一類具有可乘適當斷面的青蛙群

一類具有可乘適當斷面的青蛙群

群比群更廣泛。我知道群集是一個比群更廣泛的代際體系。許多關(guān)于半群的結(jié)論來自群集理論。正半組是最接近群集的半組。群集理論的許多結(jié)論都得到了積極的結(jié)論。格林關(guān)系是研究正則半群的一個重要工具.設(shè)S是一個半群,S上元素常用的格林關(guān)系如下:定義1設(shè)S是一個半群,S上元素常用的格林關(guān)系如下:L={(a,b)∈S×S|?x,y∈S1,xa=b,yb=a}.R={(a,b)∈S×S|?u,v∈S1,au=b,bv=a}.對于正則半群S來說,若a∈S,則a的每一個L類和R類都至少含有一個冪等元.富足半群是正則半群的推廣,很多學者將正則半群的許多結(jié)論推廣到了富足半群上.為了定義富足半群,我們需要用到推廣了的格林關(guān)系,稱之為格林*關(guān)系.Pastijn將格林關(guān)系推廣為格林*關(guān)系,定義如下:L*={(a,b)∈S×S|?x,y∈S1,ax=ay?bx=by}.R*={(a,b)∈S×S|?x,y∈S1,xa=ya?xb=yb}.定義2如果S的每一個L*和R*類均含有冪等元,我們就稱S為富足半群.定義3如果S的每一個元素都是冪等元,我們就稱半群S為一個帶.常用的一些帶:交換帶稱為半格.左正則帶:B是一個帶,且滿足?e,f∈B,ef=efe;右正則帶:B是一個帶,且滿足?e,f∈B,fe=efe;左正規(guī)帶:B是一個帶,且滿足?e,f,g∈B,efg=egf;右正規(guī)帶:B是一個帶,且滿足?e,f,g∈B,efg=feg.定義4如果正則半群S的冪等元集合E(S)構(gòu)成左正則帶,則稱S為右逆半群.定義5如果富足半群S的冪等元組成一個半格,稱S為適當半群.從定義可以看出適當半群類似于正則半群中的逆半群.可以證明適當半群S中元素a的每一個L*類和R*類中均只含有一個冪等元.我們分別記適當半群S中元素a的每一個L*類和R*類中的惟一的冪等元為:a*和a+.定義6設(shè)S是一個富足半群,冪等元集合為E,U是S的一個富足子半群.如果?a∈U,?e∈U∩E,使得aL*e,稱U是一個左*-子半群.對應(yīng)的,可以定義右*-子半群.如果U即是左*-子半群,又是右*-子半群,就稱U為*-子半群.在半群的研究中,斷面是研究半群結(jié)構(gòu)的一個很重要的工具.自從Blyth和McFadden于1982年引入逆斷面的概念以來,國內(nèi)外許多學者研究了該類半群,得出了一些很好的結(jié)論.在正則半群S中,我們用V(a)表示元素a的逆元的集合.S0表示S的子逆半群,且和所有的集合V(a)都相交,即:?a∈S,|V(a)∩S0|≥1.于是,?a∈S,a0∈V(a)∩S0有a=aa0·a0a0·a0a.這就是說,S中的任何一個元素都可以表示為exf的形式,其中e,f是S中的形如aa0,a0a這樣的冪等元,x∈S0.定義7如果?a∈S,|V(a)∩S0|=1,我們就稱S0是正則半群S的一個逆斷面.類似于正則半群中的逆斷面,El-Qallali在富足半群中定義了適當斷面.定義8設(shè)S是一個富足半群,冪等元集合為E.若S0是S的一個適當*-子半群,E0是S0的冪等元半格.稱S0是S的適當斷面,如果?x∈S,?!x0∈S0,使得x=ex0f.其中e,f∈E,eLx0+,fRx0*,x0+,x0+∈E0.事實上,e,f由x所惟一確定.我們記e=ex,f=fx.定義9如果?x∈S,fx·ey∈E0,我們就稱適當斷面S0是可乘的.文中出現(xiàn)而沒有詳細說明的其它一些記號,可參考文獻.我們已經(jīng)知道,富足半群是正則半群的推廣,而關(guān)于正則半群的逆斷面的一些結(jié)論在富足半群上也得到了很好的推廣.下面,筆者給出一類具有可乘適當斷面的富足半群的結(jié)構(gòu)定理,這一定理推廣了具有類似結(jié)構(gòu)的正則半群的相關(guān)結(jié)果.引理設(shè)S0是一個逆半群,冪等元半格為E0.I是一個帶有逆斷面為的左正則帶.L是一個右逆半群,逆斷面為S0.?a,b∈L,e,f∈I,定義映射φa:I→I為:faφaf.?e∈I,定義映射ψe:L→L為:babψe.若下列條件滿足:(1)(φae)0=(aψe)(aψe)0,(2)(φae)(φ(aψe)bf)=φa(e(φbf)),(aψe(φbf))(bψf)=((aψe)b)ψf,(3)φae0=ae0a0,φe0f=e0f,a0ψe=a0e0,aψe0=ae0,(4)aa0(φae)=φae,aa0(aψe)e=aψe0.