四參數(shù)擬合需求及詳細(xì)算法

第1章概述本文檔之目的是利用已知的幾組數(shù)據(jù)通過現(xiàn)有數(shù)學(xué)模型，求出數(shù)學(xué)模型中的四個參數(shù)，并確保擬合后的數(shù)學(xué)模型中自變量和因變量的相關(guān)度±0.997.第二章設(shè)計需求及詳細(xì)算法設(shè)計需求通過已知的吸光度值x和濃度值y,進(jìn)行四參數(shù)對數(shù)擬合，求出四參數(shù)模型中的對應(yīng)參數(shù)a,b,c,d。四參數(shù)數(shù)學(xué)模型如下所示：u .需求1：通過已知數(shù)據(jù)（x,y）數(shù)組擬合后，求出數(shù)學(xué)模型中的a,b,c,d；需求2：要求所計算出的四個參數(shù)，能夠保證x,y的相關(guān)度±0.997.需求3：和軟件現(xiàn)有的其他算法如半對數(shù)、二參數(shù)等算法并行存在于軟件中；并在軟件后續(xù)的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換和圖像顯示中可以調(diào)度該功能模塊；四參數(shù)擬合算法詳解數(shù)學(xué)模型：具體算法實現(xiàn)：整個算法基于高斯牛頓迭代法：其基本思想是使用泰勒級數(shù)展開式去近似地代替非線性回歸模型，然后通過多次迭代，多次修正回歸系數(shù)，使回歸系數(shù)不斷逼近非線性回歸模型的最佳回歸系數(shù)，最后使原模型的殘差平方和達(dá)到最小。（在軟件算法的實現(xiàn)上，可以進(jìn)一步參照教程《計算方法》）第一步：求a,b,c和d的初值。（此時x不能為0值，若輸入的x有0值，則在軟件實現(xiàn)過程中設(shè)定：x=0.0001）對上述模型（1）進(jìn)行數(shù)學(xué)變換后得到：2)在計算的過程中，具體算法進(jìn)行如下處理：將d的初值設(shè)為輸入的y值的最大值加1，a的初值設(shè)為輸入的y值的最小值減0.1。通過簡單的直線擬合即可求出b和c的初值。第二步：對方程（2）中的四個參數(shù)分別求偏微分。得到y(tǒng)對給定系數(shù)的增量（△a,△b,△c△d）的泰勒級數(shù)展開式。泰勒級數(shù)展開式為：(3)由此，將曲線回歸轉(zhuǎn)化為多元線性回歸，通過迭代計算，得到四個參數(shù)的變量△.△b,△c,Ad,逐步修正四參數(shù)的值。每一次迭代可計算出參數(shù)變量值，新的參數(shù)值為原參數(shù)值與變量值的疊加。（迭代的算法可以參照多元線性回歸的計算方法）第三步：相關(guān)系數(shù)計算方法：為保證迭代收斂,在計算相關(guān)系數(shù)時,引入一系數(shù)m,初值設(shè)為2,將a與參數(shù)的變量矩陣相乘，計算相關(guān)系數(shù)。m=m/2，循環(huán)10次，每次m的值減半。取循環(huán)中得到的相關(guān)系數(shù)最大的變量矩陣［△&,△b,△c,△d］。（采用Gauss法進(jìn)行消元。）第四步：迭代終止條件：默認(rèn)總的迭代次數(shù)為1000次,或者當(dāng)相關(guān)系數(shù)滿足±0.997時，則迭代停止。返回得到的四參數(shù)值。四參數(shù)模型詳細(xì)算法u-d四參數(shù)數(shù)贊模型y— +四參數(shù)數(shù)贊模型11對該數(shù)學(xué)模型求對數(shù)y-d=對該數(shù)學(xué)模型求對數(shù)y-d=blnu-方Hix計汕參數(shù)求傭微分嚴(yán)片古窖皿十%的十字加十獸曲）dadb&cdd利用多元線性冋『I進(jìn)行迭代計算設(shè)計輸入輸出舉例：如下表所示：x,y為本算法的設(shè)計輸入°（x,y非固定值，在軟件設(shè)計過程中，需要實現(xiàn)對x,y數(shù)據(jù)的讀取，并進(jìn)行相應(yīng)處理）xy.擬合后計算所得y.殘差1.00000.00900.97060.029410.00000.647510.2690-0.269030.00001.276529.22270.7773100.00002.1520101.9846-1.9846300.00002.7380296.8855