2021新高考數學統(tǒng)一模擬考試卷含答案解析

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2021新高考數學統(tǒng)一模擬考試卷含答案解析

2021年高考統(tǒng)一模擬檢測

數學試題202,05

本試題卷共7頁，22題.全卷滿分150分?？荚囉脮r120分鐘?

注意，項?

I.答卷的,考生務必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上，并將準

考證V條形的粘貼在答陷卡上的指定位置.

2.阿谷選擇超時，逸出征小IK答案后，川用宅把符眼卡上對應呼目的答案標弓涂黑?如

需要改動，川株皮擦干小后，再選注共它答案標13畫答鄧遺擇題時,利答案寫在答題卜上。

寫在本優(yōu)卷上無效e

3.。試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、單項選擇fg:本題共8小脫，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，

只有一項是符合題目要求的.

I.已知兒"均為R的子集，n.4n（CR?）=//,則下而選項中一定成立的是

A.BeAB./U8=RC.A[]B=0D.J=CRB

2.若隨機變服從正態(tài)分布N（2,3：）,P（；<3-5?）=P（c>2a+l）,則實數”等于

A.-1B.0C.1D.2

3.在平而直角坐標系中，立線/為雙曲線x'-./=1的一條漸近線，則

A.在線/與0l（x-2）2+『=1相交B.直線/與圓（x_2）,+『=l相切

B.直紈/與直（x-2f+.1=2相向D,直線/與./月丹鏟二？相切二

4.我國魏晉時期著名的數學家劉徽在《九章算術注〉〉中提出了“割圓術——割之彌細，所失

彌少，割之又割，以至不可割，則與圓周合體而無所失矣”.也就是利用圓的內接多邊形逐

步逼近圓的方法來近似計算圓的面積.如圖。。的半徑為1,用圓的內接正六邊形近似估計，

則。。的面積近似為地，若我們運用割回術的思想進一步得到圓的內接正二十四邊形，

2

以此估計，。。的面積近似為

63(76-72)

A.-------------------

2

口3(30)

2

C.3(^6-y/2)

D.3(76+72)

5.已知數列｛4｝,@“｝滿足q=a?+bn=\,"“=3,則％21=

2"4

202120202021卜2022

2020202120222021

6.已知正方體/8CA-44GA棱長為2,點P在矩形4CC/區(qū)域(包含邊界)內運動,

且NPBD=45。,則動點P的軌跡長度為

A.nB.>/2nC.2nD.2&兀

7.已知定義在R上的函數/(x)的圖象連續(xù)不斷，有下列四個命題：

甲:/(x)是奇函數；

乙：/(x)的圖象關于直線x=l對稱；

丙：/(x)在區(qū)間［-1J上單調遞減；

T：函數/(x)的周期為2.

如果只有一個假命題，則該命題是

A.甲B.乙C.丙L>.1

,拋

8.在平面直角坐標系中，雙曲線C:?-%=1（。＞0力＞0）的左右焦點分別為

ao

物線Z:/=2px（尸＞0）的焦點恰為巴，點P是雙曲線C和拋物線Z的一個交點'且

IP瑪I=I6巴I,則雙曲線C的離心率為

A.y/2+1B.2C.6D.41

二'多項選擇題：本題共4小題，每小舸5分，共20分。在每小題給出的四個選項中，有多

項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分。

9.已知復數2=0+1（i為虛數單位），彳為z的共匏復數，若復數z0=三，則F列結論正

z

確的是

A.z°在復平面內對應的點位于第四象限B.|z0|=l

C.的實部為:D.Z。的虛部為迫

22

10.已知函數/（》）=（28$2助:-1）5m28+—《?48（0＞0）,則下列說法正確的是

2

A.若/（x）的兩個相鄰的極值點之差的絕對值等于二，則0=2

B.當&時，/（勸在區(qū)間上的最小值為一?

