2023-2024學(xué)年黑龍江省普通高等學(xué)校高二上數(shù)學(xué)期末質(zhì)量檢測試題含解析

2023-2024學(xué)年黑龍江省普通高等學(xué)校高二上數(shù)學(xué)期末質(zhì)量檢測試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知圓C1：(x＋3)2＋y2＝1和圓C2：(x－3)2＋y2＝9，動(dòng)圓M同時(shí)與圓C1及圓C2相外切，求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程（）A.x2－＝1(x≤－1) B.x2－＝1C.x2－＝1(x1) D.－x2＝12．在等差數(shù)列中，，，則的取值范圍是（）A. B.C. D.3．已知橢圓上一點(diǎn)到橢圓一個(gè)焦點(diǎn)的距離是3，則點(diǎn)到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為（）A.9 B.7C.5 D.34．某汽車制造廠分別從A，B兩類輪胎中各隨機(jī)抽取了6個(gè)進(jìn)行測試，下面列出了每一個(gè)輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程（單位：）A類輪胎：94，96，99，99，105，107B類輪胎：95，95，98，99，104，109根據(jù)以上數(shù)據(jù)，下列說法正確的是（）A.A類輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的眾數(shù)小于B類輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的眾數(shù)B.A類輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的極差等于B類輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的極差C.A類輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的平均數(shù)大于B類輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的平均數(shù)D.A類輪胎的性能更加穩(wěn)定5．拋物線的準(zhǔn)線方程是A. B.C. D.6．若正整數(shù)N除以正整數(shù)m后的余數(shù)為n，則記為，如.如圖所示的程序框圖的算法源于我國古代聞名中外的“中國剩余定理”.執(zhí)行該程序框圖，則輸出的i等于（）A.7 B.10C.13 D.167．記不超過x的最大整數(shù)為，如，.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式，則使的正整數(shù)n的最大值為（）A.5 B.6C.15 D.168．已知點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，則（）A. B.C. D.9．“且”是“方程表示橢圓”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件10．下列導(dǎo)數(shù)運(yùn)算正確的是（）A. B.C. D.11．已知圓M的圓心在直線上，且點(diǎn)，在M上，則M的方程為（）A. B.C. D.12．在等比數(shù)列中，若是函數(shù)的極值點(diǎn)，則的值是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．經(jīng)過兩點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是________14．某校周五的課程表設(shè)計(jì)中，要求安排8節(jié)課（上午4節(jié)、下午4節(jié)），分別安排語文、數(shù)學(xué)、英語、物理、化學(xué)、生物、政治、歷史各一節(jié)，其中生物只能安排在第一節(jié)或最后一節(jié)，數(shù)學(xué)和英語在安排時(shí)必須相鄰（注：上午的最后一節(jié)與下午的第一節(jié)不記作相鄰），則周五的課程順序的編排方法共有______15．已知函數(shù)，則的值為______16．總體由編號為01，02，…，30的30個(gè)個(gè)體組成.選取方法是從下面隨機(jī)數(shù)表第1行的第5列和第6列數(shù)字開始由左到右依次選取兩個(gè)數(shù)字，則選出來的第5個(gè)個(gè)體的編號為____________.660657471734072750173625236116651189183311199219700581020578645323456476三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，四棱錐中，底面為矩形，底面，，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)（1）求證：平面，并求直線與平面的距離；（2）若，求平面與平面所成夾角的余弦值18．（12分）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在橢圓C上，且滿足（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M，N，且（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．證明：總存在一個(gè)確定的圓與直線l相切，并求該圓的方程19．（12分）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.20．（12分）如圖，四棱錐中，底面為正方形，底面，，點(diǎn)，，分別為，，的中點(diǎn)，平面棱（1）試確定的值，并證明你的結(jié)論；（2）求平面與平面夾角的余弦值21．