中考總復(fù)習(xí)-專題一-動(dòng)點(diǎn)探1

中考總復(fù)習(xí)專題一動(dòng)點(diǎn)探究一、單動(dòng)點(diǎn)1．（2015?成都）如圖，在半徑為5的⊙O中，弦AB=8，P是弦AB所對(duì)的優(yōu)弧上的動(dòng)點(diǎn)，連接AP，過點(diǎn)A作AP的垂線交射線PB于點(diǎn)C，當(dāng)△PAB是等腰三角形時(shí)，線段BC的長為8，或．解：①當(dāng)BA=BP時(shí)，易得AB=BP=BC=8，即線段BC的長為8．②當(dāng)AB=AP時(shí)，如圖1，延長AO交PB于點(diǎn)D，過點(diǎn)O作OE⊥AB于點(diǎn)E，則AD⊥PB，AE=AB=4，∴BD=DP，在Rt△AEO中，AE=4，AO=5，∴OE=3，易得△AOE∽△ABD，∴，∴，∴，即PB=，∵AB=AP=8，∴∠ABD=∠P，∵∠PAC=∠ADB=90°，∴△ABD∽△CPA，∴，∴CP=，∴BC=CP﹣BP==；③當(dāng)PA=PB時(shí)如圖2，連接PO并延長，交AB于點(diǎn)F，過點(diǎn)C作CG⊥AB，交AB的延長線于點(diǎn)G，連接OB，則PF⊥AB，∴AF=FB=4，在Rt△OFB中，OB=5，F(xiàn)B=4，∴OF=3，∴FP=8，易得△PFB∽△CGB，∴，設(shè)BG=t，則CG=2t，易得∠PAF=∠ACG，∵∠AFP=∠AGC=90°，∴△APF∽△CAG，∴，∴，解得t=，在Rt△BCG中，BC=t=，答案為：8，，．2．（2015?連云港）已知如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=x﹣2與x軸、y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，P是直線AB上一動(dòng)點(diǎn)，⊙P的半徑為1．（1）判斷原點(diǎn)O與⊙P的位置關(guān)系，并說明理由；（2）當(dāng)⊙P過點(diǎn)B時(shí)，求⊙P被y軸所截得的劣弧的長；（3）當(dāng)⊙P與x軸相切時(shí)，求出切點(diǎn)的坐標(biāo)．解：（1）原點(diǎn)O在⊙P外．理由：∵直線y=x﹣2與x軸、y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，∴點(diǎn)A（2，0），點(diǎn)B（0，﹣2），在Rt△OAB中，tan∠OBA===，∴∠OBA=30°，如圖1，過點(diǎn)O作OH⊥AB于點(diǎn)H，在Rt△OBH中，OH=OB?sin∠OBA=，∵＞1，∴原點(diǎn)O在⊙P外；（2）如圖2，當(dāng)⊙P過點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)P在y軸右側(cè)時(shí)，∵PB=PC，∴∠PCB=∠OBA=30°，∴⊙P被y軸所截的劣弧所對(duì)的圓心角為：180°﹣30°﹣30°=120°，∴弧長為：=；同理：當(dāng)⊙P過點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)P在y軸左側(cè)時(shí)，弧長同樣為：；∴當(dāng)⊙P過點(diǎn)B時(shí)，⊙P被y軸所截得的劣弧的長為：；（3）如圖3，當(dāng)⊙P與x軸相切時(shí)，且位于x軸下方時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為D，在PD⊥x軸，∴PD∥y軸，∴∠APD=∠ABO=30°，∴在Rt△DAP中，AD=DP?tan∠DPA=1×tan30°=，∴OD=OA﹣AD=2﹣，∴此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)為：（2﹣，0）；當(dāng)⊙P與x軸相切時(shí)，且位于x軸上方時(shí)，根據(jù)對(duì)稱性可以求得此時(shí)切點(diǎn)的坐標(biāo)為：（2+，0）；綜上可得：當(dāng)⊙P與x軸相切時(shí)，切點(diǎn)的坐標(biāo)為：（2﹣，0）或（2+，0）．3．（2015?濰坊）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=mx2﹣8mx+4m+2（m＞0）與y軸的交點(diǎn)為A，與x軸的交點(diǎn)分別為B（x1，0），C（x2，0），且x2﹣x1=4，直線AD∥x軸，在x軸上有一動(dòng)點(diǎn)E（t，0）過點(diǎn)E作平行于y軸的直線l與拋物線、直線AD的交點(diǎn)分別為P、Q．（1）求拋物線的解析式；（2）當(dāng)0＜t≤8時(shí)，求△APC面積的最大值；（3）當(dāng)t＞2時(shí)，是否存在點(diǎn)P，使以A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似？