2023-2024學(xué)年河南省豫南六市高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末統(tǒng)考模擬試題含解析

2023-2024學(xué)年河南省豫南六市高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末統(tǒng)考模擬試題注意事項1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知雙曲線的漸近線方程為，則該雙曲線的離心率等于（）A. B.C.2 D.42．設(shè)正方體的棱長為，則點到平面的距離是（）A. B.C. D.3．方程有兩個不同的解，則實數(shù)k的取值范圍為（）A. B.C. D.4．已知圓過點，，且圓心在軸上，則圓的方程是（）A. B.C. D.5．已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.6．如圖所示，在平行六面體中，，，，點是的中點，點是上的點，且，則向量可表示為（）A. B.C. D.7．年月日我國公布了第七次全國人口普查結(jié)果.自新中國成立以來，我國共進(jìn)行了七次全國人口普查，如圖為我國歷次全國人口普查人口性別構(gòu)成及總?cè)丝谛詣e比（以女性為，男性對女性的比例）統(tǒng)計圖，則下列說法錯誤的是（）A.第五次全國人口普查時，我國總?cè)丝跀?shù)已經(jīng)突破億B.第一次全國人口普查時，我國總?cè)丝谛詣e比最高C.我國歷次全國人口普查總?cè)丝跀?shù)呈遞增趨勢D.我國歷次全國人口普查總?cè)丝谛詣e比呈遞減趨勢8．已知雙曲線，則該雙曲線的實軸長為（）A.1 B.2C. D.9．已知雙曲線（，）的左，右焦點分別為，．若雙曲線右支上存在點，使得與雙曲線的一條漸近線垂直并相交于點，且，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.10．已知函數(shù)，則（）A.1 B.2C.3 D.511．已知圓與圓沒有公共點，則實數(shù)a的取值范圍為（）A. B.C. D.12．?dāng)?shù)學(xué)家歐拉在1765年發(fā)現(xiàn)，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一條直線上，這條直線稱為歐拉線．已知的頂點，，若其歐拉線的方程為，則頂點的坐標(biāo)為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)f(x)＝xlnx，若f′(x0)＝2，則x0＝________14．已知橢圓和雙曲線有相同的焦點和，設(shè)橢圓和雙曲線的離心率分別為，，為兩曲線的一個公共點，且（為坐標(biāo)原點）．若，則的取值范圍是______15．在三棱錐中，點Р在底面ABC內(nèi)的射影為Q，若，則點Q定是的______心16．已知焦點為F的拋物線的方程為，點Q的坐標(biāo)為，點P在拋物線上，則點P到y(tǒng)軸的距離與到點Q的距離的和的最小值為______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在直三棱柱中，，，.M為側(cè)棱的中點，連接，，CM.（1）證明：AC平面；（2）證明：平面；（3）求二面角的大小.18．（12分）已知圓（1）若一直線被圓C所截得的弦的中點為，求該直線的方程；（2）設(shè)直線與圓C交于A，B兩點，把的面積S表示為m的函數(shù)，并求S的最大值19．（12分）已知橢圓的左右焦點分別為，，經(jīng)過左焦點的直線與橢圓交于A，B兩點（異于左右頂點）（1）求△的周長；（2）求橢圓E上的點到直線距離的最大值20．（12分）已知點為橢圓C的右焦點，P為橢圓上一點，且（O為坐標(biāo)原點），.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）經(jīng)過點的直線l與橢圓C交于A，B兩點，求弦的取值范圍.21．（12分）（1）已知：方程表示雙曲線；：關(guān)于的不等式有解.若為真，求的取值范圍；（2）已知，，.若p是q的必要不充分條件，求實數(shù)m的取值范圍.22．