2021年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 題型二　類比、拓展探究題

2021年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)題型二類比、拓展探究題

@類型1“手拉手”模型

1.[2019河南,22]在△力和中,。=紹/4%=。.點(diǎn)P是平面內(nèi)不與點(diǎn)4。重合的任意一點(diǎn)，連接仍將線段在繞點(diǎn)P逆

時(shí)針旋轉(zhuǎn)a得到線段彼，連接AD,BD,CP.

(1)觀察猜想

如圖(1),當(dāng)a=60°時(shí)，粽的值是1，直線班與直線)相交所成的較小角的度數(shù)是60。.

(2)類比探究

當(dāng)。=90°時(shí),請(qǐng)寫(xiě)出器的值及直線劭與直線⑦相交所成的較小角的度數(shù)，并就圖(2)的情形說(shuō)明理由.

(3)解決問(wèn)題

當(dāng)。沏)。時(shí)，若點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，點(diǎn)戶在直線以上,請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)在同一直線上時(shí)若的值.

圖⑴圖(2)備用圖

解:⑴160°

解法提示：：°,

.：△力及:'是等邊三角形，

0°,AC=AB.

由旋轉(zhuǎn)可得N4*,"二戶4

.：△/1即是等邊三角形，

if

圖⑴

.：/必介60°=/CAB,AP=AD,

.；/CAP=/BAD,

二△心以△力做

；.CP=BD,/ACP=/ABD,

如圖(1),延長(zhǎng)團(tuán)如交于點(diǎn)與初交于點(diǎn)A；

在△4位'和△回的中，

ZACN=ZM8N,ZCNA=N必圈

.：Z；?/=ZG4-V=60".

(2將/，直線/勿與直線相交所成的較小角的度數(shù)為45°.

理由如下:

"."ZACB^O°,CA=CB,

V2.

同理可得N必ZM5。，爺、2

?嘿*/'渺/必〃

.：ZCAB+NDAC=NPAD+NDAC廊/DAB=ZPAC、

.：△〃仿S△陽(yáng)，

.喘豢a/DBA-ZPCA.

設(shè)劭交W于點(diǎn)G,交CA于點(diǎn)H.

；/BHAMCHG、

.：ZCGH=NBAHa5°.

(3除的值為2、口或2

解法提示:分兩種情況.

①如圖⑵，當(dāng)點(diǎn)戶在線段69上時(shí)可設(shè)(氏a,則BDZla.

設(shè)切與/力交于點(diǎn)Q

貝I]PQ=CP=a.

可證N%B=NDBQ知.5",則DQ=BD加a,

易得AD71PD3-啦a,

.：卻轉(zhuǎn)

(g卿圖⑶，當(dāng)點(diǎn)〃在切延長(zhǎng)線上時(shí)，可設(shè)則AD->j2b.

易得EF"AB、；.NPEA=Z.CAB=45°,

可證N￡。片N￡4〃=22.5°,

.：C[)=Al)=yl2b,.CP^2b+b,

備《

2.[2017河南,22]如圖⑴，在RtZX/8C中,N4初)°48=〃;點(diǎn)〃￡分別在邊留4C上連接〃，點(diǎn)分別為

DE,DC,BC的中氤.

(1)觀察猜想

圖⑴中，線段PM與AV的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是PJLL外；；

⑵探究證明

把△496繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖(2)的位置，連接，則班，練判斷△/?'的形狀,并說(shuō)明理由；

(3)拓展延伸

把繞點(diǎn)A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若4M,46=10,請(qǐng)直接寫(xiě)出△/渺面積的最大直

解:⑴/W=/WP.MLPN

(2)等腰直角三角形.

理由如下：

由旋轉(zhuǎn)可得,

又AB=AC,AD=AE,

.：△加四△以￡

.：BD=CE,/ABD=/ACE.

「點(diǎn)/”/分別是〃，龍的中點(diǎn)，

.：川/是△ZTE的中位線，

.：E吟萬(wàn)且P\U/CE.

同理可證口號(hào)/必且PX//HD,

PM=PN/MPD=/ECD,/PNC=ZDBC,

:.ZMn=/ECD=/ACD+/ACE=/ACD+/ABD'

/DPN=NPNC+ZPCN=/DBC+ZPCN、

.：Z.MPN=NMPD+NDPN=NACD+NABD+NDBC+Z.PCN=4ABC+NAC/i^Q".

即丫為等腰直角三角形.

(:愕

3.[2020鄭州適應(yīng)性測(cè)試]已知:比'和應(yīng)■是兩個(gè)不全等的等腰直角三角形，其中

AB=AC,AD=AE,ZBAC=90",/的￡=90°.

(1)觀察猜想

如圖⑴，連接班;勿交于點(diǎn)〃連接3,那么BE與切的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系分別是Bl?a),M：\CD;

(2)探究證明

將圖⑴中的△4比■繞點(diǎn),4逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),分別取/%；俏加?的中點(diǎn)戶用Q,連接.明為“圖清判斷，力和，陽(yáng)的數(shù)量關(guān)系和位

置關(guān)系，并僅就圖(2)說(shuō)明理由；

(3)拓展延伸

已知48=\反,4仄4,在(2)的條件下，若。，請(qǐng)直接寫(xiě)出此時(shí)線段聞的長(zhǎng).

