2023-2024學年北京海淀區(qū)北京一零一中學數(shù)學高二上期末聯(lián)考模擬試題含解析

2023-2024學年北京海淀區(qū)北京一零一中學數(shù)學高二上期末聯(lián)考模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．過點且與雙曲線有相同漸近線的雙曲線方程為（）A B.C. D.2．若數(shù)列滿足，，則該數(shù)列的前2021項的乘積是（）A. B.C.2 D.13．設為橢圓上一點，，為左、右焦點，且，則（）A.為銳角三角形 B.為鈍角三角形C.為直角三角形 D.，，三點構不成三角形4．已知全集，集合，，則（）A. B.C. D.5．如圖，在棱長為1的正方體中，P、Q、R分別是棱AB、BC、的中點，以PQR為底面作一個直三棱柱，使其另一個底面的三個頂點也都在正方體的表面上，則這個直三棱柱的體積為（）A. B.C. D.6．已知等差數(shù)列的公差，若，，則該數(shù)列的前項和的最大值為（）A.30 B.35C.40 D.457．已知對稱軸為坐標軸的雙曲線的兩漸近線方程為，若雙曲線上有一點，使，則雙曲線的焦點（）A.在軸上 B.在軸上C.當時在軸上 D.當時在軸上8．已知拋物線，，點在拋物線上，記點到直線的距離為，則的最小值是（）A.5 B.6C.7 D.89．在等差數(shù)列{}中，，，則的值為（）A.18 B.20C.22 D.2410．已知是橢圓的左焦點，為橢圓上任意一點，點坐標為，則的最大值為（）A. B.13C.3 D.511．某高中學校高二和高三年級共有學生人，為了解該校學生的視力情況，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從三個年級中抽取一個容量為的樣本，其中高一年級抽取人，則高一年級學生人數(shù)為（）A. B.C. D.12．某工廠節(jié)能降耗技術改造后，在生產(chǎn)某產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x（噸）與相應的生產(chǎn)能耗y（噸）的幾組對應數(shù)據(jù)如下表，現(xiàn)發(fā)現(xiàn)表中有個數(shù)據(jù)看不清，已知回歸直線方程為=6.3x+6.8，下列說法正確的是（）x23456y1925★4044A.看不清的數(shù)據(jù)★的值為33B.回歸系數(shù)6.3的含義是產(chǎn)量每增加1噸，相應的生產(chǎn)能耗實際增加6.3噸C.據(jù)此模型預測產(chǎn)量為8噸時，相應的生產(chǎn)能耗為50.9噸D.回歸直線=6.3x+6.8恰好經(jīng)過樣本點（4，★）二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知圓的半徑為3，，為該圓的兩條切線，為切點，則的最小值為___________.14．若復數(shù)z=為純虛數(shù)（），則|z|=_____.15．經(jīng)過點，，的圓的方程為______.16．若雙曲線的左、右焦點為，，直線與雙曲線交于兩點，且，為坐標原點，又，則該雙曲線的離心率為__________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）求曲線在點處的切線的方程.（2）若直線為曲線切線，且經(jīng)過坐標原點，求直線的方程及切點坐標.18．（12分）已知三棱柱中，.（1）求證:平面平面.（2）若，在線段上是否存在一點使平面和平面所成角的余弦值為若存在，確定點的位置；若不存在，說明理由.19．（12分）中，角A，B，C所對的邊分別為.已知.（1）求的值；（2）求的面積.20．（12分）設F為橢圓的右焦點，過點的直線與橢圓C交于兩點.（1）若點B為橢圓C的上頂點，求直線的方程；（2）設直線的斜率分別為，，求證：為定值.21．（12分）“既要金山銀山，又要綠水青山”.濱江風景區(qū)在一個直徑為100米的半圓形花園中設計一條觀光線路（如圖所示）.在點與圓弧上的一點（不同于A，B兩點）之間設計為直線段小路，在直線段小路的兩側（注意是兩側）種植綠化帶；再從點到點設計為沿弧的弧形小路，在弧形小路的內側（注意是一側）種植綠化帶（注：小路及綠化帶的寬度忽略不計）.