2023-2024學(xué)年安徽省“廬巢六校聯(lián)盟”高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)模擬試題含解析

2023-2024學(xué)年安徽省“廬巢六校聯(lián)盟”高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)模擬試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若直線與直線垂直，則（）A.6 B.4C. D.2．已知拋物線：，焦點(diǎn)為，若過(guò)的直線交拋物線于、兩點(diǎn)，、到拋物線準(zhǔn)線的距離分別為3、7，則長(zhǎng)為A.3 B.4C.7 D.103．連擲一枚均勻的骰子兩次，所得向上的點(diǎn)數(shù)分別為m，n，記，則下列說(shuō)法正確的是（）A.事件“”的概率為 B.事件“t是奇數(shù)”與“”互為對(duì)立事件C.事件“”與“”互為互斥事件 D.事件“且”的概率為4．已知雙曲線的離心率為2，則C的漸近線方程為（）A. B.C. D.5．由下面的條件一定能得出為銳角三角形的是（）A. B.C. D.6．已知，，若，則xy的最小值是（）A. B.C. D.7．拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離（）A.4 B.C.2 D.8．已知點(diǎn)與不重合的點(diǎn)A，B共線，若以A，B為圓心，2為半徑的兩圓均過(guò)點(diǎn)，則的取值范圍為（）A. B.C. D.9．已知直線與圓相切，則的值是（）A. B.C. D.10．已知向量與向量垂直，則實(shí)數(shù)x的值為（）A.﹣1 B.1C.﹣6 D.611．古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得在《幾何原本》中描述了圓錐曲線共性，并給出了圓錐曲線的統(tǒng)一定義，只可惜對(duì)這一定義歐幾里得沒(méi)有給出證明.經(jīng)過(guò)了500年，到了3世紀(jì)，希臘數(shù)學(xué)家帕普斯在他的著作《數(shù)學(xué)匯篇》中，完善了歐幾里得關(guān)于圓錐曲線的統(tǒng)一定義，并對(duì)這一定義進(jìn)行了證明.他指出，到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離的比是常數(shù)的點(diǎn)的軌跡叫做圓錐曲線；當(dāng)時(shí)，軌跡為橢圓；當(dāng)時(shí)，軌跡為拋物線；當(dāng)時(shí)，軌跡為雙曲線.現(xiàn)有方程表示的曲線是雙曲線，則的取值范圍為（）A. B.C. D.12．“”是“直線與互相垂直”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若命題“，使得”為假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是___________14．已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)在球的球面上，，是邊長(zhǎng)為正三角形，分別是的中點(diǎn)，，則球的體積為_________________15．若數(shù)列滿足，則稱為“追夢(mèng)數(shù)列”.已知數(shù)列為“追夢(mèng)數(shù)列”，且，則數(shù)列的通項(xiàng)公式__________.16．如圖，在四棱錐中，O是AD邊中點(diǎn)，底面ABCD..在底面ABCD中，，，，.（1）求證：平面POC；（2）求直線PC與平面PAB所成角的正弦值.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，用符號(hào)表示不超過(guò)x的最大數(shù)，當(dāng)時(shí)，求的值.18．（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，，求a的取值范圍.19．（12分）已知橢圓（）的左、右焦點(diǎn)為，，，離心率為（1）求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程（2）的左頂點(diǎn)為，過(guò)右焦點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，記直線，，的斜率分別為，，，求證：20．（12分）已知集合，．若，且“”是“”的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍21．（12分）已知圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)和，且圓心在直線上（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線過(guò)點(diǎn)，且與圓相切，求直線的方程；（3）設(shè)直線與圓相交于兩點(diǎn)，點(diǎn)為圓上的一動(dòng)點(diǎn)，求的面積的最大值22．（10分）已知函數(shù).