一類高等數(shù)學(xué)的刻畫

一類高等數(shù)學(xué)的刻畫

1lebesgue空間中帶物加權(quán)的規(guī)定=（1，2，，n）為n重指標(biāo)，i（i.1，2，…，n）為負(fù)導(dǎo)數(shù)，記錄項(xiàng)==ni=1i。γ!=γ1!γ2!?γn!,xγ=xγ11xγ22?xγnn,Dγ=?|γ|?γ1x1?γ2x2??γnxn.設(shè)A是定義在Rn上的函數(shù),以Pm(A;x,y)表示A在點(diǎn)x關(guān)于y的m階Taylor展式的余項(xiàng),即Pm(A;x,y)=A(x)-∑|γ|<m1γ!DγA(y)?(x-y)γ,m≥1.設(shè)0<α<n,Sn-1為Rn的單位球面,Ω∈Ls(Sn-1)(s≥1)是Rn上的零次齊次函數(shù),分?jǐn)?shù)次積分TΩ,α,及相應(yīng)的分?jǐn)?shù)次極大算子MΩ,α分別定義為ΤΩ,αf(x)=∫RnΩ(x-y)|x-y|n-αf(y)dy,ΜΩ,αf(x)=suph>01hn-α∫|x-y|<h|Ω(x-y)f(y)|dy.并定義多線性分?jǐn)?shù)次積分算子和分?jǐn)?shù)次極大算子ΤAΩ,αf(x)=∫RnΡm(A;x,y)|x-y|n-α+m-1Ω(x-y)f(y)dy,ΜAΩ,αf(x)=suph>01hn-α+m-1∫|x-y|<h|Ω(x-y)||Ρm(A;x,y)f(y)|dy.對(duì)于β>0,齊次Lipschitz空間˙Λβ定義為˙Λβ={f:∥f∥˙Λβ=supx,h∈Rn;h≠0|Δ[β]+1hf(x)||h|β<∞},其中Δ1hf(x)=Δhf(x)=f(x+h)-f(x),Δk+1hf(x)=Δkhf(x+h)-Δhkf(x),k≥1.最近丁勇討論具有粗糙核的多線性分?jǐn)?shù)次積分算子TΩ,αA當(dāng)DγA∈Lγ(Rn)(1<γ≤∞,|γ|=m-1)時(shí)的加權(quán)(Lp,Lq)有界性.張璞研究了當(dāng)DγA屬于Lipschitz類時(shí),TΩ,αA和MΩ,αA在Lebesgue空間上的(Lp,Lq)(p>1)有界性,本質(zhì)性地改進(jìn)文獻(xiàn)中的相應(yīng)結(jié)果,并得到p=1時(shí)的弱有界性.本文利用文獻(xiàn)的基本思想,得到DγA屬于Lipschitz類時(shí),TΩ,αA關(guān)于A(p,q)權(quán)的加權(quán)在Lebesgue空間上的有界性和p=1時(shí)的帶冪權(quán)有界性,并且其中的弱型冪權(quán)結(jié)論包含端點(diǎn)s=nn-(α+β)的情形,是文獻(xiàn)中相應(yīng)結(jié)果的實(shí)質(zhì)性推進(jìn).注意到當(dāng)m=1時(shí),TΩ,αA就是分?jǐn)?shù)次積分TΩ,α與函數(shù)A生成的交換子.因此,我們也得到上述交換子的相應(yīng)的加權(quán)有界性.我們有下面的定理.