控制工程基礎(chǔ)課件1

第二章數(shù)學(xué)模型一、控制系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程五、非線性數(shù)學(xué)模型的線性化二、拉氏變換和拉氏反變換三、傳遞函數(shù)四、系統(tǒng)方框圖和信號(hào)流圖六、控制系統(tǒng)傳遞函數(shù)推導(dǎo)舉例七、小結(jié)○、數(shù)學(xué)模型的基本概念第二章數(shù)學(xué)模型10/29/20231

學(xué)習(xí)目的1.了解建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的一般步驟2.掌握拉氏變換和反變換方法3.掌握建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的各種方法（包括時(shí)域、復(fù)數(shù)域；解析式、圖示式）4.了解非線性數(shù)學(xué)模型線性化的方法

5.熟悉各種不同物理屬性控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的建立過程內(nèi)容提要本章主要闡述控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的基本概念、時(shí)域模型——運(yùn)動(dòng)微分方程和復(fù)數(shù)域模型——傳遞函數(shù)的建立、數(shù)學(xué)模型的圖示法——方框圖和信號(hào)流圖的建立步驟與方法，介紹拉氏變換與拉氏反變換重

點(diǎn)傳遞函數(shù)概念的建立、典型環(huán)節(jié)和控制系統(tǒng)傳遞函數(shù)的推導(dǎo)

難

點(diǎn)實(shí)際物理系統(tǒng)，特別是機(jī)械系統(tǒng)傳遞函數(shù)的推導(dǎo)

10/29/20232○、數(shù)學(xué)模型的基本概念

數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型是描述系統(tǒng)輸入、輸出量以及內(nèi)部各變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式，它揭示了系統(tǒng)結(jié)構(gòu)及其參數(shù)與其性能之間的內(nèi)在關(guān)系。

靜態(tài)數(shù)學(xué)模型：靜態(tài)條件（變量各階導(dǎo)數(shù)為零）下描述變量之間關(guān)系的代數(shù)方程。

動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型：描述變量各階導(dǎo)數(shù)之間關(guān)系的微分方程。

第二章數(shù)學(xué)模型

為了從理論上對(duì)控制系統(tǒng)進(jìn)行性能分析，首先要建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。10/29/20233

建立數(shù)學(xué)模型的方法

解析法

實(shí)驗(yàn)法依據(jù)系統(tǒng)及元件各變量之間所遵循的物理或化學(xué)規(guī)律列寫出相應(yīng)的數(shù)學(xué)關(guān)系式，建立模型。人為地對(duì)系統(tǒng)施加某種測(cè)試信號(hào)，記錄其輸出響應(yīng)，并用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型進(jìn)行逼近。這種方法也稱為系統(tǒng)辨識(shí)。數(shù)學(xué)模型應(yīng)能反映系統(tǒng)內(nèi)在的本質(zhì)特征，同時(shí)應(yīng)對(duì)模型的簡(jiǎn)潔性和精確性進(jìn)行折衷考慮。第二章數(shù)學(xué)模型10/29/20234

數(shù)學(xué)模型的形式

時(shí)間域：微分方程（一階微分方程組）、差分方程、狀態(tài)方程

復(fù)數(shù)域：傳遞函數(shù)、結(jié)構(gòu)圖

頻率域：頻率特性第二章數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型有多種形式，這取決于變量和坐標(biāo)系統(tǒng)的選擇。10/29/20235一、控制系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程

建立數(shù)學(xué)模型的一般步驟

分析系統(tǒng)工作原理和信號(hào)傳遞變換的過程，確定系統(tǒng)和各元件的輸入、輸出量；

從輸入端開始，按照信號(hào)傳遞變換過程，依據(jù)各變量遵循的物理學(xué)定律，依次列寫出各元件、部件的動(dòng)態(tài)微分方程；

消去中間變量，得到描述元件或系統(tǒng)輸入、輸出變量之間關(guān)系的微分方程；

標(biāo)準(zhǔn)化：右端輸入，左端輸出，導(dǎo)數(shù)降冪排第二章數(shù)學(xué)模型10/29/2023610/29/20237

控制系統(tǒng)微分方程的列寫

機(jī)械系統(tǒng)機(jī)械系統(tǒng)中以各種形式出現(xiàn)的物理現(xiàn)象，都可簡(jiǎn)化為質(zhì)量、彈簧和阻尼三個(gè)要素：質(zhì)量mfm(t)參考點(diǎn)x

(t)v

(t)第二章數(shù)學(xué)模型10/29/20238彈簧KfK(t)fK(t)x1(t)v1(t)x2(t)v2(t)第二章數(shù)學(xué)模型10/29/20239阻尼BfC(t)fC(t)x1(t)v1(t)x2(t)v2(t)第二章數(shù)學(xué)模型10/29/202310機(jī)械平移系統(tǒng)mmfi(t)KBxo(t)fi(t)xo(t)00fm(t)fK(t)機(jī)械平移系統(tǒng)及其力學(xué)模型fB(t)靜止（平衡）工作點(diǎn)作為零點(diǎn)，以消除重力的影響第二章數(shù)學(xué)模型10/29/202311式中，m、B、K通常均為常數(shù)，故機(jī)械平移系統(tǒng)可以由二階常系數(shù)微分方程描述。第二章數(shù)學(xué)模型顯然，微分方程的系數(shù)取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)，而階次等于系統(tǒng)中獨(dú)立儲(chǔ)能元件（慣性質(zhì)量、彈簧）的數(shù)量。

10/29/202312彈簧－阻尼系統(tǒng)xo(t)0fi(t)KB彈簧-阻尼系統(tǒng)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程為一階常系數(shù)微分方程。

第二章數(shù)學(xué)模型10/29/202313機(jī)械旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)K

i(t)

o(t)00TK(t)TC(t)B粘性液體齒輪JJ—旋轉(zhuǎn)體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；K—扭轉(zhuǎn)剛度系數(shù)；B—粘性阻尼系數(shù)柔性軸第二章數(shù)學(xué)模型10/29/202314第二章數(shù)學(xué)模型10/29/202315

電氣系統(tǒng)電阻電氣系統(tǒng)三個(gè)基本元件：電阻、電容和電感。Ri(t)u(t)第二章數(shù)學(xué)模型10/29/202316電容Ci(t)u(t)電感Li(t)u(t)第二章數(shù)學(xué)模型10/29/202317

R-L-C無(wú)源電路網(wǎng)絡(luò)第二章數(shù)學(xué)模型LRCui(t)uo(t)i(t)R-L-C無(wú)源電路網(wǎng)絡(luò)10/29/202318一般R、L、C均為常數(shù)，上式為二階常系數(shù)微分方程。

若L=0，則系統(tǒng)簡(jiǎn)化為：第二章數(shù)學(xué)模型10/29/202319有源電網(wǎng)絡(luò)+

CRi1(t)ui(t)uo(t)i2(t)a即：第二章數(shù)學(xué)模型10/29/202320

小結(jié)

物理本質(zhì)不同的系統(tǒng)，可以有相同的數(shù)學(xué)模型，從而可以拋開系統(tǒng)的物理屬性，用同一方法進(jìn)行具有普遍意義的分析研究（信息方法）。

從動(dòng)態(tài)性能看，在相同形式的輸入作用下，數(shù)學(xué)模型相同而物理本質(zhì)不同的系統(tǒng)其輸出響應(yīng)相似。相似系統(tǒng)是控制理論中進(jìn)行實(shí)驗(yàn)?zāi)M的基礎(chǔ)；第二章數(shù)學(xué)模型10/29/202321

