時域濾波的arx模型自適應濾波法

時域濾波的arx模型自適應濾波法

基于信號分析的時域濾波在上一節(jié)中，介紹了兩種基于傅里葉變換技術(shù)的共振變量信號分析方法：短期傅里葉變換和序列跟蹤分析，以及通用減速機械的振動信號分析。但由于富氏變換本質(zhì)上的不足,對于激烈變化的信號其分析質(zhì)量就很差。針對這一點,提出了時域濾波的Kalman濾波法。但它只適用于單頻的諧和變頻信號的分析。在這一講中將著重介紹另一種時域濾波方法:ARX模型自適應濾波法。它可以對多頻結(jié)構(gòu)的諧和變頻信號作分析,并且不受頻率或幅值變化激烈程度的限制。2.4arx模型自適應濾波法2.4.1自適應建模和濾波Auto_Regressive模型(自回歸模型,簡稱AR模型)法是信號時間序列的通用的建模分析方法,它是在模型回歸階數(shù)選定之后,根據(jù)信號離散后的時間序列的性質(zhì)識別模型中的參數(shù)。這樣建立起來的AR模型將能代表信號的主要特性,可用以分析、預報,亦可用以按我們的要求進行濾波。ARX模型是在AR模型中除了有自身的輸入回歸項之外,還包含有輸出項。在分析非穩(wěn)態(tài)信號時,我們可以利用它的建模特性,在不同瞬時自適應地建立符合當時信號特性的不同模型,濾去不需要的信號部分和噪聲而提取出有用的特征信號。自適應建模和濾波通常是利用遞推算法進行的。實用證明,這種方法對于結(jié)構(gòu)比較復雜的信號(如多種頻率不同變化的組合信號)也能以較高精度濾出我們所需要跟蹤的目標信號,具有很強的去噪能力。這種方法對于狀態(tài)監(jiān)測和故障診斷特別有用。2.4.2子多項式的識別算法這里介紹的方法是基于這樣的ARX模型y(t)=B0(q-1)u(t)+v(t)(2.7)其中u(t)為輸入信號,y(t)為輸出信號,v(t)為需要加以濾掉的噪聲,q-1為后移算子,B0(q-1)為后移算子多項式,即使u(t)等間隔后移再作線性組合:B0(q-1)u(t)=(b0+b1q-1+b2q-2+…)u(t)=b0u(t)+b1u(t-1)+b2u(t-2)+…(2.8)這一模型實際上是線性回歸的型式,識別其中參數(shù)θ(b0,b1,b2,…)時只需要作線性運算而且對附加的多頻帶噪聲的抗干擾能力很強。模型具有魯棒性,即模型中噪聲項v(t)只要其為零均值且與u(t)不相關(guān),則不管u(t)的性質(zhì)如何,用預估誤差方法,總可以得到參數(shù)θ的一致估計。對信號y(t)作自適應濾波時的模型框圖如下圖所示:圖2.5中,s(t)是我們希望濾得的目標信號,y(t)是實際測量得到的信號,H(q-1)及T(q-1)為相應的濾波器傳遞函數(shù),是后移算子多項式,其未知系數(shù)需要經(jīng)過識別過程確定。用這一模型的目的是從測量信號y(t)中濾去噪聲e(t)及其他不需要的信號部分f(t)而獲得目標信號s(t)的估計值?ss?(t)。在我們所設(shè)計的這類時域濾波中,控制信號u(t)具有與目標信號s(t)相同的結(jié)構(gòu),也即是說一旦確定了所需濾出的信號的結(jié)構(gòu)之后,給定u(t),我們希望能從被其他信號及噪聲嚴重污染了的測量信號中提取出與u(t)成比例關(guān)系的有用信號s(t)系統(tǒng)的差分方程有如下形式:{y(t)=Η(q-1)s(t-1)+e(t)+f(t)s(t-1)=Τ(q-1)u(t-1)(2.9){y(t)=H(q?1)s(t?1)+e(t)+f(t)s(t?1)=T(q?1)u(t?1)(2.9)其中假定s(t)與e(t)及f(t)是相互獨立的。要使s(t)與u(t)成比例關(guān)系,T(q-1)可取成常數(shù)C,于是差分方程可寫成:y(t)=C·H(q-1)u(t-1)+v(t)=B(q-1)u(t-1)+v(t)(2.10)根據(jù)輸出信號y(t)及控制信號u(t),用參數(shù)辨識的算法可算出后移多項式B(q-1)中各項系數(shù)bi的估計值?θθ?(?bb?0,?bb?1,?bb?2,…)。