梁的彈塑性屈曲方程

梁的彈塑性屈曲方程

0動態(tài)屈曲分析在工業(yè)、建筑和軍事領(lǐng)域，受影響的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性問題越來越受到重視。對薄桿結(jié)構(gòu)的動態(tài)彎曲研究有助于揭示其他結(jié)構(gòu)和結(jié)構(gòu)的失穩(wěn)機(jī)。在大部分初始工作中，這項(xiàng)工作致力于研究靜態(tài)力曲線和動態(tài)彈性曲線。在一些工作中，我們討論了動態(tài)彈簧彎曲，提出了解決這一問題的方法和彎曲評價標(biāo)準(zhǔn)，并討論了電壓波對屈曲的影響。實(shí)際上,研究無初始缺陷桿更能揭示動態(tài)屈曲的機(jī)理.而動態(tài)屈曲應(yīng)與應(yīng)力波相聯(lián)系且具有局部特點(diǎn).與彈性桿的屈曲不同的是,彈塑性屈曲時其橫截面部分區(qū)域會出現(xiàn)卸載情況.本文研究了卸載的影響,得到了屈曲臨界力及屈曲模態(tài),給出了彈塑性細(xì)長桿在軸向沖擊下屈曲的一些規(guī)律.1中性軸位置和彎矩變化桿件的屈曲問題就是研究初始狀態(tài)w0=0,σ0x=σ0,τ0xz=0,?w0?X=0(1)w0=0,σ0x=σ0,τ0xz=0,?w0?X=0(1)的穩(wěn)定性問題.也就是判斷是否存在非零的擾動ˉwwˉˉˉ、σx、τxz、?ˉw/?X?wˉˉˉ/?X的問題.假設(shè)該擾動存在,則應(yīng)滿足擾動方程:ˉΝ=0,?ˉQ?X=0,?ˉΜ?X+Ν0?ˉw?X+ˉQ=0(2)Nˉˉˉ=0,?Qˉˉˉ?X=0,?Mˉˉˉˉ?X+N0?wˉˉˉ?X+Qˉˉˉ=0(2)式中:N0為初始軸力;ˉΝNˉˉˉ、ˉQQˉˉˉ、ˉΜMˉˉˉˉ分別為擾動引起的軸力、剪力和彎矩,其定義為Ν0=σ0A,ˉΝ=∫AσxdAˉQ=∫AτxzdA,ˉΜ=∫AσxzdA(3)N0=σ0A,Nˉˉˉ=∫AσxdAQˉˉˉ=∫AτxzdA,Mˉˉˉˉ=∫AσxzdA(3)A表示梁橫截面積.當(dāng)初始應(yīng)力小于屈服極限時,桿處于彈性狀態(tài).此時有ˉΜ=-De?2ˉw/?X2,De=EΙc(4)Mˉˉˉˉ=?De?2wˉˉˉ/?X2,De=EIc(4)式中:Ic為橫截面對形心軸的二次矩.當(dāng)初始應(yīng)力大于屈服極限時,桿處于塑性狀態(tài).此時,中性軸將不通過形心.以下針對線性強(qiáng)化材料桿,確定中性軸位置和彎矩的位移表示.假設(shè)中性軸y距梁橫截面底邊的距離為z0,如圖1(a)所示.截面上任意點(diǎn)位移可表示為u=-(?ˉw/?X)z(5)u=?(?wˉˉˉ/?X)z(5)中性軸的兩側(cè)將分別產(chǎn)生正的和負(fù)的擾動正應(yīng)力,從而使兩側(cè)分別處于卸載和加載狀態(tài).文中用Ae和Ap分別表示卸載和加載區(qū)面積,A=Ae+Ap.假設(shè)梁下側(cè)卸載,上側(cè)加載,則應(yīng)力可表示為σ={-E?2ˉw?X2z(-z0≤z＜0)-kE?2ˉw?X2z(z≥0)(6)σ=????E?2wˉˉˉ?X2z?kE?2wˉˉˉ?X2z(?z0≤z＜0)(z≥0)(6)式中:k為強(qiáng)化模量和彈性模量的比值(k=Ep/E).由截面上正應(yīng)力的合力為零的條件可得Se+kSp=0,Se=∫AezdA,Sp=∫ApzdA(7)Se+kSp=0,Se=∫AezdA,Sp=∫ApzdA(7)由此可確定中性軸的位置z0.由式(3)知ˉΜ=-Dp?2ˉw/?X2,Dp=EΙe+kΙpΙe=∫Aez2dA,Ιp=∫Apz2dA(8)Mˉˉˉˉ=?Dp?2wˉˉˉ/?X2,Dp=EIe+kIpIe=∫Aez2dA,Ip=∫Apz2dA(8)式中:Dp為塑性抗彎剛度.需要說明的是,桿下側(cè)卸載、上側(cè)加載時的中性軸位置和上側(cè)卸載、下側(cè)加載時的中性軸位置是不同的.一般情況下兩種加載方式計(jì)算出的塑性抗彎剛度也是不同的.這樣,彎曲方向沿軸線方向的變化將導(dǎo)致抗彎剛度的變化.因此,式(2)將導(dǎo)向很難求解的變系數(shù)微分方程.