若存在，求出此時(shí)t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．解：（1）由題意知x1、x2是方程mx2﹣8mx+4m+2=0的兩根，∴x1+x2=8，由解得：∴B（2，0）、C（6，0）則4m﹣16m+4m+2=0，解得：m=，∴該拋物線解析式為：y=；（2）可求得A（0，3）設(shè)直線AC的解析式為：y=kx+b，∵∴∴直線AC的解析式為：y=﹣x+3，要構(gòu)成△APC，顯然t≠6，分兩種情況討論：①當(dāng)0＜t＜6時(shí)，設(shè)直線l與AC交點(diǎn)為F，則：F（t，﹣），∵P（t，），∴PF=，∴S△APC=S△APF+S△CPF===，此時(shí)最大值為：，②當(dāng)6＜t≤8時(shí)，設(shè)直線l與AC交點(diǎn)為M，則：M（t，﹣），∵P（t，），∴PM=，∴S△APC=S△APM﹣S△CPM===，當(dāng)t=8時(shí)，取最大值，最大值為：12，綜上可知，當(dāng)0＜t≤8時(shí)，△APC面積的最大值為12；（3）如圖，連接AB，則△AOB中，∠AOB=90°，AO=3，BO=2，Q（t，3），P（t，），①當(dāng)2＜t＜8時(shí)，AQ=t，PQ=，若：△AOB∽△AQP，則：，即：，∴t=0（舍），或t=，若△AOB∽△PQA，則：，即：，∴t=0（舍）或t=2（舍），②當(dāng)t＞8時(shí)，AQ′=t，PQ′=，若：△AOB∽△AQP，則：，即：，∴t=0（舍），或t=，若△AOB∽△PQA，則：，即：，∴t=0（舍）或t=14，∴t=或t=或t=144．（2015?鐵嶺）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+與x軸交于A（﹣3，0），B（1，0）兩點(diǎn)．與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱．（1）求拋物線的解析式，并直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）如圖1，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度的速度沿A→B勻速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)B時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．以AP為邊作等邊△APQ（點(diǎn)Q在x軸上方），設(shè)點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過程中，△APQ與四邊形AOCD重疊部分的面積為S，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）如圖2，連接AC，在第二象限內(nèi)存在點(diǎn)M，使得以M、O、A為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似．請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)M坐標(biāo)．解：（1）∵拋物線y=ax2+bx+經(jīng)過A（﹣3，0），B（1，0）兩點(diǎn)，∴，解得，∴拋物線解析式為y=﹣x2﹣x+；則D點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，）．（2）∵點(diǎn)D與A橫坐標(biāo)相差1，縱坐標(biāo)之差為，則tan∠DAP=，∴∠DAP=60°，又∵△APQ為等邊三角形，∴點(diǎn)Q始終在直線AD上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)Q與D重合時(shí)，由等邊三角形的性質(zhì)可知：AP=AD==2．①當(dāng)0≤t≤2時(shí)，P在線段AO上，此時(shí)△APQ的面積即是△APQ與四邊形AOCD的重疊面積．AP=t，∵∠QAP=60°，∴點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為t?sin60°=t，∴S=×t×t=t2．②當(dāng)2＜t≤3時(shí)，如圖1：此時(shí)點(diǎn)Q在AD的延長線上，點(diǎn)P在OA上，設(shè)QP與DC交于點(diǎn)H，∵DC∥AP，∴∠QDH=∠QAP=∠QHD=∠QPA=60°，∴△QDH是等邊三角形，∴S=S△QAP﹣S△QDH，∵QA=t，∴S△QAP=t2．∵QD=t﹣2，∴S△QDH=（t﹣2）2，∴S=t2﹣（t﹣2）2=t﹣．圖1③當(dāng)3＜t≤4時(shí)，如圖2：此時(shí)點(diǎn)Q在AD的延長線上，點(diǎn)P在線段OB上，設(shè)QP與DC交于點(diǎn)E，與OC交于點(diǎn)F，過點(diǎn)Q作AP的垂涎，垂足為G，∵OP=t﹣3，∠FPO=60°，∴OF=OP?tan60°=（t﹣3），∴S△FOP=×（t﹣3）（t﹣3）=（t﹣3）2，∵S=S△QAP﹣S△QDE﹣S△FOP，S△QAP﹣S△QDE=t﹣．