（1）若，求的極值；（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】由兩條直線垂直的條件可得答案.【詳解】由題意可知，即故選：A.2、D【解析】利用拋物線的定義，把的長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離的和得解【詳解】解：拋物線：，焦點(diǎn)為，過(guò)的直線交拋物線于、兩點(diǎn)，、到拋物線準(zhǔn)線的距離分別為3、7，則故選D【點(diǎn)睛】本題考查拋物線定義的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.3、D【解析】計(jì)算出事件“t＝12”的概率可判斷A；根據(jù)對(duì)立事件的概念，可判斷B；根據(jù)互斥事件的概念，可判斷C；計(jì)算出事件“t＞8且mn＜32”的概率可判斷D；【詳解】連擲一枚均勻的骰子兩次，所得向上的點(diǎn)數(shù)分別為m，n，則共有個(gè)基本事件，記t＝m＋n，則事件“t＝12”必須兩次都擲出6點(diǎn)，則事件“t＝12”的概率為，故A錯(cuò)誤；事件“t是奇數(shù)”與“m＝n”為互斥不對(duì)立事件,如事件m=3,n=5，故B錯(cuò)誤；事件“t＝2”與“t≠3”不是互斥事件，故C錯(cuò)誤；事件“t＞8且mn＜32”有共9個(gè)基本事件，故事件“t＞8且mn＜32”的概率為，故D正確；故選：D4、A【解析】根據(jù)離心率及a，b，c的關(guān)系，可求得，代入即可得答案.【詳解】因?yàn)殡x心率，所以，所以，，則，所以C的漸近線方程為.故選：A5、D【解析】對(duì)于A，兩邊平方得，由得，即為鈍角；對(duì)于B，由正弦定理求出，進(jìn)而求出，可得結(jié)果；對(duì)于C，根據(jù)平方關(guān)系將余弦化為正弦，用正弦定理可將角轉(zhuǎn)化為邊，進(jìn)而可得的值，從而作出判斷；對(duì)于D，由可得，推出，，，故可知三個(gè)內(nèi)角均為銳角【詳解】解：對(duì)于A，由，兩邊平方整理得，，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以為鈍角三角形，故A不正確；對(duì)于B，由，得，所以，因?yàn)?，所以，所以或，所以或，所以為直角三角形或鈍角三角形，故B不正確；對(duì)于C，因?yàn)椋?，即，由正弦定理得，由余弦定理得，因?yàn)?，所以，故三角形為鈍角三角形，C不正確；對(duì)于D，由可得，因?yàn)橹凶疃嘀挥幸粋€(gè)鈍角，所以，，中最多只有一個(gè)為負(fù)數(shù)，所以，，，所以中三個(gè)內(nèi)角都為銳角，所以為銳角三角形，故D正確；故選：D6、C【解析】對(duì)使用基本不等式，這樣得到關(guān)于的不等式，解出xy的最小值【詳解】因?yàn)?，，由基本不等式得：，所以，解得：，?dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立故選：C7、A【解析】寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，即可確定焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離.【詳解】由題設(shè)，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，∴焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4.故選：A.8、D【解析】由題意可得兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足圓，然后由圓的性質(zhì)可得當(dāng)時(shí)，弦長(zhǎng)最小，當(dāng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，弦長(zhǎng)最長(zhǎng)，再根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算律求解即可【詳解】設(shè)點(diǎn)，則以A，B為圓心，2為半徑的兩圓方程分別為和，因?yàn)閮蓤A過(guò)，所以和，所以兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足圓，因?yàn)辄c(diǎn)與不重合的點(diǎn)A，B共線，所以為圓的一條弦，所以當(dāng)弦長(zhǎng)最小時(shí)，，因?yàn)?，半徑?，所以弦長(zhǎng)的最小值為，當(dāng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，弦長(zhǎng)最長(zhǎng)為4，因?yàn)?，所以?dāng)弦長(zhǎng)最小時(shí)，的最大值為，當(dāng)弦長(zhǎng)最大時(shí)，的最小值為，所以的取值范圍為，故選：D9、D【解析】直線與圓相切，直接通過(guò)求解即可.【詳解】因?yàn)橹本€與圓相切，所以圓心到直線的距離，所以，.