2023-2024學(xué)年廣東省華南師大附中高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)模擬試題含解析

2023-2024學(xué)年廣東省華南師大附中高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)模擬試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫(huà)出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．《九章算術(shù)》是我國(guó)古代的數(shù)學(xué)名著，書(shū)中有如下問(wèn)題：“今有五人分五錢(qián)，令上兩人與下三人等，問(wèn)各得幾何？”其意思為：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5錢(qián)，甲、乙兩人所得之和與丙、丁、戊所得之和相同，且是甲、乙、丙、丁、戊所得以此為等差數(shù)列，問(wèn)五人各得多少錢(qián)？”（“錢(qián)”是古代一種重量單位），這個(gè)問(wèn)題中戊所得為（）A.錢(qián) B.錢(qián)C.錢(qián) D.錢(qián)2．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，點(diǎn)P是上一點(diǎn)，則當(dāng)取得最小值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（）A. B.C. D.3．已知條件：，條件：表示一個(gè)橢圓，則是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4．某工廠(chǎng)去年的電力消耗為千瓦，由于設(shè)各更新，該工廠(chǎng)計(jì)劃每年比上一年的電力消耗減少，則從今年起，該工廠(chǎng)第5年消耗的電力為（）A.m千瓦 B.m千瓦C.m千瓦 D.m千瓦5．若，則下列結(jié)論不正確的是（）A. B.C. D.6．我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一段記載：“一百八十九里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān).”其大意為：“有一個(gè)人共行走了189里的路程，第一天健步行走，從第二天起，因腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天才到達(dá)目的地.”則該人第一天行走的路程為（）A.108里 B.96里C.64里 D.48里7．已知橢圓的左，右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，若橢圓C上存在一點(diǎn)A，滿(mǎn)足，則橢圓C的離心率的取值范圍是（）A. B.C. D.8．已知雙曲線(xiàn)C1的一條漸近線(xiàn)方程為y=kx，離心率為e1，雙曲線(xiàn)C2的一條漸近線(xiàn)方程為y=x，離心率為e2，且雙曲線(xiàn)C1、C2在第一象限交于點(diǎn)(1，1)，則=（）A.|k| B.C.1 D.29．函數(shù)的大致圖象為A. B.C. D.10．已知命題,命題,，則下列命題中為真命題的是A. B.C. D.11．已知是拋物線(xiàn)上的一點(diǎn)，是拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，若以為始邊，為終邊的角，則等于（）A. B.C. D.12．若拋物線(xiàn)y2=4x上一點(diǎn)P到x軸的距離為2，則點(diǎn)P到拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)F的距離為（）A.4 B.5C.6 D.7二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的右支交于不同的兩點(diǎn)，則的取值范圍__________14．如圖，棱長(zhǎng)為1的正方體，點(diǎn)沿正方形按的方向作勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)沿正方形按的方向以同樣的速度作勻速運(yùn)動(dòng)，且點(diǎn)分別從點(diǎn)A與點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，則的中點(diǎn)的軌跡所圍成圖形的面積大小是________.15．已知空間向量，則向量在坐標(biāo)平面上的投影向量是__________16．已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)F為，過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)交該拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)于點(diǎn)A，與該拋物線(xiàn)的一個(gè)交點(diǎn)為B，且，則______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，，，，，分別是，的中點(diǎn).（Ⅰ）證明：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值.18．