∴S=t﹣﹣（t﹣3）2=﹣t2+4t﹣．綜上所述，S與t之間的函數(shù)關(guān)系式為S=．圖2圖3圖4（3）∵OC=，OA=3，OA⊥OC，則△OAC是含30°的直角三角形．①當(dāng)△AMO以∠AMO為直角的直角三角形時(shí)；如圖3：過點(diǎn)M2作AO的垂線，垂足為N，∵∠M2AO=30°，AO=3，∴M2O=，又∵∠OM2N=M2AO=30°，∴ON=OM2=，M2N=ON=，∴M2的坐標(biāo)為（﹣，）．同理可得M1的坐標(biāo)為（﹣，）．②當(dāng)△AMO以∠OAM為直角的直角三角形時(shí)；如圖4：∵以M、O、A為頂點(diǎn)的三角形與△OAC相似，∴=，或=，∵OA=3，∴AM=或AM=3，∵AM⊥OA，且點(diǎn)M在第二象限，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣3，）或（﹣3，3）．綜上所述，符合條件的點(diǎn)M的所有可能的坐標(biāo)為（﹣3，），（﹣3，3），（﹣，），（﹣，）．5．（2015?綿陽）如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，G是AD延長線時(shí)的一點(diǎn)，且DG=AD，動(dòng)點(diǎn)M從A點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿著A→C→G的路線向G點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)（M不與A，G重合），設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，連接BM并延長AG于N．（1）是否存在點(diǎn)M，使△ABM為等腰三角形？若存在，分析點(diǎn)M的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由；（2）當(dāng)點(diǎn)N在AD邊上時(shí)，若BN⊥HN，NH交∠CDG的平分線于H，求證：BN=HN；（3）過點(diǎn)M分別作AB，AD的垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，矩形AEMF與△ACG重疊部分的面積為S，求S的最大值．（1）解：存在；當(dāng)點(diǎn)M為AC的中點(diǎn)時(shí)，AM=BM，則△ABM為等腰三角形；當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)C重合時(shí)，AB=BM，則△ABM為等腰三角形；當(dāng)點(diǎn)M在AC上，且AM=2時(shí)，AM=AB，則△ABM為等腰三角形；當(dāng)點(diǎn)M為CG的中點(diǎn)時(shí)，AM=BM，則△ABM為等腰三角形；（2）證明：在AB上截取AK=AN，連接KN；如圖1所示：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ADC=90°，AB=AD，∴∠CDG=90°，∵BK=AB﹣AK，ND=AD﹣AN，∴BK=DN，∵DH平分∠CDG，∴∠CDH=45°，∴∠NDH=90°+45°=135°，∴∠BKN=180°﹣∠AKN=135°，∴∠BKN=∠NDH，在Rt△ABN中，∠ABN+∠ANB=90°，又∵BN⊥NH，即∠BNH=90°，∴∠ANB+∠DNH=180°﹣∠BNH=90°，∴∠ABN=∠DNH，在△BNK和△NHD中，，∴△BNK≌△NHD（ASA），∴BN=NH；（3）解：①當(dāng)M在AC上時(shí)，即0＜t≤2時(shí)，△AMF為等腰直角三角形，∵AM=t，∴AF=FM=t，∴S=AF?FM=×t×t=t2；當(dāng)t=2時(shí)，S的最大值=×（2）2=2；②當(dāng)M在CG上時(shí)，即2＜t＜4時(shí)，如圖2所示：CM=t﹣AC=t﹣2，MG=4﹣t，在△ACD和△GCD中，，∴△ACD≌△GCD（SAS），∴∠ACD=∠GCD=45°，∴∠ACM=∠ACD+∠GCD=90°，∴∠G=90°﹣∠GCD=45°，∴△MFG為等腰直角三角形，∴FG=MG?cos45°=（4﹣t）?=4﹣t，∴S=S△ACG﹣S△CMJ﹣S△FMG=×4×2﹣×CM×CM﹣×FG×FG=4﹣（t﹣2）2﹣（4﹣）2=﹣+4t﹣8=﹣（t﹣）2+，∴當(dāng)t=時(shí)，S的最大值為．6．（2015?