定理1設(shè)0<α<n,0<β<1,1<p<nα+β,1<q≤∞,1p-1q=α+βn,且Ω∈Ls(Sn-1)(s>nn-(α+β)),如果當(dāng)|γ|=m-1時(shí)DγA∈Λ˙β,并且權(quán)函數(shù)ω滿足下列條件之一:1)1≤s′<p且ω(x)s′∈A(ps′,qs′);2)s>q且ω(x)-s′∈A(q′s′,p′s′;);3)s>1,α+βn+1s<1p<1s′,且存在σ滿足1<σ<s(n/(α+β))′,使得ω(x)σ′∈A(p,q).則存在不依賴于f的常數(shù)C,使得(∫Rn|ΜΩ,αAf(x)ω(x)|qdx)1/q≤C∑|γ|=m-1∥DγA∥Λ˙β(∫Rn|f(x)ω(x)|pdx)1/p,其中A(p,q)的定義見文獻(xiàn)或.定理2在定理1的條件下,成立(∫Rn|ΤΩ,αAf(x)ω(x)|qdx)1/q≤C∑|γ|=m-1∥DγA∥Λ˙β(∫Rn|f(x)ω(x)|pdx)1/p.定理3設(shè)0<α<n,0<β<1,且α+β<n,Ω∈Ls(sn-1),其中s≥nn-(α+β),且當(dāng)|γ|=m-1時(shí),DγA∈Λ˙β,-1<t<0.則存在不依賴于f的常數(shù)C,使得對(duì)于任意的λ>0和任意f∈L1(|x|t(n-(α+β))/n),成立∫{x:|ΤΩ,αAf(x)|>λ}|x|tdx≤C(1λ∑|γ|=m-1∥DγA∥Λ˙β∫Rn|f(x)||x|t(n-(α+β))/ndx)n/(n-(α+β)).定理4在定理3的條件下,成立∫{x:ΜΩ,αAf(x)>λ}|x|tdx≤C(1λ∑|γ|=m-1∥DγA∥Λ˙β∥f∥L1(|x|t(n-(α+β))/n))n/(n-(α+β)).2qqqxax-mqb的生長(zhǎng)引理1設(shè)0<α<n,1<p<nα+β,且1q=1p-α+βn,則ω(x)∈A(p,q)?ωq(x)∈Aq(n-(α+β))/n.引理2設(shè)0<μ<n,1<p<nμ,1q=1p-μn,且Ω∈Ls(Sn-1),其中s>nn-μ,權(quán)函數(shù)ω(x)滿足定理1中的條件,則‖TΩ,μf‖Lq(ωq)≤C‖f‖Lp(ωp),‖MΩ,μf‖Lq(ωq)≤C‖f‖Lp(ωp).引理3設(shè)0<α<n,-1<t<0,s≥nn-α,且Ω∈Ls(Sn-1),則對(duì)任意的λ>0和f∈L1(|x|t(n-α)/n),存在不依賴于f的常數(shù)C,使得∫{x:|ΤΩ,αf(x)|>λ}|x|tdx≤C(1λ∫Rn|f(x)||x|t(n-α)/ndx)n/(n-α)?∫{x:|ΜΩ,αf(x)|>λ}|x|tdx≤C(1λ∫Rn|f(x)||x|t(n-α)/ndx)n/(n-α).引理4設(shè)A(x)是定義在Rn上的函數(shù),且當(dāng)|γ|=m時(shí),DγA∈Lloc1(Rn)(l>n),則|Pm(A;x,y)|≤C|x-y|m∑|γ|=m(1|Qxy|∫Qxy|DγA(z)|ldz)1/l,其中Qxy是以x為中心,直徑為16n|x-y|的方體,C>0僅與m,n,l有關(guān)的常數(shù).引理5對(duì)于0<β<1,1≤l<∞,成立∥f∥Λ˙β≈supQ1|Q|1+β/n∫Q|f(x)-mQ(f)|dx≈supQ1|Q|β/n(1|Q|∫Q|f(x)-mQ(f)|ldx)l.