圖⑴圖(2)備用圖

解:⑴跖=09BE1CD

解法提示：：舁90°,.：/陽(yáng)廬

又AB=AC,AD=AE,，&AB恒4ACD,

；.BE=CD/BEA=/CDA.

設(shè)必4￡交于點(diǎn)G網(wǎng)/HGE=/AGD,

/EHG=Z.GAD*O°BEA.CD.

⑵MP=MQ,MPLMQ.

理由：：2的C=NZWZ'4)0"NBAE=/CAD.

又AB=AC,AD=AE,二△福曜AACD,

.-.BE=CD,^BEA=ZCDA.

設(shè)陽(yáng)4〃交于點(diǎn)K酗NHKD=NAKE,

.：NKHD=NKAE由0：

.,.BELCD.

:?點(diǎn)?，:分別為比;磔?的中點(diǎn),

.：月吟/；/￥〃傲

丁點(diǎn)加0分別為◎；物的中點(diǎn)，

；.MQ字'D,MQ〃CD、

.：PM=MQ、PM1MQ.

(3)匐的長(zhǎng)為g或VI

解法提示:由(2)中結(jié)論可知/VV2/)I/V2即爭(zhēng)法苧〃

方法一:分兩種情況討論.

①S點(diǎn)C在4T左側(cè)時(shí)，如圖(1),延長(zhǎng)I3A交應(yīng)于點(diǎn)A；此時(shí)/胡,￥=180°00°Y5°X5°,.：乙物〃刃5°=/EAN.

又AE=ADANDAE0O:，AN：LDE、EN=陽(yáng)、

.：avW+AV=3>/2,

由勾股定理，得Bb：7BN2+EN?V26,

.：國(guó)號(hào)應(yīng)7n.

②3點(diǎn)r在小右側(cè)時(shí),如圖⑵，則/的15°=N4成;設(shè)BC與4/T交于點(diǎn)/匕

.：NM=90°,

.'.BCLAE.

又AC=AB詆

.：BR=AR=\,

.：ER=AE-AR3,

.：/?/VS/?2+ER2-V10,

綜上可知,/般的長(zhǎng)為舊或隗.

方法二:分兩種情況討論.

偌點(diǎn)C在四左側(cè)時(shí),如圖⑶，延長(zhǎng)DA交BC于點(diǎn)、S,

易得DSLBC、CS=\,DS壬,；.0)7f+N;限、

②當(dāng)點(diǎn)(、在.區(qū)■右側(cè)時(shí)，如圖(4),過(guò)點(diǎn)('作C7T4〃于點(diǎn)T,

易得67=1I"?+12V10,

?田將用二瓜

綜上可知/，的長(zhǎng)為舊或展.

4.[2020鄭州外國(guó)語(yǔ)三模]已知△4比是等腰直角三角形,N就為0。4。6,點(diǎn)￡在以。為圓心,2為半徑的圓上運(yùn)動(dòng),

連接他將線段跖繞8點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段必連接四偌已知6G分別是如；〃?的中點(diǎn)，連接FG.

【觀察與發(fā)現(xiàn)】如圖⑴，當(dāng)點(diǎn)5在線段〃?上時(shí)，則需=&，線段您/否所在直線所成的銳角是45°.

【猜想與證明】當(dāng)點(diǎn)￡.在圓周上運(yùn)動(dòng)到任一位置時(shí)，上述結(jié)論是否成立？并就圖(2)的情形說(shuō)明理由.

【遷移與應(yīng)用】點(diǎn)￡,在圓周上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，當(dāng)"G〃協(xié)時(shí)，直接寫(xiě)出線段龍的長(zhǎng).

A

解：【觀察與發(fā)現(xiàn)】V215

解法提示:如圖⑴，連接BF.BG.

由△4昭和△〃班'均為等腰直角三角形，點(diǎn)6G分別是〃￡〃'的中點(diǎn)，

易知△的‘和均為等腰直角三角形，.:經(jīng)第V2,/67/rZ/7；/：--15°、???/EBC+/EBG=/FB(>/EBG、.??/EBC：/FBG、

GBFB

?:△楸s△/力康警技「，/77715

又丁/%7-90;二/砌;15。，即線段學(xué)&；所在直線所成的銳角是15..

【猜想與證明】成立.

理由:如圖⑵，連接他陽(yáng)延長(zhǎng)做交這的延長(zhǎng)線于點(diǎn)〃交跖于點(diǎn)JZ

由△///('和△颯’均為等腰直角三角形，點(diǎn)戶石分別是比;〃.的中點(diǎn)，

易知△甌和△砸,均為等腰直角三角形，

?黑黑a,/FBE=/GBC43

GBFB

，4CBE=NGBF,

「△/7如△/附.噌警企,/他-/幽；

FGFB

又/加代/〃陽(yáng).：/丹廬/砸引5'，即線段位外所在直線所成的銳角是451

【遷移與應(yīng)用】國(guó)的長(zhǎng)為八土也.

解法提示:連接的;而；應(yīng)分兩種情況討論.

①^點(diǎn)〃在直線比、下方時(shí)，如圖(3),?,'FG〃BDJNDBF+乙GFBA80：又/如/E5°,,：/6/%=135°.

易選4AD儂△EBC、，AD=CE2NBDA=/BEC=4BFGA33°.又/BDF55："BDF+/ADB18Q

?:點(diǎn)4〃/三點(diǎn)共線.