撫順）已知，△ABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖①所示，A點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣6，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0），點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，連接DE經(jīng)過點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式為y=ax2+bx+8．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖①，將△BDE以DE為軸翻折，點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)G，當(dāng)點(diǎn)G恰好落在拋物線的對(duì)稱軸上時(shí)，求G點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）如圖②，當(dāng)點(diǎn)E在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，拋物線y=ax2+bx+8的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)F，使得以C、D、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．解：（1）∵拋物線y=ax2+bx+8經(jīng)過點(diǎn)A（﹣6，0），B（4，0），∴解得∴拋物線的解析式是：y=﹣x2﹣x+8．（2）如圖①，作DM⊥拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)M，，設(shè)G點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣1，n），由翻折的性質(zhì)，可得BD=DG，∵B（4，0），C（0，8），點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)是（2，4），∴點(diǎn)M的坐標(biāo)是（﹣1，4），DM=2﹣（﹣1）=3，∵B（4，0），C（0，8），∴BC==4，∴，在Rt△GDM中，32+（4﹣n）2=20，解得n=4±，∴G點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣1，4+）或（﹣1，4﹣）．（3）拋物線y=ax2+bx+8的對(duì)稱軸上存在點(diǎn)F，使得以C、D、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形．①當(dāng)CD∥EF，且點(diǎn)E在x軸的正半軸時(shí)，如圖②，由（2），可得點(diǎn)D的坐標(biāo)是（2，4），設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)是（c，0），點(diǎn)F的坐標(biāo)是（﹣1，d），則解得∴點(diǎn)F的坐標(biāo)是（﹣1，4），點(diǎn)E的坐標(biāo)是（1，0）．②當(dāng)CD∥EF，且點(diǎn)E在x軸的負(fù)半軸時(shí)，如圖③，由（2），可得點(diǎn)D的坐標(biāo)是（2，4），設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)是（c，0），點(diǎn)F的坐標(biāo)是（﹣1，d），則解得∴點(diǎn)F的坐標(biāo)是（﹣1，﹣4），點(diǎn)E的坐標(biāo)是（﹣3，0）．③當(dāng)CE∥DF時(shí)，如圖④，，由（2），可得點(diǎn)D的坐標(biāo)是（2，4），設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)是（c，0），點(diǎn)F的坐標(biāo)是（﹣1，d），則解得∴點(diǎn)F的坐標(biāo)是（﹣1，12），點(diǎn)E的坐標(biāo)是（3，0）．綜上，可得拋物線y=ax2+bx+8的對(duì)稱軸上存在點(diǎn)F，使得以C、D、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，點(diǎn)F的坐標(biāo)是（﹣1，4）、（﹣1，﹣4）或（﹣1，12）．二、雙動(dòng)點(diǎn)1．（2015?遼陽）如圖，點(diǎn)A是雙曲線y=﹣在第二象限分支上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AO并延長交另一分支于點(diǎn)B，以AB為底作等腰△ABC，且∠ACB=120°，點(diǎn)C在第一象限，隨著點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)C的位置也不斷變化，但點(diǎn)C始終在雙曲線y=上運(yùn)動(dòng)，則k的值為（）A．1 B．2 C．3 D．