（1）設(弧度)，將綠化帶總長度表示為的函數(shù)；（2）試確定的值，使得綠化帶總長度最大.(弧度公式：，其中為弧所對的圓心角)22．（10分）已知如圖①，在菱形ABCD中，且，為AD的中點，將沿BE折起使，得到如圖②所示的四棱錐，在四棱錐中，求解下列問題：（1）求證：BC平面ABE；（2）若P為AC中點，求二面角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】設與雙曲線有相同漸近線的雙曲線方程為，代入點的坐標，求出的值，即可的解.【詳解】設與雙曲線有相同漸近線的雙曲線方程為，代入點，得，解得，所以所求雙曲線方程為，即故選：C.2、C【解析】先由數(shù)列滿足，，計算出前5項，可得，且，再利用周期性即可得到答案.【詳解】因為數(shù)列滿足，，所以，同理可得，…所以數(shù)列每四項重復出現(xiàn)，即，且，而，所以該數(shù)列的前2021項的乘積是.故選：C.3、D【解析】根據(jù)橢圓方程求出，然后結合橢圓定義和已知條件求出并求出，進而判斷答案.【詳解】由題意可知，，由橢圓的定義可知，而，聯(lián)立方程解得，且，則6+2=8，即不構成三角形.故選：D.4、A【解析】先求，然后求.【詳解】，，.故選：A5、C【解析】分別取的中點，連接，利用棱柱的定義證明幾何體是三棱柱，再證明平面PQR，得到三棱柱是直三棱柱求解.【詳解】如圖所示：連接,分別取其中點，連接，則，且，所以幾何體是三棱柱，又，且，所以平面，所以，同理，又，所以平面PQR，所以三棱柱是直三棱柱，因為正方體的棱長為1，所以,所以直三棱柱的體積為，故選：C6、D【解析】利用等差數(shù)列的性質求出公差以及首項，再由等差數(shù)列的前項和公式即可求解.【詳解】等差數(shù)列，由，有，又，公差，所以，，得，，，∴當或10時，最大，，故選：D7、B【解析】設出雙曲線的一般方程，利用題設不等式，令二者平方，整理求得的，進而可判斷出焦點的位置【詳解】漸近線方程為，，平方，兩邊除，，，雙曲線的焦點在軸上.故選B.【點睛】本題考查已知雙曲線的漸近線方程求雙曲線的方程，考查對雙曲線標準方程的理解與運用，求解時要注意焦點落在軸或軸的特點，考查學生分析問題和解決問題的能力8、D【解析】先求出拋物線的焦點和準線，利用拋物線的定義將轉化為的距離，即可求解.【詳解】由已知得拋物線的焦點為，準線方程為，設點到準線的距離為，則，則由拋物線的定義可知∵，當點、、三點共線時等號成立，∴，故選：.9、B【解析】根據(jù)等差數(shù)列通項公式相關計算求出公差，進而求出首項.【詳解】設公差為，由題意得：，解得：，所以.故選：B10、B【解析】利用橢圓的定義求解.【詳解】如圖所示：，故選：B11、B【解析】先得到從高二和高三年級抽取人，再利用分層抽樣進行求解.【詳解】設高一年級學生人數(shù)為，因為從三個年級中抽取一個容量為的樣本，且高一年級抽取人，所以從高二和高三年級抽取人，則，解得，即高一年級學生人數(shù)為.故選：B12、D【解析】根據(jù)回歸直線方程的性質和應用，對每個選項進行逐一分析，即可判斷和選擇.【詳解】對A：因為，將代入，故，∴，故A錯誤；對，回歸系數(shù)6.3的含義是產(chǎn)量每增加1噸，相應的生產(chǎn)能耗大約增加6.3噸，故錯誤；對，當時，，故錯誤；對，因為，故必經(jīng)過，故正確.故選：.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】設（），，則，，，根據(jù)數(shù)量積的定義和余弦的二倍角公式結合基本不等式即可求解詳解】如圖所示，設（），，則，，，，當且僅當即時等號成立，∴的最小值是.故答案為：14、【解析】利用復數(shù)z=為純虛數(shù)求出a，即可求出|z|.【詳解】z=.由純虛數(shù)的定義知，，解得.所以.故|z|=.故答案為：.15、【解析】設所求圓的方程為，然后將三個點的坐標代入方程中解方程組求出的值，可得圓的方程【詳解】設所求圓的方程為，則，解得，所以圓的方程為，即，故答案為：16、【解析】根據(jù)直線和雙曲線的對稱性，結合圓的性質、雙曲線的定義、三角形面積公式、雙曲線離心率公式進行求解即可.