：21毛.：/切=3e.

在Ri/\.W中,根據(jù)勾股定理，得〃戶切戶二也即屐?尸十叫；肛可得屐"/32)飛近)乜&-1(負(fù)值已舍),?：放工2企

1)X721-V2.

謂點(diǎn)￡在直線落上方時(shí)，如圖(I),???FG〃BD、，4BFG=NDBF=^°.

易江4AN涇△CEBZMs△EBC、"BDA=/BEC二4BFG45：

又,,：點(diǎn)兒〃尸三點(diǎn)共線.

在中,根據(jù)勾股定理，得必即用」?(/〃」/〃-%，即,67--(/；/-：!)-(372),

ZA7-2V2”(負(fù)值已舍),.：/力耳2或l)X>/213.

綜上可知，觀的長(zhǎng)為\7L

5.[2020許昌二模]在RtZ\4?C與Rt2DCE中，/ACB=NDCE才0°、NBAC=4DEC3°tAC=DC=>/3.將Rt△腔繞點(diǎn)。順

時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接做力￡；點(diǎn)￡6分別是出絲的中點(diǎn)，連接CF￡G.

⑴觀察猜想

如圖(1),當(dāng)點(diǎn)〃與點(diǎn).1重合時(shí)與3的數(shù)量關(guān)系是痘CF，位置關(guān)系是

⑵類比探究

當(dāng)點(diǎn)〃與點(diǎn)A不重合時(shí),⑴中的結(jié)論是否仍然成立？如果成立，請(qǐng)僅就圖(2)的情形給出證明;如果不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由.

(3)問(wèn)題解決

在RtZXMF旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，請(qǐng)直接寫(xiě)出△。石的面積的最大值與最小值.

圖(1)圖(2)備用圖

解:⑴。CGA.CI-

解法提示:由//吠NAT二90°/胡。=/〃應(yīng)W0",

易得/見(jiàn)抗40'笈

丁點(diǎn)/話分別是眼麻的中點(diǎn),

?：0,/仍8-：〃/；

???CGSCF.

???AF=CF、AG=CG、

?：/仙=/口030°,/6。=/&。600,

?：/凡g30°用0°^90°,.\CG1CF.

(2)成立.

證明:在RiAU比與RtZXaZr.中，

../_,”/3八。.BCCD代

?/BnAArL/Dl.C^30...77~T-

ACCE3

rzBCD=NACB+NACD、ZACE=Z.DCE+/ACDt

?：4BCD=/ACE、

工△BCMXACE、

.空?/CEA=/CDB.

AE3

又丁點(diǎn)?；G分別是做V的中點(diǎn)，

.第￥筆,?：△四Cs△的

(J匕SLC

，CG監(jiān)。；、乙FCD=4GCE,

FCG=/FCD+/DCG=/GCE+/DCG二/DCE幫。,

.\CGLCF.

面積的最大值為警之最小值為窣.

解法提示:易得CE遙(〃3

如圖(I),取，儀的中點(diǎn)〃，連接依易每況卷(八

A

.:點(diǎn)6在以點(diǎn)。為圓心、5為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，

.：當(dāng)點(diǎn)，在的延長(zhǎng)線上時(shí)(如圖(2)),。；最長(zhǎng)，即△雨;的面積最大.

此時(shí)CG^AC~,

.....痔V3+1

故△('/七的面積的最大值為Jx當(dāng)lx竽.久步

2224

當(dāng)點(diǎn)G在水的延長(zhǎng)線上時(shí)(如圖(3)),67最短，即△的；的面積最小,

?:小3蕓1仁3學(xué)-V5

.■.cF—a-,

故△西，'的面積的最小值為打竽N亨嚕.

2224

綜上所述,△<7心的面積的最大值為空之最小值為季.

44

6.[2016河南,22]⑴發(fā)現(xiàn)

4

B-------a----------C

圖⑴

如圖(I),點(diǎn)A為線段及；外一動(dòng)點(diǎn)，且BC=a,AB=b.

填空:當(dāng)點(diǎn)/I位于的延長(zhǎng)線上時(shí)，線段〃,的長(zhǎng)取得最大值，且最大值為‘用含的式子表示).

(2)應(yīng)用

點(diǎn)/I為線段比,外一動(dòng)點(diǎn)，且BC3,AB=\.如圖⑵所示，分別以必然為邊，作等邊三角形ABD和

等邊三角形連接CD.BE.

①請(qǐng)找出圖中與跖相等的線段，并說(shuō)明理由；

②fi接寫(xiě)出線段跖長(zhǎng)的最大值.

(3)拓展

如圖⑶，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,0),點(diǎn)4的坐標(biāo)為(5,0),點(diǎn)〃為線段仍外一動(dòng)點(diǎn)，且

PA2PM:PB2BP腓柒°.請(qǐng)直接寫(xiě)出線段4V長(zhǎng)的最大值及此時(shí)點(diǎn)，的坐標(biāo).

解的延長(zhǎng)線上a+b

嶼①DC=BE.

理由如下：

:和△〃上'為等邊三角形，

?"D=AB,心AEZBAbNCAE4Q：

?：/BAD+ZBAC=/CAE+NBAC，即NCAD=/EAR,

??.△CAg^EAB、

???DC=BE.

飆長(zhǎng)的最大值是I.