引理6設(shè)g∈Λ˙β(0<β<1),Q與Q′是Rn中的2個(gè)方體且Q′?Q,則|mQ′(g)-mQ(g)|≤C|Q|β/n∥g∥Λ˙β,supx∈Q|g(x)-mQ(g)|≤C|Q|β/n∥g∥Λ˙β.引理7Ω∈L1(Sn-1),則對(duì)于任意的ε>0,0<α-ε<α+ε<n,有|TΩ,αAf(x)|≤C[MΩ,α+εAf(x)·MΩ,α-εAf(x)]1/2,x∈Rn.下面我們開始定理的證明.定理1的證明我們證明的思路源于文獻(xiàn).對(duì)于任意的x∈Rn及h>0,以Q表示以x為中心,2nh為直徑的方體.設(shè)AQ(y)=A(y)-∑|γ|=m-11γ!mQ(DγA)yγ,則由引理4得,對(duì)于任意的y,有其中Qxy表示以x為中心,16n|x-y|為直徑的方體.當(dāng)|x-y|<h時(shí)16n|x-y|<16nh,因此Qxy?8Q,其中8Q表示方體Q的8倍同心擴(kuò)張.則當(dāng)|γ|=m-1時(shí),由引理5和引理6可得(1|Qxy|∫Qxy|DγAQ(z)|ldz)1/l=(1|Qxy|∫Qxy|DγA(z)-mQxy(DγA)|ldz)1/l+|mQxy(DγA)-m8Q(DγA)|+|m8Q(DγA)-mQ(DγA)|≤C∥DγA∥Λ˙β|Q|β/n≤Chβ∥DγA∥Λ˙β.注意到當(dāng)f∈Λ˙β(0<β<1)時(shí)supx∈Q|f(x)-mQ(f)|≤C|Q|β/n∥f∥Λ˙β.綜合可得,當(dāng)|x-y|<h時(shí),有|Pm(A;x,y)|≤Chβ|x-y|m-1∑|γ|=m-1∥DγA∥Λ˙β≤Chβ+m-1∑|γ|=m-1∥DγA∥Λ˙β.從而ΜΩ,αAf(x)≤C∑|γ|=m-1∥DγA∥Λ˙βsuph>01hn-(α+β)∫|x-y|<h|Ω(x-y)||f(y)|dy=C∑|γ|=m-1∥DγA∥Λ˙βΜΩ,α+βf(x).由于s>nn-(α+β),1<p<nα+β和1q=1p-α+βn,對(duì)μ=α+β,用引理2,得(∫Rn(ΜΩ,αAf(x)ω(x))qdx)1/q≤(C∫Rn(∑|γ|=m-1∥DγA∥Λ˙β)q(ΜΩ,α+βf(x)ω(x))qdx)1/q≤C∑|γ|=m-1∥DγA∥Λ˙β(∫Rn|f(x)ω(x)|pdx)1/p.定理1得證.定理2的證明選取ε>0,使?jié)M足0<α-ε<α+ε<n.取q1,q2>1,使1p-1q1=α+β+εn,1p-1q2=α+β-εn,則1q1+1q2=2q.在定理1的條件下,適當(dāng)選取ε>0充分小,就可以保證對(duì)MΩ,α+εA和MΩ,α-εA應(yīng)用定理1,并對(duì)12q1/q+12q2/q=1用H?lder不等式及引理7可得(∫Rn|ΤΩ,αAf(x)ω(x)|qdx)1/q≤(∫RnC(ΜΩ,α+εAf(x)ω(x))q/2(ΜΩ,α-εAf(x)ω(x))q/2dx)1/q≤C[∫RnC(ΜΩ,α+εAf(x)ω(x))q1dx]1/2q1[∫Rn(ΜΩ,α-εAf(x)ω(x))q2dx]1/2q2≤C∑|γ|=m-1∥DγA∥Λ˙β(∫Rn|f(x)ω(x)|pdx)1/2p(∫Rn|f(x)ω(x)|pdx)1/2p=C∑|γ|=m-1∥DγA∥Λ˙β(∫Rn|f(x)ω(x)|pdx)1/p.定理2得證.定理3的證明思路來源于文獻(xiàn).