n-s方程的表示式

n-s方程的表示式

在下肢運動方程（n-s方程）中，為了便于應(yīng)用，給出了方程的柱坐標(biāo)和球形坐標(biāo)的表示式。然而，由于數(shù)學(xué)導(dǎo)出過程的難度很大，一般來說，教科書中省略了。在相應(yīng)的數(shù)學(xué)教材中，如果描述這個問題，請使用曲線坐標(biāo)。曲線坐標(biāo)本身非常困難，因此仍然距離該方程的應(yīng)用還有很長的路要走。在課堂上，這項工作的作者試圖理解學(xué)生們直觀的微分方法，并給出方程的數(shù)學(xué)導(dǎo)出過程，以顯著降低初始難度，方便學(xué)生掌握和應(yīng)用方程的方法（但數(shù)學(xué)過程是否嚴(yán)格，請等待專家復(fù)習(xí)）。1方程n-s在柱坐標(biāo)中的數(shù)學(xué)推導(dǎo)過程1.1角標(biāo)記中的分量式F-1ρ?Ρ+ν?2u=?u?t+(u??)u(1)式中:F—體積力ρ—流體密度P—體中某點壓強ν—運動粘滯系數(shù)u—流體中某點流速?—哈密頓算子?2—拉普拉斯算子N-S方程在直角坐標(biāo)中的分量式為:X-1ρ?Ρ?x+ν(?2ux?x2+?2ux?y2+?2ux?z2)=?ux?t+(ux?ux?x+uy?ux?y+uz?ux?z)Y-1ρ?Ρ?y+ν(?2uy?x2+?2uy?y2+?2uy?z2)=?uy?t+(ux?uy?x+uy?uy?y+uz?uy?z)}Ζ-1ρ?Ρ?z+ν(?2uz?x2+?2uz?y2+?2uz?z2)=?uz?t+(ux?uz?x+uy?uz?y+uz?uz?z)}(2)為了給出N-S方程在柱坐標(biāo)系中的表示式,需先給出哈密頓算子?及拉普拉斯算子?2在柱坐標(biāo)中的表示式.1.2y,y,,,r=√x2+y2?θ=arctanyx?z=z據(jù)上述關(guān)系有:?r?x=cosθ,?r?y=sinθ,?θ?x=-sinθr,?θ?y=cosθr.∴??x=??r?r?x+??θ?θ?x=cosθ??r-sinθr??θ??y=??r?r?y+??θ?θ?y=sinθ??r+cosθr??θ1.3哈密頓算子哈密頓算子?在直角坐標(biāo)中的表示式為:?=??xi+??yj+??zk據(jù)上述坐標(biāo)變量之間的微分關(guān)系為:(??x)2+(??y)2+(??z)2=(cosθ??r-sinθr??θ)2+(sinθ??r+cosθr??θ)2+(??z)2=(??r)2+(1r??θ)2+(??z)2(3)∴哈密頓算子?在柱坐標(biāo)中的表示式為:?=??rr0+1r??θθ0+??zΚ(4)1.4拉普拉斯算子2拉普拉斯算子2拉普拉斯算子?2在直角坐標(biāo)中的表示式為:?2=?2?x2+?2?y2+?2?z2據(jù)哈密頓算子的計算過程有:?2?x2=??x(??x)=(cosθ??r-sinθr??θ)(cosθ??r-sinθr??θ)=cos2θ?2?r2+sin2θr??r+2sinθcosθr2??θ-2sinθ?cosθr?2?r?θ+sin2θr2?2?θ2?2?y2=(sinθ??r+cosθr??θ)(sinθ??r+cosθr??θ)=sin2θ?2?r2+cos2θr??r-2sinθcosθr2??θ+2sinθ?cosθr?2?r?θ+cos2θr2?2?θ2?2?z2=?2?z2∴拉普拉斯算子?2在柱坐標(biāo)中的表示式為:?2=?2?r2+1r??r+1r2?2?θ2+?2?z2(5)或?2=1r??r(r??r)+1r2?2?θ2+?2?z2(5′)1.5u3000uneuruzz(u??)u=[(urr0+uθθ0+uzΚ)?(??rr0+1r??θθ0+??zΚ)]u?=(ur??r+uθr??θ+uz??z)(urr0+uθθ0+uzΚ)=(ur?ur?r+uθr?ur?θ-u2θr+uz?ur?z)r0+(ur?uθ?r+uθr?uθ?θ+uruθr+uz?uθ?z)θ0+(ur?uz?r+uθr?uz?θ+uz?uz?z)Κ(6)1.6r125r15r12.25e2552.22,5.22,5.22,5.22,52,52,52,5.22,5.22,5.22,5.22,5.22,52,52,52,52,52。