但是,當(dāng)梁截面是上下對稱時,可以證明,下側(cè)卸載時中性軸距最下側(cè)的距離z0和上側(cè)卸載時中性軸距最上側(cè)的距離z′0是相等的.該結(jié)論的正確性可通過坐標(biāo)軸的平移和旋轉(zhuǎn)(如圖1(b)所示),經(jīng)類似上面的推導(dǎo)驗(yàn)證.此時,兩種情況下的抗彎剛度是相同的.這樣,式(2)將變?yōu)楸阌谇蠼獾某Ｏ禂?shù)微分方程.本文考慮截面是對稱的情況,因此,兩種情況下的抗彎剛度將不加區(qū)分.若定義無量綱量c=DpDe,w=ˉwh,x=Xh,Ν=h2Ν0De,Μ=ˉΜhDe,Q=ˉQh2De,Νs=σsAh2De(9)c=DpDe,w=wˉˉˉh,x=Xh,N=h2N0De,M=MˉˉˉˉhDe,Q=Qˉˉˉh2De,Ns=σsAh2De(9)則擾動方程為D?4w?x4+Ν?2w?x2=0,D={1,Ν＜Νsc,Ν≥Νs(10)D?4w?x4+N?2w?x2=0,D={1,N＜Nsc,N≥Ns(10)式中:h為截面的某一特征尺寸(例如,高度、寬度等).上式的通解可寫成w(x)=A1cosλx+A2sinλx+A3x+A4,λ=√Ν/D(11)w(x)=A1cosλx+A2sinλx+A3x+A4,λ=N/D????√(11)式中:A1、A2、A3、A4為任意常數(shù).2拉格朗日方程的上式和屈曲分析當(dāng)細(xì)長桿在自由端作用沖擊力為-ˉΡΗ(t)?PˉˉˉH(t),并且ˉΡ＞ˉΡs=σsAPˉˉˉ＞Pˉˉˉs=σsA時,桿內(nèi)的應(yīng)力波可分解成彈性波和塑性波,控制方程分別為ρü-Eu″=0,Eu′(0,t)=ˉΡsΗ(t)(12)ρü-Epu″=0,Epu′(0,t)=(ˉΡ-ˉΡs)Η(t)(13)式中:上加圓點(diǎn)表示對時間的微分,(·)′表示對x的微分.該問題的解可利用式(9)無量綱化為Ν(Τ,x)=ΡΗ(kΤ-x)+ΡsΗ(Τ-x),Τ=t√E/ρ,(Ρ,Ρs)=(ˉΡ,ˉΡs)h2/De(14)在t=t0時刻,彈性波前位置為xe,塑性波前位置為xp.梁內(nèi)的軸力分布如圖2所示.在x>xe段內(nèi),軸力為零.因此擾動方程(10)的解是三次多項(xiàng)式:w=A0+A1x+A2x2+A3x3由無窮遠(yuǎn)邊界條件w|x→∞→0,可知上式中各系數(shù)均為零.由此可知,在位置xe處應(yīng)有類似于固支端的條件:w(xe)=0,w′(xe)=0(15)在塑性段內(nèi)(0<x≤xp),不妨考慮自由端的邊界條件Q(0)=0,Μ(0)=0(16)式(11)表示的梁的擾動函數(shù)為w=(sinλx)δ1+δ2,0＜x≤xp(17)式中:δ1、δ2為任意常數(shù).在彈性段(xp<x≤xe)內(nèi),式(11)中的λ應(yīng)為ω(=h√Ρs/De).若考慮到邊界條件(15),則擾動位移可表示成w(x)=[1-cosω(x-xe)]δ3+δ4(x-xe)(18)式中:δ3、δ4為任意常數(shù).由彈塑性交界面兩側(cè)的剪力相等知δ4=0.由x=xp的連續(xù)性條件可得(sinλxp1-1+cosω(xe-xp)λcosλxp0-ωsinω(xe-xp)cλ2sinλxp0ω2cosω(xe-xp))(δ1δ2δ3)=0(19)屈曲條件就是上式有非零解的條件(分叉),即系數(shù)行列式等于零:由上式及λ=h√Ρ/Dp可確定屈曲荷載.3臨界力:兩種類型桿通過空間競爭來識別屈曲臨界力考慮方形截面桿,其邊長為h.中性軸到底邊的距離及抗彎剛度分別為z0=h(√k-k)/(1-k),De=Eh4/12,Dp=Eh[z30+k(h-z0)3]/3.對于材料常數(shù)k=Ep/E=20/29、σs/E=50/29×10-3的細(xì)長桿,圖3給出了用無量綱臨界力Pcr和無量綱沖擊時間T描述的穩(wěn)定邊界.沖擊荷載越大,屈曲時間(屈曲所需沖擊時間)越短.存在一最小的彈塑性臨界屈曲荷載(無量綱)Ps=σsh4/De,對應(yīng)的屈曲時間為Ts.當(dāng)沖擊荷載小于彈塑性臨界荷載時,屈曲時間大于Ts.不考慮塑性影響的歐拉臨界力PEu也在圖3中畫出.比較可見,塑性的出現(xiàn)降低了屈曲臨界力.圖4給出了桿