一類p,q連接的類時曲線

一類p,q連接的類時曲線

在廣義的理論中，當連接到（p，q）的地線時，當r（）對應(yīng)于p時，則測地線（）不連接到p或p時。當p或p時，當p（q）之間存在r時，r（）可以通過輕微的變分連續(xù)形成連接p和q的類時曲線。我們證明了這一類日曲線的階乘曲線，即在類光測量地球時，其固有加速度趨于無限。下面給出類光測地線的變分的定義.設(shè)(M,gab)是具有洛倫茲號差的四維彎曲時空,γ0:[0,λq]→M是M中的類光測地線,記為γ0(λ),λ是它的仿射參量.類光測地線γ0(λ)連接p,q兩點,且沿類光測地線γ0(λ)在(p,q)間存在一點r共軛于p點.類光測地線γ0的變分是C1映射σ:(-ε,ε)×[0,λq]→M,滿足1)σ(0,λ)=γ0(λ);2)σ(u,0)=p,σ(u,λq)=q;3)存在λ1,…,λn使得0=λ1<λ2<…<λn=λq把區(qū)間[0,λq]分成n-1個分區(qū)間,σ在每個分區(qū)間(-ε,ε)×[λi,λi+1]上是C3的;4)對于每個常數(shù)u,u∈(-ε,ε)和u≠0,σ(u,λ)是類時曲線,記為γu(λ).由條件2)看出,這是端點固定的變分.記γu(λ)的切矢為(?/?λ)au≡vau,其中,va0是類光測地線γ0(λ)的切矢,滿足類光測地線方程vb0?bva0=0.(1)設(shè)曲線σ(u,λ)且λ=常數(shù)的切矢為(?/?u)a≡Za(u,λ),(2)定義類光測地線γ0(λ)上的變分矢量場Za(λ)為Za(λ)=Za(0,λ),則Za(u,λ)對vau的李導(dǎo)數(shù)為零,即vbu?bZa(u,λ)=Zb(u,λ)?bvau.(3)記gabvauvbu為-α2u,則-α2u=gabvauvbu,(4)用泰勒級數(shù)把-α2u展開,得-α2u=-α20+β1u+12β2u2+o(u3),(5)其中α20=gabva0vb0=0.(6)為了使γu(λ)是類時曲線,-α2u對u的一階導(dǎo)數(shù)必須滿足uβ1=u[?(-α2)/?u|u=0]≤0,下面證明β1=0(參看文獻).由式(3)得?(-α2u)?u=(??u)c?c[gabvauvbu]=2gabvau(??u)c?cvbu=2gabvauvcu?c(??u)b=2vcu?c[gabvau(??u)b]-2gab(??u)bvcu?cvau=2??λ[gabvau(??u)b]-2gab(??u)bvcu?cvau;(7)再由式(1)可得β1=?(-αu2)?u|u=0=2??λ[gabv0aΖb]=2dhdλ,(8)其中,由于變分矢量場Za在類光測地線γ0(λ)上是連續(xù)的,h(λ)=gabv0aZb在類光測地線γ0(λ)上也是連續(xù)的.從變分映射σ(u,λ)的定義可知,σ(u,0)=p,σ(u,λq)=q,故Za(0)=Za(λq)=0.(9)因而h(0)=h(λq)=0,除非β1u=0,否則h(0)=h(λq)=0且β1u<0是不可能的,即只有β1u=0才可能使γu是類時曲線.由于u≠0,所以得到β1=0.由β1=0可得h=gabv0aZb=0,(10)即變分矢量場Za是垂直于類光測地線γ0的切矢v0a的.同時可得-αu2=gabvuavub=12β2u2+o(u3).(11)類時曲線γu(λ)上的參數(shù)λ一般不是該曲線上的固有時τ,參數(shù)λ和τ之間的關(guān)系由下列公式?jīng)Q定:gab(?/?τ)ua(?/?τ)ub=-1,(12)vua=(?/?λ)ua=(dτ/dλ)(?/?τ)a.(13)由式(4),我們可得(dτ/dλ)2=αu2.(14)同樣,矢量A?ua定義為A?ua=vuc?cvua,(15)它與類時曲線γu(λ)上的固有加速度Aa不同.Aa的定義為Aa=(??τ)b?b(??τ)a,(16)這2個矢量的關(guān)系為A?ua=αu2aa+12αu2vuavub?bαu2,(17)由式(17)和(11)得gabA?uaA?ub=αu4AaAa-14αu2[1αu2?αu2?λ]2=14β22AaAau4+18β2[dβ2dλ]2u2+o(u3).(18)這是一個非常重要的公式.下面,我們推導(dǎo)另一個重要的公式.Zd(u,λ)?d(vuc?cvua)=(Zd(u,λ)?dvuc)?cvua+vcuZd(u,λ)?d?cvua=(Zd(u,λ)?dvuc)?cvua+vcuZd(u,λ)?c?dvua+RdcaevcuveuZd(u,λ)=(Zd(u,λ)?dvuc)?cvua+vuc?c[Zd(u,λ)?dvua]-(vuc?cZd(u,λ))?dvua+RdcaevcuveuZd(u,λ)=vud?d(vuc?cZa(u,λ))+RdcaevcuveuZd(u,λ),即Ζd(u,λ)?dA?ua=Ζd(u,λ)?d(vuc?cvua)=vud?d(vuc?cΖa(u,λ))+RdcaevucvueΖd(u,λ).