【詳解】由直線與雙曲線的對稱性可知，點與點關于原點對稱，在三角形中，，所以，是以為直徑的圓與雙曲線的交點，不妨設在第一象限，，因為圓是以為直徑，所以圓的半徑為，因為點在圓上，也在雙曲線上，所以有，聯(lián)立化簡可得，整理得，，所以，由所以，又因為，聯(lián)立可得，，因為為圓的直徑，所以，即，，所以離心率.故答案為：【點睛】關鍵點睛：利用直線和雙曲線的對稱性，結合圓的性質進行求解是解題的關鍵.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)；(2)直線的方程為，切點坐標為.【解析】（1）先求導數(shù)，再根據(jù)導數(shù)幾何意義得切線斜率，最后根據(jù)點斜式得結果，（2）設切點，根據(jù)導數(shù)幾何意義得切線斜率，根據(jù)點斜式得切線方程，再根據(jù)切線過坐標原點解得結果.【詳解】（1）.所以在點處的切線的斜率，∴切線的方程為；（2）設切點為，則直線的斜率為，所以直線的方程為：，所以又直線過點，∴，整理，得，∴，∴，的斜率，∴直線的方程為，切點坐標為.【點睛】本題考查導數(shù)幾何意義以及利用導數(shù)求切線方程，考查基本分析求解能力，屬基礎題.18、（1）證明見解析；（2）在線段上存在一點，且P是靠近C的四等分點.【解析】(1)連接，根據(jù)給定條件證明平面得即可推理作答.(2)在平面內過C作，再以C為原點，射線CA，CB，Cz分別為x，y，z軸正半軸建立空間直角坐標系，利用空間向量計算判斷作答.【小問1詳解】在三棱柱中，四邊形是平行四邊形，而，則是菱形，連接，如圖，則有，因，，平面，于是得平面，而平面，則，由得，，平面，從而得平面，又平面，所以平面平面.【小問2詳解】在平面內過C作，由(1)知平面平面，平面平面，則平面，以C為原點，射線CA，CB，Cz分別為x，y，z軸正半軸建立空間直角坐標系，如圖，因，，則，假設在線段上存在符合要求的點P，設其坐標為，則有，設平面的一個法向量，則有，令得，而平面的一個法向量，依題意，，化簡整理得：而，解得，所以在線段上存在一點，且P是靠近C的四等分點，使平面和平面所成角的余弦值為.19、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)求出，根據(jù)求出，根據(jù)正弦定理求出；（2）先求出，再利用面積公式即可求出.【詳解】（1）在中，由題意知，又因為，所有，由正弦定理可得.（2）由得，由,得.所以.因此，的面積.【點睛】本題考查正弦定理和三角形面積公式的應用，屬于中檔題.20、（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）求出的直線方程，結合橢圓方程可求的坐標，從而可求的直線方程；（2）設，直線（或），則可用兩點的坐標表示或，聯(lián)立直線的方程和橢圓的方程，消元后利用韋達定理可化簡前者從而得到要證明的結論【詳解】（1）若B為橢圓的上頂點，則.又過點，故直線由可得，解得即點，又，故直線；（2）設，方法一：設直線，代入橢圓方程可得：所以，故，又均不為0，故，即為定值方法二：設直線，代入橢圓方程可得：所以所以，即，所以，即為定值方法三：設直線，代入橢圓方程可得：所以，所以所以，把代入得方法四：設直線，代入橢圓的方程可得，則所以.因為，代入得.【點睛】思路點睛：直線與圓錐曲線的位置關系中的定點、定值、最值問題，一般可通過聯(lián)立方程組并消元得到關于或的一元二次方程，再把要求解的目標代數(shù)式化為關于兩個的交點橫坐標或縱坐標的關系式，該關系中含有或，最后利用韋達定理把關系式轉化為若干變量的方程（或函數(shù)），從而可求定點、定值、最值問題.21、（1）；（2）.【解析】（1）在直角三角形中，求出，在扇形中利用弧長公式求出弧的長度，則可得函數(shù)；（2）利用導數(shù)可求得結果.【詳解】（1）如圖，連接在直角三角形中，所以由于則弧的長為（2）由（1）可知，令得，因為所以，當單調遞增，當單調遞減，所以當時，使得綠化帶總長度最大.【點睛】關鍵點點睛：仔細審題，注意題目中的關鍵詞“兩側”和“一側”是解題關鍵.22、（1）證明見解析；（2）【解析】（1）利用題中所給的條件證明，，因為，所以，，即可證明平面；（2）先證明平面，以為坐標原點，，，的方向分別為軸，軸，軸，建立如圖所