通常情況下，元件或系統(tǒng)微分方程的階次等于元件或系統(tǒng)中所包含的獨(dú)立儲(chǔ)能元（慣性質(zhì)量、彈性要素、電感、電容、液感、液容等）的個(gè)數(shù)；因?yàn)橄到y(tǒng)每增加一個(gè)獨(dú)立儲(chǔ)能元，其內(nèi)部就多一層能量（信息）的交換。

系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性是系統(tǒng)的固有特性，僅取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)及其參數(shù)。第二章數(shù)學(xué)模型10/29/202322

線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)可以用線性微分方程描述的系統(tǒng)。如果方程的系數(shù)為常數(shù)，則為線性定常系統(tǒng)；如果方程的系數(shù)是時(shí)間t的函數(shù)，則為線性時(shí)變系統(tǒng)；線性系統(tǒng)線性是指系統(tǒng)滿足疊加原理，即：可加性：齊次性：或：第二章數(shù)學(xué)模型10/29/202323用非線性微分方程描述的系統(tǒng)。非線性系統(tǒng)不滿足疊加原理。非線性系統(tǒng)為分析方便，通常在合理的條件下，將非線性系統(tǒng)簡(jiǎn)化為線性系統(tǒng)處理。實(shí)際的系統(tǒng)通常都是非線性的，線性只在一定的工作范圍內(nèi)成立。第二章數(shù)學(xué)模型10/29/202324

液體系統(tǒng)節(jié)流閥節(jié)流閥qi(t)qo(t)H(t)液位系統(tǒng)設(shè)液體不可壓縮，通過節(jié)流閥的液流是湍流。

A：箱體截面積；第二章數(shù)學(xué)模型10/29/202325上式為非線性微分方程，即此液位控制系統(tǒng)為非線性系統(tǒng)。

：由節(jié)流閥通流面積和通流口的結(jié)構(gòu)形式?jīng)Q定的系數(shù)，通流面積不變時(shí)，

為常數(shù)。第二章數(shù)學(xué)模型10/29/202326

線性系統(tǒng)微分方程的一般形式

式中，a1，a2，…，an和b0，b1，…，bm為由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)決定的實(shí)常數(shù)，m≤n。

第二章數(shù)學(xué)模型10/29/2023272.3拉氏變換與反變換機(jī)電控制工程所涉及的數(shù)學(xué)問題較多，經(jīng)常要解算一些線性微分方程。如果用拉普拉斯變換求解線性微分方程，可將經(jīng)典數(shù)學(xué)中的微積分運(yùn)算轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算，又能夠單獨(dú)地表明初始條件的影響，并有變換表可查找，因而是一種較為簡(jiǎn)便的工程數(shù)學(xué)方法。能夠把描述系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的微分方程很方便的轉(zhuǎn)換為系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，并由此發(fā)展出分析和設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)的工程方法。10/29/20232810/29/202329三、拉氏變換和拉氏反變換

拉氏變換設(shè)函數(shù)f(t)(t

0)在任一有限區(qū)間上分段連續(xù)，且存在一正實(shí)常數(shù)

，使得：則函數(shù)f(t)的拉普拉斯變換存在，并定義為：式中：s=

+j

（

，

均為實(shí)數(shù)）；第二章數(shù)學(xué)模型10/29/202330稱為拉普拉斯積分；F(s)稱為函數(shù)f(t)的拉普拉斯變換或象函數(shù)，它是一個(gè)復(fù)變函數(shù)；f(t)稱為F(s)的原函數(shù)；L為拉氏變換的符號(hào)。

拉氏反變換L－1為拉氏反變換的符號(hào)。第二章數(shù)學(xué)模型10/29/202331

幾種典型函數(shù)的拉氏變換

單位階躍函數(shù)1(t)10tf(t)單位階躍函數(shù)第二章數(shù)學(xué)模型10/29/202332

指數(shù)函數(shù)（a為常數(shù)）指數(shù)函數(shù)0tf(t)1第二章數(shù)學(xué)模型10/29/202333

正弦函數(shù)與余弦函數(shù)正弦及余弦函數(shù)10tf(t)f(t)=sin

tf(t)=cos

t-1由歐拉公式，有：

第二章數(shù)學(xué)模型10/29/202334從而：同理：第二章數(shù)學(xué)模型10/29/202335

單位脈沖函數(shù)

(t)0tf(t)單位脈沖函數(shù)

1

由洛必達(dá)法則：所以：第二章數(shù)學(xué)模型10/29/202336

單位速度函數(shù)（斜坡函數(shù)）10tf(t)單位速度函數(shù)1第二章數(shù)學(xué)模型10/29/202337

單位加速度函數(shù)單位加速度函數(shù)0tf(t)函數(shù)的拉氏變換及反變換通?？梢杂衫献儞Q表直接或通過一定的轉(zhuǎn)換得到。

第二章數(shù)學(xué)模型10/29/202338拉氏變換積分下限的說明在某些情況下，函數(shù)f(t)在t＝0處有一個(gè)脈沖函數(shù)。這時(shí)必須明確拉氏變換的積分下限是0－還是0+，并相應(yīng)記為：第二章數(shù)學(xué)模型10/29/202339

拉氏變換的主要定理

疊加定理

齊次性：L[af(t)]=aL[f(t)]，a為常數(shù)；疊加性：L[af1(t)+bf2(t)]=aL[f1(t)]+bL[f2(t)]

a，b為常數(shù)；顯然，拉氏變換為線性變換。第二章數(shù)學(xué)模型10/29/202340實(shí)微分定理證明：由于即：第二章數(shù)學(xué)模型10/29/202341所以：同樣有：式中，f'(0)，f''(0)，……為函數(shù)f(t)的各階導(dǎo)數(shù)在t=0時(shí)的值。第二章數(shù)學(xué)模型10/29/202342當(dāng)f(t)及其各階導(dǎo)數(shù)在t=0時(shí)刻的值均為零時(shí)（零初始條件）：第二章數(shù)學(xué)模型10/29/202343當(dāng)f(t)在t=0處具有間斷點(diǎn)時(shí)，df(t)/dt在t=0處將包含一個(gè)脈沖函數(shù)。故若f(0+)

f(0－)，則：第二章數(shù)學(xué)模型10/29/202344復(fù)微分定理若L[f(t)]=F(s)，則除了F(s)的極點(diǎn)之外，有：第二章數(shù)學(xué)模型10/29/202345

積分定理當(dāng)初始條件為零時(shí)：若f(0+)

f(0－)，則：第二章數(shù)學(xué)模型10/29/202346證明：第二章數(shù)學(xué)模型10/29/202347同樣：當(dāng)初始條件為零時(shí)：第二章數(shù)學(xué)模型10/29/202348

延遲定理設(shè)當(dāng)t<0時(shí)，f(t)=0，則對(duì)任意

0，有：函數(shù)f(t-

)0tf(t)

f(t)f(t-

)第二章數(shù)學(xué)模型10/29/202349

位移定理例：第二章數(shù)學(xué)模型10/29/202350

初值定理證明：初值定理建立了函數(shù)f(t)在t=0+處的初值與函數(shù)sF(s)在s趨于無(wú)窮遠(yuǎn)處的終值間的關(guān)系。

第二章數(shù)學(xué)模型10/29/202351

終值定理若sF(s)的所有極點(diǎn)位于左半s平面，即：存在。則：第二章數(shù)學(xué)模型證明：10/29/202352終值定理說明f(t)穩(wěn)定值與sF(s)在s=0時(shí)的初值相同。第二章數(shù)學(xué)模型又由于：即：10/29/202353

卷積定理若t<0時(shí)，f(t)＝g(t)＝0，則f(t)和g(t)的卷積可表示為：其中，f(t)

g(t)表示函數(shù)f(t)和g(t)的卷積。第二章數(shù)學(xué)模型10/29/202354證明：第二章數(shù)學(xué)模型10/29/202355