(19)選擇沿類光測地線γ0(λ)平移的偽正交標架E1a,E2a,E3a,E4a,滿足E4a=(?/?λ)0a=v0a;gabEaiEbi=1,i=1,2;gabEaiEib=0,i=3,4;gabEaiEjb=0,i=1,2,j=3,4;gabE3aE4b=-1;gabEa1Eb2=0,由式(10)容易得到Za(0,λ)=Z1E1a+Z2E2a+Z4E4a.(20)對于λ等于常數(shù),上述標架的4個矢量是常矢量,可沿σ(u,λ)且λ=常數(shù)的曲線對它們進行平移,得到Eia(u,λ),i=1,2,3,4,(21)滿足當u=0時Eia(0,λ)=Eia,i=1,2,3,4.(22)這樣,矢量A?ua可分解為A?ua=∑i=14A?uiEia(u,λ),(23)且有[(??u)d?dA?ua]u=0=∑i=14[Eia(u,λ)(dA?uidu)]u=0=∑i=14Eia(dA?uidu)u=0.(24)由式(19),并對其取極限u→0,得[(?/?u)d?dA?ua]u=0=v0d?d(v0c?cΖa(λ))+Redcav0cv0eΖd(λ).(25)記C?a=v0d?d(v0c?cΖa)+Redcav0cv0eΖd,(26)即C?a=∑i=14C?iEia.(27)由式(20)和黎曼曲率張量Rabcd的反對稱性質(zhì)可知,式(25)的第2部分與v0a的縮并為零,這樣由式(25)推出(dA?u3/du)u=0=C?3=0,(28)所以[(?/?u)d?dA?ua]u=0=(dA?u1/du)u=0E1a+(dA?u2/du)u=0E2a+(dA?u4/du)u=0E4a=C?1E1a+C?2E2a+C?4E4a,(29)(dA?ui/du)u=0=C?i,i=1,2,4.(30)式(30)的詳細形式由式(25)決定.首先假定C?1C?1+C?2C?2>0(31)普遍成立(后面我們證明這個假定是普遍成立的),這意味著A?u1=uC?1+o(u2),(32)A?u2=uC?2+o(u2),(33)A?u4=uC?4+o(u2),(34)gabA?uaA?ub=u2(C?1C?1+C?2C?2)+o(u3).(35)從式(11)可得β2<0.除非在u趨于零時,A2=AaAa趨于無窮大,否則,式(35)、(31)與式(18)是相矛盾的,所以,我們得到類時曲線γu(λ)的固有加速度在u趨于零時為無窮大.其次,我們證明式(31)在γ0(λ)上是普遍成立的.假設(shè)它不成立,惟一的選擇是C?1C?1+C?2C?2=0在類光測地線γ0(λ)的整個區(qū)間[0,λ]上成立,即C?1=C?2=0在類光測地線γ0(λ)的整個區(qū)間[0,λ]上成立.我們先計算β2=[12?2?u2(-αu2)]u=0.12?2(-αu2)?u2=?2?λ?u[gabvua(??u)b]-(??u)d?d[gab(??u)bvuc?cvua]=?2?λ?u[gabvua(??u)b]-[gabvuc?cvua](??u)d?d(??u)b-[(??u)a(??u)d?d(vuc?cvua)],(36)再由式(19)可得β2=[?2?λ?u(gabvuaΖb(u,λ))]u=0-[Ζa(λ)v0d?d(v0c?cΖa(λ))+Rdcaev0cv0eΖd(λ)Ζa(λ)].(37)由式(37)、(20)容易得到β2-[?2?λ?u(gabvuaΖb(u,λ))]u=0=-[Ζav0d?d(v0c?cΖa)+Rdcaev0cv0eΖdΖa]=ΖaC?a=Ζ1C?1+Ζ2C?2=0?(38)這等價于Za(λ)v0d?d(v0c?cZa(λ))=-Rdcaev0cv0eZd(λ)Za(λ).(39)通過式(39),我們得出Za(λ)v0d?d(v0c?cZa(λ))在整個區(qū)間[0,λ]是連續(xù)的,故變分矢量場Za(λ)在整個區(qū)間[0,λ]是C2的,由式(3)知,矢量vau是在整個區(qū)間[0,λ]為C1的.通過式(38),得∫0λqβ2dλ=∫0λqdλ[?2?λ?u(gabvua(??u)b)]u=0=[[??u(gabvua(??u)b)]u=0]0λq=0,(40)其中,由于是固定端點的變分,因而Za=Za(0,λ)在p,q