2442

C.當。=1時，/（*）在區(qū)間［―；,0］上單調遞增

D.當。=1時，將/（%）圖象向右平移右個單位長度得到g（x）=當sin（4x一二）的圖象

11.下列不等式成立的是

1,1

sin,22

A.Iog2（sinl）＞2B.（-）＜n

C.幣-亞-2D.Iog43<log65

12.已知函數/(x)=xcosx+sinx在區(qū)間(-”n/7t)meN“)上的零點個數為凡，函數〃x)

在區(qū)間(-“陽〃兀)(〃wN)上的所有零點的和記為"，則下述正確的是

A.4=0

B.Zq=n2+2rt

l-l

c-/(x)在區(qū)間(-"%”兀)上任意兩零點的差大于二

2

D./(x)在區(qū)間(-“兀,〃兀)上任意兩相鄰零點的差大于n

三'填空題：本題共4個小題，每小題$分，共20分。

13.命題“3xwR,ex<a-e-xn為假命題，則實數a的取值范圍為；

14.在平行四邊形488中，ABAD^AB2=\,AC=y[5,則/氏1D=；

20Mt

15.若(3—Zx)"=%+。產+。/2+...+。2gx"，則4+%2+34*1-**2021aM=-----------；

16.某校學生去工廠進行勞動實踐，加工制作某種零件?如圖，將邊長為10岳旭正方形鐵皮

剪掉陰影部分四個全等的等腰三角形，然后將△耳”8,△舄m7,鉆8,旬￡%分別

沿N6,6C,C2。力翻折，使得6，%耳上重合并記為點P，制成正四楂儺P-48。。形

狀的零件.當該四棱錐體積最大時，AB=cm;此時該四校誰外接球的表面積

P*

四'解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

17.(10分)

請從"B2sin/8s6=2sinC+sinB;②cos"+cos[=°?"兩個條件中任選1,

補充在下面的橫線上，并解答.

已知A/8C的內角4,民。的對邊分別為a/,c,?

(1)求彳；

(2)設力。是乙4的平分線，b+c=10且&46C面積為2月，求線段的長度?

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分?

18.(12分)

如圖，在直三棱柱4BC-44c中，底面三角形/6C為直角三角形，其中Z8_L/C,

AB=3,AC=4,CG=8,M,N分別為BBy和AAt的中點.

(1)求證：CNJL平面GMN;

(2)當點尸在線段C/上移動時，求直線NP與平面BBQ。所成角正弦的最大值.

A

19.（12分）

已知等差數列｛&｝滿足.一

''耳。2-1是/和%+1的等比中項，數列｛4｝的前”項

和為且滿足

S"?4=3，2S“=6B+1-3.

（1）求數列｛%｝和伯力的通項公式；

（2）將數列和網｝中的公共項按從小到大的順序依次排成一個新的數列也｝,jfceN,,

1

令4=log3R,求數列｛｝的前左項和q.

20.(12分)

現(xiàn)對某市工薪階層對于"樓市限購令”的態(tài)度進行調查，隨機抽調了50人，他們月收入

（單位：百元）的頻數分布及對“樓市限購令”贊成人數如下表：

月收入[25,35)[35,45)[45,55)[55,65)[65,75)[75,85)

頻數510151055

贊成人數481252I

（1）根據以上統(tǒng)計數據完成下面的2x2列聯(lián)表，并問能否有97.5%的把握認為“某市工薪階

層對于'樓市限購令'的態(tài)度與月收入以6500元為分界點有關”？

月收入不低于65百元的人數月收入低于65百元的人數合計

贊成?

不贊成

合計

（2）若對月收入在［55,65）和［65,75）的被調查人中各隨機選取兩人進行追蹤調杳，求在選中

的4人中有人不贊成的條件下，贊成“樓市限購令”的人數J的分布列及數學期望?

附./2________"(ad-bQ---------n=a+b+c+d.

航人一(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

0.0050.001

P(K荏k。)0.0500.0250.010

7279_.10第28.方

3.8415.0246.635

21.(12分)

已知函數/(x)=alnx-4+I(x>0),aeR.

(1)討論/(x)的單調性；

(2)若對任意xw(0,+8),均有/(x)40,求a的值；

(3)假設某籃球運動員每次投籃命中的概率均為0.81,若其10次投籃全部命中的概率為"

證明：p<e-2.

22.(12分)

在平面直角坐標系中，已知。為坐標原點，點%(4,%,)為直線/：y=取+m(癡#0)與

橢圓C:2n^+4〃y=1的一個交點，且左=-今，ZIGN,.