4解：連接CO，過點(diǎn)A作AD⊥x軸于點(diǎn)D，過點(diǎn)C作CE⊥x軸于點(diǎn)E，∵連接AO并延長交另一分支于點(diǎn)B，以AB為底作等腰△ABC，且∠ACB=120°，∴CO⊥AB，∠CAB=30°，則∠AOD+∠COE=90°，∵∠DAO+∠AOD=90°，∴∠DAO=∠COE，又∵∠ADO=∠CEO=90°，∴△AOD∽△OCE，∴===tan60°=，則=3，∵點(diǎn)A是雙曲線y=﹣在第二象限分支上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∴|xy|=AD?DO=×6=3，∴k=EC×EO=1，則EC×EO=2．選：B．2.（2015?衢州）如圖，在△ABC中，AB=5，AC=9，S△ABC=，動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，沿射線AB方向以每秒5個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從C點(diǎn)出發(fā)，以相同的速度在線段AC上由C向A運(yùn)動(dòng)，當(dāng)Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)時(shí)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，以PQ為邊作正方形PQEF（P、Q、E、F按逆時(shí)針排序），以CQ為邊在AC上方作正方形QCGH．（1）求tanA的值；（2）設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，正方形PQEF的面積為S，請(qǐng)?zhí)骄縎是否存在最小值？若存在，求出這個(gè)最小值，若不存在，請(qǐng)說明理由；（3）當(dāng)t為何值時(shí)，正方形PQEF的某個(gè)頂點(diǎn)（Q點(diǎn)除外）落在正方形QCGH的邊上，請(qǐng)直接寫出t的值．解：（1）如圖1，過點(diǎn)B作BM⊥AC于點(diǎn)M，∵AC=9，S△ABC=，∴AC?BM=，即×9?BM=，解得BM=3．由勾股定理，得AM===4，則tanA==；（2）存在．如圖2，過點(diǎn)P作PN⊥AC于點(diǎn)N．依題意得AP=CQ=5t．∵tanA=，∴AN=4t，PN=3t．∴QN=AC﹣AN﹣CQ=9﹣9t．根據(jù)勾股定理得到：PN2+NQ2=PQ2，S正方形PQEF=PQ2=（3t）2+（9﹣9t）2=90t2﹣162t+81（0＜t＜）．∵﹣==在t的取值范圍之內(nèi)，∴S最小值===；（3）①如圖3，當(dāng)點(diǎn)E在邊HG上時(shí)，t1=；②如圖4，當(dāng)點(diǎn)F在邊HG上時(shí)，t2=；③如圖5，當(dāng)點(diǎn)P邊QH（或點(diǎn)E在QC上）時(shí)，t3=1④如圖6，當(dāng)點(diǎn)F邊C上時(shí)，t4=3．（2015?大連）如圖1，在△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)D在AC上，且CD＞DA，DA=2，點(diǎn)P，Q同時(shí)從點(diǎn)D出發(fā)，以相同的速度分別沿射線DC、射線DA運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)Q作AC的垂線段QR，使QR=PQ，連接PR，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)P，Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)PQ=x，△PQR與△ABC重疊部分的面積為S，S關(guān)于x的函數(shù)圖象如圖2所示（其中0＜x≤，＜x≤m時(shí)，函數(shù)的解析式不同）．（1）填空：n的值為；（2）求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍．解：（1）如圖1，當(dāng)x=時(shí)，△PQR與△ABC重疊部分的面積就是△PQR的面積，∵PQ=，QR=PQ，∴QR=，∴n=S=×（）2=×=．（2）如圖2，根據(jù)S關(guān)于x的函數(shù)圖象，可得S關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式有兩種情況：當(dāng)0＜x≤時(shí)，S=×PQ×RQ=x2，當(dāng)點(diǎn)Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，x=2AD=4，∴m=4．當(dāng)＜x≤4時(shí)，S=S△APF﹣S△AQE=AP?FG﹣AQ?EQ，AP=2+，AQ=2﹣，∵△AQE∽△AQ1R1，，∴QE=，設(shè)FG=PG=a，∵△AGF∽△AQ1R1，，∴AG=2+﹣a，∴a=，∴S=S△APF﹣S△AQE=AP?FG﹣AQ?EQ=（2）（2）﹣（2﹣）?