22,5.22,52,5.22,5.22,5.22,5.22,5.22,5.22,5.22,5.22,5.22,5.22,5.22,5.22,5.22,5.22,5.22,5.22,5.22,5e22,5e2,5.22,5e22,5e2,5.22,5e22,5e2,5.22,5e22,5e2,5.22,5e22,5e2,5.22,5e22,5e2,5.22,5e2,5.22,5e22,5e2,5.22,5e2,5.22,5e2,5.22,5e2,5.22,5.22,5e22,5e2,5.2.22,5e2,5.2.22,5e22,5e2,5.2.22,5e2,5.2.22,5?2u=(?2?r2+1r??r+1r2?2?θ2+?2?z2)(urr0+uθθ0+uzΚ)=(?2ur?r2+1r?ur?r-urr2-2r2?uθ?θ+1r2?2ur?θ2+?2ur?z2)r0+(?2uθ?r2+1r?uθ?r-uθr2+2r2?ur?θ+1r2?2uθ?θ2+?2uθ?z2)θ0+(?2uz?r2+1r?uz?r+1r2?2uz?θ2+?2uz?z2)Κ(7)1.7pr+2r1r2.2.25r15r15r3+5r22+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2.2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2將(6)式及(7)式代入N-S方程的矢量式中,即可給出N-S方程的柱坐標(biāo)表示式:?ur?t+ur?ur?r-u2θr+uθr?ur?θ+uz?ur?z=Fr-1ρ?p?r+ν(?2ur?r2+1r?ur?r-urr2-2r2?uθ?θ+1r2?2ur?θ2+?2ur?z2)?uθ?t+ur?uθ?r+ur?uθr+uθr?uθ?θ+uz?uθ?z=Fθ-1ρ?r?p?θ+ν(?2uθ?r2+1r?uθ?r-uθr2+2r2?ur?θ+1r2?2uθ?θ2+?2uθ?z2)?uz?t+ur?uz?r+uθr?uz?θ+uz?uz?z=Ζ-1ρ?p?z+ν(?2uz?r2+1r?uz?r+1r2?2uz?θ2+?2uz?z2)}(8)2方程n-s的數(shù)學(xué)推導(dǎo)過程在球坐標(biāo)中2.1rx、rz、coszzzzr=√x2+y2+z2;θ=arctan√x2+y2z;β=arctanyx據(jù)上述關(guān)系有:?r?x=sinθ?cosβ,?r?y=sinθ?sinβ,?r?z=cosθ?θ?x=cosθ?cosβr,?θ?y=cosθ?sinβr,?θ?z=-sinθr?β?x=-sinβr?sinθ,?β?y=cosβr?sinθ,?β?z=02.2r+coscos計算過程同柱坐標(biāo)??x=??r?r?x+??θ?θ?x+??β?β?x?=sinθ?cosβ??r+cosθ?cosβr??θ-sinβr?sinθ??β??y=??r?r?y+??θ?θ?y+??β?β?y?=sinθ?sinβ??r+cosθ?sinβr??θ+cosβr?sinθ??β??z=??r?r?z+??θ?θ?z+??β?β?z=cosθ??r-sinθr??θ2.3哈密頓算子球坐標(biāo)公式利用與(3)式、(4)式相同的運算過程,可給出?在球坐標(biāo)中的表示式為:?=??rr0+1r??θθ0+1r?sinθ??ββ02.4,2,2,1022,1022,1022,1022,1022,1022,1022,1022,1022,1022,1022,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102據(jù)哈密頓算子的計算過程有:?2?x2=(sinθ?cosβ??r+cosθ?cosβr??θ-sinβr?sinθ??β)(sinθ?cosβ??r+cosθ?cosβr??θ-sinβr?sinθ??β)=sin2θ?cos2β?2?r2+cosθ?sin2βr2sinθ??θ-2sinθ?cosθ?cos2βr2??θ+cos2θ?cos2βr??r+2sinθ?cosθ?cos2βr?2?r??θ+2sinβ?cosβr2?sin2θ??β-2sinβ?cosβr?2?r??β+sin2βr??r+cos2θ?cos2βr2?2?θ2-2cosθ?sinβ?cosβr2?sinθ?2?θ??