我們定義集合I|×|L={(e,a)∈I×L|e0=aa0}上的運算乘法為:(e,a)(f,b)=(e(φaf),(aψf)b).則I|×|L是一個正則半群,它的逆斷面同構(gòu)于S0.反之,任何這類逆斷面的正則半群均可以這樣來構(gòu)造.類似的,在富足半群中,我們利用定義的可乘適當斷面,可以得到相應(yīng)的推廣定理:定理設(shè)S0是一個適當半群,冪等元半格為E0,I是一個帶有可乘適當斷面E0的左正規(guī)帶,L是一個帶有可乘適當斷面S0的富足半群,它的冪等元組成一個右正規(guī)帶.?a,b∈L,e,f∈I.定義映射φa:I→I為:faφaf.?e∈I,定義映射ψe:L→L為:babψe.若下列條件滿足:(1)(φae)0=eaψe,(2)(φae)(φ(aψe)bf)=φa(e(φbf)),(aψe(φbf))(bψf)=((aψe)b)ψf,(3)φae0=eae0,φe0f=e0f,a0ψe=a0e0,aψe0=ae0,(4)ea(φae)=φae,ea(aψe)e=aψe0.我們定義集合I|×|L={(e,a)∈I×L|e0=ea}上的運算乘法為(e,a)(f,b)=(e(φaf),(aψf)b).則I|×|L是一個富足半群,它的可乘適當斷面同構(gòu)于S0.反之,任何這種類型的帶有可乘適當斷面的富足半群均可以這樣來構(gòu)造.證明我們分三步來證明.第一步從條件(2)易見合I|×|L是一個半群.令E0|×|S0={(e,a)∈I×L|e∈E0,a∈S0},我們將說明E0|×|S0?S0.在S中,我們知道E0|×|S0={(a+,a)|a∈S0}.?x,y∈S,由條件(3)得(a+,a)(b+,b)=(a+(φab+),(aψb+b))=(a+e(ab+),ab+b).注意到a+和e(ab+)屬于E0,E0是一個半格,則a+e(ab+)=e(ab+)a+.另一方面,a+e(ab+)ab=e(ab+)a+ab=e(ab+)ab,e(ab+)(ab+)=ab+.于是我們有(ab+)+=e(ab+)=(ab)+.這就說明E0|×|S0?S0.第二步證明半群I|×|L有一個可乘適當斷面.對于(e,a)∈I|×|L,有a=eaa0fa,a0∈S0,ea=a0+.a0+,a0*∈S0.從條件(3),(4)可以得到(eea)(a0+,a0)(a0*,fa)=(eea(φeaa0+),(eaψa0+)a0)(a0*,fa)=(eeaeeaa0+,eaa0+a0)(a0*,fa)=(eeaeea,eaa0)(a0*,fa)=(eea,eaa0)(a0*,fa)=(eea(φeaa0a0*),((eaa0)ψa0+)fa)=(eeaea0,eaa0fa)=(e(a0+)ea0,a)=(e,a).由上,我們證明了對于每一個(e,a)∈I|×|L,都惟一存在元素(a0+,a0)∈E0|×|S0,使得(e,a)=(eea,ea)(a0+,a0)(a0*,fa).易見,(eea,ea)和(a0*,fa)是I|×|L中的冪等元.且?(e,a)∈I|×|L,(eea,ea)R*(e,a),(a0*,fa)L*(e,a).這樣,半群I|×|L就是一個富足半群.于是,富足半群I|×|L就有一個可乘適當斷面E0|×|S0.令I(lǐng)|×|E0={(e,a)∈I×L|a∈E0},E0|×|L={(e,a)∈I×L|e∈E0}.我們可以得到I(I|×|L)=I|×|E0?I,L(I|×|L)=E0|×|L?L.于是I(I|×|L)是一個左正規(guī)帶,L(I|×|L)是一個富足半群,它的冪等元E(I|×|L)組成一個右正規(guī)帶.第三步反過來,假設(shè)S是一個帶有可乘適當斷面S0的富足半群,I(S)是一個有可乘適當斷面E0的左正規(guī)帶,L(S)是一個富足半群,可乘適當斷面為S0,且L(S)的冪等元組成一個右正規(guī)帶.?a∈L(S),e∈I(S),定義映射φa:I→I為:φae=eae,映射ψe:L→L為aψe=(ae)0+.則φa和ψe顯然滿足條件前提條件(1)、(2)、(3)、(4).于是,我們構(gòu)造了一個半群I(S)|×|L(S),且I(S)|×|L(S)?S.從上面的證明,很容易得出:推論設(shè)S0是一個逆半群,冪等元半格為E0.I是一個帶有逆斷面為E0的左正則帶,L是一個右逆半群,它的可乘逆斷面為S0.?a,b∈L,e,f∈I,定義映射φa:I→I為:faφaf.?e∈I定義映射ψe:L→L為:babψe.若下列條件滿足:(1)(φae)0=(aψe)(aψe)0,(2)(φae)(φ(aψe)bf)=φa(e(φbf)),(aψe(φbf))(bψf)=((aψ