（12分）如圖，在四棱錐中，側(cè)面底面ABCD，側(cè)棱，底面ABCD為直角梯形，其中，，，（1）求證：平面ACF；（2）在線(xiàn)段PB上是否存在一點(diǎn)H，使得CH與平面ACF所成角的正弦值為？若存在，求出線(xiàn)段PH的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由19．（12分）已知雙曲線(xiàn)，拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)與雙曲線(xiàn)的一個(gè)焦點(diǎn)相同，點(diǎn)為拋物線(xiàn)上一點(diǎn).（1）求雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)；（2）若點(diǎn)到拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)的距離是5，求的值.20．（12分）已知直線(xiàn)經(jīng)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)，且橢圓C的離心率為（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）以橢圓的短軸為直徑作圓，若點(diǎn)M是第一象限內(nèi)圓周上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作圓的切線(xiàn)交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)，橢圓C的右焦點(diǎn)為，試判斷的周長(zhǎng)是否為定值．若是，求出該定值21．（12分）分別求滿(mǎn)足下列條件的曲線(xiàn)方程（1）以橢圓的短軸頂點(diǎn)為焦點(diǎn)，且離心率為的橢圓方程；（2）過(guò)點(diǎn)，且漸近線(xiàn)方程為的雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程22．（10分）已知：，，：，，且為真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】根據(jù)題意將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列的問(wèn)題即可解決【詳解】解：由題意，可設(shè)甲、乙、丙、丁、戊五人分得的錢(qián)分別為，，，，則，，，，成等差數(shù)列，設(shè)公差為，整理上面兩個(gè)算式，得：，解得，故選：2、A【解析】根據(jù)三點(diǎn)共線(xiàn)，可得，然后利用向量的減法坐標(biāo)運(yùn)算，分別求得，最后計(jì)算，經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)觀察，可得結(jié)果.【詳解】設(shè)，則則∴當(dāng)時(shí)，取最小值為-10，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，難點(diǎn)在于三點(diǎn)共線(xiàn)，審清題干，簡(jiǎn)單計(jì)算，屬基礎(chǔ)題.3、B【解析】根據(jù)曲線(xiàn)方程，結(jié)合充分、必要性的定義判斷題設(shè)條件間的關(guān)系.【詳解】由，若，則表示一個(gè)圓，充分性不成立；而表示一個(gè)橢圓，則成立，必要性成立.所以是的必要不充分條件.故選：B4、D【解析】根據(jù)等比數(shù)列的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)槿ツ甑碾娏ο臑榍?，工廠(chǎng)計(jì)劃每年比上一年的電力消耗減少，所以今年的電力消耗為，因此從今年起，該工廠(chǎng)第5年消耗的電力為，故選：D5、B【解析】由得出，再利用不等式的基本性質(zhì)和基本不等式來(lái)判斷各選項(xiàng)中不等式的正誤.【詳解】，，，，A選項(xiàng)正確；，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，，則等號(hào)不成立，所以，C選項(xiàng)正確；，，D選項(xiàng)正確.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查不等式正誤的判斷，涉及不等式的基本性質(zhì)和基本不等式，考查推理能力，屬于基礎(chǔ)題.6、B【解析】根據(jù)題意，記該人每天走的路程里數(shù)為，分析可得每天走的路程里數(shù)構(gòu)成以的為公比的等比數(shù)列，由求得首項(xiàng)即可【詳解】解：根據(jù)題意，記該人每天走的路程里數(shù)為，則數(shù)列是以的為公比的等比數(shù)列，又由這個(gè)人走了6天后到達(dá)目的地，即，則有，解可得：，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的應(yīng)用，涉及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式以及前項(xiàng)和公式的運(yùn)用，注意等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用.7、C【解析】根據(jù)題意可知當(dāng)A為橢圓的上下頂點(diǎn)時(shí)，即可滿(mǎn)足橢圓C上存在一點(diǎn)A，使得，由此可得，解此不等式可得答案.