角為45。，

故設直線PD的表達式為y=-x+t,

將點D的坐標代入上式得，-3=0+t,解得t=-3,故直線PD的表達式為y=-x-3②，

聯(lián)立①②并解得：x=型亙，

2

故點P的坐標為(蟲亙，一生亙)或(土返，一乜亙),

2222

綜上，點P的坐標為(三且，一出亙)或(上工亙，一乜亙)或(0,3).

2222

8.如圖，拋物線與x軸交于A,B兩點，點A在點B的左邊，與v軸交于點C,點D是拋物線的

(1)求拋物線的解析式；

(2)點P是直線AC下方的拋物線上一動點，不與點A,C重合，過點P作x軸的垂線交AC于點

E,求AACP面積的最大值及此時P點坐標；

(3)在拋物線的對稱軸上是否存在點M,使得AACM為直角三角形？若存在，求出點M的坐標；若不

存在，請說明理由.

【答案】(1)解：設拋物線的解析式是y=a(x+2)2—8,把A(—6,0)代入得a(—6+2)2—8=0,

解得a=\,

.*.Jy=-2(x+2)2—8=-2x2+2x—6

(2)解：當x=0時，y=-6,AC(0,-6),

設點P(m,1m2+2m—6),

設直線AC的解析式是y=kx+b,

把A(—6,0),C(0,-6)代入得

一%+b”,解得｛k=-l

b=-6b=-6

???直線AC的解析式是y=-x—6,

?.?PE_Lx軸交AC于E,

.*.E(m,-m—6),

11

/.PE=-m—6—(-m2+2m-6)=--m2—3m(-6<m<0)，

22

VSAACP=SAAEP+SACEP=-PEx6=-x(-im2-3m)x6==--x(m+3)2+—,

22k2J2v72

.?.當m=-3時，SAACP有最大值，最大值為:，

此時點P的坐標是(-3,-y)

(3)解：存在，拋物線的對稱軸是直線x=-2,設M(—2,t).

直線x=-2交x軸于H,

在RtAAOC中，OA=OC,ZOAC=ZOCA=45°.

①當NCAM=90。時，如圖1,ZMAO=90°-ZOAC=450,

，AH=MH=4,

AM(-2,4)；

②當NACM=90。時，如圖2,過點M作MG，y軸于G,

則ZMCG=180°-ZACM-ZACO=45°,

；.MG=CG=2,

，OG=OC+CG=8,

AM(-2,-8)；

③當NAMC=90。時，如圖3,

設M(-2,t),

VAM2+CM2=AC2,

二(-2+6)2+t2+(-2)2+(t+6)2=72,解得t=-3士V17，

M(-2,—3+VT7)或(-2,一3—V17),

綜上所述，M的坐標是(-2,4)或(-2,—8)或(-2,—3+V17)或(-2,—3—V17).

圖國2

1圖3

9.在平面直角坐標系中，拋物線y=-x?-2x+3與x軸交于A,B兩點（A在B的左側），與y軸交于點C,頂

點為D.

（2）如圖（I）,在x軸上找一點E,使得aCDE的周長最小，求點E的坐標；

（3）如圖（2）,F為直線AC上的動點，在拋物線上是否存在點P,使得AAFP為等腰直角三角形？若存

在，求出點P的坐標，若不存在，請說明理由.

【答案】（1）A（-3,0）,B（1,0）,D（-1,4）.

（2）解：作點C關于x軸對稱的點C，，連接C，D交x軸于點E,此時ACDE的周長最小，如圖1所示.

：.C(0,-3).

設直線CD的解析式為y=kx+b,

(b=-3

l-k+b=4.

???直線CD的解析式為y=-7x-3,

當y=0時-7x-3=0

解之X=-|,

...當ACDE的周長最小，點E的坐標為（f,0）；

（3）解：設直線AC的解析式為y=ax+c,根據題意得

c=3

—3a+c=0

解之:㈡

二直線AC的解析式為y=x+3.

假設存在，設點F（m,m+3）,

△AFP為等腰直角三角形分三種情況（如圖2所示）：

①當NPAF=90。時,P(m,-m-3),

點P在拋物線y=-x2-2x+3上，

-m-3=-m2-2m+3,

解之：ml=-3（舍去），m2=2,

???此時點P的坐標為（2,-5）；

②當/AFP=90°時，P(2m+3,0)

,/點P在拋物線y=-x2-2x+3上，

(2m+3)2-2x(2m+3)+3=0,

解得：m3=-3(舍去)，m4=-l,

,此時點P的坐標為(1,0)；

③當NAPF=90°時，P(m,0),

:點P在拋物線y=-x2-2x+3上，

-m2-2m+3=0,

解得：m5=-3(舍去)，m6=l,

此時點P的坐標為(1,0).