故選：D10、B【解析】根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)計(jì)算公式代入可得的值【詳解】解：向量，與向量垂直，則，由數(shù)量積的坐標(biāo)公式可得：，解得，故選：【點(diǎn)睛】本題考查空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，以及數(shù)量積的坐標(biāo)公式，屬于基礎(chǔ)題11、C【解析】對(duì)方程進(jìn)行化簡(jiǎn)可得雙曲線上一點(diǎn)到定點(diǎn)與定直線之比為常數(shù)，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】已知方程可以變形為，即，∴其表示雙曲線上一點(diǎn)到定點(diǎn)與定直線之比為常數(shù)，又由，可得，故選：C.12、A【解析】根據(jù)兩直線垂直的性質(zhì)求出，再結(jié)合充分條件和必要條件的定義即可得出答案.【詳解】解：因?yàn)橹本€與互相垂直，所以，解得或，所以“”是“直線與互相垂直”的充分不必要條件.故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、(-1，0]【解析】將題意的命題轉(zhuǎn)化條件為“，”為真命題，結(jié)合一元二次不等式恒成立即可得解.【詳解】因?yàn)槊}“，使得”是假命題，所以其否定“，”為真命題，即在R上恒成立.當(dāng)時(shí)，不等式為，符合題意；當(dāng)時(shí)，則需滿足，解得；綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.14、【解析】由已知設(shè)出，，，分別在中和在中運(yùn)用余弦定理表示，得到關(guān)于x與y的關(guān)系式，再在中運(yùn)用勾股定理得到關(guān)于x與y的又一關(guān)系式，聯(lián)立可解得x，y，從而分析出正三棱錐是，，兩兩垂直的正三棱錐，所以三棱錐的外接球就是以為棱的正方體的外接球，再通過(guò)正方體的外接球的直徑等于正方體的體對(duì)角線的長(zhǎng)求出球的半徑，再求出球的體積.【詳解】在中，設(shè)，，，,，因?yàn)辄c(diǎn)，點(diǎn)分別是，的中點(diǎn)，所以，，在中，，在中，，整理得，因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為的正三角形，所以，又因?yàn)?，所以，由，解得，所以又因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為的正三角形，所以，所以，所以，，兩兩垂直，則球?yàn)橐詾槔獾恼襟w的外接球，則外接球直徑為，所以球的體積為,故答案為.【點(diǎn)睛】本題主要考查空間幾何體的外接球的體積，破解關(guān)鍵在于熟悉正三棱錐的結(jié)構(gòu)特征，運(yùn)用解三角形的正弦定理和余弦定理得出三棱錐的棱的關(guān)系，繼而分析出正三棱錐的外接球是以正三棱錐中互相垂直的三條棱為棱的正方體的外接球，利用正方體的外接球的直徑等于正方體的體對(duì)角線的長(zhǎng)求解更方便快捷，屬于中檔題15、##【解析】根據(jù)題意，由“追夢(mèng)數(shù)列”的定義可得“追夢(mèng)數(shù)列”是公比為的等比數(shù)列，進(jìn)而可得若數(shù)列為“追夢(mèng)數(shù)列”，則為公比為3的等比數(shù)列，進(jìn)而由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得答案【詳解】根據(jù)題意，“追夢(mèng)數(shù)列”滿足，即，則數(shù)列是公比為的等比數(shù)列.若數(shù)列為“追夢(mèng)數(shù)列”，則.故答案為：.16、（1）證明見解析（2）【解析】（1）由題意，證明BCOA是平行四邊形，從而可得，然后根據(jù)線面平行的判斷定理即可證明；（2）證明BCDO是平行四邊形，從而可得，由題意，可建立以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面ABP的法向量，利用向量法即可求解直線PC與平面PAB所成角的正弦值為.【小問(wèn)1詳解】證明：由題意，又，所以BCOA是平行四邊形，所以，又平面POC，平面POC，所以平面POC；【小問(wèn)2詳解】解：，，所以BCDO是平行四邊形，所以，，而，所以，以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，設(shè)平面ABP的一個(gè)法向量為，則，取x=1，則，，所以，設(shè)直線PC與平面PAB所成角為，則，所以直線PC與平面PAB所成角的正弦值為.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）9【解析】(1)首先根據(jù)已知條件分別求出的首項(xiàng)和公差，然后利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求解即可；(2)首先利用等差數(shù)列求和公式求出，然后利用裂項(xiàng)相消法和分組求和法求出，進(jìn)而可求出的通項(xiàng)公式，最后利用等差數(shù)列求和公式求解即可.