(3)線段.1"的最大值為3+2近,此時(shí)點(diǎn)〃的坐標(biāo)為(2方,企).

解法提示：

如圖(I)，構(gòu)造△研整△物只則儂/也

由⑴知，當(dāng)點(diǎn)V在BA的延長(zhǎng)線上時(shí),W有最大值，如圖⑵.

易得IV2y[2.

斤叨=3也近.

過(guò)點(diǎn)支作/'/■：I1?軸于點(diǎn)/：；則PE=AEV2.

Z^2-V2,V2).

7.[2020鄭州外國(guó)語(yǔ)四模]如圖⑴，在Rt△力比、中,NG90。，乙4a40。，點(diǎn)。總分別是也〃、的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)3作直線DE

的垂線，垂足為點(diǎn)M點(diǎn)少是直線敬上一動(dòng)點(diǎn)，作RSBFG,使N8FGW0°"GB30"連接GD.

⑴觀察猜想:如圖(2),當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)"重合時(shí)，修的值為2，直線6〃期相交所成銳角的度數(shù)為60.

⑵問(wèn)題探究:如圖(1),當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)。不重合時(shí)，⑴中結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)加以證明;若不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由.

⑶問(wèn)題解決:當(dāng)點(diǎn)￡如1在同一直線上時(shí),請(qǐng)直接寫(xiě)出普的值.

圖(1)圖(2)備用圖

解:⑴260。

解法提示:設(shè)/*/=.易知N/?及，二的NAgu/g厲/ig/Ga.又N"依60"點(diǎn)D"重金，.：以；用即&Ra、??喘谷^2

丁點(diǎn)〃/分別為/應(yīng)〃、的中點(diǎn),.：如是△/改”的中位線，

.:龐〃圖,：//應(yīng)'=30°,又/曲利0°,?：/微片60°,.：直線做￡〃相交所成的銳角為60°.

(2)成立.

證明:如圖(1),7/OF=/的陰60°,,：/碩，/%歷又

Df'onpry

而,%.：△%—：麗麗引/曲//被如，?:直線C〃,徵相交所成的銳角為60°.

A

:

圖⑴

(3)保的值為一百或"W5.

解法提示:如圖⑵，當(dāng)點(diǎn)6在線段，便上時(shí),類似⑵，易得DGLAH.又AD=BD,:直線G〃垂直平分線段科,：?!=陽(yáng)

r

E

C----------0R

圖(2)

設(shè)”則仆—75"簫2；嬴+2倔

如圖⑶，當(dāng)點(diǎn)61在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，類似⑵，易得DGA.AB.又AD=BD、.:直線勿垂直平分線段W.G/R；B.

A

r

_FlE^DAf

;-

G

圖⑶

設(shè)M.!,則."，"'：i,i-＜：V5.：,?：獸,，、：\!3

綜上可知，蜉的值為卜::8或i：!V3.

8.[2020山東威海]發(fā)現(xiàn)規(guī)律

⑴如圖⑴,與△力如都是等邊三角形，直線以四交于點(diǎn)F,直線能力。交于點(diǎn)〃求NSC的度數(shù).

⑵△4%'與△力龐的位置如圖⑵所示，直線即,◎'交于點(diǎn)F.直線做力。交于點(diǎn)/Z若/ABC=/ADE=aACB=/AED=8,

求NBFC的度數(shù).

應(yīng)用結(jié)論

⑶如圖⑶,在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)。的坐標(biāo)為(0,0),點(diǎn)V的坐標(biāo)為(3,0),點(diǎn),V為y軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接MN.將線段J邠繞

點(diǎn)也逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段留連接NK,OK.求線段水長(zhǎng)度的最小值.

解:(1)丁△力比;都是等邊三角形，

?：AB=AC,ASBA("DAE$U：

?：NBAD=NCAE,

?：△的儂△?：/ABD二/ACE.

又?:，

??,/BFC=NBAC儂。.

⑵:?/ABC=4ADE=a/ACB=/AED=B、

.?.△ABCS^ADE,

./2.，rABAC/ntn/r\rABAD

7n布和一?/的加/c%而定

.：WBDs.：NABD=NACE.

又???/BHA:/CHF、"BFC=/BAC=\8(T-。-乙

⑶易知△,〉大彳是等邊三角形,.：減-”JW；N.VW仁乙的/二NAX忙60°.

如圖，將△，)斷繞點(diǎn)/順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△.他八；連接聞

則OK二NQ、MO二MQZOMQ與Q°,

，△齪乂是等邊三角形，

?：/四

?:乙,好30°.

:?麻工陶.：當(dāng)?shù)钚r(shí),/.有最小值.

由?'垂線段最短”可知，當(dāng)QVLLy軸時(shí)j監(jiān)有最小值，

此時(shí)吟/份!.：線段碑長(zhǎng)度的最小值為方

?類型2中點(diǎn)模型

9.如圖(1),在△力比中,N力/K0°、AC=BC,彘〃/分別在邊仍47上，且應(yīng)上做連接BE,點(diǎn)、”為應(yīng)的中點(diǎn)，連接DF,CF.

⑴觀察猜想:線段如和。尸的數(shù)量關(guān)系為〃/“"尸和C尸的位置關(guān)系為

⑵探究證明:把△力〃￡繞點(diǎn)力逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到如圖⑵所示的位置，試判斷⑴中的關(guān)系是否仍然成立.如果成立，請(qǐng)加以證

明;如果不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由.

