統(tǒng)計與統(tǒng)計案例

統(tǒng)計與統(tǒng)計案例第一節(jié)隨機抽樣一、基礎(chǔ)知識簡單隨機抽樣定義：一般地，設(shè)一個總體含有N個個體，從中逐個不放回地抽取n個個體作為樣本(nWN),如果每次抽取時總體內(nèi)的各個個體被抽到的機會都相等，就把這種抽樣方法叫做簡單隨機抽樣.這樣抽取的樣本，叫做簡單隨機樣本.常用方法：抽簽法和隨機數(shù)法.分層抽樣(1)在抽樣時，將總體分成互不交叉的層，然后按照一定的比例，從各層獨立地抽取一定數(shù)量的個體，將各層取出的個體合在一起作為樣本，這種抽樣方法是一種分層抽樣.(2)分層抽樣的應(yīng)用范圍：當(dāng)總體是由差異明顯的幾個部分組成時，往往選用分層抽樣.系統(tǒng)抽樣定義：當(dāng)總體中的個體數(shù)較多時，可以將總體分成均衡的幾部分，然后按照預(yù)先制定的規(guī)則，從每一部分抽取一個個體，得到所需的樣本，這種抽樣的方法叫做系統(tǒng)抽樣.系統(tǒng)抽樣的步驟假設(shè)要從容量為N的總體中抽取容量為n的樣本.先將總體的N個個體編號；確定分段間隔奴對編號進行分段.當(dāng)乎(〃是樣本容量)是整數(shù)時，取k=N；*n *n當(dāng)總體中的個體數(shù)不能被樣本容量整除時，可先用簡單隨機抽樣的方法從總體中剔除幾個個體，使剩下的個體數(shù)能被樣本容量整除，然后再按系統(tǒng)抽樣進行.這時在整個抽樣過程中每個個體被抽取的可能性仍然相等.在第1段用簡單隨機抽樣確定第一個個體編號l(lWk)；按照一定的規(guī)則抽取樣本.通常是將l加上間隔k得到第2個個體編號l+k，再加k得到第3個個體編號l+2k，依次進行下去，直到獲取整個樣本.二、常用結(jié)論(1)不論哪種抽樣方法，總體中的每一個個體入樣的概率都是相同的.系統(tǒng)抽樣一般也稱為等距抽樣，入樣個體的編號相差分段間隔k的整數(shù)倍.分層抽樣是按比例抽樣，每一層入樣的個體數(shù)為該層的個體數(shù)乘抽樣比.(4)三種抽樣方法的特點、聯(lián)系及適用范圍類別共同點各自特點聯(lián)系適用范圍簡單隨機抽樣抽樣過程中每個個體被抽到的可能性相等；每次抽出個體后不再將它放回，即不放回抽樣從總體中逐個抽取總體個數(shù)較少系統(tǒng)抽樣將總體均分成幾部分，按預(yù)先定出的規(guī)則在各部分中抽取在起始部分取樣時，采用簡單隨機抽樣總體個數(shù)較多分層抽樣將總體分成幾層，分層進行抽取各層抽樣時，采用簡單隨機抽樣或系統(tǒng)抽樣總體由差異明顯的幾部分組成考點一簡單隨機抽樣［典例］下列抽取樣本的方式屬于簡單隨機抽樣的個數(shù)有()從無限多個個體中抽取100個個體作為樣本；盒子里共有80個零件，從中選出5個零件進行質(zhì)量檢驗.在抽樣操作時，從中任意拿出一個零件進行質(zhì)量檢驗后再把它放回盒子里；用抽簽方法從10件產(chǎn)品中選取3件進行質(zhì)量檢驗；某班有56名同學(xué)，指定個子最高的5名同學(xué)參加學(xué)校組織的籃球賽.A.0個 B.1個C.2個 D.3個［解析］①不是簡單隨機抽樣，因為被抽取樣本的總體的個數(shù)是無限的，而不是有限的；②不是簡單隨機抽樣，因為它是有放回抽樣;③明顯為簡單隨機抽樣;④不是簡單隨機抽樣，因為不是等可能抽樣.［答案］B［解題技法］應(yīng)用簡單隨機抽樣應(yīng)注意的問題

一個抽樣試驗?zāi)芊裼贸楹灧?，關(guān)鍵看兩點：一是抽簽是否方便；二是號簽是否易攪勻.一般地，當(dāng)總體容量和樣本容量都較小時可用抽簽法.在使用隨機數(shù)法時，如遇到三位數(shù)或四位數(shù)，可從選擇的隨機數(shù)表中的某行某列的數(shù)字計起，每三個或四個作為一個單位，自左向右選取，有超過總體號碼或出現(xiàn)重復(fù)號碼的數(shù)字舍去.［題組訓(xùn)練］1.總體由編號為01,02,…，19,20的20個個體組成，利用下面的隨機數(shù)表選取5個個體，選取方法是從隨機數(shù)表第1行的第5列和第6列數(shù)字開始由左到右依次選取兩個數(shù)字，則選出來的第5個個體的編號為()7816657208026314070243699728019832049234493582003623486969387481A,08 B.07C.02 D.01解析：選D由隨機數(shù)法的隨機抽樣的過程可知選出的5個個體是08,02,14,07,01，所以第5個個體的編號是01.1B.3利用簡單隨機抽樣，從〃個個體中抽取一個容量為10的樣本.若第二次抽取時，余下的每個個體被抽到的概率為3,則在整個抽樣過程中，每個個體被抽到的概率為()1B.3.1A.4C.之解析：選C解析：選C根據(jù)題意，9_1