β+sin2βr2?sin2θ?2?β2(9)?2?y2=(sinθ?sinβ??r+cosθ?sinβr??θ+cosβr?sinθ??β)(sinθ?sinβ??r+cosθ?sinβr??θ+cosβr?sinθ??β)=sin2θ?sin2β?2?r2-cosθ?cos2βr2sinθ??θ-2sinθ?cosθ?sin2βr2??θ+cos2θ?sin2βr??r+2sinθ?cosθ?sin2βr?2?r??θ-2sinβ?cosβr2?sin2θ??β+2sinβ?cosβr?2?r??β+cos2βr??r+cos2θ?sin2βr2?2?θ2+2cosθ?sinβ?cosβr2?sinθ?2?θ??β+cos2βr2?sin2θ?2?β2(10)?2?z2=(cosθ??r-sinθr??θ)(cosθ??r-sinθr??θ)=cos2θ?2?r2+2sinθ?cosθr2??θ-2sinθ?cosθr?2?r??θ+sin2θr??r+sin2θr2?2?θ2(11)由(9)、(10)、(11)式有:?2=?2?r2+2r??r+cosθr2?sinθ??θ+1r2?2?θ2+1r2?sin2θ?2?β2(12)或?2=1r2??r(r2??r)+1r2?sinθ??θ(sinθ??θ)+1r2?sin2θ?2?β2(12′)2.5rr0+u0+u2+u2r+urur0+u2+u2+u2+u2+u2+u2+u2+u2+u2+u2+u2r+u2+u2+u2+u2+u2+u2+u2+u2+u2+u2+u2+2+u2+u2+2+u2+u2+2+u2+2+u2(u??)u=[(urr0+uθθ0+uββ0)?(??r?r0+1r??θ?θ0+1r?sinθ??β?β0)]u=(ur??r+uθr??θ+uβr?sinθ??β)(urr0+uθθ0+uβ?β0)=(ur?ur?r+uθr?ur?θ+uβr?sinθ?ur?β-uθ2+uβ2r)r0+(ur?uθ?θ+uθr?uθ?θ-uruθr+uβr?sinθ?uθ?β-uβ2?cosθr?sinθ)θ0+(ur?uβ?r+uθr?uβ?θ+uβr?sinθ?uβ?β+uruβr+uθ?uβ?cosθr?sinθ)β0(13)在上述計算中需用到下述6式:?r0?θ=θ0,?θ0?θ=-r0,?β0?θ=0?r0?β=sinθβ0,?θ0?β=cosθβ0,?β0?β=-sinθr0-cosθθ02.63232322222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222?2u=(?2?r2+2r??r+1r2?2?θ2+cosθr2?sinθ??θ+1r2?sin2θ?2?β2)(urr0+uθθ0+uβ?β0)=(?2ur?r2+2r?ur?r-2urr2+1r2?2ur?θ2+cosθr2?sinθ?ur?θ-2uθ?cosθr2?sinθ+1r2?sin2θ?2ur?β2-2r2?uθ?θ-2r2?sinθ?uβ?β)r0+(?2uθ?r2+2r?uθ?r+cosθr2?sinθ?uθ?θ+1r2?2uθ?θ2-uθr2?sin2θ+2r2?ur?θ+1r2?sin2θ?2uθ?β2-2cosθr2?sin2θ?uβ?β)θ0+(?2uβ?r2+2r?uβ?r+cosθr2?sinθ?uβ?θ+2r2?sinθ?ur?β-uβr2?sin2θ+1r2?2uβ?θ2+2cosθr2?sin2θ?uθ?β+1r2?sin2θ?2uβ?β2)β0(14)2.7sin2為2為2為2為2為2為2為2為2,2為2為2,2為2為2,2為2為2,2為2,2為2,2為2,2為2,2為2,2為2,2為2,2為2,2為2,2為2,2為2,2為2,2為2,2為2,2為2,2為2,2為2,2為2,2為2,2為2,2為2,2為2,2為2,2為2,2為2,2為2,2為2,2為2,2.2,2.2,2.2,2.2,2.2,2.2,2.2,2.2,2.2,2.2,2.2,2為2,2為2,2為2,2為2,2為2,2為2,2為2,2為2,2為2,2為2,2為2,2為2,2為2,2為2,2為2,2為2,2為2,2為2,2為2,2為2,2為2,2為2,2為2,2為2,2為2,2為2,2為2,2為2,2為2,2為2,2為2,2s2,2為2,2為2,2為2,2為2,2為2,2s2,2s2,2為2,2為2,2為2,2為2,2為2,2為