時(shí)間比例尺的改變例：第二章數(shù)學(xué)模型10/29/202356

求解拉氏反變換的部分分式法

部分分式法

如果f(t)的拉氏變換F(s)已分解成為下列分量：F(s)=F1(s)+F2(s)+…+Fn(s)假定F1(s),F2(s),…，F(xiàn)n(s)的拉氏反變換可以容易地求出，則：L-1[F(s)]=L-1[F1(s)]+L-1[F2(s)]+…+L-1[Fn(s)]=f1(t)+f2(t)+…+fn(t)第二章數(shù)學(xué)模型10/29/202357在控制理論中，通常：為了應(yīng)用上述方法，將F(s)寫成下面的形式：式中，p1，p2，…，pn為方程A(s)=0的根的負(fù)值，稱為F(s)的極點(diǎn)；ci=bi

/a0

(i=0,1,…,m)。此時(shí)，即可將F(s)展開成部分分式。

第二章數(shù)學(xué)模型10/29/202358

F(s)只含有不同的實(shí)數(shù)極點(diǎn)式中，Ai為常數(shù)，稱為s=-pi極點(diǎn)處的留數(shù)。于是：第二章數(shù)學(xué)模型10/29/202359例：求的原函數(shù)。解：第二章數(shù)學(xué)模型10/29/202360即：第二章數(shù)學(xué)模型10/29/202361

F(s)含有共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)

假設(shè)F(s)含有一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)-p1、-p2，其余極點(diǎn)均為各不相同的實(shí)數(shù)極點(diǎn)，則：式中，A1和A2的值由下式求解：上式為復(fù)數(shù)方程，令方程兩端實(shí)部、虛部分別相等即可確定A1和A2的值。第二章數(shù)學(xué)模型10/29/202362注意，此時(shí)F(s)仍可分解為下列形式：由于p1、p2為共軛復(fù)數(shù)，因此，A1和A2的也為共軛復(fù)數(shù)。第二章數(shù)學(xué)模型10/29/202363例：求的原函數(shù)。解：令：，則：

第二章數(shù)學(xué)模型10/29/202364根據(jù)：有：即：由上式兩邊實(shí)部和虛部分別相等，得：第二章數(shù)學(xué)模型10/29/202365而：所以：第二章數(shù)學(xué)模型10/29/202366查拉氏變換表得：令，即：于是：第二章數(shù)學(xué)模型10/29/202367例：求的原函數(shù)。解：第二章數(shù)學(xué)模型10/29/202368即：所以：第二章數(shù)學(xué)模型10/29/202369第二章數(shù)學(xué)模型10/29/202370查拉氏變換表得：第二章數(shù)學(xué)模型10/29/202371

F(s)含有重極點(diǎn)

設(shè)F(s)存在r重極點(diǎn)-p0，其余極點(diǎn)均不同，則：

式中，Ar+1，…，An利用前面的方法求解。第二章數(shù)學(xué)模型10/29/202372……第二章數(shù)學(xué)模型10/29/202373注意到：所以：第二章數(shù)學(xué)模型10/29/202374例：求的原函數(shù)。解：第二章數(shù)學(xué)模型10/29/202375于是：第二章數(shù)學(xué)模型10/29/202376

用MATLAB展開部分分式設(shè)：在MATLAB中，多項(xiàng)式通過系數(shù)行向量表示，系數(shù)按降序排列。如要輸入多項(xiàng)式：x4-12x3+25x+126>>p=[1-12025126]p=1-12025126第二章數(shù)學(xué)模型10/29/202377用num和den分別表示F(s)的分子和分母多項(xiàng)式，即：num=[b0

b1…bm]den=[a0

a1…an]MATLAB提供函數(shù)residue用于實(shí)現(xiàn)部分分式展開，其句法為：[r,p,k]=residue(num,den)其中，r,p分別為展開后的留數(shù)及極點(diǎn)構(gòu)成的列向量、k為余項(xiàng)多項(xiàng)式行向量。第二章數(shù)學(xué)模型10/29/202378若無(wú)重極點(diǎn)，MATLAB展開后的一般形式為：若存在q重極點(diǎn)p(j)，展開式將包括下列各項(xiàng)：第二章數(shù)學(xué)模型10/29/202379例：求的部分分式展開。>>num=[111395226];>>den=[110355024];>>[r,p,k]=residue(num,den)r=1.00002.5000-3.00000.5000p=-4.0000-3.0000-2.0000-1.0000k=1展開式為：第二章數(shù)學(xué)模型10/29/202380例：求的部分分式展開。>>num=[1001056];>>den=[15972];>>[r,p,k]=residue(num,den)r=-4.000020.0000-20.000010.0000p=-2.0000-1.0000-1.0000-1.0000k=1-5展開式為：第二章數(shù)學(xué)模型10/29/202381[num,den]=residue(r,p,k)函數(shù)residue也可用于將部分分式合并，其句法為：>>r=[1234]';p=[-1-2-3-4]';k=0;>>[num,den]=residue(r,p,k)num=107015096den=110355024例：第二章數(shù)學(xué)模型10/29/202382

應(yīng)用拉氏變換解線性微分方程

求解步驟

將微分方程通過拉氏變換變?yōu)?/p>

s的代數(shù)方

程；

解代數(shù)方程，得到有關(guān)變量的拉氏變換表

達(dá)式；

應(yīng)用拉氏反變換，得到微分方程的時(shí)域解。第二章數(shù)學(xué)模型10/29/202383原函數(shù)（微分方程的解）象函數(shù)微分方程象函數(shù)的代數(shù)方程拉氏反變換拉氏變換解代數(shù)方程拉氏變換法求解線性微分方程的過程第二章數(shù)學(xué)模型10/29/202384

實(shí)例設(shè)系統(tǒng)微分方程為：若xi

(t)

=1(t)，初始條件分別為x'o(0)、xo(0)，試求xo(t)。解：對(duì)微分方程左邊進(jìn)行拉氏變換：

第二章數(shù)學(xué)模型10/29/202385即：第二章數(shù)學(xué)模型10/29/202386對(duì)方程右邊進(jìn)行拉氏變換：從而：第二章數(shù)學(xué)模型10/29/202387第二章數(shù)學(xué)模型10/29/202388所以：查拉氏變換表得：當(dāng)初始條件為零時(shí)：第二章數(shù)學(xué)模型零狀態(tài)響應(yīng)零輸入響應(yīng)10/29/202389

應(yīng)用拉氏變換法求解微分方程時(shí)，由于初始條件已自動(dòng)地包含在微分方程的拉氏變換式中，因此，不需要根據(jù)初始條件求積分常數(shù)的值就可得到微分方程的全解。

如果所有的初始條件為零，微分方程的拉氏變換可以簡(jiǎn)單地用sn代替dn/dtn得到。

由上述實(shí)例可見：第二章數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)響應(yīng)可分為兩部分：零狀態(tài)響應(yīng)和零輸入響應(yīng)10/29/202390作業(yè)：2-3（2,4,6,10,16）

2-4(2,3)10/29/202391四、傳遞函數(shù)

傳遞函數(shù)的概念和定義

傳遞函數(shù)

第二章數(shù)學(xué)模型在零初始條件下，線性定常系統(tǒng)輸出量的拉氏變換與引起該輸出的輸入量的拉氏變換之比。

零初始條件：

t<0時(shí)，輸入量及其各階導(dǎo)數(shù)均為0；

輸入量施加于系統(tǒng)之前，系統(tǒng)處于穩(wěn)定的工作狀態(tài)，即t<0時(shí)，輸出量及其各階導(dǎo)數(shù)也均為0；10/29/202392第二章數(shù)學(xué)模型

傳遞函數(shù)求解示例

質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

所有初始條件均為零時(shí)，其拉氏變換為：按照定義，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：10/29/202393第二章數(shù)學(xué)模型