(1)證明：直線/與橢圓C相切；

x2v2

(2)已知直線/與橢圓。：7+黃=1(。>方>0)交于兩點，且點沙為43的中點.

(i)證明：橢圓。的離心率為定值；

41

(ii)記AOWB的面積為S,若從=：+丁，證明：2nsin(52)>l.

34〃

青島市2021年高考統(tǒng)一模擬檢測

數學參考答案

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。

1-8:CBDCCBDA

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

9.ABC10.BD11.BCD12.ABC

三、填空題：本題共4個小題，每小題5分，共20分。

13.a<2;14.45°;

676兀

15,-4042;16.(1)8;(2)

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

17.（本小題滿分10分）

解：（1）選擇條件①Zsin/cos5uZsiuC-sm^,

+b

在“5c中由正弦定理得：cos5=-------,

2a

在A48C中由余弦定理得："一「［二^±

2ac2a

整理得：b2+c~-a2=-bc,

b~+c2-a~1

所以cosN==--

2bc2

因為/為AJ8c內角，所以/；,

選擇條件②cosN+cos5=。，

則2cos,d+cos4-l=0,即(2cos4-l)(cos3-1)=0,

A14

所以cosJ=—或cos'=-l,

222

NJT44

因為0<2<n,所以。<一<一,所以cos—>0,所以cos—=-1不成立

2222

N]N7T，兀

所以COS==7，所以不■=；,所以月=:-,

22233

因為A45c面積為26，即;bcsin/=2百，

所以bc=8,

因為Sase~S^BD+^AACD，

所以一伙'sinJ=-NZhcsin—+—4D,bsin—,

232323

即Z>c=(b+c)?AD,

所以4O=f-=g,

b+c5

4

所以線段.〃)的長度為m

18.(本小題滿分12分)

解：(1)因為力C=4,N為的中點，所以CN=GN=4ji,

所以CN'GMMCC；,所以CN_L￡N,

因為三梭柱48C-481G為直三棱柱，所以CG_L48,

又因為Z8_L2C,CC1C\AC=C,

所以46_L平面441GC,

因為CNu平面441GC,所以CN~L/13

因為MN//AB,以CN_LMV,

又因為GNnNM=N,所以CN_L平面GMN,

(2)以d為坐標原點，45為x軸，/C為)，軸，彳4為？軸，建立加圖所示坐標系

所以40,0,0),所3,0,0),C(0,4,0),AT(0,0,4),G(0,4,8),區(qū)(3,0,8);

所以3右=(一3.4.0),54=(0,0,8),設平面的法向量為〃=(x,y,z)

In-BC=0f-3x+4y=0

則_____.即c

1〃?股=01z=0

所以7=(4,3,0),

設P(A%Zi),方=/衣i(0W2Wl)

所以(玉,必,馬)=/(0.4.8)

所以P(0,4乙84),M>=(0.42.8A-4),

當4=0時

NP與平面BBC］。所成角正弦值為0，

當0</Wl時

記直線N尸與平面典G。所成角為。，

,.八，NPn,124

則sin0={-1=-/----------

\NP'\n,5)(4?+(84_4)2

令工=。21,所以sin￡=/3W2,當且僅當，=2

25Vf2-4f+55

3

所以直線NP與平面BBgC所成角正弦的最大值為-

19.(本小題滿分12分)

解：(1)設數列｛q｝的公差為d,

q-4=8'2d=8

由、(&-1)2=%(。3+1)可得、(q+d—l)，=%(q+2d+l)

解得：4=3,d=4,

所以a”=3+4(〃-1)=4n—1,

當”之2時，因為2'="+1-3,所以2sl="-3

相減得：2(Sn-SB_1)=Z>n+1-/>?,所以紗=3,

女

h

由4=3,24=2S]=b,-3可得：b,=9,所以二二？，

瓦

所以｛4｝是以A=3為首項，以3為公比的等比數列，

所以4=3",

(2)(法一)列舉觀察知：q=3,c2=27,C3=243,

猜想：C*=32Z,

下面證明：

n+2

因為bn+2-b?=3-3"=8，3"=4(2?3”)是數列｛4｝的公差d的正整數倍

由于。2工&,所以3，",…不是｛q｝中的項

由于G=4=%=3,所以4…,與上_卜…是｛勺｝中的項，

從而。上=32上一，4=2左_],

11

所以4=H-------------

石+石(2左一1)(2左+1)