n—13,解得n=28.故在整個抽樣過程中每個個體被抽到的概率為其="52814.考點二系統(tǒng)抽樣TOC\o"1-5"\h\z［典例］(1)某校為了解1000名高一新生的身體生長狀況，用系統(tǒng)抽樣法(按等距的規(guī)則)抽取40名同學(xué)進行檢查，將學(xué)生從1?1000進行編號，現(xiàn)已知第18組抽取的號碼為443，則第一組用簡單隨機抽樣抽取的號碼為( )A.16 B.17C.18 D.19(2)中央電視臺為了解觀眾對某綜藝節(jié)目的意見，準(zhǔn)備從502名現(xiàn)場觀眾中抽取10%進行座談，現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣的方法完成這一抽樣，則在進行分組時，需剔個個體，抽樣間隔為.［解析］(1)因為從1000名學(xué)生中抽取一個容量為40的樣本，所以系統(tǒng)抽樣的分段間”一、,1000*隔為40—25，設(shè)第一組隨機抽取的號碼為X,則抽取的第18組編號為x+17X25=443，所以X—18.(2)把502名觀眾平均分成50組，由于502除以50的商是10，余數(shù)是2，所以每組有10名觀眾，還剩2名觀眾，采用系統(tǒng)抽樣的方法抽樣時，應(yīng)先用簡單隨機抽樣的方法從502名觀眾中抽取2名觀眾，這2名觀眾不參加座談；再將剩下的500名觀眾編號為1,2,3,…，500，并均勻分成50段，每段含500=10個個體.所以需剔除2個個體，抽樣間隔為10.［答案］(1)C(2)210［變透練清］(變結(jié)論)若本例(1)的條件不變，則編號落入?yún)^(qū)間［501,750］的人數(shù)為.解析：從1000名學(xué)生中抽取一個容量為40的樣本，系統(tǒng)抽樣分40組，每組喘0=25個號碼，每組抽取一個，從501到750恰好是第21組到第30組，共抽取10人.答案：10(2018-南昌摸底調(diào)研)某校高三(2)班現(xiàn)有64名學(xué)生，隨機編號為0,1,2,-,63,依編號順序平均分成8組，組號依次為1,2,3,…，8.現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣方法抽取一個容量為8的樣本，若在第1組中隨機抽取的號碼為5,則在第6組中抽取的號碼為.64解析：由題知分組間隔為§=8，又第1組中抽取的號碼為5，所以第6組中抽取的號碼為5X8+5—45.答案：45［解題技法］系統(tǒng)抽樣中所抽取編號的特點系統(tǒng)抽樣又稱等距抽樣，所以依次抽取的樣本對應(yīng)的號碼就是一個等差數(shù)列，首項就是第1組所抽取樣本的號碼，公差為間隔數(shù)，根據(jù)等差數(shù)列的通項公式就可以確定每一組內(nèi)所要抽取的樣本號碼.［提醒］系統(tǒng)抽樣時，如果總體中的個數(shù)不能被樣本容量整除時，可以先用簡單隨機抽樣從總體中剔除幾個個體，然后再按系統(tǒng)抽樣進行.考點三分層抽樣

［典例］某電視臺在網(wǎng)上就觀眾對其某一節(jié)目的喜愛程度進行調(diào)查，參加調(diào)查的一共有20000人，其中各種態(tài)度對應(yīng)的人數(shù)如下表所示:最喜愛喜愛一般不喜歡4800720064001600電視臺為了了解觀眾的具體想法和意見，打算從中抽取100人進行詳細的調(diào)查，為此要進行分層抽樣，那么在分層抽樣時，每類人中應(yīng)抽取的人數(shù)分別為 )A.25,25,25,25 B.48,72,64,16C.20,40,30,10 D.24,36,32,8［解析］法一：因為抽樣比為湍土=&，所以每類人中應(yīng)抽取的人數(shù)分別為41———0/1ncw—1 — ————q800200^=24,7200200^=36，6400200^=32,1600200^=8*法二：最喜愛、喜愛、一般、不喜歡的比例為4800:7200:6400:1600=6：9：8：2，69所以每類人中應(yīng)抽取的人數(shù)分別為而布^100=24,6T9T^X100=36,826+9+8+2X100=32,6+9+8+2X100=8-［答案］D［解題技法］分層抽樣問題的類型及解題思路求某層應(yīng)抽個體數(shù)量：按該層所占總體的比例計算.