R-L-C無(wú)源電路網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)

所有初始條件均為零時(shí)，其拉氏變換為：10/29/202394第二章數(shù)學(xué)模型幾點(diǎn)結(jié)論

傳遞函數(shù)是復(fù)數(shù)s域中的系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型，其參數(shù)僅取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)及參數(shù)，與系統(tǒng)的輸入形式無(wú)關(guān)。

若輸入給定，則系統(tǒng)輸出特性完全由傳遞函數(shù)G(s)決定，即傳遞函數(shù)表征了系統(tǒng)內(nèi)在的固有動(dòng)態(tài)特性。

傳遞函數(shù)通過系統(tǒng)輸入量與輸出量之間的關(guān)系來描述系統(tǒng)的固有特性。即以系統(tǒng)外部的輸入－輸出特性來描述系統(tǒng)的內(nèi)部特性。10/29/202395第二章數(shù)學(xué)模型

傳遞函數(shù)的一般形式考慮線性定常系統(tǒng)當(dāng)初始條件全為零時(shí)，對(duì)上式進(jìn)行拉氏變換可得系統(tǒng)傳遞函數(shù)的一般形式：10/29/202396第二章數(shù)學(xué)模型令：則：D(s)=0稱為系統(tǒng)的特征方程，其根稱為系統(tǒng)的特征根。特征方程決定著系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性。D(s)中s的最高階次等于系統(tǒng)的階次。

特征方程、零點(diǎn)和極點(diǎn)

特征方程10/29/202397第二章數(shù)學(xué)模型式中，K稱為系統(tǒng)的放大系數(shù)或增益。當(dāng)s=0時(shí)：

G(0)=bm/an=K從微分方程的角度看，此時(shí)相當(dāng)于所有的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)都為零。因此K反應(yīng)了系統(tǒng)處于靜態(tài)時(shí)，輸出與輸入的比值。

10/29/202398第二章數(shù)學(xué)模型零點(diǎn)和極點(diǎn)將G(s)寫成下面的形式：

N(s)=a0(s-p1)(s-p2)…(s-pn)=0的根s=pj

(j=1,2,…,n)，稱為傳遞函數(shù)的極點(diǎn)；式中，M(s)=b0(s-z1)(s-z2)…(s-zm)=0的根s=zi(i=1,2,…,m)，稱為傳遞函數(shù)的零點(diǎn)；系統(tǒng)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)就是系統(tǒng)的特征根。零點(diǎn)和極點(diǎn)的數(shù)值完全取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)。10/29/202399第二章數(shù)學(xué)模型

零、極點(diǎn)分布圖

將傳遞函數(shù)的零、極點(diǎn)表示在復(fù)平面上的圖形稱為傳遞函數(shù)的零、極點(diǎn)分布圖。圖中，零點(diǎn)用“O”表示，極點(diǎn)用“×”表示。

G(s)=S+2(s+3)(s2+2s+2)的零極點(diǎn)分布圖012312-1-2-3-1-2

j

10/29/2023100第二章數(shù)學(xué)模型

傳遞函數(shù)的幾點(diǎn)說明

傳遞函數(shù)是一種以系統(tǒng)參數(shù)表示的線性定常系統(tǒng)輸入量與輸出量之間的關(guān)系式；傳遞函數(shù)的概念通常只適用于線性定常系統(tǒng)；

傳遞函數(shù)是

s的復(fù)變函數(shù)。傳遞函數(shù)中的各項(xiàng)系數(shù)和相應(yīng)微分方程中的各項(xiàng)系數(shù)對(duì)應(yīng)相等，完全取決于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)；10/29/2023101第二章數(shù)學(xué)模型

傳遞函數(shù)是在零初始條件下定義的，即在零時(shí)刻之前，系統(tǒng)對(duì)所給定的平衡工作點(diǎn)處于相對(duì)靜止?fàn)顟B(tài)。因此，傳遞函數(shù)原則上不能反映系統(tǒng)在非零初始條件下的全部運(yùn)動(dòng)規(guī)律；

傳遞函數(shù)只能表示系統(tǒng)輸入與輸出的關(guān)系，無(wú)法描述系統(tǒng)內(nèi)部中間變量的變化情況。

一個(gè)傳遞函數(shù)只能表示一個(gè)輸入對(duì)一個(gè)輸出的關(guān)系，只適合于單輸入單輸出系統(tǒng)的描述。10/29/2023102第二章數(shù)學(xué)模型典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)

環(huán)節(jié)具有某種確定信息傳遞關(guān)系的元件、元件組或元件的一部分稱為一個(gè)環(huán)節(jié)。經(jīng)常遇到的環(huán)節(jié)稱為典型環(huán)節(jié)。

任何復(fù)雜的系統(tǒng)總可歸結(jié)為由一些典型環(huán)節(jié)所組成。

10/29/2023103第二章數(shù)學(xué)模型

環(huán)節(jié)的分類假設(shè)系統(tǒng)有b個(gè)實(shí)零點(diǎn)，c對(duì)復(fù)零點(diǎn)，d個(gè)實(shí)極點(diǎn)，e對(duì)復(fù)極點(diǎn)和v個(gè)零極點(diǎn)，由線性系統(tǒng)傳遞函數(shù)的零、極點(diǎn)表達(dá)式：可見：b+2c=m

v+d+2e=n10/29/2023104第二章數(shù)學(xué)模型對(duì)于實(shí)零點(diǎn)zi=

i和實(shí)極點(diǎn)pj=

j

，其因式可以變換成如下形式：10/29/2023105第二章數(shù)學(xué)模型對(duì)于復(fù)零點(diǎn)對(duì)z?=

?+j

?和z?+1=

?

j

?

，其因式可以變換成如下形式：式中，10/29/2023106第二章數(shù)學(xué)模型對(duì)于復(fù)極點(diǎn)對(duì)pk=

k+j

k和pk+1=

k

j

k

，其因式可以變換成如下形式：式中，10/29/2023107第二章數(shù)學(xué)模型于是，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)可以寫成：式中，為系統(tǒng)放大倍數(shù)。10/29/2023108第二章數(shù)學(xué)模型由上式可見，傳遞函數(shù)表達(dá)式包含六種不同的因子，即：一般，任何線性系統(tǒng)都可以看作是由上述六種因子表示的典型環(huán)節(jié)的串聯(lián)組合。上述六種典型環(huán)節(jié)分別稱為：10/29/2023109第二章數(shù)學(xué)模型比例環(huán)節(jié)： K一階微分環(huán)節(jié)：

s+1二階微分環(huán)節(jié)：積分環(huán)節(jié)：慣性環(huán)節(jié)：振蕩環(huán)節(jié)：10/29/2023110第二章數(shù)學(xué)模型實(shí)際系統(tǒng)中還存在純時(shí)間延遲現(xiàn)象，輸出完全復(fù)現(xiàn)輸入，但延遲了時(shí)間

，即xo(t)=xi(t-

)，此時(shí)：或：因此，除了上述六種典型環(huán)節(jié)外，還有一類典型環(huán)節(jié)——延遲環(huán)節(jié)。10/29/2023111第二章數(shù)學(xué)模型

典型環(huán)節(jié)示例

比例環(huán)節(jié)

輸出量不失真、無(wú)慣性地跟隨輸入量，兩者成比例關(guān)系。其運(yùn)動(dòng)方程為：xo(t)=Kxi(t)xo(t)、xi(t)—分別為環(huán)節(jié)的輸出和輸入量；K—比例系數(shù)，等于輸出量與輸入量之比。10/29/2023112第二章數(shù)學(xué)模型比例環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為：z1z2ni(t)no(t)齒輪傳動(dòng)副R2R1ui(t)uo(t)運(yùn)算放大器10/29/2023113第二章數(shù)學(xué)模型