⑶拓展應(yīng)用:若仍43,4E把△力應(yīng)繞點(diǎn)力逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，請(qǐng)直接寫(xiě)出當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)〃的長(zhǎng)度.

圖⑴

解:⑴DF=CFDF1.CF

解法提示：：'/〃序90°

???/ABCa5：/BDE=/ACBW°.

又丁點(diǎn)，’是原的中點(diǎn)，

.：DF—EF-BF號(hào)、CF-EFFF號(hào)、

?：DF二CF、ZFDB=/FBI),ZFRO/BCF,

，/DFE=/FDB+/FBD氣/FBD、/CFE=/FBC+/BCf/FBC\

二/DFC。FBD丹/FBC&/ABCN：

?：DF1CH

⑵成立.

證明:如圖(1),在/町的延長(zhǎng)線上截取咫=%；連接BG、CG,延長(zhǎng)況交應(yīng)?于點(diǎn)K.

圖⑴

???EF=B"G=DF/DFE=4BFG,

△磔

，BG=ED,/BGF=/EDF、

.:跖〃叫

，NGBC=NBKD.

??2ADE=NACB§Q°,

?：/廂夕N%C=180°.

又/〃AC+N而配180°,

"DKB=/DA&

，/DAC=/GBC.

連接Z%

易知AD=DE：BG、AOBC,

.：△—△伙法

?：CD=CG/Aq)=/BCG、

.??4DCG=NDCB+4BCG=4DCB+4ACD=^：

「△仇⑦是等腰直角三角形.

又丁點(diǎn)尸是％的中點(diǎn)，

，DFXF、DFLCF.

⑶%的長(zhǎng)為匆*

解法提示:分兩種情況討論.

3點(diǎn)。在直線/I。上方，且〃北夕三點(diǎn)共線時(shí)，如圖⑵.

易知/如二90",

/.BD^AB2-AD2J132-52:12,

???BE=BD-DEA2f總,

7

?:啊,

②^點(diǎn)〃在直線水、下方，且〃上道三點(diǎn)共線時(shí)，如圖(3).

易知/8切1畛0°,

,\BD-AB2-AD2二12,

?：BE二BADEC2先A，

畤

.\Ci'=Di:=l'：r/比岑5^.

綜上可知，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí),<7；的長(zhǎng)為學(xué)或提

10.[2019安陽(yáng)二模]⑴問(wèn)題發(fā)現(xiàn):如圖(1),在四邊形ABCD中,AB〃DC,點(diǎn)E是用的中點(diǎn)，若然是N物。的平分線，則

4氏49,ZT之間的數(shù)量關(guān)系為AB+DC-AD.

(溫馨提示:延長(zhǎng)4￡交加的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F)

⑵問(wèn)題探究:如圖⑵，在四邊形ABCD中、AB〃DC、氤A是及7的中點(diǎn)，點(diǎn)F是寬的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，若然是/氏/的平分

線,試寫(xiě)出4%4￡少之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

⑶問(wèn)題解決:如圖⑶,45〃⑦,點(diǎn)￡在線段a;上，且BE：EC4：4.點(diǎn)下在線段/區(qū)上，且4請(qǐng)直接寫(xiě)出

/氏勿;⑦之間的數(shù)量關(guān)系.

D.D

D

⑴仍次二力〃

解法提示：:AB"DC,

?：/B=NFCE、/BAE=/CFE.

丁點(diǎn)Zf是儀的中點(diǎn)，

?：BE=CE、

?:四△牘

.\AB=FC.

TAF平分4BAD,

"BAEMDAR

?：/CFE=/DAF、

???DCKF-AD、

?：DC+AB=AD.

嶼AB=CF+AF.

證明:延長(zhǎng)AE交ZT的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.

VAR//CD,

?：/EAB=/EGC,/6=/BCG.

又點(diǎn)E是a'的中點(diǎn)，,：涼-成

二應(yīng)＜△頗；.：48二出

:勿￡.是N砌/'的平分線，

???/EAB=NFAE,

???/EGC=/FAE,

?：AF=FG,

???CG=CF+FG=CF+AF,

?；AB=CF+AF.

⑶/仍號(hào)（（力物?）.

解法提示:如圖，延長(zhǎng)/!/：'交C〃的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.

易售/\ABEs色（心、

.竺￡￡3

CF4'

3

?2*（；（：

4

VAB//DC,

???/EAB=/CGE.

又:?/EFD:/EAB、

，/EFD=/CGE、

???DF=DG、

即AB4CD+g

11.已知正方形ABCD與正方形CEFG、.V是的中點(diǎn)，連接D乳EM.

⑴如圖⑴，點(diǎn)后在切上，點(diǎn)6在比的延長(zhǎng)線上，請(qǐng)判斷網(wǎng)例的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并直接寫(xiě)出結(jié)論.

(2)如圖(2),點(diǎn)/在ZT的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)G在回上,(1)中結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)證明你的結(jié)論.

⑶將圖⑴中的正方形協(xié)7繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)，使〃石/三點(diǎn)在一條直線上，若月小13,以巧，請(qǐng)畫(huà)出圖形，并直接寫(xiě)出協(xié)的長(zhǎng).

圖⑴圖⑵

⑴〃"_L"加片

解法提示:如圖(1),延長(zhǎng)EV交/切于點(diǎn)H.

