簡單幾何體的表面積與體積教學(xué)習(xí)題作業(yè)

專題04簡單幾何體的表面積與體積知識網(wǎng)絡(luò)重難點(diǎn)突破重難點(diǎn)突破一簡單幾何體的表面積、體積例1．（1）、（2021·合肥市第六中學(xué)高三其他模擬（文））如圖所示的幾何體是一個正方體挖掉一個圓錐(圓錐的底面圓與正方體的上底面正方形各邊相切，頂點(diǎn)在下底面上)，用一個垂直于正方體某個面的平面截該幾何體，下列圖形中一定不是其截面圖的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】分析用不同方式去截幾何體得到截面的形狀即可求解.【詳解】用過圓錐的軸且與上底面一組對棱垂直的平面截該兒何體可得A圖，用平行于圓錐底面的平面截該幾何體可得C圖，用垂直于圓錐底面且不過圓錐的軸的平面截該幾何體可得D圖，而B圖用垂直于正方體的任何面的平面截都無法得到.故選：B（2）、（2022·遼寧·撫順一中高一階段練習(xí)）已知某圓錐的高為3，底面半徑為，則該圓錐的側(cè)面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】由圓錐的側(cè)面展開圖是扇形，利用扇形的面積公式直接列式計(jì)算即可得出答案.【詳解】解：由題意得，該圓錐的側(cè)面積為．故選：A.【變式訓(xùn)練1-1】、（2022·貴州·遵義市第五中學(xué)高二期中（理））如圖是一個“圓柱容球”的幾何圖形，即圓柱容器里放了一個球，該球與圓柱的側(cè)面和兩底均相切，若圓柱的表面積是，現(xiàn)在向圓柱和球的縫隙里注水，則可以注入的水的體積最多為_________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)圓柱的表積公式及體積公式，再利用球的體積公式即可求解.【詳解】設(shè)球的半徑為,則由題意可知，圓柱的底面半徑為，圓柱的高為，因?yàn)閳A柱的表面積是，所以，解得,所以圓柱的體積為，球的體積為，所以可以注入的水的體積最多為.故答案為：.【變式訓(xùn)練1-2】、（2021·江蘇高一專題練習(xí)）如圖所示，觀察四個幾何體，其中判斷正確的是（）A．如圖是棱臺 B．如圖是圓臺C．如圖是棱錐 D．如圖不是棱柱【答案】C【分析】利用棱臺?圓臺?棱錐?棱柱的定義對四個選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析判斷即可.【詳解】解：對于A，不是棱錐截得的，故不是棱臺，故選項(xiàng)A錯誤；對于B，上?下兩個面不平行，故不是圓臺，故選項(xiàng)B錯誤；對于C，由棱錐的定義可知，是棱錐，故選項(xiàng)C正確；對于D，前?后兩個面平行，其他面試平行四邊形，且每相鄰兩個四邊形的公共邊平行，故是棱柱，故選項(xiàng)D錯誤.故選：C.

重難點(diǎn)突破二柱體與錐體的表面積、體積例2．（1）、（2022·廣東·深圳市光明區(qū)高級中學(xué)模擬預(yù)測）若正三棱柱的所有頂點(diǎn)都在同一個球O的表面上，且球O的體積的最小值為，則該三棱柱的側(cè)面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】用底邊邊長和高表示出球的半徑，根據(jù)基本不等式得出值，從而可求出棱柱的側(cè)面積.【詳解】如圖：設(shè)三棱柱上、下底面中心分別為、，則的中點(diǎn)為，設(shè)球的半徑為，則，設(shè)，，則，，則在△中，，當(dāng)且僅當(dāng)時，因?yàn)?，?/p>