（12分）已知橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，三個(gè)頂點(diǎn)（左、右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)）構(gòu)成的三角形的面積為，離心率為方程的根.（1）求橢圓方程；（2）橢圓的一個(gè)內(nèi)接平行四邊形的一組對邊分別過點(diǎn)和，如圖，若這個(gè)平行四邊形面積為，求平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)的乘積.22．（10分）已知?jiǎng)狱c(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到直線的距離相等.（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（2）若過點(diǎn)且斜率為的直線與動(dòng)點(diǎn)的軌跡交于、兩點(diǎn)，求三角形AOB的面積.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】根據(jù)雙曲線定義求解【詳解】,則根據(jù)雙曲線定義知的軌跡為的左半支故選：A第II卷（非選擇題2、A【解析】根據(jù)題設(shè)可得關(guān)于的不等式，從而可求的取值范圍.【詳解】設(shè)公差為，因?yàn)?，，所以，即，從?故選：A.3、A【解析】根據(jù)橢圓定義求得即可.【詳解】由橢圓定義知，點(diǎn)P到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為2×6-3=9.故選：A4、D【解析】根據(jù)眾數(shù)、極差、平均數(shù)和方差的定義以及計(jì)算公式即可求解.【詳解】解：對A：A類輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的眾數(shù)為99，B類輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的眾數(shù)為95，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對B：A類輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的極差為13，B類輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的極差為14，選項(xiàng)B錯(cuò)誤對C：A類輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的平均數(shù)為，B類輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的平均數(shù)為，選項(xiàng)C錯(cuò)誤對D：A類輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的方差為，B類輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的方差為，故A類輪胎的性能更加穩(wěn)定，選項(xiàng)D正確故選：D.5、C【解析】根據(jù)拋物線的概念，可得準(zhǔn)線方程為6、C【解析】根據(jù)“中國剩余定理”，進(jìn)而依次執(zhí)行循環(huán)體，最后求得答案.【詳解】由題意，第一步：，余數(shù)不為1；第二步：，余數(shù)不為1；第三步：，余數(shù)為1，執(zhí)行第二個(gè)判斷框，余數(shù)不為2；第四步：，執(zhí)行第一個(gè)判斷框，余數(shù)為1，執(zhí)行第二個(gè)判斷框，余數(shù)為2.輸出的i值為13.故選：C.7、C【解析】根據(jù)取整函數(shù)的定義，可求出的值，即可得到答案；【詳解】，，，，，，當(dāng)時(shí)，，使的正整數(shù)n的最大值為，故選：C8、C【解析】根據(jù)空間兩點(diǎn)間距離公式，結(jié)合對稱性進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，所以,因此，故選：C9、B【解析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義和橢圓的標(biāo)椎方程，判斷可得出結(jié)論.【詳解】解：充分性：當(dāng)，方程表示圓，充分性不成立；必要性：若方程表示橢圓，則，必有且，必要性成立，因此，“且”是“方程表示橢圓”的必要不充分條件.故選：B.10、B【解析】利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，依次分析即得解【詳解】選項(xiàng)A，，錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，，正確；選項(xiàng)C，，錯(cuò)誤；選項(xiàng)D，，錯(cuò)誤故選：B11、C【解析】由題設(shè)寫出的中垂線，求其與的交點(diǎn)即得圓心坐標(biāo)，再應(yīng)用兩點(diǎn)距離公式求半徑，即可得圓的方程.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)，在M上，所以圓心在的中垂線上由，解得，即圓心為，則半徑，所以M的方程為故選：C12、B【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的極值點(diǎn)，再根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以是函數(shù)的極值點(diǎn)，因?yàn)?