慣性環(huán)節(jié)

凡運(yùn)動(dòng)方程為一階微分方程：形式的環(huán)節(jié)稱為慣性環(huán)節(jié)。其傳遞函數(shù)為：

T—時(shí)間常數(shù)，表征環(huán)節(jié)的慣性，和環(huán)節(jié)結(jié)構(gòu)參數(shù)有關(guān)式中，K—環(huán)節(jié)增益（放大系數(shù)）；10/29/2023114第二章數(shù)學(xué)模型如：彈簧-阻尼器環(huán)節(jié)xi(t)xo(t)彈簧-阻尼器組成的環(huán)節(jié)KB10/29/2023115第二章數(shù)學(xué)模型

微分環(huán)節(jié)

輸出量正比于輸入量的微分。運(yùn)動(dòng)方程為：傳遞函數(shù)為：式中，

—微分環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)在物理系統(tǒng)中微分環(huán)節(jié)不獨(dú)立存在，而是和其它環(huán)節(jié)一起出現(xiàn)。10/29/2023116第二章數(shù)學(xué)模型如：測(cè)速發(fā)電機(jī)uo(t)

i(t)測(cè)速發(fā)電機(jī)式中，Kt為電機(jī)常數(shù)。

無(wú)負(fù)載時(shí)：10/29/2023117第二章數(shù)學(xué)模型RCui(t)uo(t)i(t)無(wú)源微分網(wǎng)絡(luò)無(wú)源微分網(wǎng)絡(luò)

顯然，無(wú)源微分網(wǎng)絡(luò)包括有慣性環(huán)節(jié)和微分環(huán)節(jié)，稱之為慣性微分環(huán)節(jié)，只有當(dāng)|Ts|<<1時(shí)，才近似為微分環(huán)節(jié)。

10/29/2023118第二章數(shù)學(xué)模型除了上述純微分環(huán)節(jié)外，還有一類一階微分環(huán)節(jié)，其傳遞函數(shù)為：微分環(huán)節(jié)的輸出是輸入的導(dǎo)數(shù)，即輸出反映了輸入信號(hào)的變化趨勢(shì)，從而給系統(tǒng)以有關(guān)輸入變化趨勢(shì)的預(yù)告。因此，微分環(huán)節(jié)常用來改善控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。10/29/2023119第二章數(shù)學(xué)模型

積分環(huán)節(jié)

輸出量正比于輸入量對(duì)時(shí)間的積分。

運(yùn)動(dòng)方程為：傳遞函數(shù)為：式中，T—積分環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)。10/29/2023120第二章數(shù)學(xué)模型積分環(huán)節(jié)特點(diǎn)：

輸出量取決于輸入量對(duì)時(shí)間的積累過程。且具有記憶功能；

具有明顯的滯后作用。積分環(huán)節(jié)常用來改善系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能。如當(dāng)輸入量為常值

A時(shí)，由于：輸出量須經(jīng)過時(shí)間T才能達(dá)到輸入量在t=0時(shí)的值A(chǔ)。10/29/2023121第二章數(shù)學(xué)模型如：有源積分網(wǎng)絡(luò)

+

CRi1(t)ui(t)uo(t)i2(t)a10/29/2023122第二章數(shù)學(xué)模型液壓缸

Aqi(t)xo(t)10/29/2023123第二章數(shù)學(xué)模型

振蕩環(huán)節(jié)

含有兩個(gè)獨(dú)立的儲(chǔ)能元件，且所存儲(chǔ)的能量能夠相互轉(zhuǎn)換，從而導(dǎo)致輸出帶有振蕩的性質(zhì)，運(yùn)動(dòng)方程為：傳遞函數(shù)：10/29/2023124第二章數(shù)學(xué)模型式中，T—振蕩環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)

—阻尼比，對(duì)于振蕩環(huán)節(jié)，0<

<1

K—比例系數(shù)振蕩環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的另一常用標(biāo)準(zhǔn)形式為（K=1）：

n稱為無(wú)阻尼固有頻率。10/29/2023125第二章數(shù)學(xué)模型如：質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)傳遞函數(shù)：式中，當(dāng)時(shí)，為振蕩環(huán)節(jié)。10/29/2023126第二章數(shù)學(xué)模型

二階微分環(huán)節(jié)

式中，

—時(shí)間常數(shù)

—阻尼比，對(duì)于二階微分環(huán)節(jié)，0<

<1

K—比例系數(shù)

運(yùn)動(dòng)方程：傳遞函數(shù)：10/29/2023127第二章數(shù)學(xué)模型

延遲環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)從輸入開始時(shí)刻起就已有輸出，僅由于慣性，輸出要滯后一段時(shí)間才接近所要求的輸出值；運(yùn)動(dòng)方程：傳遞函數(shù)：式中，

為純延遲時(shí)間。

延遲環(huán)節(jié)從輸入開始之初，在0~

時(shí)間內(nèi),

沒有輸出，但t=

之后，輸出完全等于輸入。延遲環(huán)節(jié)與慣性環(huán)節(jié)的區(qū)別：10/29/2023128第二章數(shù)學(xué)模型ALvhi(t)ho(t)軋制鋼板厚度測(cè)量10/29/2023129第二章數(shù)學(xué)模型

小結(jié)

環(huán)節(jié)是根據(jù)微分方程劃分的，不是具體的物理裝置或元件；

一個(gè)環(huán)節(jié)往往由幾個(gè)元件之間的運(yùn)動(dòng)特性共同組成；

同一元件在不同系統(tǒng)中作用不同，輸入輸出的物理量不同，可起到不同環(huán)節(jié)的作用。10/29/2023130第二章數(shù)學(xué)模型五、系統(tǒng)方框圖和信號(hào)流圖系統(tǒng)方框圖

系統(tǒng)方框圖是系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的圖解形式?？梢孕蜗笾庇^地描述系統(tǒng)中各元件間的相互關(guān)系及其功能以及信號(hào)在系統(tǒng)中的傳遞、變換過程。注意：即使描述系統(tǒng)的數(shù)學(xué)關(guān)系式相同，其方框圖也不一定相同。10/29/2023131第二章數(shù)學(xué)模型

方框圖的結(jié)構(gòu)要素

信號(hào)線

帶有箭頭的直線，箭頭表示信號(hào)的傳遞方向，直線旁標(biāo)記信號(hào)的時(shí)間函數(shù)或象函數(shù)。X(s),x(t)信號(hào)線10/29/2023132第二章數(shù)學(xué)模型

信號(hào)引出點(diǎn)（線）表示信號(hào)引出或測(cè)量的位置和傳遞方向。

同一信號(hào)線上引出的信號(hào)，其性質(zhì)、大小完全一樣。

引出線X(s)X(s)X(s)X(s)X(s)X(s)10/29/2023133第二章數(shù)學(xué)模型

函數(shù)方框(環(huán)節(jié))G(s)X1(s)X2(s)函數(shù)方框函數(shù)方框具有運(yùn)算功能，即：

X2(s)=G(s)X1(s)傳遞函數(shù)的圖解表示。10/29/2023134第二章數(shù)學(xué)模型

求和點(diǎn)（比較點(diǎn)、綜合點(diǎn)）信號(hào)之間代數(shù)加減運(yùn)算的圖解。用符號(hào)“

”及相應(yīng)的信號(hào)箭頭表示，每個(gè)箭頭前方的“+”或“-”表示加上此信號(hào)或減去此信號(hào)。

相鄰求和點(diǎn)可以互換、合并、分解，即滿足代數(shù)運(yùn)算的交換律、結(jié)合律和分配律。

X1(s)X2(s)X1(s)

X2(s)