（2）=﹣x2+∴S=﹣x2+．綜上，可得S=4．（2015?宿遷）已知：⊙O上兩個(gè)定點(diǎn)A，B和兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)C，D，AC與BD交于點(diǎn)E．（1）如圖1，求證：EA?EC=EB?ED；（2）如圖2，若=，AD是⊙O的直徑，求證：AD?AC=2BD?BC；（3）如圖3，若AC⊥BD，點(diǎn)O到AD的距離為2，求BC的長．（1）證明：∵∠EAD=∠EBC，∠BCE=∠ADE，∴△AED∽△BEC，∴，∴EA?EC=EB?ED；（2）證明：如圖2，連接CD，OB交AC于點(diǎn)F∵B是弧AC的中點(diǎn)，∴∠BAC=∠ADB=∠ACB，且AF=CF=0.5AC．又∵AD為⊙O直徑，∴∠ABC=90°，又∠CFB=90°．∴△CBF∽△ABD．∴，故CF?AD=BD?BC．∴AC?AD=2BD?BC；（3）解：如圖3，連接AO并延長交⊙O于F，連接DF，∴AF為⊙O的直徑，∴∠ADF=90°，過O作OH⊥AD于H，∴AH=DH，OH∥DF，∵AO=OF，∴DF=2OH=4，∵AC⊥BD，∴∠AEB=∠ADF=90°，∵∠ABD=∠F，∴△ABE∽△ADF，∴∠1=∠2，∴，∴BC=DF=4．5．（2015?荊門）如圖，在矩形OABC中，OA=5，AB=4，點(diǎn)D為邊AB上一點(diǎn)，將△BCD沿直線CD折疊，使點(diǎn)B恰好落在邊OA上的點(diǎn)E處，分別以O(shè)C，OA所在的直線為x軸，y軸建立平面直角坐標(biāo)系．（1）求OE的長及經(jīng)過O，D，C三點(diǎn)拋物線的解析式；（2）一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，沿CB以每秒2個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從E點(diǎn)出發(fā)，沿EC以每秒1個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)t為何值時(shí)，DP=DQ；（3）若點(diǎn)N在（1）中拋物線的對(duì)稱軸上，點(diǎn)M在拋物線上，是否存在這樣的點(diǎn)M與點(diǎn)N，使M，N，C，E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出M點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．解：（1）∵CE=CB=5，CO=AB=4，∴在Rt△COE中，OE===3，設(shè)AD=m，則DE=BD=4﹣m，∵OE=3，∴AE=5﹣3=2，在Rt△ADE中，由勾股定理可得AD2+AE2=DE2，即m2+22=（4﹣m）2，解得m=，∴D（﹣，﹣5），∵C（﹣4，0），O（0，0），∴設(shè)過O、D、C三點(diǎn)的拋物線為y=ax（x+4），∴﹣5=﹣a（﹣+4），解得a=，∴拋物線解析式為y=x（x+4）=x2+x；（2）∵CP=2t，∴BP=5﹣2t，在Rt△DBP和Rt△DEQ中，，∴△DBP≌△DEQ（HL），∴BP=EQ，∴5﹣2t=t，∴t=；（3）∵拋物線的對(duì)稱為直線x=﹣2，∴設(shè)N（﹣2，n），又由題意可知C（﹣4，0），E（0，﹣3），設(shè)M（m，y），①當(dāng)EN為對(duì)角線，即四邊形ECNM是平行四邊形時(shí)，則線段EN的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為=﹣1，線段CM中點(diǎn)橫坐標(biāo)為，∵EN，CM互相平分，∴=﹣1，解得m=2，又M點(diǎn)在拋物線上，∴y=×22+×2=16，∴M（2，16）；②當(dāng)EM為對(duì)角線，即ECMN是平行四邊形時(shí)，則線段EM的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為，線段CN中點(diǎn)橫坐標(biāo)為=﹣3，∵EN，CM互相平分，∴=﹣3，解得m=﹣6，又∵M(jìn)點(diǎn)在拋物線上，∴y=×（﹣6）2+×（﹣6）=16，∴M（﹣6，16）；③當(dāng)CE為對(duì)角線，即四邊形EMCN是平行四邊形時(shí)，則M為拋物線的頂點(diǎn)，即M（﹣2，﹣）．綜上可知，存在滿足條件的點(diǎn)M，其坐標(biāo)為（2，16）或（﹣6，16）或（﹣2，﹣）．三、面動(dòng)探究1.（2015?青島）已知，如圖①，在?ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，AC⊥AB，△ACD沿AC的方向勻速平移得到△PNM，速度為1cm/s；同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿CB方向勻速移動(dòng)，速度為1cm/s，當(dāng)△PNM停止平移時(shí)，點(diǎn)Q也停止移動(dòng)，如圖②，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t（s）（0＜t＜4），連接PQ，MQ，MC，解答下列問題：（1）當(dāng)t為何值時(shí)，PQ∥MN？