線性代數(shù)-矩陣的秩-期末復(fù)習(xí)資料課件

第三節(jié)矩陣的秩主要內(nèi)容矩陣的秩的概念；初等變換不改變矩陣的秩的原理，以及矩陣的秩的求法；矩陣的秩的基本性質(zhì).基本要求理解矩陣的秩的概念，知道初等變換不改變矩陣的秩的原理；掌握用初等變換求矩陣的秩的方法；知道矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形與秩的聯(lián)系；知道矩陣的秩的基本性質(zhì).1線性代數(shù)-矩陣的秩--期末復(fù)習(xí)資料一、k階子式例如是的一個(gè)2階子式，的2階子式共有個(gè).一般地，矩陣的階子式共有個(gè).2線性代數(shù)-矩陣的秩--期末復(fù)習(xí)資料二、矩陣的秩定義設(shè)在矩陣中有一個(gè)不等于零的階子式，且所有階子式（如果存在的話）全等于零，那么稱為矩陣的最高階非零子式，數(shù)稱為矩陣的秩，記作或.規(guī)定：零矩陣的秩等于0.例1求矩陣和的秩.3線性代數(shù)-矩陣的秩--期末復(fù)習(xí)資料在中，容易看出一個(gè)2階子式的3階子式只有一個(gè)因此在中，

由于它是行階梯形矩陣，容易看出它的4階子式全為零，而以三個(gè)非零行的首非零元為對(duì)角元的3階子式不等于零，因此這里的兩個(gè)行列式分別是和的最高階非零子式4線性代數(shù)-矩陣的秩--期末復(fù)習(xí)資料說(shuō)明根據(jù)行列式的展開(kāi)法則知，在中當(dāng)所有階子式全為零時(shí)，所有高于階的子式也全為零，因此把階非零子式稱為最高階非零子式；矩陣的秩就是中不等于零的子式的最高階數(shù)，這就是矩陣的秩所表明的矩陣的一個(gè)特征；當(dāng)矩陣中有某個(gè)階子式不為0，則

當(dāng)矩陣中所有階子式都為0，則5線性代數(shù)-矩陣的秩--期末復(fù)習(xí)資料對(duì)于階矩陣，當(dāng)時(shí)，稱為滿秩矩陣；否則稱為降秩矩陣.

由于階矩陣的階子式只有一個(gè)，當(dāng)時(shí)，所以可逆矩陣的秩等于矩陣的階數(shù)，可逆矩陣又稱滿秩矩陣，不可逆矩陣又稱降秩矩陣.6線性代數(shù)-矩陣的秩--期末復(fù)習(xí)資料四、矩陣的秩的計(jì)算定理1若，則即兩個(gè)等價(jià)矩陣的秩相等.說(shuō)明根據(jù)此定理，為求矩陣的秩，只要把矩陣用初等行變換變成行階梯形矩陣，行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)即是矩陣的秩.證明略7線性代數(shù)-矩陣的秩--期末復(fù)習(xí)資料例2設(shè)求矩陣的秩，并求的一個(gè)最高階非零子式.解析：根據(jù)定理1，為求的秩，只需將化為行階梯形矩陣.8線性代數(shù)-矩陣的秩--期末復(fù)習(xí)資料所以大多情況下只用初等行變換，不用初等列變換9線性代數(shù)-矩陣的秩--期末復(fù)習(xí)資料再求的一個(gè)最高階非零子式.因此

在中,找一個(gè)3階非零子式是比較容易的，另外注意到，的子式都是的子式，所以易求得的一個(gè)最高階非零子式10線性代數(shù)-矩陣的秩--期末復(fù)習(xí)資料說(shuō)明最高階非零子式一般是不唯一的.上述找最高非零子式的方法是一般方法，另外觀察法也是常用的方法.11線性代數(shù)-矩陣的秩--期末復(fù)習(xí)資料例3設(shè)已知，求與的值.解析：這是一道已知矩陣的秩，討論其中參數(shù)的值的題目.一般有兩個(gè)途徑，一是用定義；二是用初等變換.當(dāng)時(shí)，的3階子式全為零，從而可以計(jì)算出參數(shù)的值.下面用初等變換解答此題.12線性代數(shù)-矩陣的秩--期末復(fù)習(xí)資料因?yàn)?，故即說(shuō)明此方法就是，用初等變換，將矩陣化為比較簡(jiǎn)單的矩陣，然后根據(jù)矩陣的秩進(jìn)行討論.13線性代數(shù)-矩陣的秩--期末復(fù)習(xí)資料分塊矩陣的概念用一些橫線和豎線把矩陣分成若干小塊，這種“操作”稱為對(duì)矩陣進(jìn)行分塊，每一個(gè)小塊稱為子塊；這樣處理矩陣的方法稱為分塊法；矩陣分塊后，以子塊為元素的矩陣稱為分塊矩陣.說(shuō)明分塊矩陣只是形式上的矩陣；分塊法的優(yōu)越之處是：把大矩陣的運(yùn)算化為小矩陣的運(yùn)算.矩陣分塊后，能突出該矩陣的結(jié)構(gòu)，從而可利用它的特殊結(jié)構(gòu)，使運(yùn)算簡(jiǎn)化.可為某些命題的證明提供方法.14線性代數(shù)-矩陣的秩--期末復(fù)習(xí)資料例如得到4個(gè)子塊：以這些子塊為元素，于是，得到的按照這種分法的分塊矩陣：這是一個(gè)形式上為的分塊矩陣15線性代數(shù)-矩陣的秩--期末復(fù)習(xí)資料對(duì)還可以進(jìn)行其它分法，如下面的兩種分法：16線性代數(shù)-矩陣的秩--期末復(fù)習(xí)資料五、矩陣的秩的性質(zhì)若為矩陣，則

若，則

若可逆，則

特別地，當(dāng)b為列向量時(shí)，有即，分塊矩陣的秩不小于每一個(gè)子塊的秩，不超過(guò)所有子塊的秩之和.17線性代數(shù)-矩陣的秩--期末復(fù)習(xí)資料矩陣的秩的性質(zhì)

若則

（下節(jié)）（下章）18線性代數(shù)-矩陣的秩--期末復(fù)習(xí)資料例4設(shè)為矩陣，為矩陣，證明證根據(jù)性質(zhì)7，有而為階矩陣，所以關(guān)于矩陣的秩的性質(zhì)的證明題19線性代數(shù)-矩陣的秩--期末復(fù)習(xí)資料關(guān)于矩陣的秩的性質(zhì)的證明題例5設(shè)為階矩陣，證明證因?yàn)橛尚再|(zhì)6，有而所以20線性代數(shù)-矩陣的秩--期末復(fù)習(xí)資料六、小結(jié)矩陣的秩是用矩陣的最高階非零子式的階數(shù)定義的；矩陣的秩的求法：根據(jù)定義，求最高階非零子式的階數(shù)，根據(jù)初等變換不改變矩陣的秩