【詳解】由橢圓的對(duì)稱(chēng)性可知，當(dāng)A為橢圓的上下頂點(diǎn)時(shí)，最大，故只需即可滿(mǎn)足題意，設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則只需,即有，所以，解得，故選：C8、C【解析】根據(jù)漸近線(xiàn)方程設(shè)出雙曲線(xiàn)方程，再由過(guò)點(diǎn)，可知雙曲線(xiàn)方程，從而可求離心率.【詳解】由題，設(shè)雙曲線(xiàn)的方程為，又因?yàn)槠溥^(guò)，且可知，不妨設(shè)，代入，得，所以雙曲線(xiàn)的方程為，所以，同理可得雙曲線(xiàn)的方程為，所以可得，所以，當(dāng)時(shí)，結(jié)論依然成立.故選：C9、D【解析】根據(jù)函數(shù)奇偶性排除A、C.當(dāng)時(shí)排除B【詳解】解：由可得所以函數(shù)為偶函數(shù)，排除A、C.因?yàn)闀r(shí)，，排除B.故選：D.10、D【解析】命題是假命題，命題是真命題，根據(jù)復(fù)合命題的真值表可判斷真假.【詳解】因?yàn)?，故命題是假命題，又命題是真命題，故為假，為假，為假，為真命題，故選D.【點(diǎn)睛】復(fù)合命題的真假判斷有如下規(guī)律：（1）或：一真比真，全假才假；（2）且：全真才真，一假比假；（3）：真假相反.11、D【解析】設(shè)點(diǎn)，取，可得，求出的值，利用拋物線(xiàn)的定義可求得的值.【詳解】設(shè)點(diǎn)，其中，則，，取，則，可得，因?yàn)?，可得，解得，則，因此，.故選：D.12、A【解析】根據(jù)拋物線(xiàn)y2=4x上一點(diǎn)P到x軸的距離為2，得到點(diǎn)P(3，±2)，然后利用拋物線(xiàn)的定義求解.【詳解】由題意，知拋物線(xiàn)y2=4x的準(zhǔn)線(xiàn)方程為x=-1，∵拋物線(xiàn)y2=4x上一點(diǎn)P到x軸的距離為2，則P(3，±2)，∴點(diǎn)P到拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)的距離為3+1=4，∴點(diǎn)P到拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)F的距離為4.故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】聯(lián)立直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)方程，可知二次項(xiàng)系數(shù)不為零、判別式大于零、兩根之和與兩根之積均大于零，據(jù)此構(gòu)造不等式組，解不等式組求得結(jié)果.詳解】將代入雙曲線(xiàn)方程整理可得：設(shè)直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)右支交于兩點(diǎn)，解得：本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)位置關(guān)系求解參數(shù)范圍的問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題.14、##【解析】畫(huà)出符合要求的圖形，觀察得到軌跡是菱形，并進(jìn)行充分性和必要性?xún)煞矫娴淖C明，并求解出軌跡圖形的面積.【詳解】如圖，分別是正方形ABCD，，的中心，下面進(jìn)行證明：菱形EFGC的周界即為動(dòng)線(xiàn)段PQ的中點(diǎn)H的軌跡，首先證明：如果點(diǎn)H是動(dòng)線(xiàn)段PQ的中點(diǎn)，那么點(diǎn)H必在菱形EFGC的周界上，分兩種情況證明：（1）P，Q分別在某一個(gè)定角的兩邊上，不失一般性，設(shè)P從B到C，而Q同時(shí)從到C，由于速度相同，所以PQ必平行于，故PQ的中點(diǎn)H必在上；（2）P，Q分別在兩條異面直線(xiàn)上，不失一般性，設(shè)P從A到B，同時(shí)Q從到，由于速度相同，則，由于H為PQ的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，交底面ABCD于點(diǎn)T，連接PT，則平面與平面交線(xiàn)是PT，∵∥平面，∴∥PT，∴，而，∥BC，∴是等腰直角三角形，，從而T在AC上，可以證明FH∥AC，GH∥AC，DG∥AC，基于平行線(xiàn)的唯一性，顯然H在DG上，綜合（1）（2）可證明，線(xiàn)段PQ的中點(diǎn)一定在菱形EFGC的周界上；下面證明：如果點(diǎn)H在菱形EFGC的周界上，則點(diǎn)H必定是符合條件的線(xiàn)段的中點(diǎn).也分兩種情況進(jìn)行證明：（1）H在CG或CE上，過(guò)點(diǎn)H作PQ∥（或BD），而與BC及（或CD及BC）分別相交于P和Q，由相似的性質(zhì)可得：PH=QH，即H是PQ的中點(diǎn)，同時(shí)可證：BP=（或BQ=DP），因此P、Q符合題設(shè)條件（2）H在EF或FG上，不失一般性，設(shè)H在FG上，連接并延長(zhǎng)，交平面AC于點(diǎn)T，顯然T在AC上，過(guò)T作TP∥CB于點(diǎn)P，則TP∥，在平面上，連接PH并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)Q，在三角形中，G是的中點(diǎn)，∥AC，則H是的中點(diǎn)，于是，從而有，又因?yàn)門(mén)P∥CB，，所以，從而，因此P，Q符合題設(shè)條件.由（1）（2），如果H是菱形EFGC周界上的任一點(diǎn)，則H必是符合題設(shè)條件的動(dòng)線(xiàn)段PQ的中點(diǎn)，證畢.