如令?T(t)={u(t-1),u(t-2),…,u(t-n)}則用以識別參數(shù)θ的準則為使以下目標函數(shù)取極小值:W(θ)=E[y(t)-B(q-1)u(t-1)]2=E[y(t)-?T(t)θ]2(2.11)其中符號E表示取平均值,故上式是使用均方準則,θ的估計值?θθ?將收斂于整體極小值。根據(jù)參數(shù)估計值?θθ?,可以得到預估的目標信號?ss?(t)?s(t)=?B(q-1)u(t-1)=?Τ(t)?θs?(t)=B?(q?1)u(t?1)=?T(t)θ?對于非穩(wěn)態(tài)信號的濾波,由于信號特性隨時間不斷變化,因此不能采用一個固定不變的濾波器,在每一時刻用于濾波的模型參數(shù)θ都應是不相同的,隨著不斷變化的輸入輸出值,將通過辨識得到隨時間變化的估計值?θθ?(t),使模型參數(shù)不斷自動地適應信號的時變,故稱之為自適應濾波。為了希望快速地得到時變的估計值,減少計算工作量,這里采用遞推的參數(shù)辨識算法,即是根據(jù)前一時間點所識別的模型參數(shù)和新的輸入輸出數(shù)據(jù)遞推地修正模型參數(shù),這樣可以快速地建立自適應濾波模型。遞推算法的基本公式為:?θ(t)=?θ(t-1)+Κ(t)[y(t)-?y(t)]θ?(t)=θ?(t?1)+K(t)[y(t)?y?(t)]其中?θθ?(t)及?θ(t-1)θ?(t?1)分別為t時刻及前一時刻的參數(shù)估計值,y(t)為t時刻的信號測量值,?yy?(t)為基于(t-1)時刻以前的輸入輸出值所建立的模型而得到的y(t)的估計值,K(t)為t時刻的增益因子。目前有多種不同的遞推算法,主要是根據(jù)K(t)的不同形成方法而各異,如Kalman濾波中的遞推法,遺忘因子法,規(guī)一化的或非規(guī)一化的梯度法等等。從數(shù)值仿真及實用中計算的結(jié)果來看,對于ARX非穩(wěn)態(tài)濾波模型來說,以Kalman濾波法的效果較好,因之在本文以下的算例及實例信號分析中,都使用了Kalman濾波中的遞推算法。2.4.3t3in為了考核這種時域濾波方法的濾波能力和說明它的一些特征,下面列出一個計算機仿真的算例。設(shè)測量得到的信號y(t)為變速信號并混雜有其他頻率的正弦信號,同時還受隨機噪聲的污染,以下式表示之:y(t)=3sin(2π·30t2)+4sin(2π·30t)+sin(2π·50t)+sin(2π·80t)+rand(t)如要求提出有用的變速信號(即目標信號)為:s(t)=3sin(2π·30t2)我們可以采用控制信號u(t)=sin(2π·30t2)則得到的濾波后信號?ss?(t)將趨近于s(t)。?ss?(t)→3sin(2π·30t2)濾波時采樣頻率f=1000Hz,采樣長度L=0.5s,ARX模型階數(shù)為6。圖2.6為例中控制信號u(t)(虛線)和預估目標信號?ss?(t)(實線)的比較。如果我們要求提出有用信號為:s′(t)=3sin(2π·30t2)+4sin(2π·30t),則可以采用與s′(t)有相同結(jié)構(gòu)但其分量有不同幅值的控制信號:u′(t)=sin(2π·30t2)+sin(2π·30t)此時得到的濾波后信號?ss?′(t)將趨近于s′(t)。?s′(t)→3sin(2π?30t2)+4sin(2π?30t)圖2.7為控制信號u′(t)(點線)、目標信號s′(t)(虛線)和預估目標信號?s′(t)(實線)的比較。從算例的圖形中可看出,預估的目標信號與所希望獲得的目標信號是很相接近的。2.4.4振動信號和濾波一試驗用單級升速齒輪箱,齒輪齒數(shù)為32×24,功率為2.5kW,用變頻電機調(diào)速,轉(zhuǎn)速變化率可預先設(shè)定控制,輸入軸額定轉(zhuǎn)速為1800r/m,輸出軸為2400r/m,輪齒嚙合頻率為96Hz。在輸出軸上安裝光學編碼器,隨著軸的轉(zhuǎn)動,每一轉(zhuǎn)可發(fā)出一定數(shù)量的連續(xù)脈沖信號,以反映轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)速變化。在輸出軸的軸承上,水平及垂直方向安裝加速度傳感器以監(jiān)測輪齒的振動狀況。