10/29/2023135第二章數(shù)學(xué)模型

ABA-BCA-B+C

A+C-BBCAA+C

ABA-B+CCA-B+C求和點(diǎn)可以有多個(gè)輸入，但輸出是唯一的。

10/29/2023136第二章數(shù)學(xué)模型

求和點(diǎn)函數(shù)方框函數(shù)方框引出線Ui(s)U(s)I(s)Uo(s)方框圖示例任何系統(tǒng)都可以由信號(hào)線、函數(shù)方框、信號(hào)引出點(diǎn)及求和點(diǎn)組成的方框圖來表示。

10/29/2023137第二章數(shù)學(xué)模型

系統(tǒng)方框圖的建立

步驟

建立系統(tǒng)各元部件的微分方程,明確信號(hào)的因果關(guān)系（輸入/輸出）。

對(duì)上述微分方程進(jìn)行拉氏變換，繪制各部件的方框圖。

按照信號(hào)在系統(tǒng)中的傳遞、變換過程，依次將各部件的方框圖連接起來，得到系統(tǒng)的方框圖。10/29/2023138第二章數(shù)學(xué)模型

示例RCui(t)uo(t)i(t)無(wú)源RC電路網(wǎng)絡(luò)

無(wú)源RC網(wǎng)絡(luò)

拉氏變換得：10/29/2023139第二章數(shù)學(xué)模型從而可得系統(tǒng)各方框單元及其方框圖。

Ui(s)Ui-UoI(s)Uo(s)(a)Uo(s)I(s)(b)10/29/2023140第二章數(shù)學(xué)模型

Ui(s)U(s)I(s)Uo(s)無(wú)源RC電路網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)方框圖10/29/2023141

機(jī)械系統(tǒng)

第二章數(shù)學(xué)模型m1fi(t)K1Cx(t)0m2K2xo(t)0m1fi(t)m2fK1fK2fm1fm2fC10/29/2023142第二章數(shù)學(xué)模型m1fi(t)m2fK1fK2fm1fm2fCx(t)0xo(t)010/29/2023143第二章數(shù)學(xué)模型10/29/2023144第二章數(shù)學(xué)模型

Fi(s)X(s)FC(s)FK1(s)(a)K1

X(s)Xo(s)FK1(s)CsFC(s)(b)10/29/2023145第二章數(shù)學(xué)模型

Xo(s)FC(s)FK2(s)FK1(s)

(c)K2Xo(s)FK2(s)(d)10/29/2023146第二章數(shù)學(xué)模型

Fi(s)X(s)FC(s)FK1(s)

Xo(s)FK2(s)

K1

Xo(s)FK1(s)CsFC(s)K2機(jī)械系統(tǒng)方框圖10/29/2023147第二章數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)方框圖的簡(jiǎn)化

方框圖的運(yùn)算法則

串聯(lián)連接

G1(s)G2(s)Gn(s)Xi(s)X1(s)X2(s)Xn-1(s)Xo(s)...G(s)=G1(s)G2(s)···Gn(s)Xi(s)Xo(s)10/29/2023148第二章數(shù)學(xué)模型

并聯(lián)連接

Xo(s)G1(s)+Xi(s)G2(s)

++Gn(s)...Xi(s)Xo(s)G1(s)+G2(s)+

+Gn(s)10/29/2023149第二章數(shù)學(xué)模型

反饋連接

G(s)H(s)

Xi(s)Xo(s)

B(s)E(s)Xi(s)Xo(s)10/29/2023150第二章數(shù)學(xué)模型

方框圖的等效變換法則

求和點(diǎn)的移動(dòng)

G(s)

ABC±求和點(diǎn)后移G(s)

ABC±求和點(diǎn)前移G(s)

ABCG(s)±G(s)

ABC±10/29/2023151第二章數(shù)學(xué)模型

引出點(diǎn)的移動(dòng)引出點(diǎn)前移G(s)ACC引出點(diǎn)后移G(s)ACAG(s)ACG(s)CG(s)ACA10/29/2023152第二章數(shù)學(xué)模型

由方框圖求系統(tǒng)傳遞函數(shù)基本思路：利用等效變換法則，移動(dòng)求和點(diǎn)和引出點(diǎn)，消去交叉回路，變換成可以運(yùn)算的簡(jiǎn)單回路。

10/29/2023153第二章數(shù)學(xué)模型例：求下圖所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。H1(s)Xo(s)G1(s)

G3(s)H3(s)+Xi(s)G2(s)

BH2(s)A10/29/2023154第二章數(shù)學(xué)模型H1(s)G1(s)

G3(s)H3(s)+Xi(s)G2(s)

Xo(s)H2(s)G3(s)解：1、A點(diǎn)前移；10/29/2023155第二章數(shù)學(xué)模型2、消去H2(s)G3(s)反饋回路H1(s)Xo(s)G1(s)

G3(s)H3(s)+Xi(s)10/29/2023156第二章數(shù)學(xué)模型Xi(s)Xo(s)H3(s)

Xi(s)Xo(s)3、消去H1(s)

反饋回路4、消去H3(s)

反饋回路10/29/2023157第二章數(shù)學(xué)模型2-8按信息傳遞和轉(zhuǎn)換過程，繪出圖示兩機(jī)械系統(tǒng)的方框圖。K1B2xom輸出K2abfi(t)輸入KB1xiB2xom輸入輸出作業(yè)：2－8、2－10、2－1110/29/20231582-10繪出圖示無(wú)源電網(wǎng)絡(luò)的方框圖，并求各自的傳遞函數(shù)。R1C1C2R2uiuob)C1R1R2uo(t)ui(t)C2d)10/29/20231592-11基于方框圖簡(jiǎn)化法則，求圖示系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)。Xi(s)G1G2G3H2H1G4Xo(s)a)10/29/2023160第二章數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)信號(hào)流圖和梅遜公式

信號(hào)流圖起源于梅遜（S.J.MASON）利用圖示法來描述一個(gè)和一組線性代數(shù)方程，是由節(jié)點(diǎn)和支路組成的一種信號(hào)傳遞網(wǎng)絡(luò)。

信號(hào)流圖及其術(shù)語(yǔ)

節(jié)點(diǎn)表示變量或信號(hào)，其值等于所有進(jìn)入該節(jié)點(diǎn)的信號(hào)之和。節(jié)點(diǎn)用“

”表示。10/29/2023161第二章數(shù)學(xué)模型

支路連接兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的定向線段，用支路增益（傳遞函數(shù)）表示方程式中兩個(gè)變量的因果關(guān)系。支路相當(dāng)于乘法器。信號(hào)在支路上沿箭頭單向傳遞。例：x1x2x3x4x5x51eafbdc1g10/29/2023162第二章數(shù)學(xué)模型

輸入節(jié)點(diǎn)（源節(jié)點(diǎn)）只有輸出的節(jié)點(diǎn)，代表系統(tǒng)的輸入變量。

輸出節(jié)點(diǎn)（阱節(jié)點(diǎn)、匯點(diǎn)）只有輸入的節(jié)點(diǎn)，代表系統(tǒng)的輸出變量。

源節(jié)點(diǎn)匯點(diǎn)x1x2x3x4x5x51eafbdc1g10/29/2023163第二章數(shù)學(xué)模型

混合節(jié)點(diǎn)既有輸入又有輸出的節(jié)點(diǎn)。若從混合節(jié)點(diǎn)引出一條具有單位增益的支路，可將混合節(jié)點(diǎn)變?yōu)檩敵龉?jié)點(diǎn)。x1x2x3x4x5x51eafbdc1g10/29/2023164第二章數(shù)學(xué)模型

