2023-2024學(xué)年安徽省蚌埠市田家炳中學(xué)、五中高二上數(shù)學(xué)期末聯(lián)考模擬試題含解析

2023-2024學(xué)年安徽省蚌埠市田家炳中學(xué)、五中高二上數(shù)學(xué)期末聯(lián)考模擬試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若指數(shù)函數(shù)（且）與三次函數(shù)的圖象恰好有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.2．函數(shù)的值域?yàn)椋ǎ〢. B.C. D.3．公元前6世紀(jì)，古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派研究發(fā)現(xiàn)了黃金分割，簡(jiǎn)稱黃金數(shù)．離心率等于黃金數(shù)的倒數(shù)的雙曲線稱為黃金雙曲線．若雙曲線是黃金雙曲線，則（）A. B.C. D.4．若a>b，c>d，則下列不等式中一定正確的是（）A. B.C. D.5．拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是A. B.1C. D.6．中國(guó)剪紙是一種用剪刀或刻刀在紙上剪刻花紋，用于裝點(diǎn)生活或配合其他民俗活動(dòng)的民間藝術(shù).如圖所示的圓形剪紙中，正六邊形的所有頂點(diǎn)都在該圓上，若在該圓形剪紙的內(nèi)部投擲一點(diǎn)，則該點(diǎn)恰好落在正六邊形內(nèi)部的概率為（）A. B.C. D.7．設(shè)，，若，其中是自然對(duì)數(shù)底，則（）A. B.C. D.8．《周髀算經(jīng)》有這樣一個(gè)問題：從冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種十二個(gè)節(jié)氣日影長(zhǎng)減等寸，冬至、立春、春分日影之和為三丈一尺五寸，前九個(gè)節(jié)氣日影之和為八丈五尺五寸（注：一丈等于十尺，一尺等于十寸），問立夏日影長(zhǎng)為（）A.一尺五寸 B.二尺五寸C.三尺五寸 D.四尺五寸9．窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的剪紙，是古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一.如圖是一個(gè)窗花的圖案，以正六邊形各頂點(diǎn)為圓心、邊長(zhǎng)為半徑作圓，陰影部分為其公共部分.現(xiàn)從該正六邊形中任取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自于陰影部分的概率為（）A. B.C. D.10．已知點(diǎn)在平面內(nèi)，是平面的一個(gè)法向量，則下列各點(diǎn)在平面內(nèi)的是（）A. B.C. D.11．已知，表示兩條不同的直線，表示平面.下列說法正確的是A.若，，則B.若，，則C.若，，則D.若，，則12．已知條件：，條件：表示一個(gè)橢圓，則是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．點(diǎn)為橢圓上的一動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離的最小值為___________.14．已知函數(shù)有且僅有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.15．已知實(shí)數(shù)，滿足，則的最大值為______.16．已知空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，若，與同向，則向量的坐標(biāo)為______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，側(cè)棱底面ABCD，，，E為PB中點(diǎn)，F(xiàn)為PC上一點(diǎn)，且（1）求證：；（2）求平面DEF與平面ABCD所成銳二面角的余弦值18．（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在時(shí)的最大值和最小值；（2）若函數(shù)在區(qū)間存在極小值，求a的取值范圍.19．（12分）已知函數(shù)在處取得極值（1）求實(shí)數(shù)a的值；（2）若函數(shù)在內(nèi)有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍20．（12分）已知圓M過C(1，﹣1)，D(﹣1，1)兩點(diǎn)，且圓心M在x+y﹣2=0上.（1）求圓M的方程；（2）設(shè)P是直線3x+4y+8=0上的動(dòng)點(diǎn)，PA，PB是圓M的兩條切線，A，B為切點(diǎn)，求四邊形PAMB面積的最小值.21．（12分）如圖，直四棱柱中，底面是邊長(zhǎng)為的正方形，點(diǎn)在棱上.（1）求證：；（2）從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇兩個(gè)作已知，使得平面，并給出證明.條件①：為的中點(diǎn)；條件②：平面；條件③：.（3）在（2）的條件下，求平面與平面夾角的余弦值.22．（10分）已知在△中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且.（1）求角C的大??