;四邊形，仍。是正方形,四邊形4%是正方形,

圖⑴

?：NADE=NDEFWq°,AD=CD,

.\AD//EFy

必：

：AM=FMNAMH=/FME,

?：△/例—陽(yáng)

，MH5E,AH=FE=EC,

?：DH=DE.

；/EDH幫；

?；DM工EH,網(wǎng)-MR

⑵仍然成立.

證明:如圖⑵，延長(zhǎng)日/交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)〃

:?四邊形,1用力是正方形，四邊形防〃、是正方形,

0

AZADE^OtAD=CD,AD//SC,GC//FE,

圖⑵

,\AD//EFy

"MAHNMFE.

「AM=FM/AMH=/%

/△4儂/\￡晦

???MhME,AH：FE=EC,

，DH=DE.

：2削-90°,

?:〃M_L4Sg花

⑶旋轉(zhuǎn)后的圖形如圖(3)、圖(4)所示」〃?'的長(zhǎng)為府或J而.

解法提示:過(guò)點(diǎn)”作J位L應(yīng)■于點(diǎn)R.

在RSCDE中、［心J132-5212.

過(guò)點(diǎn)A作AH'〃DE交/說(shuō)的延長(zhǎng)線于點(diǎn)〃',連接DH\

易證ZUM/'空△內(nèi)配

?：AH'=FE=CE.

易得N〃'/1〃=/仇屹

又AD=CDt

?：△〃'/四△砌

，H'D=DE、/ADH'=/CDE,

"H'DEWQ：

?：仁理〃ML%

?：V*DE&DR［RE^.

分兩種情況討論.

①如圖(3),邊)在ZT右側(cè)時(shí)，

在RtAFVR中川;7MR2+FR2762+l#Vfgy

②iffl圖(I),邊防在ZT左側(cè)時(shí)，

在RtZU〃"與J"VF/?2+MR2Vl2+62V37,

故J〃'的長(zhǎng)為何或質(zhì)7

@類型3半角模型

12.問(wèn)題背景:如圖⑴，在△［用中"切刃CN為。=120°,點(diǎn)D而為用邊上的點(diǎn)，且N%￡=60°,若BDA,EC啜，求應(yīng)'的長(zhǎng).

⑴觀察發(fā)現(xiàn):注意到條件中有AB=AC^BAC=\2^°,不妨把△力6繞點(diǎn)月順時(shí)針旋轉(zhuǎn)1201得到△力的連接班易證

△業(yè)修從而將線段以龍灑「集中在△質(zhì)中，因?yàn)?糜的度數(shù)是」2，小次^，即刁,所以"的長(zhǎng)

為_(kāi)遮

⑵類比探究:如圖(2),在中,Na*60°點(diǎn)為及;邊上的點(diǎn),且/的￡W0°,8=2,￡。|,求應(yīng)?的長(zhǎng).

⑶拓展應(yīng)用:如圖⑶，點(diǎn)￡是正方形ABCD內(nèi)一裊,/AEBWO。，點(diǎn)尸是a'邊上一點(diǎn)，且NB9Q15。.若49=2,請(qǐng)直接寫(xiě)

出當(dāng)應(yīng)取最小值時(shí)(T的長(zhǎng).

解:⑴60y/3

(2)由題意，得△力比■是等邊三角形，

.：/ABCNACBWO".

如圖⑴，將△〃7:'繞點(diǎn),1順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60"，得到△〃?￡過(guò)點(diǎn)尸作FG1.B&交⑦的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G；連接方;則

3

Af--A/：,BF_EC'Z/諛匚NC,ZFAB:/EA（：

/FAD二/FAB+/BAD=/EAC+/BAD』。°一/DAEW"—/DAE.又AD=AD,.??&AD-2ADE、,\DF=DE,

???/FBD-/詢十/制二SBDA20："FBGW、,：FG用書(shū)當(dāng)、B哈》'嗅「?DG23H.：DE/力,+(苧/亨.

⑶當(dāng)班取最小值時(shí)"的長(zhǎng)為|.

解法提示：：2力小0"」點(diǎn)少在以仍為直徑的圓上，設(shè)圓心為Q連接微，交。。于點(diǎn)￡此時(shí)仍取最小值，如圖(2).將△仇7?,繞點(diǎn)

〃順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到△如&連接依則DG=DFtZGl)A=^FDC,GA=FC,ZGAD=AC=QO°,?：點(diǎn)三點(diǎn)共線.

:/GDO：/GDA+/ADO：/CDF+/ADO挈。Y5°=45°二/ODF0D-OD、?二4DGgRDFO、，OG=OF.

2

設(shè)則//之3〃”=僅三「1.根據(jù)勾股定理可得如叨心麻，即J(2.r)《「I),解得犬行

故當(dāng)〃〃取最小值時(shí)々的長(zhǎng)為宗

13.問(wèn)題背景

如圖⑴，在四邊形加》中,N8+NZM80°歷3。,以點(diǎn)［為頂點(diǎn)作一個(gè)角，角的兩邊分別交比四于點(diǎn)￡￡

且立必電a，連接器則線段也遇之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

(1)觀察猜想

如圖⑵，當(dāng)/胡戶N廬N"90",N￡4廣N5。時(shí),填空：

①四邊形ABCD是正方形(填特殊四邊形的名稱);

②BE,DF,EF之間的數(shù)量關(guān)系為比」〃/?"/」.