（2）設(shè)△QMC的面積為y（cm2），求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）是否存在某一時(shí)刻t，使S△QMC：S四邊形ABQP=1：4？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．（4）是否存在某一時(shí)刻t，使PQ⊥MQ？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．解：（1）在Rt△ABC中，AC==4，由平移得MN∥AB，∵PQ∥MN，∴PQ∥AB，∴=，∴=，t=，（2）過點(diǎn)P作PD⊥BC于D，∵△CPD∽△CBA，∴=，∴=，∴PD=﹣t，∵PD∥BC，∴S△QMC=S△QPC，∴y=S△QMC=QC?PD=t（﹣t）=t﹣t2（0＜t＜4），（3）∵S△QMC：S四邊形ABQP=1：4，∴S△QPC：S四邊形ABQP=1：4，∴S△QPC：S△ABC=1：5，∴（t﹣t2）：6=1：5，∴t=2，（4）若PQ⊥MQ，則∠PQM=∠PDQ，∵∠MPQ=∠PQD，∴△PDQ∽△MQP，∴=，∴PQ2=MP?DQ，∴PD2+DQ2=MP?DQ，∵CD=，∴DQ=CD﹣CQ=﹣t=，∴（）2+（）2=5×，∴t1=0（舍去），t2=，∴t=時(shí)，PQ⊥MQ．2．（2015?徐州）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，將含30°的三角尺的直角頂點(diǎn)C落在第二象限．其斜邊兩端點(diǎn)A、B分別落在x軸、y軸上，且AB=12cm（1）若OB=6cm．①求點(diǎn)C的坐標(biāo)；②若點(diǎn)A向右滑動(dòng)的距離與點(diǎn)B向上滑動(dòng)的距離相等，求滑動(dòng)的距離；（2）點(diǎn)C與點(diǎn)O的距離的最大值=12cm．解：（1）①過點(diǎn)C作y軸的垂線，垂足為D，如圖1：在Rt△AOB中，AB=12，OB=6，則BC=6，∴∠BAO=30°，∠ABO=60°，又∵∠CBA=60°，∴∠CBD=60°，∠BCD=30°，∴BD=3，CD=3，所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣3，9）；②設(shè)點(diǎn)A向右滑動(dòng)的距離為x，根據(jù)題意得點(diǎn)B向上滑動(dòng)的距離也為x，如圖2：AO=12×cos∠BAO=12×cos30°=6．∴A'O=6﹣x，B'O=6+x，A'B'=AB=12在△A'OB'中，由勾股定理得，（6﹣x）2+（6+x）2=122，解得：x=6（﹣1），∴滑動(dòng)的距離為6（﹣1）；（2）設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（x，y），過C作CE⊥x軸，CD⊥y軸，垂足分別為E，D，如圖3：則OE=﹣x，OD=y，∵∠ACE+∠BCE=90°，∠DCB+∠BCE=90°，∴∠ACE=∠DCB，又∵∠AEC=∠BDC=90°，∴△ACE∽△BCD，∴，即，∴y=﹣x，OC2=x2+y2=x2+（﹣x）2=4x2，∴取AB中點(diǎn)D，連接CD，OD，則CD與OD之和大于或等于CO，當(dāng)且僅當(dāng)C，D，O三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，此時(shí)CO=CD+OD=6+6=12，故答案為：12．第二問方法二：因角C與角O和為180度，所以角CAO與角CBO和為180度，故A，O，B，C四點(diǎn)共圓，且AB為圓的直徑，故弦CO的最大值為12．3．（2015?深圳）如圖1，水平放置一個(gè)三角板和一個(gè)量角器，三角板的邊AB和量角器的直徑DE在一條直線上，AB=BC=6cm，OD=3cm，開始的時(shí)候BD=1cm，現(xiàn)在三角板以2cm/s的速度向右移動(dòng)．（1）當(dāng)B與O重合的時(shí)候，求三角板運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；（2）如圖2，當(dāng)AC與半圓相切時(shí)，求AD；（3）如圖3，當(dāng)AB和DE重合時(shí)，求證：CF2=CG?CE．（1）解：由題意可得：BO=4cm，t==2（s）；（2）解：如圖2，連接O與切點(diǎn)H，則OH⊥AC，又∵∠A=45°，∴AO=OH=3cm，∴AD=AO﹣DO=（3﹣3）cm；（3）證明：如圖3，連接EF，∵OD=OF，∴∠ODF=∠OFD，∵DE為直徑，∴∠ODF+∠DEF=90°，∠DEC