所以，即，所以該三棱柱的側(cè)面積為.故選：B.（2）、（2021·天津?yàn)I海新區(qū)·高一期末）已知圓柱的側(cè)面展開圖是一個邊長為的正方形，則這個圓柱的表面積是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意和題設(shè)條件，求得圓柱的底面半徑和母線長，結(jié)合圓的面積公式和圓柱的側(cè)面積公式，即可求解.【詳解】設(shè)圓柱的底面半徑為，母線長為，因?yàn)閭?cè)面展開圖是一個邊長為的正方形，所以，可得，所以圓柱的表面積為.故選：A.【變式訓(xùn)練2-1】．（2021·江西省萬載中學(xué)高一期末（理））圖1中的機(jī)械設(shè)備叫做“轉(zhuǎn)子發(fā)動機(jī)”，其核心零部件之一的轉(zhuǎn)子形狀是“曲側(cè)面三棱柱”，圖2是一個曲側(cè)面三棱柱，它的側(cè)棱垂直于底面，底面是“萊洛三角形”，萊洛三角形是以正三角形的三個頂點(diǎn)為圓心，正三角形的邊長為半徑畫圓弧得到的，如圖3.若曲側(cè)面三棱柱的高為10，底面任意兩頂點(diǎn)之間的距離為10，則其側(cè)面積為（）A． B．C． D．600【答案】A【分析】求出底面的周長后可求曲側(cè)面三棱柱的側(cè)面積.【詳解】曲側(cè)面三棱柱的底面的周長為，曲側(cè)面三棱柱的側(cè)面積為，故選：A.【變式訓(xùn)練2-2】、（2022·全國·高一課時練習(xí)）已知圓錐軸截面是等腰直角三角形，一個正方體有四個頂點(diǎn)在圓錐的底面上，另外的四個頂點(diǎn)在圓錐的側(cè)面上（如圖），則圓錐與正方體的表面積之比為（

）A． B． C． D．以上答案都不對【答案】B【解析】【分析】設(shè)圓錐的底面半徑為，正方體的邊長為，求出，再求出圓錐和正方體的表面積化簡即得解.【詳解】解：設(shè)圓錐的底面半徑為，正方體的邊長為，由軸截面得，因?yàn)?，所以，所以圓錐的表面積，正方體的表面積所以.故選：B