綜上所述，在拋物線上存在點P,使得AAFP為等腰直角三角形，點P的坐標為(2,-5)或(1,0).

【解析】解：(1)當y=0時，則-x2-2x+3=0,

解之：xl=-3,x2=l,

YA在B的左側，

AA(-3,0),B(1,0).

當x=0時，則y=3,

AC(0,3).

Vy=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,

.?.點D(T,4).

10.如圖，拋物線y=ax2-^x+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，連接AC,已知B(-l,0)

(2)若點E是拋物線上位于x軸下方的一點，且,求E的坐標;

SAACE=|SAABC

（3）若點P是y軸上一點，以P、A、C三點為頂點的三角形是等腰三角形，求P點的坐標.

【答案】⑴解：將點B(-1,O)，點D(2,-2)代入y=ax2-1x+c

可得｛二小為，解得｛一*，

4a--+c=-2c=—2

二拋物線解析式：y=|x2—gx—2；

(2)解：當y=0時，1x2-Jx-2=0,

2

解方程|x-1x-2=0,得Xi=-l,x2=3,

???A(3,0),

二AB=4，

當x=0時，y=-2,

???C(0,-2),

?，?S

4ABC=-|yc|=|x4x2=4,

設lAc:y=kx+b,將點A(3,0),C(0,-2)代入y=kx+b

2

得｛3￡+13鏟，解得｛k=三，

b=-2b=-2

2

Ay=-x—2，

J3

如圖1,過點E作x軸的垂線交lAc于點F,

設點F(a,|a-2)，點E(a,|a2--2)，其中一1<aV3,

.-.SAACE=|EF|XA-Xc|=^a2-2a,=｛^-l<a<0

由

SAACE=|SAABC,

可得a2—3a=2或—a?+3a=2

3173=a=

解得：a1=（舍）?a2=2^l?42，

.%（手，手）52（1,一|）53（2,-2）；

（3）解：情形一：當點A為等腰APAC的頂點時，AC=AP,如圖2,

圖2

VAC=AP,0A1CP,

???CO=OP=2,

???點Pi(0,2)；

情形二：當點C為等腰△PAC的頂點時，CA=CP,如圖3,

vCA=CP=V22+32=V13，

P2(0,-2+V13),P3(0,-2-V13);

情形三：當點P為等腰APAC的頂點0寸，PA=PC,如圖4,

圖4

過線段AC的中點D作垂線交y軸于點P,

由中點坐標公式可得D(|,-l),

:.PD1AC,

**?1<AC?kpD——1，

又kAC=|，

kpD=--,

設PD的解析式為y=-|x+b,

將D(|,-l)代入y=-|x+b可得b=：

.3,5

???ipD：y=一二+7,

當x=0時，y=-,

4

???P4(0,;)；

P(0,-2-Vi3)，P(0,^).

綜上所述：Pi(0,2),P2(0,-2+V13)，34

11.如圖所示，拋物線yi=-x2與直線y2=-|x-g交于A,B兩點.

(1)求A,B兩點的坐標.

(2)根據圖象回答：

①當x取何值時，力的值隨x的增大而增大？

②當x取何值時，yi〈y2?

(3)求^AOB的面積.

(4)在x軸上是否存在一點P,使AAOP是等腰三角形？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請

說明理由.

(5)拋物線上找一點Q,使得AABQ是直角三角形，請直接寫出Q點橫坐標

【答案】(1)解：???拋物線yl=-x2與直線y2=-|x-交于A,B兩點.

-x2--|x-|,解得xl=3,x2=-|,

9

；.yl=-9,y2=--,

...A(-；,--),B(3,-9),

24

(2)解：由圖象得，①當xVO時，yl的值隨x的增大而增大，②當x>3或x<-|時，yl<y2.

⑶解：由A(一|,-)B(3,-9)知，SAAOB=i(；+9)(3+|)-|x^x|-ix3x9=1

(4)存在，P的坐標為：(-3,0),(-；V13,0),(7^13,0),(一雪，0).

4416

(5)x=二±遐或*=士空或乂=三或x=-斗.

4463

【解析】解：(4)設P(x,0),則有：

當OA=OP時，有：(1)2+(2)2=x2,???x=±^V13；

當AP=OP時，有：(x+|)2+C)2=x2,...x=一|^；

當AP=OA時，有：（x+|）2+C）2=（|）2+（滬x=0（舍去）或x=-3；

二在X軸上存在一點P,使AAOP是等腰三角形，其中點P的坐標為:

（-3,0）或（-VH,0）或（,0）或（-雪，0）.

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（5）設Q坐標為（x,-x2）,則分三種情況