(2)類上匕探究

如圖⑴，⑴中線段陽(yáng)/項(xiàng)之間的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？若成立，請(qǐng)加以證明;若不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由.

(3)解決問(wèn)題

如圖⑶，在△力比‘中，/胡OW°,力廬&W,點(diǎn)〃，月均在邊BC上，且。，若打請(qǐng)直接寫(xiě)出應(yīng)'的長(zhǎng).

圖(1)圖(2)圖(3)

⑴①正方形

②BE+DF=EF

解法提示:劭口圖(1),將△/!跖繞點(diǎn)/I逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)901得到△4%:

??2ADC=NB=/ADG幫°,

.：/月％刁80°，即點(diǎn)戶;〃G共線.

由旋轉(zhuǎn)可得AE=AG、BE=DG/BAE=NDAG.

???4BAE+/DAF=/BAD-/EAF』。。刃5°F5°,

二/加G+/DAFM50,J/EAF=/FAG,

?：AAFMRAFG、-EF=FG-

又TFG=DG+DF=BE+DF、ZBE+DF=EF.

⑵成立.

證明:如圖⑵，將△力為?繞點(diǎn)?!逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)。得到△/〃//

可得/ABE-/ADH、ZBAE=/DAH、AE】AH、BE，DH.

：28+/仍7=180:??/4DH+NADC，80°,

?:點(diǎn)在同一直線上.

：2BAl)=a,ZEA吟"，二NHAI:2FAD^”,

.：/DAH+/FA吟?,.：ZFAH~/EAR

又VAF^AF,

?:△俯/△//#；

」EF二FH=DF+DH=DF+BE.

(3)以竽

解法提示:如圖⑶，將△/似、繞點(diǎn)/順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90"，得到△力/封連接陽(yáng).

可得BE'二EC、AE'-仍ZC二/ABE',/EAC二/E'恨

在Rt△力T中，

VAB=AC=4,

Z/i/?r-Z/O-i5:BO\C,

"ABC+/AB-

即//物=90°,

，E'R+BD=E'D.

易證△/伊四△/做

?:曉研死

即〃/:7或)pVS

解得DF當(dāng).

⑥類型4“一線三等角”模型

14.[2015河南B卷,22]⑴探索發(fā)現(xiàn)

如圖⑴，在△心K中，點(diǎn)〃在邊回上,△/!加與■的面積分別記為S與$,試判斷3與酸的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由;

>523

(2)閱讀分析

小東遇到這樣一個(gè)問(wèn)題:如圖(2),在RtZvia7中物090°,射線AV交加于點(diǎn)〃，點(diǎn)￡F在4M上，且

NCEM=NBFM挈。，試判斷以；磔；“,三條線段之間的數(shù)量關(guān)系.

小東利用一對(duì)全等三角形,經(jīng)過(guò)推理使問(wèn)題得以解決.

填空：8S(2)中的一對(duì)全等三角形為絲△絲i!_；

②步色顏三條線段之間的數(shù)量關(guān)系為<7一/：7””.

(3)類比探究

如圖⑶，在四邊形ABCD中,AB=AD,AC與劭交于點(diǎn)。點(diǎn)￡,在射線AC上，旦NBCF=NDEF=NBAD.

&判斷/班；四三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

葬位面的面積為2,直接寫(xiě)出四邊形4比。的面積.

解X*爵

理由如下：

過(guò)點(diǎn)力作/應(yīng)_!_%于點(diǎn)上

：$刎?他.懸W偌.康萼

(2)@U及也△的1

⑥CE=EF+BF

嶼①DE=BC+CE.

理由如下：

???￡BCF=NDEF=/BAD、

ZZ/1^18015-NBg800-/DEF=/AED,

4BAC+NDAE=NADE+/DAE,

"BAC=/ADE.

又.；AB=AD,

,：△胡修4ADE、.：BC=AE,AC=DE,

.：DE「AC=AE+CE：BC+CE.

②0邊形力以7,的面積為8.

15.(1)觀察猜想

如圖⑴，點(diǎn)4/1,。在同一條直線上,〃8_L陽(yáng)?7_L因且N為斤90°則比:做四之間的數(shù)量關(guān)系為

伙二；

⑵問(wèn)題解決

如圖⑵，在Rt△被7中,乙仿。90°廬2,以/。為直角邊、點(diǎn)力為直角頂點(diǎn)，向外作等腰直角三角形的C連接⑸9,

求△力切的面積；

(3)拓展應(yīng)用

如圖⑶，在△力房中,力廬力以“為邊向右側(cè)作一個(gè)等腰直角三角形力以連接做請(qǐng)直接寫(xiě)出△⑶9的

面積.

A

圖(1)圖(2)圖(3)

斛:(1)BC=BD+CE

解法提示:如圖(1),???DBLBGECLBC,

?：N8=N(R(T,?：N》N1馮0°,又：2"N2q0°,

?：NZ/=N2.

又?.?AD=AE,

,,.△ABD^△ECA、?*DB=M：BA；CE,

?：BC-BA+AC=CE+眼即BC-BD-^CE.

劭口圖(I),當(dāng)/。1年90時(shí)，過(guò)點(diǎn)。分別作.八旗的垂線,垂足分別為點(diǎn)G、F.