；（2）若，求△的面積S的最大值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】分析可知直線與曲線在上的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，令可得出，令，問題轉(zhuǎn)化為直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，數(shù)形結(jié)合可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)兩個(gè)函數(shù)的圖象無交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，由得，可得，令，其中，則直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，則，且當(dāng)時(shí)，，作出直線與曲線如下圖所示：由圖可知，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，指數(shù)函數(shù)（且）與三次函數(shù)的圖象恰好有兩個(gè)不同的交點(diǎn).故選：A.2、C【解析】根據(jù)基本不等式即可求出【詳解】因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以函數(shù)的值域?yàn)楣蔬x：C3、A【解析】根據(jù)黃金雙曲線的定義直接列方程求解【詳解】雙曲線中的，所以離心率，因?yàn)殡p曲線是黃金雙曲線，所以，兩邊平方得，解得或（舍去），故選：A4、B【解析】根據(jù)不等式的性質(zhì)及反例判斷各個(gè)選項(xiàng).【詳解】因?yàn)閏>d，所以，所以，所以B正確；時(shí)，不滿足選項(xiàng)A；時(shí)，，且，所以不滿足選項(xiàng)CD；故選：B5、D【解析】，，所以拋物線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離是，故選D.6、D【解析】設(shè)圓的半徑，求出圓的面積與正六邊形的面積，再根據(jù)幾何概型的概率公式計(jì)算可得；【詳解】解：設(shè)圓的半徑，則，則，所以，所以在該圓形剪紙的內(nèi)部投擲一點(diǎn)，則該點(diǎn)恰好落在正六邊形內(nèi)部的概率;故選：D7、A【解析】利用函數(shù)的單調(diào)性可得正確的選項(xiàng).【詳解】令，因?yàn)榫鶠椋蕿樯系脑龊瘮?shù)，由可得，故，故選：A.8、D【解析】結(jié)合等差數(shù)列知識(shí)求得正確答案.【詳解】設(shè)冬至日影長(zhǎng)，公差為，則，所以立夏日影長(zhǎng)丈，即四尺五寸.故選：D9、D【解析】求得陰影部分的面積，結(jié)合幾何概型概率計(jì)算公式，計(jì)算出所求的概率.【詳解】設(shè)正六邊形的邊長(zhǎng)為，則其面積為.陰影部分面積為，故所求概率為.故選：D10、B【解析】設(shè)平面內(nèi)的一點(diǎn)為，由可得，進(jìn)而可得滿足的方程，將選項(xiàng)代入檢驗(yàn)即可得正確選項(xiàng).【詳解】設(shè)平面內(nèi)的一點(diǎn)為(不與點(diǎn)重合)，則，因?yàn)槭瞧矫娴囊粋€(gè)法向量，所以，所以，即，對(duì)于A：，故選項(xiàng)A不正確；對(duì)于B：，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于C：，故選項(xiàng)C不正確；對(duì)于D：，故選項(xiàng)D不正確，故選：B.11、B【解析】A．運(yùn)用線面平行的性質(zhì)，結(jié)合線線的位置關(guān)系，即可判斷；B．運(yùn)用線面垂直的性質(zhì)，即可判斷；C．運(yùn)用線面垂直的性質(zhì)，結(jié)合線線垂直和線面平行的位置即可判斷；D．運(yùn)用線面平行的性質(zhì)和線面垂直的判定，即可判斷【詳解】A．若m∥α，n∥α，則m，n相交或平行或異面，故A錯(cuò)；B．若m⊥α，，由線面垂直的性質(zhì)定理可知，故B正確；C．若m⊥α，m⊥n，則n∥α或n?α，故C錯(cuò)；D．若m∥α，m⊥n，則n∥α或n?α或n⊥α，故D錯(cuò)故選B【點(diǎn)睛】本題考查空間直線與平面的位置關(guān)系，考查直線與平面的平行、垂直的判斷與性質(zhì)，記熟定理是解題的關(guān)鍵，注意觀察空間的直線與平面的模型12、B【解析】根據(jù)曲線方程，結(jié)合充分、必要性的定義判斷題設(shè)條件間的關(guān)系.【詳解】由，若，則表示一個(gè)圓，充分性不成立；而表示一個(gè)橢圓，則成立，必要性成立.所以是的必要不充分條件.故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】設(shè)與平行的直線與相切，求解出此時(shí)的方程，則點(diǎn)到直線距離的最大值可根據(jù)平行直線間的距離公式求解出.【詳解】設(shè)與平行的直線，當(dāng)與橢圓相切時(shí)有：，所以，所以，所以，由題意取時(shí)，到直線的距離較小此時(shí)與（即）的距離為，所以點(diǎn)到直線距離的最小值為，故答案為：.14、【解析】函數(shù)有兩個(gè)不同零點(diǎn)即y=a與g(x)=圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，畫出近似圖象即得a的范圍﹒【詳解】∵函數(shù)有且僅有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，令，則y=a與g(x)=圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，∵，∴當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，∴當(dāng)時(shí)，，作出函數(shù)與的圖象，∴當(dāng)時(shí)，y=a與g(x)有兩個(gè)交點(diǎn)﹒故答案為：﹒15、【解析】由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組得到最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)得答案.