11

)]

213352k-12k+l

=-(1—)

22k+1

11

24左+2

(法二)由可得：?=-(3"+1),

4

由于3加+1=(4-1)*"+1

=4"C°一+4"-2C2-4m-3C3+…+4C”，

fittflTHJUW

=4[4*V-4C:+4C：---+c^(~1)]+(-1)",

由于〃eN',所以3利+1必被4整除，從而m=2左-1,

所以。*=a,=%_i=32*-1,

從而4=24-1,

所以「二----1-------(?…H----------------

1x33x5(2左-1)(2比+1)

20.（本小題滿分12分）

解：（1）2x2列聯(lián)表為:

月收入不低于65百元人數月收入低干65百元人數合計

贊成32932

不贊成71118

合計104050

根據列聯(lián)表可得K2的雙測值為

」50x(3x11-29x7)27225之—一〈…，

k=-----------------=----v6.272>5.024

10x40x18x321152

TOP(^2>5.024)=0.025

所以能有97.5%的把握認為“某市工薪階層對于'樓市限的令'的態(tài)度與月收入以6500元

為分界點有關”

（2）J所有可能取值有0,1,2,3;

303

則尸(J=0)=

[c；YQ-旃一石

力,Jn一十。_13527

味點-440-88

以Cf+CC；C；4+*；19019

_

C^0Cf-cjcl440-44

8517

440-88

所以&的分布列是

-0123

3271917

P

44884488

327cl9c177

所以E(C=O"-----rlx-----h2x------3x-

448844884

21.(本小題滿分12分)

解：(1)由題知：/'(x)=-——]—=2a~^'

X2y/x2x

若a,0,則八x)?0

所以/(x)在(0,+元)上單調遞減

若a>0,令/'(x)=0,解得x4T

當xw(0,4,)時,則八x)>0,所以八幻在(0,4/)上單調遞增

若xwGa'+oc),則八女)<0,所以/(x)在(4/,上單調遞減

(2)(法一)由(1)知：

若則/(x)在(0,+x)上單調遞減，且/⑴0,

所以當0<x<l時，/(x)>0,不合題意

若a>0,Ri]f(x)</(4a2)=aki4a2-2a+l=2ain2a-2a-l

令g(a=rlnr-r+l?>0),則g'(r)In/,

當”(0,1)時,g'(/)<0,所以g(/)在(0,1)上單調遞減；

當生(1,+oo)時,g'(f)>0,所以g?)在(1,+00)上單洞遞增;

所以g(r)2g(l)=0

為滿足題意，必有g(2a)0,所以2。=1,解得a=：

(法二)由題知：/(I)0,所以f(x)W/(l)

所以1為/(x)的一個極大值點

又因為/'(、)=:壺，所以，'⑴=。6=。，解得

此時八幻=看擊=￥

當xw(O,l)時，/'(x)>0,所以/(x)在(0,1)上單蜩遞增;

當xw(L+x)時，f'(x)<Q,所以/(K)在(L+x)上單調遞減

所以當退時‘⑴=。

所以當/(x)SO時，a：-

2

(3)由題意可知，p0.81'°

由(2)知：----->/x+1<0,EPInx1{y[x-1)

2

所以hi(0.81)10=10111(0.81)<20(>/0^81-1)=-2

所以p(O.81)lo<e-2

22.（本小題滿分12分）

解：⑴因為4-①，y?h"+〃i②，且2欣+4加1③

2匕，

由①得：X”一2機,，將七一2?！按擘诘茫簓、④

n1+2A

-m小、-2km-

再將其,、八代入%=一2妙”得：X”丁中⑤

1+2K1+2公

將④?代入③得：1+2*—4〃，/=0

將直線/的方程代入橢闕方程2nx2+4ny2=1（〃EN.）得：

2〃（「2左+Snk）nx-4nm1-1=0,所以A=8??[（1+2^2）-4??w:]=0

所以直線/與桶閥。相切

⑵（i）設2（玉'.￡）.8（毛’./），直線/的