我們首先定義Τˉ|Ω|,α(|f|)(x)=∫Rn|Ω(x-y)||f(y)||x-y|n-αdy,Τˉ|Ω|,αA(|f|)(x)=∫Rn|Ρm(A;x,y)||Ω(x-y)||f(y)||x-y|n-α+m-1dy.用與文獻(xiàn)相同的方法,我們可得如下引理.引理8在引理3的條件下,對(duì)任意λ>0和f∈L1(|x|t(n-α)/n),成立∫{x:|Τˉ|Ω|,α(|f|)(x)>λ}|x|tdx≤C(1λ∫Rn|f(x)||x|t(n-α)/ndx)n/(n-α).我們通過二進(jìn)方體的分解首先證明如下的點(diǎn)態(tài)估計(jì).引理9設(shè)0<α<n,0<β<1,且0<α+β<n,Ω∈Ls(Sn-1),其中s≥nn-(α+β),DγA∈Λ˙β.則存在僅與m,n,α,β有關(guān)的常數(shù)C,使得|ΤΩ,αAf(x)|≤C∑|γ|=m-1∥DγA∥Λ˙βΤˉ|Ω|,α+β(|f|)(x).證對(duì)任意x∈Rn,以Q表示中心在x直徑為l的二進(jìn)方體,其中l(wèi)>0,則ΤΩ,αAf(x)=(∫Q+∫Qc)Ω(x-y)Ρm(A;x,y)|x-y|n-α+m-1f(y)dy∶=Η1+Η2.下面估計(jì)H1:|Pm(A2-jQ;x,y)|≤C(2-jl)β|x-y|m-1∑|γ|=m-1∥DγA∥Λ˙β.注意到|x-y|≥2-j-1l,可得|x-y|β≥2-β(2-jl)β.從而下面估計(jì)H2.由于0<α+β<n,則A2j+1Q(y)=A(y)-∑|γ|=m-11γ!m2j+1Q(DγA).則由引理4和5可得|Pm(A2j+1Q;x,y)|≤C(2jl)β|x-y|m-1∑|γ|=m-1∥DγA∥Λ˙β.注意到|x-y|≥2jl,可得|x-y|β≥(2jl)β,從而綜合可得|ΤΩ,αAf(x)|≤|Η1|+|Η2|≤C∑|γ|=m-1∥DγA∥Λ˙βΤˉ|Ω|,α+β(|f|)(x).定理3的證明對(duì)于任意的λ>0及f∈L1(|x|t(n-(α+β))/n),由引理8及引理9可得∫{x:|ΤΩ,αAf(x)|>λ}xtdt≤∫{x:C∑|γ|=m-1∥DγA∥Λ˙βΤˉ|Ω|,α+β(|f|)(x)>λ}xtdx≤C(1λ∑|γ|=m-1∥DγA∥Λ˙β∫Rn|f(x)||x|t(n-(α+β))/ndx)n/(n-(α+β)).定理3得證.定理4證明由定理1的證明過程得到ΜΩ,αAf(x)≤C∑|γ|=m-1∥DrA∥Λ˙βΜΩ,α+βf(x).從而由引理3可得∫{x:ΜΩ,αAf(x)>α}|x|tdt≤∫{x:C∑|γ|=m-1∥Dγr∥Λ˙βΜΩ,α+βf(x)>λ}|x|tdt≤C(1λ∑|γ|=m-1∥DγA∥Λ˙β∥f∥L1(|x|(t(n-(α+β)/n)))n/(n-(α+β)).定理4得證.3[2]xb2bbbbbbbbbbbbbb.p.定理5.p.pe.pb3.p.pe.pe.pe.pb3.pb3.pb3.pb3.p.n-bbb.p.n-bbbbbbbbbbbbb.p.pb3.p.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb由算子Τˉ|Ω|,αA的定義及運(yùn)用定理1和2的證明技巧可以推出