樣本容量總體容量已知某層個體數(shù)量，求總體容量或反之求解：根據(jù)分層抽樣就是按比例抽樣，列比例式進行計算.樣本容量總體容量⑶分層抽樣的計算應(yīng)根據(jù)抽樣比構(gòu)造方程求解，其中“抽樣比=各層樣本數(shù)量,.各層個體數(shù)量.［題組訓(xùn)練］1.(2019-山西五校聯(lián)考)某校為了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，采用分層抽樣的方法從高一1000人、高二1200人、高三n人中抽取81人進行問卷調(diào)查，若高二被抽取的人數(shù)為30，則n=( )B.720AB.720C.1020 D.104030 1 81 1解析：選D由已知條件知抽樣比為預(yù)0=40，從而1000+1200+n=40,解得n=1040,故選D.TOC\o"1-5"\h\z2.（2018-廣州高中綜合測試）已知某地區(qū)中小學(xué)學(xué)生人數(shù)如圖所示.為 、了解該區(qū)學(xué)生參加某項社會實踐活動的意向，擬采用分層抽樣的方法來進/小學(xué)生初中小2700人大2400人行調(diào)查.若高中需抽取20名學(xué)生，則小學(xué)與初中共需抽取的學(xué)生人數(shù)為\ /\解析?設(shè)小學(xué)與初中共需抽取的學(xué)生人數(shù)為Y依題意可得 1-200 =20解析：設(shè)小學(xué)與初中八而抽取的學(xué)生數(shù)為X,依題意可寸2700+2400+1200x+20解得x=85.答案：85［課時跟蹤檢測］從2019名學(xué)生中選取50名學(xué)生參加全國數(shù)學(xué)聯(lián)賽，若采用以下方法選?。合扔煤唵坞S機抽樣法從2019名學(xué)生中剔除19名學(xué)生，剩下的2000名學(xué)生再按系統(tǒng)抽樣的方法抽取，則每名學(xué)生入選的概率（）A.不全相等 B.均不相等C.都相等，且為湍 D.都相等，且為土解析：選C從N個個體中抽取M個個體，則每個個體被抽到的概率都等于考，故每名學(xué)生入選的概率都相等，且為崇土.匕UJLJz福利彩票“雙色球”中紅球的號碼可以從01,02,03，…，32,33這33個兩位號碼中選取，小明利用如下所示的隨機數(shù)表選取紅色球的6個號碼，選取方法是從第1行第9列的數(shù)字開始，從左到右依次讀取數(shù)據(jù)，則第四個被選中的紅色球的號碼為）81472368639317901269868162935060913375856139850632359246225410027849821886704805468815192049TOC\o"1-5"\h\zA.12 B.33C.06 D.16解析：選C被選中的紅色球的號碼依次為17,12,33,06,32,22，所以第四個被選中的紅色球的號碼為06.某班共有學(xué)生52人，現(xiàn)根據(jù)座號，用系統(tǒng)抽樣的方法，抽取一個容量為4的樣本.已知5號、18號、44號同學(xué)在樣本中，那么樣本中還有一個同學(xué)的座號是（ ）A.23 B.27C.31D.C.3152解析：選C分段間隔為彳=13，故樣本中還有一個同學(xué)的座號為18+13=31.