通路沿支路箭頭方向穿過各相連支路的路徑。

前向通路從輸入節(jié)點(diǎn)到輸出節(jié)點(diǎn)的通路上通過任何節(jié)點(diǎn)不多于一次的通路。前向通路上各支路增益之乘積，稱前向通路總增益，一般用pk表示。x1x2x3x4x5x51eafbdc1g10/29/2023165第二章數(shù)學(xué)模型

回路起點(diǎn)與終點(diǎn)重合且通過任何節(jié)點(diǎn)不多于一次的閉合通路?；芈分兴兄吩鲆嬷朔e稱為回路增益，用La表示。x1x2x3x4x5x51eafbdc1g

不接觸回路相互間沒有任何公共節(jié)點(diǎn)的回路。10/29/2023166第二章數(shù)學(xué)模型

信號(hào)流圖的繪制由系統(tǒng)微分方程繪制信號(hào)流圖根據(jù)微分方程繪制信號(hào)流圖的步驟與繪制方框圖的步驟類似。由系統(tǒng)方框圖繪制信號(hào)流圖兩種方法：10/29/2023167第二章數(shù)學(xué)模型例1：根據(jù)微分方程繪制信號(hào)流圖R1R2C1C2i1(t)u1(t)uo(t)i2(t)uA(t)二級(jí)RC電路網(wǎng)絡(luò)10/29/2023168第二章數(shù)學(xué)模型取Ui(s)、I1(s)、UA(s)、I2(s)、Uo

(s)作為信號(hào)流圖的節(jié)點(diǎn)，其中，Ui(s)、Uo(s)分別為輸入及輸出節(jié)點(diǎn)。按上述方程繪制出各部分的信號(hào)流圖，再綜合后即得到系統(tǒng)的信號(hào)流圖。

10/29/2023169第二章數(shù)學(xué)模型a)I1(s)UA(s)I2(s)-11Ui(s)I1(s)UA(s)-11b)10/29/2023170第二章數(shù)學(xué)模型c)UA(s)I2(s)1-1Uo(s)d)Uo(s)I2(s)10/29/2023171第二章數(shù)學(xué)模型Ui(s)I1(s)UA(s)-11I2(s)-111-1Uo(s)1Ui(s)I1(s)UA(s)-11I2(s)-11-1Uo(s)110/29/2023172第二章數(shù)學(xué)模型例2：根據(jù)方框圖繪制信號(hào)流圖G(s)H(s)

Xi(s)Xo(s)

E(s)系統(tǒng)方框圖信號(hào)流圖Xi(s)Xo(s)G(s)E(s)Xo(s)11-H(s)10/29/2023173第二章數(shù)學(xué)模型G1(s)G4(s)G3(s)G2(s)

E1E2E3G1-G2G4G3E3G1(s)G4(s)G3(s)G2(s)

E1E2E3G1-G2G4G3E3E11※比較點(diǎn)與節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)關(guān)系：10/29/2023174

梅遜公式第二章數(shù)學(xué)模型式中，P—系統(tǒng)總傳遞函數(shù)Pk—第k條前向通路的傳遞函數(shù)（通路增益）

—流圖特征式10/29/2023175第二章數(shù)學(xué)模型—所有不同回路的傳遞函數(shù)之和；—每?jī)蓚€(gè)互不接觸回路傳遞函數(shù)乘積之和—每三個(gè)互不接觸回路傳遞函數(shù)乘積之和10/29/2023176第二章數(shù)學(xué)模型

k—

第k條前向通路特征式的余因子，即對(duì)于流圖的特征式

，將與第k條前向通路相接觸的回路傳遞函數(shù)代以零值，余下的

即為

k。

10/29/2023177第二章數(shù)學(xué)模型Ui(s)I1(s)UA(s)-11I2(s)-11-1Uo(s)1例：用梅遜公式求系統(tǒng)傳遞函數(shù)對(duì)于二階RC電路網(wǎng)絡(luò)，輸入U(xiǎn)i(s)與輸出Uo(s)之間只有一條前向通路，其傳遞函數(shù)為：10/29/2023178第二章數(shù)學(xué)模型Ui(s)I1(s)UA(s)-11I2(s)-11-1Uo(s)1三個(gè)不同回路的傳遞函數(shù)分別為：L1L2L310/29/2023179第二章數(shù)學(xué)模型流圖特征式為：前向通路特征式的余因子為：所以，10/29/2023180第二章數(shù)學(xué)模型控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

考慮擾動(dòng)的閉環(huán)控制系統(tǒng)G1(s)H(s)

Xi(s)Xo(s)B(s)

(s)G2(s)

N(s)++Xi(s)到Xo(s)的信號(hào)傳遞通路稱為前向通道；Xo(s)到B(s)的信號(hào)傳遞通路稱為反饋通道；

10/29/2023181第二章數(shù)學(xué)模型

閉環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)閉環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)也可定義為反饋信號(hào)B(s)和偏差信號(hào)

(s)之間的傳遞函數(shù)，即：將閉環(huán)控制系統(tǒng)主反饋通道的輸出斷開，即H(s)的輸出通道斷開，此時(shí)，前向通道傳遞函數(shù)與反饋通道傳遞函數(shù)的乘積G1(s)G2(s)H(s)稱為該閉環(huán)控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)。記為GK(s)。10/29/2023182第二章數(shù)學(xué)模型

xi(t)作用下系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)令n(t)=0，此時(shí)在輸入xi(t)作用下系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：G1(s)H(s)

Xi(s)Xo1(s)B(s)

(s)G2(s)xi(t)作用下的閉環(huán)系統(tǒng)10/29/2023183第二章數(shù)學(xué)模型輸入作用下系統(tǒng)的偏差傳遞函數(shù)1H(s)

Xi(s)G1(s)G2(s)

(s)偏差信號(hào)與輸入信號(hào)之間的關(guān)系令n(t)=0，此時(shí)系統(tǒng)輸入Xi(s)與偏差

(s)之間的傳遞函數(shù)稱為輸入作用下的偏差傳遞函數(shù)。用表示。10/29/2023184第二章數(shù)學(xué)模型

n(t)作用下系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)令xi(t)=0，此時(shí)在擾動(dòng)n(t)作用下系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)（干擾傳遞函數(shù)）為：

G1(s)H(s)

N(s)Xo2(s)G2(s)n(t)作用下的閉環(huán)系統(tǒng)10/29/2023185第二章數(shù)學(xué)模型

擾動(dòng)作用下系統(tǒng)的偏差傳遞函數(shù)令xi(t)=0，此時(shí)系統(tǒng)在擾動(dòng)作用下的偏差傳遞函數(shù)（稱擾動(dòng)偏差傳遞函數(shù)）。

-1

N(s)G1(s)

(s)偏差信號(hào)與干擾信號(hào)之間的關(guān)系G2(s)H(s)+10/29/2023186第二章數(shù)學(xué)模型

結(jié)論

系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)、、及具有相同的特征多項(xiàng)式：

1+G1(s)G2(s)H(s)

其中G1(s)G2(s)H(s)為系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)。即閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)相同。

系統(tǒng)的固有特性與輸入、輸出的形式、位置均無(wú)關(guān)；同一個(gè)外作用加在系統(tǒng)不同的位置上，系統(tǒng)的響應(yīng)不同，但不會(huì)改變系統(tǒng)的固有特性；

10/29/2023187第二章數(shù)學(xué)模型

系統(tǒng)的總輸出根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加原理，系統(tǒng)在輸入xi(t)及擾動(dòng)n(t)共同作用下的總輸出為：10/29/2023188第二章數(shù)學(xué)模型若且，則：上式表明，采用反饋控制的系統(tǒng)，適當(dāng)選擇元部件的結(jié)構(gòu)參數(shù)，可以增強(qiáng)系統(tǒng)抑制干擾的能力。