在齒輪箱變速過程中監(jiān)測并記錄其振動信號,然后進行時域濾波,濾得其特征波形作狀態(tài)估計。振動信號及光學編碼器發(fā)出的脈沖信號同步記錄,采樣后截取的觀察窗為4096點。圖2.8中示出了變速時的轉(zhuǎn)速信號、振動信號以及濾波后的信號。圖中,(a)是不等距的轉(zhuǎn)速脈沖,其相應的轉(zhuǎn)速變化示于(b)。用多項式擬合方法可得出轉(zhuǎn)速頻率變化的曲線近似于一斜直線,可寫成如下方程fr=18.26-1.4tHz圖中(c)是測得的振動信號。根據(jù)理論分析及實踐經(jīng)驗,齒輪箱的主要振動成分是受調(diào)制的輪齒嚙合頻率分量并可近似表達為主嚙合分量及二個相隔二倍轉(zhuǎn)速頻率的邊頻分量之和。如令fr為轉(zhuǎn)速頻率,24fr為輪齒嚙合頻率,則可設(shè)定濾波的控制信號為:u(t)=cos(2π·24frt)+0.33cos(2π·22frt)+0.33cos(2π·26frt)這樣經(jīng)過ARX模型自適應濾波后得到的特征波形如圖中(d)所示,可明顯地看出是在降速過程中幅值衰減的信號,圖中(e)及(f)示出前段及尾段放大了的設(shè)定的控制信號和濾出的目標信號。可看到盡管設(shè)定的是等幅的控制信號,但由于濾波器的特性,仍能濾出監(jiān)測信號中的變頻變幅的實際信號。2.4.5基于時域濾波的穩(wěn)態(tài)信號轉(zhuǎn)換監(jiān)測得到的變速狀況下的振動信號,經(jīng)上述自適應時域濾波之后,可以獲得較簡單形狀的特征波形。根據(jù)這些波形,已可以看到機械變速時其主要特征的變化情況,據(jù)此可以估計機械在變速過程中的狀態(tài)變化以及判斷是否有故障存在。但是時域特征波形有時不是單一頻率的波形,要用有限的數(shù)字來量化它的狀態(tài)會有一定困難。因此有時我們希望將濾波后的波形作進一步的處理,仍用類似頻率分量的形式來加以表示,以更醒目地突出其特征。這時,將時域濾波與在上一講已詳細介紹過的角域分析結(jié)合起來,將可以得到一種較完善的組合分析方法。下面通過一個實例來介紹這種組合方法。仍用上節(jié)所述試驗用齒輪箱變速運行時測得的軸承座上加速度信號作為分析信號。同時在軸上安裝光學編碼器,軸每一轉(zhuǎn)發(fā)出280個脈沖,據(jù)此作為采樣觸發(fā)信號而獲得等角間距采樣,這樣就將時域內(nèi)的非穩(wěn)態(tài)信號轉(zhuǎn)化為角域內(nèi)的穩(wěn)態(tài)信號了。截取的觀察窗數(shù)據(jù)長度為4096點,窗內(nèi)數(shù)據(jù)的轉(zhuǎn)速頻率變化約自21Hz到17Hz大約包含了15個轉(zhuǎn)速周期,時間樣本的總持續(xù)時間為0.8s。對窗內(nèi)信號先作時域濾波再作角域分析,即可得到明顯的特征譜分量。圖2.9中,(a)表示實測的振動信號。如果對這一信號進行傳統(tǒng)的譜分析,所得譜圖為(b),可見由于變速信號帶來的譜涂抹,譜圖無實際分析價值。如果對這一信號先作時域濾波,得到如(c)的特征波形,然后再作角域變換,那末從相對頻率的譜圖上就可以看到很醒目的相當于嚙合頻率的分量以及它的兩個邊頻。只要觀測這三個主要的頻率分量的變化情況,就可以作出狀態(tài)和故障的判別。2.4.6重視特征的檢查所需的波形結(jié)構(gòu).根據(jù)大量的仿真算例及實例,可歸結(jié)出時域時序模型濾波法的幾個優(yōu)越的特點:(1)數(shù)據(jù)長度可以隨所需獲得的目標信號波形的長度而定,不受分析方法的任何限制。(2)很強的抗干擾能力,不管測量信號中滲雜了任何類型的噪聲成份,都不會影響其模型參數(shù)辨識的收斂以及其濾波能力。(3)不僅可以濾出單一頻率的簡單波形,而且可以濾出任何復雜結(jié)構(gòu)的時域波形,其唯一條件是要能給出目標信號的結(jié)構(gòu)函數(shù)或者與其接近的結(jié)構(gòu)函數(shù)。(4)目標波形幅值與控制波形幅值成線性比例關(guān)系。這即是說:如測量信號