（10分）已知橢圓，離心率為，橢圓上任一點滿足（1）求橢圓的方程；（2）若動直線與橢圓相交于、兩點，若坐標(biāo)原點總在以為直徑的圓外時，求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】由雙曲線的漸近線方程，可得，再由的關(guān)系和離心率公式，計算即可得到所求值【詳解】解：雙曲線的漸近線方程為，由題意可得即，可得由可得，故選：A.2、D【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)空間向量所學(xué)點到面的距離公式求解即可.【詳解】建立如下圖所示空間直角坐標(biāo)系，以為坐標(biāo)原點，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸.因為正方體的邊長為4，所以，，，，，所以，，，設(shè)平面的法向量，所以，，即，設(shè)，所以，，即，設(shè)點到平面的距離為，所以，故選：D.3、C【解析】轉(zhuǎn)化為圓心在原點半徑為1的上半圓和表示恒過定點的直線始終有兩個公共點，結(jié)合圖形可得答案.【詳解】令，平方得表示圓心在原點半徑為1的上半圓，表示恒過定點的直線，方程有兩個不同的解即半圓和直線要始終有兩個公共點，如圖圓心到直線的距離為，解得，當(dāng)直線經(jīng)過時由得，當(dāng)直線經(jīng)過時由得，所以實數(shù)k的取值范圍為.故選：C.4、B【解析】根據(jù)圓心在軸上，設(shè)出圓的方程，把點，的坐標(biāo)代入圓的方程即可求出答案.【詳解】因為圓的圓心在軸上，所以設(shè)圓的方程為，因為點，在圓上，所以，解得，所以圓的方程是.故選：B.5、A【解析】由題意，在上恒成立，只需滿足即可求解.【詳解】解：因為，所以，因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以在上恒成立，只需滿足，即，解得故選：A.6、D【解析】根據(jù)空間向量加法和減法的運算法則，以及向量的數(shù)乘運算即可求解.【詳解】解：因為在平行六面體中，，，，點是的中點，點是上的點，且，所以，故選：D.7、D【解析】根據(jù)統(tǒng)計圖判斷各選項的對錯.【詳解】由統(tǒng)計圖第五次全國人口普查時，男性和女性人口數(shù)都超過6億，故總?cè)丝跀?shù)超過12億，A對，由統(tǒng)計圖，第一次全國人口普查時，我國總?cè)丝谛詣e比為107.56，超過余下幾次普查的人口的性別比，B對，由統(tǒng)計圖可知，我國歷次全國人口普查總?cè)丝跀?shù)呈遞增趨勢，C對，由統(tǒng)計圖可知，第二次，第三次，第四次，第五次時總?cè)丝谛詣e比呈遞增趨勢，D錯,D錯，故選：D.8、B【解析】根據(jù)給定的雙曲線方程直接計算即可作答.【詳解】雙曲線的實半軸長，所以該雙曲線的實軸長為2.故選：B9、B【解析】利用漸近線方程和直線解出Q點坐標(biāo)，再由得P點坐標(biāo)，代入雙曲線方程得到a、b、c的齊次式可解.【詳解】如圖，因為與漸近線垂直所以的斜率為，方程為解的Q的坐標(biāo)為設(shè)P點坐標(biāo)為則，因為，所以，得點P坐標(biāo)為，代入得：所以，即所以漸近線方程為故選：B.10、C【解析】利用導(dǎo)數(shù)的定義，以及運算法則，即可求解.【詳解】，，所以，所以故選：C11、B【解析】求出圓、的圓心和半徑，再由兩圓沒有公共點列不等式求解作答.【詳解】圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，，因圓、沒有公共點，則有或，即或，又，解得或，所以實數(shù)a的取值范圍為.故選：B12、A【解析】設(shè)，計算出重心坐標(biāo)后代入歐拉方程，再求出外心坐標(biāo)，根據(jù)外心的性質(zhì)列出關(guān)于的方程，最后聯(lián)立解方程即可.【詳解】設(shè)，由重心坐標(biāo)公式得，三角形的重心為，，代入歐拉線方程得：，整理得：①的中點為，，的中垂線方程為，即聯(lián)立，解得的外心為則，整理得：②聯(lián)立①②得：，或，當(dāng)，時，重合，舍去頂點的坐標(biāo)是故選：A【點睛】關(guān)鍵點睛：解決本題的關(guān)鍵一是求出外心，二是根據(jù)外心的性質(zhì)列方程.