某工廠在12月份共生產(chǎn)了3600雙皮靴，在出廠前要檢查這批產(chǎn)品的質(zhì)量，決定采用分層抽樣的方法進行抽取，若從一、二、三車間抽取的產(chǎn)品數(shù)分別為sb，c，且sb，c構(gòu)成等差數(shù)列，則第二車間生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)為（）A.800雙 B.1000雙C.1200雙 D.1500雙解析：選C因為a，b,c成等差數(shù)列，所以2b=a+c,即第二車間抽取的產(chǎn)品數(shù)占抽樣產(chǎn)品總數(shù)的三分之一，根據(jù)分層抽樣的性質(zhì)可知，第二車間生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)占12月份生產(chǎn)總數(shù)的三分之一，即為1200雙皮靴.（2018-南寧摸底聯(lián)考）已知某地區(qū)中小學(xué)生人數(shù)和近視情況分別如圖甲和圖乙所示.為了了解該地區(qū)中小學(xué)生的近視形成原因，用分層抽樣的方法抽取2%的學(xué)生進行調(diào)查，則樣本容量和抽取的高中生近視人數(shù)分別為（）A.100,20 B.200,20C.200,10 D.100,10解析：選B由題圖甲可知學(xué)生總?cè)藬?shù)是10000，樣本容量為10000X2%=200，抽取的高中生人數(shù)是2000X2%=40，由題圖乙可知高中生的近視率為50%，所以抽取高中生的近視人數(shù)為40X50%=20，故選B.一個總體中有100個個體，隨機編號為0,1,2，…，99.依編號順序平均分成10個小組，組號依次為1,2,3，…，10.現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣方法抽取一個容量為10的樣本，如果在第一組隨機抽取的號碼為m，那么在第k組中抽取的號碼個位數(shù)字與m+k的個位數(shù)字相同.若m=6,則在第7組中抽取的號碼是（）A.63 B.64C.65DC.65解析：選A若m=6,則在第7組中抽取的號碼個位數(shù)字與13的個位數(shù)字相同，而第7組中的編號依次為60,61,62,63，…，69，故在第7組中抽取的號碼是63.采用系統(tǒng)抽樣方法從960人中抽取32人做問卷調(diào)查，為此將他們隨機編號為1,2，…，960，分組后在第一組采用簡單隨機抽樣的方法抽到的號碼為9.抽到的32人中，編號落入?yún)^(qū)間［1,450］的人做問卷A，編號落入?yún)^(qū)間（450,750］的人做問卷8,其余的人做問卷C.則抽到的人中，做問卷B的人數(shù)為（）

B.9AB.9C.10 D.15解析：選C960:32=30，故由題意可得抽到的號碼構(gòu)成以9為首項，以30為公差的等差數(shù)列，其通項公式為a〃=9+30（n—1）=30〃一21.由450V30n—21W750,解得15.7V〃W25.7.又n為正整數(shù)，所以16WnW25，故做問卷B的人數(shù)為25—16+1=10.故選C.某企業(yè)三月中旬生產(chǎn)A,B,C三種產(chǎn)品共3000件，根據(jù)分層抽樣的結(jié)果，企業(yè)統(tǒng)計員制作了如下的統(tǒng)計表格：產(chǎn)品類別ABC產(chǎn)品數(shù)量（件）1300樣本容量（件）130由于不小心，表格中A,C產(chǎn)品的有關(guān)數(shù)據(jù)已被污染看不清楚，統(tǒng)計員記得A產(chǎn)品的樣本容量比C產(chǎn)品的樣本容量多10，根據(jù)以上信息，可得C的產(chǎn)品數(shù)量是 件.X解析：設(shè)樣本容量為X，則3000X1300=130，.??X=300...?A產(chǎn)品和C產(chǎn)品在樣本中共有300—130=170(件).設(shè)C產(chǎn)品的樣本容量為y，則y+y+10=170，.??y=80..廠立巳砧宋4-Is-V?3000yon—OQQ/ZAkx..C 口口日J(rèn)戈數(shù)量為300X80^-8UU(1^^).答案：800某企業(yè)三個分廠生產(chǎn)同一種電子產(chǎn)品，三個分廠產(chǎn)量分布如圖所示，現(xiàn)在用分層抽樣方法從三個分廠生產(chǎn)的該產(chǎn)品中共抽取100件做使用壽命的測試，則第一分廠應(yīng)抽取的件數(shù)為;由所得樣品的測試結(jié)果計算出一、二、三分廠取出的產(chǎn)品的使用壽命平均值分別為1020小時、980小時、1030小時，估計