因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，其中，所以邊長(zhǎng)為且，為等邊三角形，，所以面積.故答案為：【點(diǎn)睛】對(duì)于立體幾何軌跡問(wèn)題，要畫(huà)出圖形，并要善于觀察，利用所學(xué)的立體幾何方面的知識(shí)，大膽猜測(cè)，小心驗(yàn)證，對(duì)于多種情況的，要畫(huà)出相應(yīng)的圖形，注意分類(lèi)討論.15、【解析】根據(jù)投影向量的知識(shí)求得正確答案.【詳解】空間向量在坐標(biāo)平面上的投影向量是.故答案為：16、【解析】作垂直于準(zhǔn)線(xiàn)，垂足為，準(zhǔn)線(xiàn)與軸交于點(diǎn)，根據(jù)已知條件，利用幾何方法，結(jié)合拋物線(xiàn)的定義得到答案.【詳解】拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)，準(zhǔn)線(xiàn)方程，作垂直于準(zhǔn)線(xiàn)于，準(zhǔn)線(xiàn)與軸交于點(diǎn)，則，∴.∵，∴，由拋物線(xiàn)的定義得，∴.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)見(jiàn)解析;(2).【解析】分析：依題意可知兩兩垂直，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，（1）利用直線(xiàn)的方向向量和平面的法向量垂直，即可證得線(xiàn)面平面；（2）求出兩個(gè)平面的法向量，利用兩個(gè)向量的夾角公式，即可求解二面角的余弦值.詳解：依條件可知、、兩兩垂直，如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系.根據(jù)條件容易求出如下各點(diǎn)坐標(biāo)：，，，，，，，.（Ⅰ）證明：∵，，是平面的一個(gè)法向量，且，所以.又∵平面，∴平面；（Ⅱ）設(shè)是平面的法向量，因?yàn)?，，由，?解得平面的一個(gè)法向量，由已知，平面的一個(gè)法向量為，，∴二面角的余弦值是.點(diǎn)睛：本題考查了立體幾何中的面面垂直的判定和二面角的求解問(wèn)題，意在考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力；解答本題關(guān)鍵在于能利用直線(xiàn)與直線(xiàn)、直線(xiàn)與平面、平面與平面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，通過(guò)嚴(yán)密推理，明確角的構(gòu)成.同時(shí)對(duì)于立體幾何中角的計(jì)算問(wèn)題，往往可以利用空間向量法，通過(guò)求解平面的法向量，利用向量的夾角公式求解.18、（1）證明見(jiàn)解析（2）存在，的長(zhǎng)為或，理由見(jiàn)解析.【解析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法證得平面.（2）設(shè)，求出，根據(jù)與平面所成角的正弦值列方程，由此求得，進(jìn)而求得的長(zhǎng).小問(wèn)1詳解】依題意，在四棱錐中，側(cè)面底面ABCD，側(cè)棱，底面ABCD為直角梯形，其中，，，，以為空間坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，，，設(shè)平面法向量為，則，故可設(shè)，由于，所以平面.【小問(wèn)2詳解】存在，理由如下：設(shè)，，，，依題意與平面所成角的正弦值為，即，，解得或.，即的長(zhǎng)為或，使與平面所成角的正弦值為.19、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)雙曲線(xiàn)的方程求出即得雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)；（2）先求出的值，再解方程得解.【詳解】（1）因?yàn)殡p曲線(xiàn)的方程為，所以.所以.所以.所以雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為.（2）因?yàn)閽佄锞€(xiàn)的焦點(diǎn)與雙曲線(xiàn)的一個(gè)焦點(diǎn)相同，所以?huà)佄锞€(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(2，0)，所以.因?yàn)辄c(diǎn)為拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，所以點(diǎn)到拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)的距離等于點(diǎn)到拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)的距離.因?yàn)辄c(diǎn)到拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)的距離是5，即，所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)的求法，考查拋物線(xiàn)的定義和幾何性質(zhì)，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.20、（1）（2