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】f（x）=xlnx∴f'（x）=lnx+1則f′（x0）=lnx0+1=2解得：x0=e14、【解析】設(shè)出半焦距c，用表示出橢圓的長半軸長、雙曲線的實半軸長，由可得為直角三角形，由此建立關(guān)系即可計算作答,【詳解】設(shè)橢圓的長半軸長為，雙曲線的實半軸長為，它們的半焦距為c，于是得，，由橢圓及雙曲線的對稱性知，不妨令焦點和在x軸上，點P在y軸右側(cè)，由橢圓及雙曲線定義得：，解得，，因，即，而O是線段的中點，因此有，則有，即，整理得：，從而有，即有，又，則有，即，解得，所以的取值范圍是.故答案為：【點睛】方法點睛：求解橢圓或雙曲線的離心率的三種方法：①定義法：通過已知條件列出方程組，求得值，根據(jù)離心率的定義求解離心率；②齊次式法：由已知條件得出關(guān)于的二元齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程求解；③特殊值法：通過取特殊值或特殊位置，求出離心率.15、外【解析】由可得，故是的外心.【詳解】解：如圖，∵點在底面ABC內(nèi)的射影為,∴平面又∵平面、平面、平面，∴、、.在和中，,∴，∴同理可得：,故故是的外心.故答案為：外.16、##【解析】利用定義將所求距離之和的最小值問題，轉(zhuǎn)化為的最小值問題.【詳解】焦點F坐標(biāo)為，拋物線準(zhǔn)線為,如圖，作垂直于準(zhǔn)線于A，交y軸于B，.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見詳解；（2）證明見詳解；（3）【解析】小問1：由于，根據(jù)線面平行判定定理即可證明；小問2：以為原點，分別為軸建立空間坐標(biāo)系，根據(jù)向量垂直關(guān)系即可證明；小問3：分別求得平面與平面的法向量，根據(jù)向量夾角公式即可求解【小問1詳解】在直三棱柱中，，且平面，平面所以AC平面；【小問2詳解】因為，故以為原點，分別為軸建立空間坐標(biāo)系如圖所示：則，所以則所以又平面，平面故平面；【小問3詳解】由，得，設(shè)平面的一個法向量為則得又因為平面的一個法向量為所以所以二面角的大小為18、（1）（2），最大值為.【解析】（1）利用垂徑定理求出斜率，即可求出直線的方程；（2）利用幾何法表示出弦長與d的關(guān)系，利用基本不等式求出的面積S的最大值【小問1詳解】圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程為：.則.設(shè)所求的直線為m.由圓的幾何性質(zhì)可知：，所以，所以所求的直線為：，即.【小問2詳解】設(shè)圓心C到直線l的距離為d，則，且，所以因為直線與圓C交于A，B兩點，所以,解得：且.而的面積：因為所以（其中時等號成立）.所以S的最大值為.19、（1）；（2）.【解析】（1）利用橢圓的定義求△的周長；（2）設(shè)直線與橢圓相切，聯(lián)立方程求參數(shù)m，與之間的距離的最大值，即為橢圓E上的點到直線l距離的最大值.【小問1詳解】已知橢圓E方程為，所以，△的周長為，其中，所以△的周長為.【小問2詳解】設(shè)直線與直線l平行且與橢圓相切，則，得，即，令，解得，所以，與之間的距離，即橢圓E上的點到直線l距離的最大值為20、（1）（2）【解析】（1）利用橢圓定義求得橢圓的即可解決；（2）經(jīng)過點的直線l分為斜率不存在和存在兩種情況，分別去求弦，再去求其取值范圍即可.【小問1詳解】由題意得.記左焦點為，，則，，解得.由橢圓定義得：，則，所以橢圓C的方程為：.【小問2詳解】①當(dāng)直線l的斜率不存在時，.②當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)斜率為k，則l的方程為.聯(lián)立橢圓與直線的方程（由于點在橢圓內(nèi)，∴成立），且，，令，則，，，由得，綜上所述，弦的取值范圍為.【點睛】(1)解答直線與橢圓的題目時，時常把兩個曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系(2)涉及到直線方程的設(shè)法時，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形21、（1）1m2；（2）(0，1]【解析】（1）由pq為真，可得p真且q假，然后分別求出p真，q假時的的取值范圍，再求交集即可，（2）求得p：1x2，再由p是q的必要不充分條件，得，解不等式組可求得答案【詳解】（1）因為pq為真，所以p真且q假，p真：m1m301m3，q假，則不等式無