10/29/2023189第二章數(shù)學(xué)模型2-13系統(tǒng)信號(hào)流圖如下，試求其傳遞函數(shù)。Xi(s)1abc1Xo(s)fghde作業(yè)：2－13、2－1410/29/20231902-14系統(tǒng)方框圖如下，圖中Xi(s)為輸入，N(s)為擾動(dòng)。求傳遞函數(shù)Xo(s)/Xi(s)和Xo(s)/N(s)。若要消除擾動(dòng)對(duì)輸入的影響(即Xo(s)/N(s)=0)，試確定G0(s)值。

_K4N(s)K1

G0(s)Xi(s)Xo(s)+_10/29/2023191第二章數(shù)學(xué)模型六、控制系統(tǒng)傳遞函數(shù)推導(dǎo)舉例機(jī)械系統(tǒng)

電機(jī)驅(qū)動(dòng)進(jìn)給裝置工作臺(tái)m絲杠L電動(dòng)機(jī)如右圖，絲杠螺母裝置將電機(jī)的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)變?yōu)楣ぷ髋_(tái)的直線運(yùn)動(dòng)。10/29/2023192第二章數(shù)學(xué)模型電機(jī)驅(qū)動(dòng)進(jìn)給裝置等效系統(tǒng)J電動(dòng)機(jī)等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量按等功原理，工作臺(tái)等直線運(yùn)動(dòng)部件質(zhì)量m的等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：L—絲杠螺距，即絲杠每轉(zhuǎn)一周工作臺(tái)移動(dòng)的直線距離。10/29/2023193第二章數(shù)學(xué)模型齒輪傳動(dòng)裝置

z1T1

1T2

2z2齒輪副假設(shè)齒輪傳動(dòng)中無(wú)功率損耗，且忽略齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、嚙合間隙與變形，則：T1、T2：轉(zhuǎn)矩

1、

2：角位移

1、

2：角速度z1、z2：齒數(shù)r1、r2：齒輪分度圓半徑10/29/2023194第二章數(shù)學(xué)模型T

1z1T2

2z2J1C1J2C2T1集中參數(shù)齒輪副模型：J1、J2：齒輪（包括軸）的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量C1、C2：嚙合齒輪、支承粘性阻尼系數(shù)T

：輸入轉(zhuǎn)矩10/29/2023195第二章數(shù)學(xué)模型齒輪1：齒輪2：利用：有：10/29/2023196第二章數(shù)學(xué)模型式中：——等效折算到輸入端的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量其中，動(dòng)慣量折算到齒輪1一側(cè)的等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為齒輪2一側(cè)的轉(zhuǎn)10/29/2023197第二章數(shù)學(xué)模型——等效折算到輸入端的粘性阻尼系數(shù)顯然，利用，齒輪2一側(cè)的轉(zhuǎn)矩、轉(zhuǎn)速和角位移同樣可等效折算到齒輪1一側(cè)。其中，性阻尼系數(shù)折算到齒輪1一側(cè)的等效粘性阻尼系數(shù)為齒輪2一側(cè)的粘10/29/2023198第二章數(shù)學(xué)模型考慮扭轉(zhuǎn)彈性變形效應(yīng)時(shí)，齒輪2一側(cè)的扭轉(zhuǎn)剛度系數(shù)等效到齒輪1一側(cè)時(shí)，剛度系數(shù)也應(yīng)乘以。即若K1、K2的分別為齒輪1和2的扭轉(zhuǎn)剛度系數(shù)，則，齒輪1一側(cè)的等效剛度KI為：10/29/2023199第二章數(shù)學(xué)模型機(jī)床進(jìn)給傳動(dòng)鏈工作臺(tái)m絲杠L伺服電機(jī)xo(t)J3,K3,C3J2,K2,C2J1,K1,C1Cmz1z2z3z4IIIIIIT

iKm10/29/2023200第二章數(shù)學(xué)模型

m(t)為工作臺(tái)位移xo(t)折算到I軸上的等效當(dāng)量轉(zhuǎn)角：空載時(shí)，I軸轉(zhuǎn)矩平衡方程為：其中，

i(t)為I軸輸入轉(zhuǎn)角；，L為絲杠螺距10/29/2023201第二章數(shù)學(xué)模型J、C、K分別為工作臺(tái)及各軸折算到I軸上的等效總轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、等效總粘性阻尼系數(shù)及等效總剛度系數(shù)。10/29/2023202第二章數(shù)學(xué)模型根據(jù)上述關(guān)系，可求得系統(tǒng)微分方程為：傳遞函數(shù)：10/29/2023203第二章數(shù)學(xué)模型汽車懸掛系統(tǒng)當(dāng)汽車行駛時(shí)，輪胎的垂直位移作用于汽車懸掛系統(tǒng)上，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)由質(zhì)心的平移運(yùn)動(dòng)和圍繞質(zhì)心的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)組成。車體車架質(zhì)心汽車懸掛系統(tǒng)（垂直方向）10/29/2023204第二章數(shù)學(xué)模型m2m1K2CK1xi(t)xo(t)x(t)簡(jiǎn)化的懸掛系統(tǒng)（垂直方向）10/29/2023205第二章數(shù)學(xué)模型K1X(s)Xo(s)Xi(s)10/29/2023206第二章數(shù)學(xué)模型車削過程muf(t)KCxo(t)ui(t)實(shí)際切削深度u引起切削力f(t)，作用于工件、刀具和機(jī)床，引起工件、刀具和機(jī)床的變形，該變形可等效為刀架上的位移xo(t)。而xo(t)反回來又引起實(shí)際切削深度u的變化。即工件—刀具—機(jī)床構(gòu)成一閉環(huán)負(fù)反饋系統(tǒng)。10/29/2023207第二章數(shù)學(xué)模型以名義切削深度ui(t)作為輸入，刀架變形xo(t)作為輸出，其傳遞函數(shù)可推導(dǎo)如下：Kc—切削過程系數(shù)，切削力與切除量之比Cc—切削阻尼系數(shù)，切削力與切除量變化率之比u(t)=ui(t)-xo(t)U(s)=Ui(s)-Xo(s)根據(jù)切削力動(dòng)力學(xué)方程，有：10/29/2023208第二章數(shù)學(xué)模型機(jī)床刀架簡(jiǎn)化為一彈簧—質(zhì)量—阻尼系統(tǒng)：F(s)Xo(s)Ui(s)10/29/2023209第二章數(shù)學(xué)模型液壓系統(tǒng)

液壓缸系統(tǒng)p—液壓缸工作腔壓力q—液壓缸輸入流量fL—負(fù)載力y—活塞位移m—負(fù)載質(zhì)量（包括活塞、活塞桿等）C—粘性阻尼系數(shù)mpqCfLy10/29/2023210第二章數(shù)學(xué)模型根據(jù)液流連續(xù)性原理，有：

—漏損流量Kl

：液壓缸總泄漏系數(shù)A

：活塞有效工作面積其中，—使活塞移動(dòng)的有效流量10/29/2023211第二章數(shù)學(xué)模型—等效壓縮流量V

：液壓缸工作腔和進(jìn)油管內(nèi)油液體積

：油液的體積彈性模量活塞上的力平衡方程為：10/29/2023212第二章數(shù)學(xué)模型初始條件為0時(shí)：Y(s)AsQ(s)AP(s)FL(s)10/29/2023213第二章數(shù)學(xué)模型外負(fù)載FL(s)=0時(shí)：10/29/2023214第二章數(shù)學(xué)模型

液壓伺服馬達(dá)ymC高壓油回油回油p1p2qqpopopsx滑閥液壓缸10/29/2023215第二章數(shù)學(xué)模型由流體力學(xué)可知，液壓缸中油的流量q是活塞位移x和壓力差p1-p2的非線性函數(shù)：對(duì)上式的非線性函數(shù)關(guān)系，在平衡點(diǎn)x0=0、q