【小問(wèn)1詳解】不妨設(shè)等差數(shù)列的公差為，故，，解得，，從而，即的通項(xiàng)公式為.【小問(wèn)2詳解】由題意可知，，所以，故，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以，由可知，，即，解得，即值為9.18、（1）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增（2）【解析】（1）研究當(dāng)時(shí)的導(dǎo)數(shù)的符號(hào)即可討論得到的單調(diào)性；（2）對(duì)原函數(shù)求導(dǎo)，對(duì)a的范圍分類討論即可得出答案.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，令，則，所以在上單調(diào)遞增.又因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.【小問(wèn)2詳解】，且.①當(dāng)時(shí)，由（1）可知當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，則，符合題意.②當(dāng)時(shí)，，不符合題意，舍去.③當(dāng)時(shí)，令，則，則，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，不符合題意，舍去.綜上，a的取值范圍為.【點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識(shí)點(diǎn)，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行：(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)．(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問(wèn)題．(4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用19、（1）；（2）證明見解析【解析】(1)由可求出，結(jié)合離心率可知，進(jìn)而可求出，即可求出標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)由題意知，，則由直線的點(diǎn)斜式方程可得直線的解析式為，與橢圓進(jìn)行聯(lián)立，設(shè)，，結(jié)合韋達(dá)定理可得，從而由斜率的計(jì)算公式對(duì)進(jìn)行整理化簡(jiǎn)從而可證明.【詳解】（1）解：因?yàn)?，所以．又因?yàn)殡x心率，所以，則，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（2）證明：由題意知，，，則直線的解析式為，代入橢圓方程，得設(shè)，，則．又因?yàn)?，，所以【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛:本題第二問(wèn)的關(guān)鍵是聯(lián)立直線和橢圓的方程后，結(jié)合韋達(dá)定理，用表示交點(diǎn)橫坐標(biāo)的和與積，從而代入進(jìn)行整理化簡(jiǎn).20、【解析】由題設(shè)A是的真子集，結(jié)合已知集合的描述列不等式求a的范圍.【詳解】由“”是“”的充分不必要條件，即A是的真子集，又，，所以，可得，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為21、（1）（2）或（3）【解析】（1）解法一，根據(jù)題意設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，進(jìn)而待定系數(shù)法求解即可；解法二：由題知圓心在線段的垂直平分線上，進(jìn)而結(jié)合題意得圓的圓心與半徑，寫出方程；（2）分直線的斜率存在與不存在兩種情況討論求解即可；（3）由幾何法求弦長(zhǎng)得，進(jìn)而到直線距離的最大值為，再計(jì)算面積即可.【小問(wèn)1詳解】解：解法一：設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由已知得，解得，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；解法二：由圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)和，可知圓心在線段的垂直平分線上，將代入，得，即，半徑，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；【小問(wèn)2詳解】解：當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)，即，由直線與圓相切，得，解得，此時(shí)，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線顯然與圓相切所以直線的方程為或；【小問(wèn)3詳解】解：圓心到直線的距