【詳解】由約束條件作出可行域如圖所示，化目標(biāo)函數(shù)為，由圖可知，當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，直線在y軸上的截距最大，z最大，聯(lián)立方程組，解得點(diǎn)，則取得最大值為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的是線性規(guī)劃問題，解決線性規(guī)劃問題的實(shí)質(zhì)是把代數(shù)問題幾何化，即數(shù)形結(jié)合的思想，需要注意的是：一，準(zhǔn)確無誤作出可行域；二，畫目標(biāo)函數(shù)所對(duì)應(yīng)直線時(shí)，要注意讓其斜率與約束條件中的直線的斜率比較；三，一般情況下，目標(biāo)函數(shù)的最值會(huì)在可行域的端點(diǎn)或邊界上取得.16、【解析】求出坐標(biāo)，根據(jù)給條件表示出坐標(biāo)，利用向量模的坐標(biāo)表示計(jì)算作答.【詳解】因，，則，因與同向，則設(shè)，因此，，于是得，解得，則，所以向量的坐標(biāo)為.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）【解析】（1）依題意可得，再由，即可得到平面，從而建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法證明即可；（2）利用空間向量法求出二面角的余弦值；【小問1詳解】證明：因?yàn)槠矫?，平面，平面，則，，又，因?yàn)?，，平面，所以平面，故以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則，0，，，0，，，1，，，1，，，0，，，所以，則，所以，故；【小問2詳解】解：解：因?yàn)?，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，，故，因?yàn)榈酌?，所以的一個(gè)法向量為，所以，故平面與平面夾角的余弦值為18、（1）最大值為9，最小值為；（2）.【解析】（1）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而確定在的極值、端點(diǎn)值，比較它們的大小即可知最值.（2）討論參數(shù)a的符號(hào)，利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性，結(jié)合已知區(qū)間的極值情況求參數(shù)a的范圍即可.【小問1詳解】由題，時(shí)，，則，令，得或1，則時(shí)，，單調(diào)遞增；時(shí)，，單調(diào)遞減；時(shí)，，單調(diào)遞增.∴在時(shí)取極大值，在時(shí)取極小值，又，，綜上，在區(qū)間上取得的最大值為9，最小值為.小問2詳解】，且，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，函數(shù)沒有極值；當(dāng)時(shí)，時(shí)，單調(diào)遞增；時(shí)，單調(diào)遞減；時(shí)，，單調(diào)遞增.∴在取得極大值，在取得極小值，則；當(dāng)時(shí)，時(shí)，單調(diào)遞增；時(shí)，單調(diào)遞減；時(shí)，，單調(diào)遞增.∴在取得極大值，在取得極小值，由得：.綜上，函數(shù)在區(qū)間存在極小值時(shí)a的取值范圍是.19、（1）；（2）【解析】（1）由題意可得，從而可求出a的值；（2）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而可由函數(shù)的變化情況可知，要函數(shù)在內(nèi)有零點(diǎn)，只要函數(shù)在內(nèi)的最大值大于等于零，最小值小于等于零，然后解不等式組可得答案【詳解】解：（1）在處取得極值，∴，∴．經(jīng)驗(yàn)證時(shí)，在處取得極值（2）由（1）知，∴極值點(diǎn)為2，.將x，，在內(nèi)的取值列表如下：x024/-0+/b極小值由此可得，在內(nèi)有零點(diǎn)，只需∴20、（1）；（2）.【解析】（1）設(shè)圓的方程為：，由已知列出方程組，解之可得圓的方程；（2）由已知得四邊形的面積為，即有，又有.因此要求的最小值，只需求的最小值即可，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可求得答案.【詳解】解：（1）設(shè)圓方程為：，根據(jù)題意得，故所求圓M的方程為：；（2）如圖，四邊形的面積為，即又，所以，而，即.因此要求的最小值，只需求的最小值即可，的最小值即為點(diǎn)到直線的距離所以，四邊形面積的最小值為.21、（1）證明見解析；（2）答案見解析；（3）.【解析】（1）連結(jié)，，由直四棱柱的性質(zhì)及線面垂直的性質(zhì)可得，再由正方形的性質(zhì)及線面垂直的判定、性質(zhì)即可證結(jié)論.（2）選條件①③，設(shè)，連結(jié)，，由中位線的性質(zhì)、線面垂直的性質(zhì)可得、，再由線面垂直的判定證明結(jié)論；選條件②③，設(shè)，連結(jié)，由線面平行的性質(zhì)及平行推論可得，由線面垂直的性質(zhì)有，再由線面垂直的判定證明結(jié)論；（3）構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，求平面、平面的法向量，應(yīng)用空間向量夾角的坐標(biāo)表示求平面與平面夾角的余弦值.【小問1詳解】連結(jié)，，由直四棱柱知：平面，又平面，所以，又為正方形，即，又，∴平面，又平面，∴.【小問2詳解】選條件①③，可使平面.證明如下：設(shè)，連結(jié)，，又，分別是，的中點(diǎn)，∴.又，所以.由（1）知：平面，平面，則.又，即平面.選條件②③，可使平面.證明如下：設(shè)，連結(jié).因?yàn)槠矫?，平面，平面平面，所以，又，則.由（1）知：平面，平面，則.又，即平面.【小問3詳解】由（2）