重難點(diǎn)突破三柱體的外接球、內(nèi)切球體表面積與體積例3．（1）、（2022·全國·模擬預(yù)測）如圖，棱長均相等的直三棱柱的上、下底面均內(nèi)接于圓柱的上、下底面，則圓柱的側(cè)面積與其外接球的表面積之比為______．【答案】【解析】【分析】設(shè)三棱柱的棱長為，再求出圓柱的半徑與其外接球的半徑即可求解【詳解】設(shè)三棱柱的棱長為，所以外接圓的半徑，所以圓柱外接球的半徑．故外接球的表面積為，圓柱的側(cè)面積為，所以圓柱的側(cè)面積與其外接球的表面積之比為．故答案為：（2）、（2022·河北·模擬預(yù)測）如圖，在正三棱柱中，與平面所成的角為，則該三棱柱外接球的表面積為___________.【答案】【解析】【分析】因?yàn)槭钦庵?，所以外接球球心O在上下底面中心O1O2連線的中點(diǎn)，即外接球的半徑R=OA1，計(jì)算即得.【詳解】如圖，取BC的中點(diǎn)M，連結(jié)A1M，AM，因?yàn)槭钦庵郧蛐腛在上下底面中心O1O2連線的中點(diǎn)，即外接球的半徑R=OA1，又因?yàn)榕c平面所成的角為，所以AA1與平面所成的角為，又因?yàn)槭钦庵?，所以∠AA1M=45°，所以，所以所以外接球面積為.故答案為：.【變式訓(xùn)練3-1】、（2022·河北邯鄲·模擬預(yù)測）已知正三棱柱，各棱長均為2，且點(diǎn)為棱上一動點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．該正三棱柱既有外接球，又有內(nèi)切球B．四棱錐的體積是C．直線與直線恒不垂直D．直線與平面所成角最大為【答案】D【解析】【分析】如圖所示為直線與平面所成角，則，根據(jù)邊長即可判斷D，由于內(nèi)切圓半徑為，所以該正三棱柱無內(nèi)切球可判斷A，由棱錐的體積為結(jié)合數(shù)據(jù)即可判斷B，當(dāng)位于時有平面，可判斷C．【詳解】如圖所示，設(shè)，取?的中點(diǎn)分別為?，連接?過點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，顯然平面，又，故平面即為直線與平面所成角，又因?yàn)椋?，所以因此?dāng)時，有的最大值，選項(xiàng)D正確；由于內(nèi)切圓半徑為，所以該正三棱柱有外接球，無內(nèi)切球，選項(xiàng)A不正確；顯然平面，因此點(diǎn)到側(cè)面的高故棱錐的體積為，選項(xiàng)B不正確；當(dāng)位于時，平面，即又，故平面，從而，故選項(xiàng)C不正確；故選：D【變式訓(xùn)練3-2】、（2022·河南洛陽·三模（文））若三棱柱的底面是以為斜邊的直角三角形，平面，，，則該三棱柱的外接球的體積為___________.【答案】【解析】【分析】依題意可得底面三角形外接圓的直徑即為，設(shè)外接球的半徑為，則，即可求出，再根據(jù)球的體積公式計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)橹比庵酌媸且詾樾边叺闹苯侨切危缘酌嫒切瓮饨訄A的直徑即為，設(shè)外接球的半徑為，則，所以，解得，所以外接球的體積；故答案為：重難點(diǎn)突破四錐體的外接球、內(nèi)切球體表面積與體積例4．（1）、（廣西桂林市2021-2022學(xué)年高二下學(xué)期數(shù)學(xué)期末質(zhì)量檢測題）直三棱柱的各個頂點(diǎn)都在同一個球面上，若則此球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】由已知求出底面外接圓半徑，再由直三棱柱的外接球半徑與底面外接圓半徑、側(cè)棱的幾何關(guān)系求球體半徑，進(jìn)而求此球的表面積.【詳解】由題意，棱柱底面三角形中，底面外接圓半徑，又為直三棱柱且，所以其外接球半徑，故球體表面積為.故選：A（2）、（2022·河南安陽·高二階段練習(xí)（文））如圖，在長方體中，已知，，則四面體ABCD的內(nèi)切球的體積為_________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)等體積法，以內(nèi)切球球心為頂點(diǎn)，每個三棱錐的面為底面，作小三棱錐，利用小棱錐的體積之和為三棱錐的體積，可解得內(nèi)切球的半徑，可得到答案.【詳解】設(shè)四面體ABCD的內(nèi)切球的半徑為，在長方體中，由，，則，，故除四面體ABCD之外，可得到體積相同的四個三棱錐，可設(shè)一個其體積為，則，設(shè)長方體的體積為，故四面體ABCD的體積：，因?yàn)?，，所以四面體ABCD所有面的面積相同，在中，，則，故，對于四面體ABCD的體積：，解得，四面體ABCD的內(nèi)切球的體積為，故答案為：.【變式訓(xùn)練4-1】．（2022·江蘇·華羅庚中學(xué)三模）如圖，在直三棱柱中，是邊長為2的正三角形，，M為的中點(diǎn)，P為線段上的動點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．的最小值為B．三棱錐的體積的最大值為C．不存在點(diǎn)P，使得與平面所成的角為D．三棱錐的外接球的表面積為【答案】ABD【解析】【分析】對A，分析可得在和中，均為在點(diǎn)時，分別取得最小值，再計(jì)算即可對B，通過計(jì)算三棱錐的體積來進(jìn)行判斷.對C，通過線面角的知識進(jìn)行判斷.對D，先求的外接圓直徑，再根據(jù)外接球與直三棱錐的關(guān)系求解即可【詳解】對A，在中，，故，所以，故當(dāng)且僅當(dāng)在時取等號.連接，則，，由余弦定理，，故為鈍角，故，當(dāng)且僅當(dāng)在時取等號，故當(dāng)且僅當(dāng)在時取最小值為，故A正確；對B，，點(diǎn)B到平面的距離為，由，得，得，又，則，故B正確；對C，與平面所成的角即為與平面所成的角，設(shè)為，易知當(dāng)點(diǎn)P與M重合時，最小，此時，當(dāng)點(diǎn)Р與重合時，最大，此時，此時，故存在點(diǎn)P，使得與平面所成的角為，故C錯誤；對D，因?yàn)槠矫妫嗜忮F的外接球直徑與的外接圓直徑、高構(gòu)成直角三角形.由正弦定理，的外接圓直徑，設(shè)三棱錐的外接球半徑為，直徑為，則其表面積，故D正確故選：ABD【變式訓(xùn)練4-2】、（2022·河南安陽·高二階段練習(xí)（理）