易證△〃；儂

?=GW,.：DF二GN=AG+AN4巧陽(yáng)

?:S,，，，D吟X6X8必.

圖⑸

③如圖⑸，當(dāng)N力比內(nèi)0'時(shí)，過(guò)點(diǎn)〃作仇的垂線，交戊的延長(zhǎng)線于點(diǎn)/■；過(guò)點(diǎn),4作4V的垂線，交/?〃的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P.

易證△//勿四△/匕

?：AP=DF、DP=CF.

設(shè)《尸F(xiàn)則以氣

.：DF=AP=NF=NOCFA+x、

???PF=DP+DF=x+3-巧，,x=l,.：勿W也11,

?：S一劑?D吟X6X4-12.

16.[2020平頂山三模上是矩形ABCD邊力6延長(zhǎng)線上的一動(dòng)點(diǎn),在矩形4及力外作口△￡<?；其中/￡6290。，過(guò)點(diǎn)”作

FG1BC,交a'的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,連接陰交CG于點(diǎn)H.

⑴發(fā)現(xiàn)

如圖(1),若/比初@三。?測(cè)線段〃，與知'的數(shù)量關(guān)系是DH-HF.

(2)探究

如圖⑵，若/如應(yīng)區(qū)作玄磔；則⑴中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給予證明;若不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由.

(3)拓展

在(2)的基礎(chǔ)上,若射線用過(guò)力〃的三等分點(diǎn),/切考,力庠4,請(qǐng)直接寫(xiě)出線段同、的長(zhǎng).

"BCE+/GCW冷°/GFC+/GCF幫。，

?ttBCE=￡GFC.

又乙CBE=4CG￡CE=CR

?,.△CBMRFGC、

:?GF=CB=DC.

又/Dg/FHG,ZDCH=/FGH、

???△DCgXFGH、

，DH二HF.

(2)"匕伊仍然成立.

證明：丁四邊形力反力是矩形?鑿廬90",

??./G=/CBEM=4FCE/FCG+/BCE幫。.

又4BCE+NBEC秘"

???/FCG=/BEC

△儂

，GF：BC=1；C：CE=n.

由/IZ勺“〃且四邊形,4仇力是矩形可得CD：a'=〃,

.\GF：BC=CD：BC,

.\GF=CD.

又ZG=Z.DCH由0°,ZGHF=/CHD,

二△以儂△6?”

，DH二HF.

(3)/：尸的長(zhǎng)為歲或胃.

解法提示:設(shè)點(diǎn)〃是/川的三等分點(diǎn).

當(dāng)「出弓仞且射線”過(guò)點(diǎn)〃時(shí)

+42正.

由"/=/〃:〃〃〃，〃易證得仆'=。*正、

.："￥，故/詞(2府2+(苧)2琴.

當(dāng)/游與偵且射線《,過(guò)點(diǎn)"時(shí)"G,

,：fWl2+42yJ17.

由DH-HF、DR〃CH、易詆得CI:-CH-y[r7,

a，半故/：7>j(g)z,,3VT7、？5V17

綜上儀的長(zhǎng)為竽或空

@類型5對(duì)角互補(bǔ)模型

17.【發(fā)現(xiàn)】

⑴如圖(1),如_1_制。1=(加點(diǎn)/>是線段的中點(diǎn)，且OPW點(diǎn)、M在線段OA上運(yùn)動(dòng)(不與點(diǎn)0/1重合)，連接網(wǎng)過(guò)點(diǎn)戶作

月歸_力/交線段如于點(diǎn)A；連接拗;則線段/人與用'的數(shù)量關(guān)系是/火小，線段，腫的最小值是4.

【探究】

⑵如圖(2),射線3與處的夾角是120°,點(diǎn)P在/加的平分線上，且0M.點(diǎn)〃在射線QI上運(yùn)動(dòng)，在射線加上取

一點(diǎn)八;使得乙仍WN/a?=i80。，試探究線段網(wǎng)與/W的數(shù)量關(guān)系，并求出線段加'的最小值.

【拓展】

⑶如圖⑶，射線3與陽(yáng)的夾角為。(0°<180°)，點(diǎn)/，在/4勿的平分線上，且。六a.點(diǎn)"在射線力上運(yùn)動(dòng)，在射

線神上取一點(diǎn)4；使得乙"V+N兒廬180°,請(qǐng)直接寫(xiě)出△/?周長(zhǎng)的最小值(用含a和a的式子表示).

解:⑴用/=月￥4

解法提示:如圖(1),過(guò)點(diǎn)P作尸C1陽(yáng)于點(diǎn)，/UL》于點(diǎn)D.

易證四邊形式7刀是正方形，

；.PC=PD、/Cl>Da°.

'.'PMLPN,

.：乙班290°,

.：/MPN-NDPN=/CPD-/DPN,即/DPM=/CP.N.

又PD=PC,NPDM=/PCN*0°,

.：△〃/?儂△〃犯

.".PM=PN,

,△0肝是等腰直角三角形，

.:於-正⑶.

易知當(dāng)〃憶以時(shí)，川/取得最小值，為2V2,

故!八的最小值為企X2々=1.

(2)如圖(2),過(guò)點(diǎn)〃作PELOA于點(diǎn)EFF10B千點(diǎn)、F,

：?力)平分/.4傲

.\PE=PF.

丁/J僅WN力施=180°,

???NP：W