，且所以，故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程將點(diǎn)坐標(biāo)代入求參數(shù)，即可確定標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】令，則，可得，令，則，無解.故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是.故答案為：.14、2400種【解析】分三步，第一步：根據(jù)題意從第一個(gè)位置和最后一個(gè)位置選一個(gè)位置安排生物，第二步：將數(shù)學(xué)和英語捆綁排列，第三步：將剩下的5節(jié)課全排列，最后利用分步乘法計(jì)數(shù)原理求解.【詳解】分步排列，第一步：因?yàn)橛深}意知生物只能出現(xiàn)在第一節(jié)或最后一節(jié)，所以從第一個(gè)位置和最后一個(gè)位置選一個(gè)位置安排生物，有（種）編排方法；第二步：因?yàn)閿?shù)學(xué)和英語在安排時(shí)必須相鄰，注意數(shù)學(xué)和英語之間還有一個(gè)排列，所以有（種）編排方法；第三步：剩下的5節(jié)課安排5科課程，有（種）編排方法根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理知共有（種）編排方法故答案為：2400種15、【解析】先求出的導(dǎo)函數(shù)，然后將代入可得答案.【詳解】，所以故答案為：16、23【解析】根據(jù)隨機(jī)表，由編號規(guī)則及讀表位置列舉出前5個(gè)符合要求的編號，即可得答案.【詳解】由題設(shè)，依次得到的數(shù)字為57，47，17，34，07，27，50，17，36，25，23，……根據(jù)編號規(guī)則符合要求的依次為17，07，27，25，23，……所以第5個(gè)個(gè)體編號為23.故答案為：23.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析，直線與平面的距離為（2）【解析】（1）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用空間向量法可證得平面，以及求得直線與平面的距離；（2）利用空間向量法可求得平面與平面所成夾角的余弦值【小問1詳解】解：因?yàn)槠矫?，四邊形為矩形，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則、、、、、，，，，，所以，，，所以，，，又因?yàn)椋虼?，平?所以，平面的一個(gè)法向量為，，平面，平面，則平面，所以，直線到平面的距離為.【小問2詳解】解：若，則、，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，可得，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，可得，.因此，平面與平面所成夾角的余弦值為.18、（1）；（2）理由見解析，圓的方程為.【解析】(1)根據(jù)給定條件可得，結(jié)合勾股定理、橢圓定義求出a，b得解.(2)聯(lián)立直線l與橢圓C的方程，利用給定條件求出k，m的關(guān)系，再求出原點(diǎn)O到直線l的距離即可推理作答.【小問1詳解】因，則，點(diǎn)在橢圓C上，則橢圓C的半焦距,，，因此，，解得，，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是：.【小問2詳解】由消去y并整理得：，依題意，，設(shè)，，因，則，于是得，此時(shí)，，則原點(diǎn)O到直線l的距離，所以，存在以原點(diǎn)O為圓心，為半徑的圓與直線l相切，此圓的方程為.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及動(dòng)直線與圓錐曲線相交滿足某個(gè)條件問題，可設(shè)直線方程為，再與圓錐曲線方程聯(lián)立結(jié)合已知條件探求k，m的關(guān)系，然后推理求解.19、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)已知條件求得等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差，由此求得.（2）利用裂項(xiàng)求和法求得.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則,解得，.∴.【小問2詳解】由（1）知.∴.∴.20、（1），證明見解析（2）【解析】（1），利用線面平行的判定和性質(zhì)可得答案；（2）以為原點(diǎn)，所在直線分別為的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量和平面的法向量由向量夾角公式可得答案.【小問1詳解】.證明如下：在△中，因?yàn)辄c(diǎn)分別為的中點(diǎn)，所以//.又平面，平面，所以//平面.因?yàn)槠矫?，平面平面，所?/所以//.在△中，因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn)，所以點(diǎn)為的中點(diǎn)，即.【小問2詳解】因?yàn)榈酌鏋檎叫?，所?因?yàn)榈酌?，所以?如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以.所以，.設(shè)平面的法向量，則即令，于.又因?yàn)槠矫娴姆ㄏ蛄繛?，所以所以平面與平面夾角的余弦值為.21、（1）；（2）.【解析】（1）由橢圓離心率的性質(zhì)及一元二次方程的根可得，再由橢圓參數(shù)關(guān)系、已知三角形面積求橢圓參數(shù)，即可得橢圓方程.（2）設(shè)直線，聯(lián)立橢圓方程并結(jié)合韋達(dá)定理求，進(jìn)而可得，再根據(jù)求參數(shù)t，可得，結(jié)合橢圓的對稱性求，即可求結(jié)果.【小問1詳解】由的根為，所以橢圓的離心率，依題意，，解得，即橢圓的方程為；【小問2詳解】設(shè)直線，聯(lián)立，消去得